חזור לתיקייה: תרגול

10(זאב) - תיקון לחוק אמפר, מבוא לגלים

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי
  • גלים

10(זאב) - תיקון לחוק אמפר, מבוא לגלים

01140052

פיזיקה 2

רשימות תרגול לקריאה בשבת

10(זאב) - תיקון לחוק אמפר, מבוא לגלים

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

נזכר במשוואות מקסוול:

∇⃗⋅E⃗=ρε0∇⃗⋅B⃗=0∇⃗×E⃗=−∂B∂t∇⃗×B⃗=μ0J⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\begin{matrix} \vec{\nabla}\cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} & \vec{\nabla}\cdot \vec{B}=0 \\ \vec{\nabla}\times \vec{E}=-\parder{B}{t} & \vec{\nabla}\times \vec{B}=\mu_{0}\vec{J}+\mu_{0}\epsilon_{0} \parder{\vec{E}}{t} \end{matrix}∇⋅E=ε0​ρ​∇×E=−∂t∂B​​∇⋅B=0∇×B=μ0​J+μ0​ε0​∂t∂E​​

דיברגנצ על שדה היא בעצם פעולה השואלת מהו המקור של השדה או מהן המקורות של השדה.
חוק גאוס המגנטי אומר שאין מקור מגנטי, כלומר, אין מטען מגנטי ⟸ אין מונופול מגנטי. (אולי בעתיד, אם נמצא מונופול מגנטי, נתקן את המשוואה ∇⃗⋅B⃗=0\vec{\nabla}\cdot \vec{B}=0∇⋅B=0)
רוטור אומר לנו כמה השדה שלנו מסתובב.
רוטור של שדה הוא שדה אשר הוא פשוט הסיבוביות של השדה המקורי. אם אנחנו עושים דיברגנצ' על רוטור, אנחנו מקבלים 000 שכן אין מקור לסיבוביות של שדה ⟸ בהסתכלות על חוק אמפר המקורי, אנו נקבל כי ∇J⃗=0\nabla \vec{J}=0∇J=0, כלומר, אין הצטברות מטען.
רק שכן יש הצטברות מטען בקבל, לכן, נדרשנו להוסיף את התיקון של מקסוול.

תרגיל

יש לנו מעגל RCRCRC בטעינה - הכי פשוט שיש.
​10(זאב) - תיקון לחוק אמפר, מבוא לגלים 2026-07-08 08.44.25.excalidraw.svg
נרצה כעת לדעת מהו השדה המגנטי בין לוחות הקבל.

מחוק אמפר אנו מוצאים את השדה בפנים:

∮B⃗⋅dℓ⃗=↓Iin=0μ0ε0ϕ˙e+0\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ I_{in}=0 \end{matrix}}{=}\mu_{0}\epsilon_{0}\dot{\phi}_{\Tiny e}+0∮B⋅dℓ↓Iin​=0​=​μ0​ε0​ϕ˙​e​+0

אגף שמאל:

∮B⃗⋅dℓ⃗=B(r)⋅2πr\oint \vec{B}\cdot d \vec{\ell}=B(r)\cdot 2\pi r∮B⋅dℓ=B(r)⋅2πr

אגף ימין:
צריך לחשב את ϕ˙E\dot{\phi}_{\Tiny E}ϕ˙​E​.

ϕE=∬E⃗⋅ds⃗=∫0r∫02πE⋅r′dr′dθ\phi_{\Tiny E}=\iint \vec{E}\cdot d\vec{s}=\int_{0}^r\int_{0}^{2\pi} E\cdot r'dr'd\thetaϕE​=∬E⋅ds=0∫r​0∫2π​E⋅r′dr′dθ

EEE הוא שדה של קבל ולכן E=σε0E=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}E=ε0​σ​. מהו σ\sigmaσ? מכיוון שזה מעגל RCRCRC בטעינה אנו יודעים כי Q=σπa2Q=\sigma \pi a^2Q=σπa2 ואנו יודעים את QQQ מנוסחת מעגל RCRCRC בטעינה ולכן: σ=CV(1−e−tRC)πa2\sigma=\frac{CV\left( 1-e^{-\frac{t}{RC}} \right)}{\pi a^2}σ=πa2CV(1−e−RCt​)​. לכן: E=CVε0πa2(1−e−tRC)E=\frac{CV}{\epsilon_{0}\pi a^2}(1-e^{-\frac{t}{RC}})E=ε0​πa2CV​(1−e−RCt​). נשים לב כי השדה תלוי אך ורק בזמן ולכן:

ϕE=2πE∫0rr′dr′=CVε0a2(1−e−tRC)r2\phi_{\Tiny E}=2\pi E\int_{0}^r r'dr'=\frac{CV}{\epsilon_{0} a^2}(1-e^{-\frac{t}{RC}})r^2ϕE​=2πE0∫r​r′dr′=ε0​a2CV​(1−e−RCt​)r2

נגזור כעת בזמן:

ϕ˙E=CVε0a2(−e−tRC)r2(−1RC)=Vε0a2Re−tRC⋅r2\dot{\phi}_{\Tiny E}=\frac{\cancel{ C }V}{\epsilon_{0}a^2}\left( -e^{-\frac{t}{RC}} \right)r^2 \left( -\frac{1}{R\cancel{ C }} \right)=\frac{V}{\epsilon_{0}a^2R}e^{-\frac{t}{RC}}\cdot r^2ϕ˙​E​=ε0​a2CV​(−e−RCt​)r2(−RC1​)=ε0​a2RV​e−RCt​⋅r2

נשווה בין שני האגפים של אמפר:

B(r,t)⋅2πr=μ0ε0Vε0a2Re−tRC⋅r2  ⟹  B(r,t)=μ0V2πa2Re−tRCrB(r,t)\cdot 2\pi \cancel{ r }=\mu_{0}\cancel{ \epsilon_{0} }\frac{V}{\cancel{ \epsilon_{0} }a^2R}e^{-\frac{t}{RC}}\cdot r^{\cancel{ 2 }}\implies B(r,t)=\frac{\mu_{0}V}{2\pi a^2R}e^{-\frac{t}{RC}}rB(r,t)⋅2πr=μ0​ε0​ε0​a2RV​e−RCt​⋅r2⟹B(r,t)=2πa2Rμ0​V​e−RCt​r

גלים

משוואת הגלים היא כמו חוק שני של ניוטון:

∂2f∂t2=v2∂2f∂x2\nparder{2}{f}{t}=v^2\nparder{2}{f}{x}∂t2∂2f​=v2∂x2∂2f​

כאשר fff היא פונקציה המתארת את הגל במרחב ו-vvv היא מהירות הגל.
פונקציה מתארת גל אם היא פתרון למשוואת הגלים

גל הרמוני נראה כך: f(x,t)=Acos⁡(kx−ωt+ϕ)f(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\phi)f(x,t)=Acos(kx−ωt+ϕ). למה הוא חשוב? בגלל שבאמצעות יצור בשם התמרת פורייה, נוכל להפוך כל פונקציה להרבה פונקציות של sin⁡\sinsin ו-cos⁡\coscos וכך נוכל לתאר מלאאא מלאאא גלים. זוהי בעצם אבן הבניין של גלים מורכבים ומשונים כגון גלי קול.

תרגיל

f(x,t)=Acos⁡(ωt)sin⁡(kx)f(x,t)=A\cos(\omega t)\sin(kx)f(x,t)=Acos(ωt)sin(kx)

האם זה גל?

נבדוק האם הוא פתרון למשוואת הגלים:

f¨(x,t)=−ω2Asin⁡(kx)cos⁡(ωt)=−ω2f\ddot{f}(x,t)=- \omega^2A\sin(kx)\cos(\omega t)=-\omega^2 ff¨​(x,t)=−ω2Asin(kx)cos(ωt)=−ω2f ∂2f∂x2(x,t)=−k2f\nparder{2}{f}{x}(x,t)=-k^2f∂x2∂2f​(x,t)=−k2f

נשאל האם −ω2f=v2(−k2f)-\omega^2f=v^2(-k^2f)−ω2f=v2(−k2f)? כלומר:

ω2=?v2k2\omega^2 \overset{?}{=} v^2k^2ω2=?v2k2

זה נכון שכן זה יחס דיספרסיה של גל הרמוני. ⟸ זהו גל הרמוני (בתכלס זה גל עומד, אבל זה כבר תרגול הבא)