חזור לתיקייה: 01140052 - פיזיקה 2

4 - גלים

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • סיווג של גלים
  • תיאור הגלים
  • משוואת הגלים
  • משוואת הגלים ב-3D
  • גלים מחזוריים
  • גלים הרמוניים
  • סופרפוזיציה של גלים
  • גלים אלקטרומגנטיים
  • משוואות מקסוול בריק
  • גלים אלקטרומגנטיים מונוכרומטיים מישוריים
  • מעבר מגל חשמלי לגל מגנטי
  • תכונות חשובות
  • אנרגיה נישאת ע"י גל אלקטרומגנטי
  • עוצמת קרינה ממוצעת + כיוון כללי של וקטור השטח
  • עקרון הויגנס
  • ניסוי יאנג בגלי אור (ניסוי שני הסדקים)

4 - גלים

01140052

פיזיקה 2

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

גלים

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

גל הוא הפרעה שמתפשטת במרחב. (סימון כללי הוא ψ(x,y,z,t)\psi(x,y,z,t)ψ(x,y,z,t))
אנו נסתכל עכשיו על כמה דוגמות כדי להבין מהי בדיוק הפרעה המתפשטת במרחב.

הדבר הראשון שנראה הוא גל במיתר: נניח כי יש לנו גיטרה ומישהו פורט על מיתר שלה, ישנה תנועה כלשהי במיתר למעלה או למטה.
​פיזיקה2 - הרצאה 18 - תמונה 10.svg
ההפרעה הזו יכולה לנוע אך ורק בציר ה-x^\hat{x}x^ (מקרה פרטי של גל בו הגל נע רק ב-1D1D1D)
הגודל המופרע (שהפריעו לו) הוא y(x,t)y(x,t)y(x,t).

נסתכל על יצור נוסף: אבן הנופלת לבריכת מים.
​פיזיקה2 - הרצאה 18 - תמונה 11.svg
מהרגע שהאבן נפלה למים מתחילים להיווצר מעגלים אשר מתפשטים במים. זוהי ההפרעה שלנו.
ההפרעה פה היא ב-2D2D2D כי הגל מתפשט במישור xyxyxy.
ההפרעה פה היא בציר ה-z^\hat{z}z^ (הגודל המופרע הוא גובה המים) ואנו מקבלים את התלות z(x,y,t)z(x,y,t)z(x,y,t).

נסתכל על גל קול, שהוא פשוט שינוי בצפיפות של אוויר. השינויים האלו בצפיפות של האוויר מתקדמים במרחב ומגיעים לאוזניים של מאזין מסויים.
הצליל שאנו שומעים הוא מה שהמוח שלנו מתרגם מהשינויים של הצפיפות שפוגעים בעור התוף שלנו.
אם קצב השינויים הוא מהיר אנו שומעים קול גבוה ואם קצב השינויים הוא איטי אנו שומעים קול נמוך.
​פיזיקה2 - הרצאה 18 - תמונה 12.svg
מבחינת איך שגל הקול נראה זה שינויים בצפיפות, עם איזורים צפופים ואיזורים דלילים.
הגל פה מתפשט ב-3D3D3D שכן הוא הולך בשלושה כיוונים.
הגודל המופרע הוא צפיפות מולקולות האוויר המסומן ρ(x,y,z,t)\rho(x,y,z,t)ρ(x,y,z,t) ותלוי בזמן שכן הצפיפות המשתנה הזו מתקדמת בזמן בכל מיני כיוונים.

סיווג של גלים

הגדרה 1 (גל רוחבי)

גל שבו ההפרעה היא בכיוון ניצב לכיוון התקדמות הגל יקרא רוחבי.

הגדרה 2 (גל אורכי)

גל שבו ההפרעה היא בכיוון מקביל לכיוון התקדמות הגל יקרא אורכי.

דוגמה

בדוגמות שראינו קודם:

  • הגיטרה היא גל רוחבי.
  • האבן הנופלת היא גל רוחבי גם כן.
  • גל הקול הוא גל אורכי, שכן צפיפות המרחב משתנה בכל כיוון שהוא וגם ההתפשטות היא בכל כיוון שהוא.

דוגמה נוספת לגל אורכי הוא לקחת קפיץ ולקחת איזור מסויים ולצופף אותו. כאשר אנו נשחרר אותו, הצפיפות הזו תשתנה לאורך ציר ה-xxx ואז תהיה לנו הפרעה בציר ה-xxx שמתפשטת בציר ה-xxx.

דוגמה

בפיצוץ תת ימי, ההפרעה שנוצרת היא גם רוחבית וגם אורכית.

דוגמה (גל אלקטרומגנטי)

נסתכל על גל אור, שהוא בצעם הפרעה לשני גדלים: ל-E⃗(x,y,z,t)\vec{E}(x,y,z,t)E(x,y,z,t) ול-B⃗(x,y,z,t)\vec{B}(x,y,z,t)B(x,y,z,t).
בהמשך אנו נתעסק הרבה יותר לעומק עם גלים אלקטרומגנטיים.
כעת, רק נראה דוגמה לאיך זה יכול להראות:
​פיזיקה2 - הרצאה 18 - תמונה 13.svg
מה שאנו מקבלים כאן הוא שני גלים רוחביים ואנו נראה בהמשך תכונות נוספות שלו.

מה קובע איזה צבע אור אנו מזהים? זה כתלות באורך הגל, עליו נדבר תכף.

נוכל לסווג גלים גם בדרך אחרת:

הגדרה 3 (גל מכני)

גל יקרא מכני אם הוא דורש תווך על מנת שיוכל לעבור.

דוגמה: גל במיתר, גל במים, גל קול וכו'

הגדרה 4 (גל אלקטרומגנטי)

גל יקרא אלקטרומגנטי אם לא נדרש תווך (אך ייתכן).

גלים אלקטרומגנטיים הם מקרה מיוחד, הם לא דורשים תווך. איך אנו יודעים זאת? אנו יודעים שלמרות שיש ריק בינינו לבין השמש, גלים אלקטרומגנטיים מהשמש(אור) מגיעים לכדוה"א.

תיאור הגלים

אנו נתחיל מעולם חד מימדי ואז נכליל לשלושה מימדים.

טענה

גל ששומר על צורתו ונע על ציר ה-x^\hat{x}x^ במהירות קבועה vvv בכיוןן החיובי של הציר ה-x^\hat{x}x^, הוא מהצורה:

y=f(x,t)=f(x−vt)y=f(x,t)=f(x-vt)y=f(x,t)=f(x−vt)

באותו האופן, גל השומר על צורתו ונע על ציר ה-x^\hat{x}x^ במהירות קבועה −v-v−v הוא מהצורה:

y=f(x,t)=f(x+vt)y=f(x,t)=f(x+vt)y=f(x,t)=f(x+vt)

נסתכל איך יצור שכזה נראה במערכות יחוס שונות:

  • SSS מערכת המעבדה
  • S′S'S′ מערכת ההפרעה

​פיזיקה2 - הרצאה 19 - תמונה 1.svg
במערכת הייחוס SSS, הגל נע בכיוון החיובי של ציר ה-x^\hat{x}x^ במהירות קבועה vvv.
במערכת הייחוס S′S'S′ שנעה עם הגל, הגל נמצא במנוחה.

אנו כעת נסתכל על נקודה x′x'x′ שהוא מרחק שנמדד לפי מערכת היחוס S′S'S′. לאחר מכן, נסתכל על הגובה y′y'y′ שהוא הגובה של ההפערה בנקודה x′x'x′.

y′(x′,0)=f(x′)y'(x',0)=f(x')y′(x′,0)=f(x′) y′(x′,t)=y′(x′,0)=f(x′)y'(x',t)=y'(x',0)=f(x')y′(x′,t)=y′(x′,0)=f(x′)

כעת נסתכל על דברים שמקשרים בין מערכות היחוס השונות. לשם כך, נסתכל על xxx שהוא המרחק שמדד לפי מערכת היחוס SSS.
מיקום הוקטור xxx הוא כמרחק S′S'S′ מ-SSS ועוד המרחק בתוך S′S'S′ לנקודה x′x'x′.

x=vt+x′  ⟹  x′=x−vtx=vt+x'\implies x'=x-vtx=vt+x′⟹x′=x−vt

נסתכל כעת על הגובה בנקודה:

y(x,t)=y′(x′,t)=f(x′)=f(x−vt)y(x,t)=y'(x',t)=f(x')=f(x-vt)y(x,t)=y′(x′,t)=f(x′)=f(x−vt)

מה קיבלנו?

y(x,t)=f(x−vt)y(x,t)=f(x-vt)y(x,t)=f(x−vt)

מה היינו עושים אם הגל היה נע בכיוון השלילי של ציר ה-xxx? פשוט היינו מחליפים את vvv ב-(−v)(-v)(−v).

הערה

נניח ויש לנו פונקציה ψ=Aey−vt\psi=Ae^{y-vt}ψ=Aey−vt המועמדת לתאר גל. איך אנו נדע אם היא מתארת גל?
נאמר: ψ(y,t)=f(y−vt)\psi(y,t)=f(y-vt)ψ(y,t)=f(y−vt).
ולכן זהו אכן גל שכן יש לו התנהגות של גל.
("אם זה הולך כמו ברווז, ונשמע כמו ברווז אז זה ברווז" - גל, המרצה של מתמ)

אם נניח יש לנו את הפונקציה ψ=Acos⁡(kx−ωt)\psi=A\cos(kx-\omega t)ψ=Acos(kx−ωt)? כן, למה? נסתכל על הפיתוח:

ψ(x,t)=Acos⁡(k(x−ωkt))=↓v=ωkAcos⁡(k(x−vt))=f(x−vt)\psi(x,t)=A\cos\left( k\left( x-\frac{\omega}{k}t \right) \right) \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ v=\frac{\omega}{k} \end{matrix}}{=}A\cos(k(x-vt))=f(x-vt)ψ(x,t)=Acos(k(x−kω​t))↓v=kω​​=​Acos(k(x−vt))=f(x−vt)

משוואת הגלים

נקח את הפונקציה y(x,t)=f(x−vt)y(x,t)=f(x-vt)y(x,t)=f(x−vt) שהיא פונקציה כללית המתארת גל הנע בכיוון החיובי של ציר ה-x^\hat{x}x^ במהירות קבועה vvv.
נסמן u=x−vtu=x-vtu=x−vt ואז y(x,t)=f(u)y(x,t)=f(u)y(x,t)=f(u).
נסתכל על הנ"ח הבאות:

∂y∂x=∂f∂u⋅∂u∂x=fu′⋅1=fu′(u)\parder{y}{x}=\parder{f}{u}\cdot \parder{u}{x}=f'_{u}\cdot 1=f'_{u}(u)∂x∂y​=∂u∂f​⋅∂x∂u​=fu′​⋅1=fu′​(u) ∂2y∂x2=−∂∂x(fu′(u))=fu′′(u)⋅∂u∂x=fu′′(u)\nparder{2}{y}{x}=-\parder{}{x}(f'_{u}(u))=f''_{u}(u)\cdot \parder{u}{x}=f''_{u}(u)∂x2∂2y​=−∂x∂​(fu′​(u))=fu′′​(u)⋅∂x∂u​=fu′′​(u) ∂y∂t=∂f∂u⋅∂u∂t=fu′(u)⋅(−v)=−vfu′(u)\parder{y}{t}=\parder{f}{u}\cdot \parder{u}{t}=f'_{u}(u)\cdot (-v)=-vf'_{u}(u)∂t∂y​=∂u∂f​⋅∂t∂u​=fu′​(u)⋅(−v)=−vfu′​(u) ∂2y∂t2=∂∂t(−vfu′(u))=−vfu′′(u)∂u∂t=v2fu′′(u)\nparder{2}{y}{t}=\parder{}{t}(-vf'_{u}(u))=-vf''_{u}(u) \parder{u}{t}=v^2f''_{u}(u)∂t2∂2y​=∂t∂​(−vfu′​(u))=−vfu′′​(u)∂t∂u​=v2fu′′​(u)

נשים לב כי מתקיים:

∂2y∂x2=fu′′(u)=1v2∂2y∂t2\boxed{\parder{^2y}{x^2}=f''_{u}(u)=\frac{1}{v^2} \parder{^2y}{t^2}}∂x2∂2y​=fu′′​(u)=v21​∂t2∂2y​​

המשוואה שקיבלנו נקראת משוואת הגלים.

הערה

צורה שקולה לחלוטית תהיה:

v2∂2y∂x2=∂2y∂t2v^2\nparder{2}{y}{x}=\nparder{2}{y}{t}v2∂x2∂2y​=∂t2∂2y​

השתמשנו בפונקציה ממש ממש כללית והשתמשנו בפעולה מתמטית על מנת להגיע אל משוואת הגלים ⟸ לכל גל המתנהג ככה זה מתקיים.
אנו לא נדבר על פונקציות δ\deltaδ או על פולסים, אנחנו נדבר רק על פונקציות חלקות אשר להן קיימות הנ"ח.

אך יש לנו בעיה, כאשר אנו מסתכלים על המשוואה הזו, אין לנו מושג לאיזה כיוון ההפרעה הולכת. ⟸ משוואות אלו מתאימות לתיאור של גלים הנעים במהירות קבועה vvv בציר ה-x^\hat{x}x^ בכיוון +++ או −-−.

משפט

פונקציה מקיימת את משוואת הגלים   ⟺  \iff⟺ היא מתארת גל.

בנוסף, ניתן למצוא באמצעות משוואת הגלים את מהירות הגל.

משוואת הגלים ב-3D3D3D

∂2ψ∂t2=v2↓vx2+vy2+vz2 ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣(∂2ψ∂x2+∂2ψ∂y2+∂2ψ∂z2)\nparder{2}{\psi}{t}=\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2 \end{matrix}}{v^2}\!\!\!\!\!\left( \nparder{2}{\psi}{x}+\nparder{2}{\psi}{y}+\nparder{2}{\psi}{z} \right)∂t2∂2ψ​=↓vx2​+vy2​+vz2​​v2​(∂x2∂2ψ​+∂y2∂2ψ​+∂z2∂2ψ​)

מה שיש לנו בסוגריים הוא הלפלסיאן המסומן ∇2ψ\nabla^2\psi∇2ψ (הדיברגנץ של הגרדיאנט של ψ\psiψ)

∂2ψ∂t2=v2⋅∇2ψ\boxed{\nparder{2}{\psi}{t}=v^2\cdot\nabla^2\psi}∂t2∂2ψ​=v2⋅∇2ψ​
דוגמה (לשימוש במשוואת הגלים)

אנו נסתכל על מיתר בעל צפיפות מסה אורכית אחידה μ=dmdx\mu=\frac{dm}{dx}μ=dxdm​ (הערה: אנו מחליפים את הסימנים של הצפיפות בגלים על מנת לא להתבלבל עם גדלים אחרים) ומתיחות אופקית F0F_{0}F0​.
אנו נרצה למצוא את מהירותו של הגל.
​פיזיקה2 - הרצאה 19 - תמונה 2.svg
איך בכלל אנו מתקרבים למהירות הגל עם מעט הנתונים שיש לנו?
יש לנו מתיחות, זה כוח, כוח ישר שולח אותנו לחוק שני של ניוטון ⟸ מה מופיע בחוק שני של ניוטון? התאוצה, מהי התאוצה? הנגזרת השנייה של המיקום לפי הזמן ⟸ כך נוכל להגיע למשוואת הגלים.
נבחר איזשהו אלמנט מסה לו אלמט אורך מתאים. עבור הפיסה האינפיניטיסימלית של המסה נפעיל את חוק שני של ניוטון עם המידע הקטן ביותר.
נשים לב כי אנו במקרה פרטי כי אנו יודעים בדיוק מהו הגל. זהו מיתר, והגל גל רוחבי שכן ההפרעה היא מאונכת לכיוון התפשטות ההפרעה.
מתוך כל הדברים האלו כבר יש לנו רמזים במה נוכל להשתמש - במתיחות האופקית ובזה שהמסה לא הולכת בציר ה-xxx.
​פיזיקה2 - הרצאה 20 - תמונה 1.svg
נתחיל מציר ה-xxx:

F2cos⁡θ2−F1cos⁡θ1=0F_{2}\cos\theta_{2}-F_{1}\cos\theta_{1}=0F2​cosθ2​−F1​cosθ1​=0

שקול הכוחות בכיוון xxx הינו 000 שכן זהו גל רוחבי ולכן המסה לא זזה בציר ה-xxx אלא רק בציר ה-yyy.
נשים לב כי נקבל כעת כי F2cos⁡θ2=F1cos⁡θ1=F0F_{2}\cos\theta_{2}=F_{1}\cos\theta_{1}=F_{0}F2​cosθ2​=F1​cosθ1​=F0​.
נסתכל כעת עלל מה שקורה בכיוון yyy:

F2sin⁡θ2−F1sin⁡θ1=dm ayF_{2}\sin\theta_{2}-F_{1}\sin\theta_{1}=dm \,a_{y}F2​sinθ2​−F1​sinθ1​=dmay​

נשים לב כי F1,F2F_{1},F_{2}F1​,F2​ לא נתונים כלל ולכן נרצה להביע אותם באמצעות F0F_{0}F0​.

F1sin⁡θ2 ⁣− ⁣F1sin⁡θ1=F2cos⁡θ2tan⁡θ2 ⁣− ⁣F1cos⁡θ1tan⁡θ1=F0tan⁡θ2−F0tan⁡θ1=F0(tan⁡θ2−tan⁡θ1)F_{1}\sin\theta_{2}\!-\!F_{1}\sin\theta_{1}=F_{2}\cos\theta_{2}\tan\theta_{2}\!-\!F_{1}\cos\theta_{1}\tan\theta_{1}=F_{0}\tan\theta_{2}-F_{0}\tan\theta_{1}=F_{0}(\tan\theta_{2}-\tan\theta_{1})F1​sinθ2​−F1​sinθ1​=F2​cosθ2​tanθ2​−F1​cosθ1​tanθ1​=F0​tanθ2​−F0​tanθ1​=F0​(tanθ2​−tanθ1​) =F0(∂y∂x∣x2−∂y∂x∣x1)=↓f=∂y∂xF0Δf=F0∂f∂x⋅dx=F0∂∂x(∂y∂x)dx=F0∂2y∂x2dx=F_{0}\left( \left.\parder{y}{x}\right\vert_{x_{2}}-\left.\parder{y}{x}\right\vert_{x_{1}} \right) \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ f=\parder{y}{x} \end{matrix}}{=}F_{0}\Delta f=F_{0} \parder{f}{x}\cdot dx=F_{0} \parder{}{x}\left(\parder{y}{x}\right)dx=F_{0}\nparder{2}{y}{x}dx=F0​(∂x∂y​​x2​​−∂x∂y​​x1​​)↓f=∂x∂y​​=​F0​Δf=F0​∂x∂f​⋅dx=F0​∂x∂​(∂x∂y​)dx=F0​∂x2∂2y​dx

כעת, נחזור למשוואת החוק השני של ניוטון:

F0∂2y∂x2dx=μdx∂2y∂t2F_{0}\nparder{2}{y}{x}\cancel{ dx }=\mu \cancel{ dx } \nparder{2}{y}{t}F0​∂x2∂2y​dx=μdx∂t2∂2y​ F0μ∂2y∂x2=∂2y∂t2\frac{F_{0}}{\mu}\nparder{2}{y}{x}=\nparder{2}{y}{t}μF0​​∂x2∂2y​=∂t2∂2y​

קיבלנו בדיוק את משוואת הגלים. לכן, נוכל כעת להסתכל על הביטוי ולזהות כי v2=F0μv^2=\frac{F_{0}}{\mu}v2=μF0​​ ולכן:

v=F0μv=\sqrt{ \frac{F_{0}}{\mu} }v=μF0​​​

ניתן להכניס זאת לדף הנוסחאות :)

גלים מחזוריים

נסתכל על כמה דוגמות של גלים מחזוריים:
​פיזיקה2 - הרצאה 20 - תמונה 2.svg
זהו הגל ברגע מסויים ttt. שבריר שניה אחר כך, הוא זז ימינה ונראה בתכלס אותו הדבר אבל עם offsetoffsetoffset.
אם המרחקים בין הפסגות של הגל זהה לכל הפסגות, אנו קוראים לגל זה גל מחזורי ולאורך זה אנו קוראים אורך הגל ומסמנים אותו λ\lambdaλ.

הגדרה 5 (אורך הגל)

יהי גל מחזורי ψ\psiψ.
אורך הגל λ\lambdaλ הוא המרחק המינימלי שבו הגל חוזר על עצמו.

ψ(x,t)=ψ(x+λ,t)\psi(x,t)=\psi(x+\lambda,t)ψ(x,t)=ψ(x+λ,t)

אם נסתכל על הגרף דרך ציר הזמן, בנקודה xxx כלשהי:
​פיזיקה2 - הרצאה 20 - תמונה 3.svg
אם נחשוב על זה במציאות, זה כמו ללכת לאגם ולשים בנקודה מסויימת מצוף ולהסתכל על הגובה שלו לאורך הזמן.
כעת, למרחק בין שתי פסגות אנו קוראים זמן מחזור ומסמנים TTT.

הגדרה 6 (זמן מחזור)

יהי גל מחזורי ψ\psiψ.
זמן המחזור TTT של הגל הוא הזמן המינימלי שבו הגל חוזר על עצמו.

ψ(x,t)=ψ(x,t+T)\psi(x,t)=\psi(x,t+T)ψ(x,t)=ψ(x,t+T)

נוכל להשתמש בקשר הקינמטי x=vtx=vtx=vt על מנת לתאר את הגלים המחזוריים:

משפט

יהי גל מחזורי בעל אורך גל λ\lambdaλ וזמן מחזור TTT. אזי:

λ=vT\lambda=vTλ=vT

גלים הרמוניים

הגדרה 7 (גל הרמוני)

גל מחזורי יקרא הרמוני אם הם מתוארים ע"י פונקציות של sin⁡,cos⁡\sin,\cossin,cos.

אנו נסתכל על גל הרמוני כללי וננסה להבין מי אלו השחקנים בגלים ההרמונים שלנו.
נתחיל כמובן מגלים חד מימדיים.

y(x,t)=Acos⁡(k(x−vt)+ϕ0)y(x,t)=A\cos(k(x-vt)+\phi_{0})y(x,t)=Acos(k(x−vt)+ϕ0​)

למה מדובר בגל הרמוני? כי יש לנו פונקציה של cos⁡\coscos.
AAA הוא המשרעת של הגל (האמפליטודה).

הגדרה 8 (משרעת (אמפליטודה))

יהי גל הרמוני ψ\psiψ.
המשערת של הגל היא המרחק המקסימלי מהמצב ללא ההפרעה.
היחידות של המשרעת מתאימות את עצמן למה שהגל משפיע עליו(מרחק, צפיפות וכו')

מהקורס במכניקה אנו יודעים שהארגומנט של cos⁡\coscos חייב להיות מספר טהור חסר יחידות. לשם כך, נדרש כי [k]=1m[k]=\frac{1}{m}[k]=m1​.
kkk נקרא מספר הגל או בתלת מימד, וקטור הגל ונדבר עליו עוד בהמשך.
ϕ0\phi_{0}ϕ0​ היא הפאזה של הגל אשר מספרת לנו היכן התחיל הגל ביחס למשרעת שלו. (אם ϕ0=0\phi_{0}=0ϕ0​=0 אז ב-x=0x=0x=0 נקבל את המשרעת)

נסתכל על דוגמה לגל:
​פיזיקה2 - הרצאה 20 - תמונה 4.svg
הגל המלא הוא בעל פאזה בעוד שהגל המקווקו אינו בעל פאזה.

נסתכל כעת על דברים שאנו יודעים על sin⁡,cos⁡\sin,\cossin,cos כדי למצוא מידע נוסף על הגל שלנו ובפרט, למצוא קשרים בין T,λ,v,k,ωT,\lambda,v,k,\omegaT,λ,v,k,ω.
נקבע xxx מסויים, לשם הפשטות ב-x=0x=0x=0, וננסה למצוא קשרים הקשורים לזמן.

y(x=0,t)=y(x=0,t+T)y(x=0,t)=y(x=0,t+T)y(x=0,t)=y(x=0,t+T)

כעת נרצה לקבל דברים שקשורים לזמן המחזור:

Acos⁡(−kvt+ϕ0)=Acos⁡(−kv(t+T)+ϕ0)=Acos⁡(−kvt−kvT+ϕ0)\cancel{ A }\cos(-kvt+\phi_{0})=\cancel{ A }\cos(-kv(t+T)+\phi_{0})=\cancel{ A }\cos(-kvt-kvT+\phi_{0})Acos(−kvt+ϕ0​)=Acos(−kv(t+T)+ϕ0​)=Acos(−kvt−kvT+ϕ0​)

לפונקציות sin⁡,cos⁡\sin,\cossin,cos יש מחזוריות של 2π2\pi2π. כלומר, שני הדברים האלו יהיו שווים אחד לשני אם −kvT=2π⋅m-kvT=2\pi\cdot m−kvT=2π⋅m כלשהי כאשר m∈Zm \in \mathbb{Z}m∈Z.
נרצה להתסכל על מצב ספציפי בו m=1m=1m=1 ואז:

−2π=−kvT  ⟹  T=2πkv-2\pi=-kvT \implies T=\frac{2\pi}{kv}−2π=−kvT⟹T=kv2π​

נזכור כי T=2πωT=\frac{2\pi}{\omega}T=ω2π​ ולכן:

ω=kv\omega=kvω=kv

כעת, נקבע ttt מסויים, לשם הפשטות t=0t=0t=0 וננסה למצוא קשרים הקשורים למרחק.

y(x,t=0)=y(x+λ,t=0)y(x,t=0)=y(x+\lambda ,t=0)y(x,t=0)=y(x+λ,t=0) Acos⁡(kx+ϕ0)=Acos⁡(kx+kλ+ϕ0)\cancel{ A }\cos(kx+\phi_{0})=\cancel{ A }\cos(kx+k\lambda+\phi_{0})Acos(kx+ϕ0​)=Acos(kx+kλ+ϕ0​)

מאותם נימוקים ממקודם, נוכל לדרוש כי יתקיים:

2π=kλ  ⟹  k=2πλ2\pi=k\lambda\implies k=\frac{2\pi}{\lambda}2π=kλ⟹k=λ2π​
הגדרה 9 (מספר הגל)

יהי גל הרמוני ψ\psiψ.
מספר הגל יסומן kkk והוא יוגדר ע"פ הנוסחה:

k=2πλ=[1m]k=\frac{2\pi}{\lambda}=\left[ \frac{1}{m} \right]k=λ2π​=[m1​]

זה דומה לעובדה ש-ω=2πT\omega=\frac{2\pi}{T}ω=T2π​. נשים לב כי בכללי ה-kkk וה-ω\omegaω מתנהגים בצורה דומה אחד לשני.

בדיקה אחת אחרונה: בגל מחזורי צריך להתקיים כי λ=vT\lambda=vTλ=vT. נבדוק אם זה מסתדר עם הקשרים שקיבלנו:

λ=vT=v2πkv=2πk\lambda=vT=v \frac{2\pi}{kv}=\frac{2\pi}{k}λ=vT=vkv2π​=k2π​

קיבלנו בדיוק את מה שצריך להיות.

תרגיל

נתון גל במיתר כאשר yyy מתאר את גובה המיתר.

y=0.2cos⁡(2x−100t+π2)y=0.2\cos\left( 2x-100t+\frac{\pi}{2} \right)y=0.2cos(2x−100t+2π​)

א. מהי המשרעת?
ב. מהו מספר הגל ומהו אורך הגל?
ג. מהי התדירות הזוויתית(ω\omegaω) והתדירות(fff)?
ד. מהו זמן המחזור?
ה. מהי מהירות התקדמות הגל?
ו. מהי הפאזה?
ז. מהי המהירות האנכית של ההפרעה ב-vy(x=0,t=0)v_{y}(x=0,t=0)vy​(x=0,t=0)?

פתרון א':

A=0.2A=0.2A=0.2

פתרון ב':
אנו רואים כי k=21mk=2 \frac{1}{m}k=2m1​ מהעובדה שב-cos⁡\coscos יש לנו 2x2x2x.
לכן, לפי המשוואה ממקודם אנו יודעים כי:

λ=2πk=2π2=π(m)\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi (m)λ=k2π​=22π​=π(m)

פתרון ג':

ω=kv=100radsec⁡=1001sec⁡=100Hz\omega=kv=100 \frac{rad}{\sec}=100 \frac{1}{\sec}=100 Hzω=kv=100secrad​=100sec1​=100Hz f=1T=ω2π=1002π=50π1sec⁡=50πHzf=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{100}{2\pi}=\frac{50}{\pi} \frac{1}{\sec}=\frac{50}{\pi}Hzf=T1​=2πω​=2π100​=π50​sec1​=π50​Hz

פתרון ד':

T=2πω=2π100=π50sec⁡T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{100}=\frac{\pi}{50} \secT=ω2π​=1002π​=50π​sec

פתרון ה':

v=ωk=1002=50msec⁡v=\frac{\omega}{k}=\frac{100}{2}=50 \frac{m}{\sec}v=kω​=2100​=50secm​

פתרון ו':

ϕ0=π2\phi_{0}=\frac{\pi}{2}ϕ0​=2π​

פתרון ז':
נסתכל על הגרף של הגל:
​פיזיקה2 - הרצאה 20 - תמונה 5.svg
המהירות vyv_{y}vy​ היא בעצם מהירות העליה/ירידה של הגל בנקודה מסויימת. כלומר:

vy(x=0,t=0)=∂y∂t∣x=0,t=0=0.2(−sin⁡(2x−100t+π2)⋅(−100))∣x=0,t=0=20sin⁡(2x−100t+π2)∣x=0,t=0=20sin⁡(π2)=20msec⁡\begin{align*} v_{y}(x=0,t=0)&=\left.\parder{y}{t}\right\vert_{x=0,t=0}=\left.0.2\left( -\sin\left( 2x-100t+\frac{\pi}{2} \right)\cdot (-100) \right)\right\vert_{x=0,t=0} \\ &=\left.20\sin\left( 2x-100t+\frac{\pi}{2} \right)\right\vert_{x=0,t=0}=20\sin\left( \frac{\pi}{2} \right)=20 \frac{m}{\sec} \end{align*}vy​(x=0,t=0)​=∂t∂y​​x=0,t=0​=0.2(−sin(2x−100t+2π​)⋅(−100))​x=0,t=0​=20sin(2x−100t+2π​)​x=0,t=0​=20sin(2π​)=20secm​​

סופרפוזיציה של גלים

עד כה ראינו דוגמות של גלים הרמוניים וכרגע נתחיל להסתכל על מצב בו באותו מקום בעולם עוברים כמה גלים.
ניתן להגיד כי סופרפוזיציה של גלים היא חיבור של גלים או התאבכות של גלים.
נניח ויש לנו nnn גלים הנתונים ע"י ψi(x,t)\psi_{i}(x,t)ψi​(x,t) לכל 1≤i≤n1\leq i\leq n1≤i≤n ואז נקבל:

ψtotal(x,t)=∑i=1nψi(x,t)\psi_{total}(x,t)=\sum_{i=1}^n \psi_{i}(x,t)ψtotal​(x,t)=i=1∑n​ψi​(x,t)
דוגמה

נסתכל על התאבכות של שני גלים הרמוניים שווי אמפליטודה, תדירות ומהירות.

y1=Acos⁡(kx−ωt),    y2=Acos⁡(kx−ωt+ϕ0)y_{1}=A\cos(kx-\omega t), \;\; y_{2}=A\cos(kx-\omega t+\phi_{0})y1​=Acos(kx−ωt),y2​=Acos(kx−ωt+ϕ0​)

נשים לב כי הכל אצלם זהה למעט הפאזה ϕ0\phi_{0}ϕ0​.
נרצה לראות מהו הגל השקול שמתקבל. כלומר, y=y1+y2y=y_{1}+y_{2}y=y1​+y2​.

y ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=↓cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣2Acos⁡(kx−ωt+ϕ02)cos⁡(−ϕ02)=2Acos⁡(kx−ωt+ϕ02)cos⁡(ϕ02)y\!\!\!\! \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \end{matrix}}{=}\!\!\!\!\!2A\cos\left( kx-\omega t+\frac{\phi_{0}}{2} \right)\cos\left( -\frac{\phi_{0}}{2} \right)=2A\cos\left( kx-\omega t+\frac{\phi_{0}}{2} \right)\cos\left( \frac{\phi_{0}}{2} \right)y↓cosα+cosβ=2cos(2α+β​)cos(2α−β​)​=​2Acos(kx−ωt+2ϕ0​​)cos(−2ϕ0​​)=2Acos(kx−ωt+2ϕ0​​)cos(2ϕ0​​) y=2Acos⁡(ϕ02)cos⁡(kx−ωt+ϕ02)y=2A\cos\left( \frac{\phi_{0}}{2} \right)\cos\left( kx-\omega t+\frac{\phi_{0}}{2} \right)y=2Acos(2ϕ0​​)cos(kx−ωt+2ϕ0​​)

נשים לב כי לגל השקול יש את אותו kkk ואותה ω\omegaω כמו הגלים המקוריים.
ישנם שני הבדלים מהגלים המקוריים:

  1. המשרעת היא כעת A~=∣2Acos⁡ϕ02∣\tilde{A}=\left| 2A\cos \frac{\phi_{0}}{2} \right|A~=​2Acos2ϕ0​​​.
  2. הפאזה היא כעת ϕ02\frac{\phi_{0}}{2}2ϕ0​​.

מקרים פרטיים מעניינים:

  • אם A~=2A\tilde{A}=2AA~=2A אז קוראים לזה התאבכות בונה וזה מתקיים עבור cos⁡ϕ02=1\cos \frac{\phi_{0}}{2}=1cos2ϕ0​​=1 ולכן ϕ02=π⋅m\frac{\phi_{0}}{2}=\pi\cdot m2ϕ0​​=π⋅m כאשר m∈Zm \in \mathbb{Z}m∈Z ולכן ϕ0=2π⋅m\phi_{0}=2\pi\cdot mϕ0​=2π⋅m.
    זה מתאים למצב שבו הגלים המקוריים שלנו מגיעים עם אותה הפאזה.
    ​פיזיקה2 - הרצאה 20 - תמונה 6.svg
  • אם A~=0\tilde{A}=0A~=0 אז קוראים לזה התאבכות הורסת וזה מתקיים עבור cos⁡ϕ02=0\cos \frac{\phi_{0}}{2}=0cos2ϕ0​​=0 ולכן ϕ02=π2+πm\frac{\phi_{0}}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi m2ϕ0​​=2π​+πm כאשר m∈Zm \in \mathbb{Z}m∈Z ולכן ϕ0=π+2πm=π(2m+1)\phi_{0}=\pi+2\pi m=\pi(2m+1)ϕ0​=π+2πm=π(2m+1).
    זה מתאים למצב שבו הגלים מוזזים אחד מהשני בחצי מחזור.
    ​פיזיקה2 - הרצאה 20 - תמונה 7.svg
דוגמה (גל עומד)

נסתכל על שני גלים שווי אמפליטודה, אורך גל וגודל מהירות, הנעים בכיוונים מנוגדים:

y1=Acos⁡(kx−ωt)y2=Acos⁡(kx+ωt+ϕ0)y_{1}=A\cos(kx-\omega t) \qquad \qquad y_{2}=A\cos(kx+\omega t+\phi_{0})y1​=Acos(kx−ωt)y2​=Acos(kx+ωt+ϕ0​)

נשים לב כי לגלים יש אותה אמפליטודה, אותו גודל kkk ואותו גודל ω\omegaω.
ההבדלים הם הפאסה, וכיוון ה-ω\omegaω. (ה-±\pm± שאנו רואים)

נשים לב כי y1y_{1}y1​ נע בכיוון +x^+\hat{x}+x^ בעוד ש-y2y_{2}y2​ נע בכיוון −x^-\hat{x}−x^.

y=y1+y2=2Acos⁡(kx+ϕ02)cos⁡(−ωt−ϕ02)=↓ פונקציה זוגיתcos⁡2Acos⁡(kx+ϕ02)f(x)cos⁡(ωt+ϕ02)g(x)y=y_{1}+y_{2}=2A\cos\left( kx+\frac{\phi_{0}}{2} \right)\cos\left( -\omega t-\frac{\phi_{0}}{2} \right)\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{ פונקציה זוגית}}\cos \end{matrix}}{=} 2A \underbracket{\cos\left( kx+\frac{\phi_{0}}{2} \right)}_{f(x)}\underbracket{\cos\left( \omega t+\frac{\phi_{0}}{2} \right)}_{g(x)}y=y1​+y2​=2Acos(kx+2ϕ0​​)cos(−ωt−2ϕ0​​)↓ פונקציה זוגיתcos​=​2Af(x)cos(kx+2ϕ0​​)​g(x)cos(ωt+2ϕ0​​)​

אנחנו מקבלים פה התנהגות שהיא שונה מההתנהגות הקודמת. בעצם, קיבלנו הפרדה בין ה-xxx ל-ttt ובנוסף, יש לנו פה איזושהי אמפליטודה חדשה.
ההתנהגות הזו מראה לנו גל עומד - אשר המשוואה שלו נותנת לנו הפרדה של התלות ב-xxx וב-ttt לשני ארגומנטים של פונקציות טריגונומטיות נפרדות.
הגל העומד עומד במקום ורק עולה ויורד ועולה ויורד.
​פיזיקה2 - הרצאה 20 - תמונה 8.svg
⟸ אנו נותנים שם בהן y=0y=0y=0 לכל זמן שהוא והן יקראו נקודות שבת או נקודות צומת. (באנגלית זה גם נקרא nodenodenode)
⟸ הנקודות אשר בהן הגל שנוצר הכי גבוה יקראו נקודות ה-antinodeantinodeantinode.

משפט (תכונות גלים עומדים)

יהי גל עומד ψ\psiψ (גל שלא נע ימינה או שמאלה).

  1. יש בו נקודות צומת. (נקודות בהן ערך ההפרעה שווה ל-000 כל הזמן)
  2. המרחק בין 222 נקודות צומת הוא λ2\frac{\lambda}{2}2λ​.

איך יוצרים גל עומד?

  • כל מערכת בה יש גלים הנעים בכיוונים מנוגדים, פוטנציאלית תיצור גל עומד (לא כל מערכת כזו תצור גל עומד)
    מה שנדרש אליו כדי שיווצר גל עומד הוא שלשני הגלים השונים תהיה אותה אמפליטודה, אורך גל וגודל מהירות.
  • נוכל בנוסף, ליצור גל עומד באמצעות גל אחד וקיבוע של הגל באחד מהצדדים.
    ​פיזיקה2 - הרצאה 20 - תמונה 9.svg
    כאשר הגל מגיע לקיבוע, הוא מתחיל לחזור אך הפוך ולכן זה יוצר לנו את אותו המצב של שני גלים.
    הערה: בשביל גלים של אור, הקיבוע יכול להיות פשוט לשים מראה. (זה בשימוש במיקרוגל)
הגדרה 10 (הרמוניה של גלים עומדים)

נגדיר את תדר היסוד f1f_{1}f1​ כתדר הנמוך ביותר האפשרי ליצירת גל עומד בתווך נתון. (במצב זה, אורך המיתר שווה לחצי אורך גל)

ההרמוניה ה-nnn-ית (fnf_{n}fn​) הוא מספר חצאי הגל אשר נמצאים בתווך.
​פיזיקה2 - הרצאה 21 - תמונה 1.svg

גלים אלקטרומגנטיים

נרצה להראות ש-E⃗\vec{E}E ו-B⃗\vec{B}B מקיימים את משוואת הגלים על מנת שהם יהיו גלים :)
אנו נעסוק בעולם תלת מימדי שכן הגל האלקטרומגנטי אינו חד מימדי.

כלי העבודה שלנו הינם משוואות מקסוול מהן, נוכל להגיע אל הלאפלאסיאן ואל הנגזרת החלקית השניה לפי הזמן.

משוואות מקסוול בריק

בריק אין חומר ולכן ρ=0,J⃗=0⃗\rho=0,\vec{J}=\vec{0}ρ=0,J=0 שכן אין חומר בריק.

∇⃗⋅E⃗=4πkρ=0∇⃗⋅B⃗=0\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=4\pi k\rho=0 \qquad \qquad \vec{\nabla}\cdot \vec{B}=0∇⋅E=4πkρ=0∇⋅B=0

הערה: הדיברגנצ של B⃗\vec{B}B תמיד שווה אפס (ולכן, אין מונפוליים מגנטיים)

∇⃗×E⃗=−∂B⃗∂t∇⃗×B⃗=μ0ε0∂E⃗∂t\vec{\nabla}\times \vec{E}=-\parder{\vec{B}}{t} \qquad \qquad \vec{\nabla}\times \vec{B}=\mu_{0}\epsilon_{0}\parder{\vec{E}}{t}∇×E=−∂t∂B​∇×B=μ0​ε0​∂t∂E​

מה שהיינו רוצים לעשות זה לקחת נניח את משוואת אמפר עם התיקון ולגזור אותה בתצורה מסויימת כדי להגיע לנגזרת השנייה לפי הזמן.
בצד השני נוכל להחליף את סדר הגזירה ואז לשים שם את הנגזרת במקום המתאים.

משפט (זהות מתמטית מאינפי 3(אנליזה וקטורית))

עבור שדה וקטורי F⃗\vec{F}F כלשהו מתקיים:

∇⃗×(∇⃗×F⃗)=∇⃗(∇⃗⋅F⃗)−∇2F⃗\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times \vec{F})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{F})-\nabla^2\vec{F}∇×(∇×F)=∇(∇⋅F)−∇2F

נשתמש בזהות עבור F⃗=E⃗\vec{F}=\vec{E}F=E כך:

∇⃗×(∇⃗×E⏟−∂B⃗∂t)=∇⃗(∇⃗⋅E⃗⏟0)⏟0−∇2E⃗\vec{\nabla}\times(\underbrace{\vec{\nabla}\times E}_{\displaystyle -\parder{\vec{B}}{t}})=\underbrace{\vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla}\cdot \vec{E}}_{0})}_{0}-\nabla ^2\vec{E}∇×(−∂t∂B​∇×E​​)=0∇(0∇⋅E​​)​​−∇2E ∇⃗×(−∂B⃗∂t)=−∇2E⃗\vec{\nabla}\times\left( -\parder{\vec{B}}{t} \right)=-\nabla ^2\vec{E}∇×(−∂t∂B​)=−∇2E −∂∂t(∇⃗×B⃗)=−∇2E⃗-\parder{}{t}(\vec{\nabla}\times \vec{B})=-\nabla^2\vec{E}−∂t∂​(∇×B)=−∇2E ∂∂t(μ0ε0∂E⃗∂t)=∇2E⃗\parder{}{t}\left(\mu_{0}\epsilon_{0} \parder{\vec{E}}{t}\right)=\nabla^2\vec{E}∂t∂​(μ0​ε0​∂t∂E​)=∇2E μ0ε0∂2E⃗∂t2=∇2E⃗\mu_{0}\epsilon_{0}\nparder{2}{\vec{E}}{t}=\nabla^2\vec{E}μ0​ε0​∂t2∂2E​=∇2E

נקבל פה את משוואת הגלים עבור גל של השדה החשמלי:

∂2E⃗∂t2=1μ0ε0∇2E⃗\boxed{\nparder{2}{\vec{E}}{t}=\frac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}}\nabla^2\vec{E}}∂t2∂2E​=μ0​ε0​1​∇2E​ v2=1μ0ε0=14π⋅10−714π⋅9⋅109=9⋅10910−7=9⋅1016=(3⋅108)2=c2v^2=\frac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}}=\frac{1}{4\pi\cdot 10^{-7} \frac{1}{4\pi\cdot 9\cdot 10^9}}=\frac{9\cdot 10^9}{10^{-7}}=9\cdot 10^{16}=(3\cdot 10^8)^2=c^2v2=μ0​ε0​1​=4π⋅10−74π⋅9⋅1091​1​=10−79⋅109​=9⋅1016=(3⋅108)2=c2

באופן דומה, גם השדה המגנטי מקיים את משוואת הגלים ומהירותו ∣v∣=c|v|=c∣v∣=c.

מסקנה

יש דבר כזה גלים אלקטרומגנטיים שכן השדה החשמלי והמגנטי מקיימים את משוואת הגלים.

גלים אלקטרומגנטיים מונוכרומטיים מישוריים

אנו נעסוק בגלים אלקטרומגנטיים מונוכרומטיים מישוריים. אבל מה זה בדיוק אומר?

  • גלים אלקטרומגנטיים ⟸ הגודל המופרע הינו E⃗,B⃗\vec{E},\vec{B}E,B.
  • מונוכרומטיים ⟸ בעלי "צבע" בודד, כלומר, בעלי אורך גל λ\lambdaλ אחד ולכן מספר גל kkk אחד.
  • מישוריים ⟸ אנלוגיה מעולם 2D2D2D: תחשבו על בריכה עבור שני מצבים שונים. פעם אחת ההפרעה היא נגיעה בפני המים עם הקצה של האצבע - אנו נקבל מעגלים שהולכים ומתפשטים בבריכה. (אם נכליל את זה לתלת מימד נקבל גלים כדוריים)
    ​פיזיקה2 - הרצאה 21 - תמונה 2.svg
    בפעם האחרת, ההפרעה היא שאנו לוקחים מגב, הולכים לקצה של הבריכה ומכניסים ומוציאים אותו מהר מהמים וכך נוצרים לנו גל עולה-יורד אשר בכל נקודה על ישר מסויים המקביל למגב שלנו, יש את אותו ערך ל-ψ\psiψ. (אם נכליל את זה לתלת מימד נקבל גלים מישוריים.)
    ​פיזיקה2 - הרצאה 21 - תמונה 3.svg
  • האם גלים מישוריים הם אמיתיים? בעולם האמיתי אין באמת אין גלים מישוריים הקיימים בכל המרחב כולו - נניח מהשמש יוצאים גלים כדוריים לכיוון כדור הארץ, אך לאור המרחק המאוד גדול, יש קירוב כל כך גדול בין גל מישורי למה שאנו מקבלים בכדוה"א כך שזה לא משנה ואנו יכולים להתייחס אליהם כך.
    ​פיזיקה2 - הרצאה 21 - תמונה 4.svg
    סופרפוזיציה של גלים כדוריים נותנת לנו הסתכלות עליהם כגל מישורי ונראה זאת בהמשך.

הביטוי הכללי לרכיב החשמלי של גל שכזה הינו:

E⃗(r,t)=E0sin⁡(k⃗⋅r⃗−ωt+ϕ0)E^\vec{E}(r,t)=E_{0}\sin(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t+\phi_{0})\hat{E}E(r,t)=E0​sin(k⋅r−ωt+ϕ0​)E^

נשים לב כי זוהי פונקציה טריגונומטרית ולכן זהו גל הרמוני. אנו יודעים כי:

  • האמפליטודה של ההפרעה בשדה החשמלי היא E0E_{0}E0​.
  • אנו נסתכל על k⃗\vec{k}k שהוא וקטור הגל(בערכו המוחלט הוא מספר הגל שראינו קודם)
  • לאחר מכן יש לנו את ω\omegaω התדירות הזוויתית (היא לא יכולה להיות שלילית)
  • הפאזה יכולה להיות מה שאנחנו רוצים והיא מסומנת כמו ממקודם ϕ0\phi_{0}ϕ0​.

ראינו כי במעבר מימד אחד לשלושה יש לנו איזשהו שדרוג של k⃗\vec{k}k שנקרא וקטור הגל.
כאשר אנו מסתכלים בתלת מימד r⃗=xx^+yy^+zz^\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}r=xx^+yy^​+zz^ וגם את k⃗\vec{k}k ניתן לפרק לרכיבים כך k⃗=kxx^+kyy^+kzz^\vec{k}=k_{x}\hat{x}+k_{y}\hat{y}+k_{z}\hat{z}k=kx​x^+ky​y^​+kz​z^. לאור המכפלה הסקלרית k⃗⋅r⃗\vec{k}\cdot \vec{r}k⋅r אנו נשאר רק עם רכיבים באותו הכיוון ולכן נקבל k⃗⋅r⃗=kxx+kyy+kzz\vec{k}\cdot \vec{r}=k_{x}x+k_{y}y+k_{z}zk⋅r=kx​x+ky​y+kz​z.
במקרה הפרטי של מימד יחיד, k⃗=kx^+0y^+0z^\vec{k}=k\hat{x}+0\hat{y}+0\hat{z}k=kx^+0y^​+0z^ ואז עם המכפלה הסקלרית אנו מקבלים k⃗⋅r⃗=kx\vec{k}\cdot \vec{r}=kxk⋅r=kx.

שימושים ל-k⃗\vec{k}k:

  • כיוון וקטור הגל k^\hat{k}k^ הוא כיוון התקדמות הגל בתנאי שאנו נמצאים בצורה הסטנדרטית בה לפני ω\omegaω נמצא −-− ואם זה לא כך, נשתמש בזהויות טריגונומטריות כדי להגיע לתצורה הנכונה.
  • אורך וקטור הגל k=∣k⃗∣k=|\vec{k}|k=∣k∣ הוא מספר הגל והוא מקיים k=2πλk=\frac{2\pi}{\lambda}k=λ2π​.

מעבר מגל חשמלי לגל מגנטי

אם נתון לנו גל חשמלי E⃗=E0sin⁡(kx−ωt)y^\vec{E}=E_{0}\sin(kx-\omega t)\hat{y}E=E0​sin(kx−ωt)y^​ - מהו השדה המגנטי המתאים?
הכלי היחיד שיש לנו הן משוואות מקסוול ולכן, נשתמש בהן:

∇⃗×B⃗=−∂B⃗∂t  ⟹  B⃗=−∫(∇⃗×E⃗)dt\vec{\nabla} \times \vec{B}=-\parder{\vec{B}}{t}\implies \vec{B}=-\int (\vec{\nabla}\times \vec{E})dt∇×B=−∂t∂B​⟹B=−∫(∇×E)dt ∇⃗×E⃗=∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂z0E0sin⁡(kx−ωt)0∣=x^⋅0−y^⋅0+z^⋅∂∂x(E0sin⁡(kx−ωt))=E0kcos⁡(kx−ωt)z^\vec{\nabla}\times \vec{E}=\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \parder{}{x} & \parder{}{y} & \parder{}{z} \\ 0 & E_{0}\sin(kx-\omega t) & 0 \end{vmatrix}=\hat{x}\cdot 0-\hat{y}\cdot 0+\hat{z}\cdot \parder{}{x}(E_{0}\sin(kx-\omega t))=E_{0}k\cos(kx-\omega t)\hat{z}∇×E=​x^∂x∂​0​y^​∂y∂​E0​sin(kx−ωt)​z^∂z∂​0​​=x^⋅0−y^​⋅0+z^⋅∂x∂​(E0​sin(kx−ωt))=E0​kcos(kx−ωt)z^

כעת נוכל למצוא את השדה המגנטי לפי האינטגרל ממקודם:

B⃗=−∫E0(∇⃗×E⃗)dt=−∫E0kcos⁡(kx−ωt)z^⋅dt=E0kωsin⁡(kx−ωt)z^\vec{B}=-\int E_{0}(\vec{\nabla}\times \vec{E})dt=-\int E_{0}k\cos(kx-\omega t)\hat{z}\cdot dt=\frac{E_{0}k}{\omega}\sin(kx-\omega t)\hat{z}B=−∫E0​(∇×E)dt=−∫E0​kcos(kx−ωt)z^⋅dt=ωE0​k​sin(kx−ωt)z^

ראינו ממקודם כי יש קשר בין k,v,ωk,v,\omegak,v,ω ולכן:

B⃗=E0csin⁡(kx−ωt)z^\boxed{\vec{B}=\frac{E_{0}}{c}\sin(kx-\omega t)\hat{z}}B=cE0​​sin(kx−ωt)z^​

כעת קיבלנו את הגל המגנטי :)

תכונות חשובות

נסתכל כי הכיוון של E⃗\vec{E}E הוא y^\hat{y}y^​ והכיוון של B⃗\vec{B}B הוא z^\hat{z}z^ ולכן הם מאונכים אחד לשני.
כיוון התקדמות הגל הוא k^\hat{k}k^ אשר מאונך ל-E^\hat{E}E^ ומאונך ל-B^\hat{B}B^.

k^⊥E^⊥B^\hat{k}\perp \hat{E}\perp \hat{B}k^⊥E^⊥B^

יש איזשהו מעגל שכזה כמו בפיזיקה 1מ:
​4 - גלים 2026-07-14 10.33.17.excalidraw.svg
אנו יודעים בנוסף כי ∣B∣=∣E∣c|B|=\frac{|E|}{c}∣B∣=c∣E∣​.
נוכל לסכם זאת בתצורה הבאה:

B⃗=1ck^×E⃗\boxed{\vec{B}=\frac{1}{c}\hat{k}\times \vec{E}}B=c1​k^×E​

מעכשיו, אם מישהו נותן לנו גל חשמלי, לא צריך ללכת למשוואות מקסוול.

∣B⃗∣=∣1ck^×E⃗∣=1c⋅1⋅∣E⃗∣sin⁡90°  ⟹  ∣B⃗∣=∣E⃗∣c|\vec{B}|=\left| \frac{1}{c}\hat{k}\times \vec{E} \right|=\frac{1}{c}\cdot 1\cdot |\vec{E}|\sin 90\degree\implies |\vec{B}|=\frac{|\vec{E}|}{c}∣B∣=​c1​k^×E​=c1​⋅1⋅∣E∣sin90°⟹∣B∣=c∣E∣​

כעת, נרצה לראות כיצד הגלי השדות הללו נראים במרחב:

E⃗=E0sin⁡(kx−ωt)y^  ⟹  B⃗=1cx^×E0sin⁡(kx−ωt)y^=E0csin⁡(kx−ωt)z^\vec{E}=E_{0}\sin(kx-\omega t)\hat{y} \implies \vec{B}=\frac{1}{c}\hat{x}\times E_{0}\sin(kx-\omega t)\hat{y}=\frac{E_{0}}{c}\sin(kx-\omega t)\hat{z}E=E0​sin(kx−ωt)y^​⟹B=c1​x^×E0​sin(kx−ωt)y^​=cE0​​sin(kx−ωt)z^

נסתכל על הגלים ב-t=0t=0t=0 למען הפשטות:
​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 1.svg
הערה: השרטוט אינו בקנה מידה שכן E0c\frac{E_{0}}{c}cE0​​ הוא מספר מאוד מאוד קטן (אינפיניטסימלי????)

כך נראה הגל האלקטרומגנטי אשר קוראים לו כך לאור העובדה שהגל המגנטי והגל החשמלי תמיד באים יחדיו ולא נוכל למצוא אחד מהם לבדו.

הגדרה 11 (קיטוב)

קיטוב של גל אלקטרומגנטי נקבע לפי כיוון ההתנדנדות של הרכיב החשמלי.

אם אנו מסתכלים על השרטוט שראינו זה עתה, אנו יכולים להגיד כי הקיטוב של הגל האלקטרומגנטי הוא y^\hat{y}y^​. (וכך אפשר גם לדעת את B^\hat{B}B^)
אנו נבדיל בין כמה סוגים שונים של קיטוב:

  1. נסתכל על גל חשמלי הנע בכיוון z^\hat{z}z^ ואם נשים חיישן בקצהו, נקבל עליה וירידה ב-y^\hat{y}y^​ אזי נקרא לזה קיטוב ליניארי בכיוון ציר yyy
    ​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 2.svg
  2. אם באותו הציור הנ"ל במקום שהשדה יעלה וירד בציר ה-y^\hat{y}y^​ הוא יעלה וירד בציר ה-x^\hat{x}x^ אזי, נקבל קיטוב ליניארי בציר ה-xxx.
    ​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 3.svg
  3. במצב בו הגל מתנדנד בתצורה שאינה בציר ה-xxx לגמרי ואינה בציר ה-yyy לגמרי, אזי נקבל משהו שמתנדנד בין הצירים ולזה נקרא קיטוב ליניארי כללי.
    ​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 4.svg
  4. יכול להיות מצב שמה שהחיישן מודד הוא שבזמנים שונים השדה החשמלי מצביע לכל הכיוונים עם אורך קבוע - לזה נקרא קיטוב מעגלי
    ​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 5.svg
  5. אם מה שהחיישן מהצד ימדוד הוא משהו היוצר צורה אליפטית שכזו בה הגודל של השדה המגנטי בזמנים שונים משתנה, נקרא לזה קיטוב כללי (למשל, אליפטי).
    ​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 6.svg

איך קובעים את סוג הקיטוב:

E⃗=Exsin⁡(kz−ωt)x^+Eysin⁡(kz−ωt+ϕ)y^\vec{E}=E_{x}\sin(kz-\omega t)\hat{x}+E_{y}\sin(kz-\omega t+\phi)\hat{y}E=Ex​sin(kz−ωt)x^+Ey​sin(kz−ωt+ϕ)y^​

זה ביטוי המתאר גל מונוכרומטי המורכב משני גלים ונראה פה איך מבחינה איכותית אנו מקבלים את כל המצבים עליהם דיברנו:
אם Ex=0E_{x}=0Ex​=0 אזי נקבל קיטוב ליניארי בכיוון ציר ה-yyy. אם Ey=0E_{y}=0Ey​=0 אזי נקבל קיטוב ליניארי בכיוון ציר ה-xxx.
אם נרצה לקבל קיטוב מעגלי ובכך צורה של מעגל, נקבע Ex=EyE_{x}=E_{y}Ex​=Ey​ ו-ϕ=±π2\phi=\pm \frac{\pi}{2}ϕ=±2π​.
קיטוב כללי יהיה נניח כאשר Ex≠EyE_{x}\neq E_{y}Ex​=Ey​ ושיש לנו פאזה כללית.
קיטוב ליניארי כללי יכול להיות כאשר ExE_{x}Ex​ ו-EyE_{y}Ey​ שונים או שווים ואין פאזה.
במסגרת הקורס שלנו אנו לא נעשה ניתוח של כל הקיטובים הללו.

דוגמה (הדגמה של קיטוב ומקטב)

​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 7.svg
נסתכל כעת על המקרה בו המקטב סודר כך שעמודיו מאונכים לציר ה-x^\hat{x}x^: במקרה זה, יש לנו אלקטרונים שהולכים נגד כיוון השדה ולכן מצטברים למטה ואז נוצר לנו עודף של +++-ים אשר נמצא למעלה. כך, נוצר שדה חשמלי כלפי מעלה.
מה שאנו מודדים כאן זה סכום שח שני גלים: הגל המקורי והגל החדש שנוצר שלו יש פאזה של חצי אורך גל.
​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 8.svg
⟸ יש לנו התאבכות הורסת ולא נקבל גל בסוף.

במקרה בו המקטב סודר כך שעמודיו מקבילים לציר ה-x^\hat{x}x^: נקבל שדה קטנטן שלא באמת מבטל את השדה החשמלי שלנו.
בסוף הסכום שלהם כמעט שווה לגל המקורי.
​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 9.svg

מה שאנו רואים כאן הוא שהמקטב יודע להעביר לצד השני אך ורק חלק מהגל.
המקטב פה מבטל את החלק של הגל שמקביל לכיוון המוטות.

אנרגיה נישאת ע"י גל אלקטרומגנטי

ראינו בעבר שהאנרגיה האצורה בשדה החשמלי היא:

UE=ε02∭E2dVU_{E}=\frac{\epsilon_{0}}{2}\iiint E^2dVUE​=2ε0​​∭E2dV

וראינו כי האנרגיה העצורה בשדה המגנטי הינה:

UB=12μ0∭B2dVU_{B}=\frac{1}{2\mu_{0}}\iiint B^2dVUB​=2μ0​1​∭B2dV

בגל האלקטרומגנטי ישנם שני שדות: E,BE,BE,B ולכן האנרגיה שהגל נושא איתו מורכבת מהתרומות של 2 השדות.
נרצה כעת, למצוא ביטוי לאנרגיה זו.

נסתכל על מצב בו יש לנו מישור עם שטח AAA ונתון כי וקטור השטח שלו מצביע בכיוון ימין A⃗=An^\vec{A}=A\hat{n}A=An^ ויש לנו גל אלקטרומגנטי מישורי הממלא את כל המרחב הנע בכיוון n^\hat{n}n^.
​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 10.svg
נרצה לראות מהי האנרגיה המועברת דרך המשטח במשך פרק זמן dtdtdt.

נסתכל על תיבה שאחד מבסיסיה הוא התיבה שלנו. הזמן שלוקח לגל לחצות את המשטח הינו cdtcdtcdt.

dU=ε02E2Acdt+12μ0B2AcdtdU=\frac{\epsilon_{0}}{2} E^2 Acdt+\frac{1}{2\mu_{0}}B^2AcdtdU=2ε0​​E2Acdt+2μ0​1​B2Acdt

זוהי האנרגיה שעברה מצד אחד של המשטח לצידו השני בפרק זמן dtdtdt.

כעת, נסתכל על ההספק שעובר דרך המשטח(תזכורת: הספק הוא קצב מעבר של אנרגיה: P=dUdtP=\frac{dU}{dt}P=dtdU​)

P=dUdt=ε02E2Ac+12μ0B2AcP=\frac{dU}{dt}=\frac{\epsilon_{0}}{2}E^2Ac+\frac{1}{2\mu_{0}}B^2AcP=dtdU​=2ε0​​E2Ac+2μ0​1​B2Ac
הגדרה 12 (עוצמת קרינה)

יהי גל אלקטרומגנטי העובר דרך משטח, אזי עוצמת הקרינה מסומנת ב-III והיא מוגדרת לפי הנוסחה:

I=PA=ε02E2c+12μ0B2c=ε02EBc2+12μ0BEcc=↓μ0ε0=1c2 ⁣1μ0EB=[אנרגיהשטח⋅זמן]I=\frac{P}{A}=\frac{\epsilon_{0}}{2}E^2c+\frac{1}{2\mu_{0}}B^2c=\frac{\epsilon_{0}}{2}EBc^2+\frac{1}{2\mu_{0}}B \frac{E}{c}c \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \mu_{0}\epsilon_{0}=\frac{1}{c^2} \end{matrix}}{=}\! \frac{1}{\mu_{0}}EB = \left[ \frac{\R{\text{אנרגיה}}}{\R{\text{שטח}}\cdot\R{\text{זמן}}} \right]I=AP​=2ε0​​E2c+2μ0​1​B2c=2ε0​​EBc2+2μ0​1​BcE​c↓μ0​ε0​=c21​​=​μ0​1​EB=[שטח⋅זמןאנרגיה​]

למה צריך את עוצמת הקרינה?

  • מבחינת המשמעות האינטואיטיבית עוצמת הקרינה מספרת לנו כמה האור חזק או חלש
  • עוצמת הקרינה לוקחת בחשבון את השטח שדרכו עובר ההספק ולכן אנו מגדירים אותו I=[הספקשטח]I=\left[ \frac{\R{\text{הספק}}}{\R{\text{שטח}}} \right]I=[שטחהספק​]
הגדרה 13 (וקטור פוינטיג (פויינטר))

S⃗=1μ0E⃗×B⃗\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times \vec{B}S=μ0​1​E×B

מה הוקטור מספר לנו?

∣S⃗∣=1μ0∣E⃗∣∣B⃗∣sin⁡90°=1μ0EB=I|\vec{S}|=\frac{1}{\mu_{0}}|\vec{E}||\vec{B}|\sin 90\degree=\frac{1}{\mu_{0}}EB=I∣S∣=μ0​1​∣E∣∣B∣sin90°=μ0​1​EB=I
  • הגודל של וקטור פוינטינג נותן את III.
  • הכיוון של וקטור הפוינטיינג הוא כיוון התקדמות הגל שהוא גם כיוון התקדמות האנרגיה S^=E^×B^=k^\hat{S}=\hat{E}\times \hat{B}=\hat{k}S^=E^×B^=k^.

עוצמת קרינה ממוצעת + כיוון כללי של וקטור השטח

הערה

אלא אם כתוב אחרת, הניחו כי מדובר על עוצמת אור ממוצעת.

​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 11.svg
אם יש לנו גל יחסית איטי(תדירות נמוכה), נרצה לבחור את הזווית המתאימה כדי לקבל את עוצמת הקרינה המקסימלית.
כאשר מדובר בגל ש"מתנדנד מהר" (תדירות גובהה) אנו נתעניין בעוצמת הגל הממוצעת I(t)=1μ0E(t)B(t)I(t)=\frac{1}{\mu_{0}}E(t)B(t)I(t)=μ0​1​E(t)B(t).

נרצה להגדיר מהי עוצמת הקרינה הממוצעת - מה שמעצבן פה הוא שאין סימון לעוצמת הקרינה הממוצעת:

Iממוצע=I=⟨S⃗⋅n^⟩T=1T∫0T(1μ0E⃗×B⃗)⏟S⃗⋅n^dtI_{\R{\text{ממוצע}}}=I=\left\langle \vec{S}\cdot \hat{n} \right\rangle_{T}=\frac{1}{T}\int_{0}^T \underbrace{\left( \frac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times \vec{B} \right)}_{\vec{S}}\cdot \hat{n}dtIממוצע​=I=⟨S⋅n^⟩T​=T1​0∫T​S(μ0​1​E×B)​​⋅n^dt
דוגמה

E⃗=E0sin⁡(kx−ωt)y^B⃗=E0csin⁡(kx−ωt)z^\vec{E}=E_{0}\sin(kx-\omega t)\hat{y} \qquad \qquad \qquad \vec{B}=\frac{E_{0}}{c}\sin(kx-\omega t)\hat{z}E=E0​sin(kx−ωt)y^​B=cE0​​sin(kx−ωt)z^

נמצא את עוצמת הקרינה הממוצעת עבור משטח כללי כלשהו נתון.

I=1T∫0T1μ0(E0sin⁡(kx−ωt)y^)×(E0csin⁡(kx−ωt)z^)⋅n^dt=1T∫0TE02μ0csin⁡2(kx−ωt)x^⋅n^dt=1TE02μ0ccos⁡ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣θ↓k^  הזווית ביןn^ל-∫0Tsin⁡2(kx−ωt)dt=E02μ0ccos⁡θ\begin{align*} I&=\frac{1}{T}\int_{0}^T \frac{1}{\mu_{0}}(E_{0}\sin(kx-\omega t)\hat{y})\times\left( \frac{E_{0}}{c}\sin(kx-\omega t)\hat{z} \right)\cdot \hat{n}dt=\frac{1}{T}\int_{0}^T \frac{E_{0}^2}{\mu_{0}c}\sin^2(kx-\omega t)\hat{x}\cdot \hat{n}dt \\ &=\frac{1}{T} \frac{E_{0}^2}{\mu_{0}c}\cos \!\!\!\!\!\!\!\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \hat{k}\;\R{\text{הזווית בין}} \\ \hat{n}\R{\text{ל-}} \end{matrix}}{\theta}\int_{0}^T \sin^2(kx-\omega t)dt=\frac{E_{0}}{2\mu_{0}c}\cos\theta \end{align*}I​=T1​0∫T​μ0​1​(E0​sin(kx−ωt)y^​)×(cE0​​sin(kx−ωt)z^)⋅n^dt=T1​0∫T​μ0​cE02​​sin2(kx−ωt)x^⋅n^dt=T1​μ0​cE02​​cos↓k^הזווית ביןn^ל-​θ​0∫T​sin2(kx−ωt)dt=2μ0​cE0​​cosθ​

נרצה כעת לראות מדוע האינטגרל הזה נותן T2\frac{T}{2}2T​ על מנת להגיע למשוואה הסופית:

∫0Tsin⁡2(kx−ωt)z^=T2\int_{0}^T \sin^2(kx-\omega t)\hat{z}=\frac{T}{2}0∫T​sin2(kx−ωt)z^=2T​

הוכחה:
דרך א': זהויות טריגונומטריות:

sin⁡2α=12−12cos⁡(2α)\sin^2\alpha=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2\alpha)sin2α=21​−21​cos(2α) ∫0T[12−12cos⁡(2kx−2ωt)]dt=T2+14ωsin⁡(2kx−2ωt)∣0T=T2+14ω(2kx−2ω2πω)−14ωsin⁡(2kx)\int_{0}^T \left[ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2kx-2\omega t) \right]dt=\left.\frac{T}{2}+\frac{1}{4\omega}\sin(2kx-2\omega t)\right\vert_{0}^T=\frac{T}{2}+\frac{1}{4\omega}\left( 2kx-\frac{2\omega 2\pi}{\omega} \right)-\frac{1}{4\omega}\sin(2kx)0∫T​[21​−21​cos(2kx−2ωt)]dt=2T​+4ω1​sin(2kx−2ωt)​0T​=2T​+4ω1​(2kx−ω2ω2π​)−4ω1​sin(2kx) ∫0Tsin⁡2(kx−ωt)z^=T2\int_{0}^T \sin^2(kx-\omega t)\hat{z}=\frac{T}{2}0∫T​sin2(kx−ωt)z^=2T​

דרך ב':

∫0T[sin⁡2(kx−ωt)+cos⁡2(kx−ωt)]dt=T\int_{0}^T [\sin^2(kx-\omega t)+\cos^2(kx-\omega t)]dt=T0∫T​[sin2(kx−ωt)+cos2(kx−ωt)]dt=T

נסתכל על שיקולי סימטריה:
​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 12.svg
נשים לב כי ה-sin⁡2\sin^2sin2 וה-cos⁡2\cos^2cos2 הן אותה פונקציה רק עם הזזה ולכן יש להן את אותו השטח מתחת לגרף ולכן, כל אחד מהם נותן T2\frac{T}{2}2T​.
(דרך ב' היא יותר שכנוע מהוכחה)
∎
קיבלנו נוסחה לעוצמת הקרינה הממוצעת דרך משטח כלשהו.
מוזמנים להשתמש בנוסחה הזאת כאשר הגלים שלנו הם מהצורה הזאת - גלים הרמוניים המאונכים אחד לשני ומתקדמים באותו הכיוון.
צריך בנוסף לזכור ש-E0E_{0}E0​ הוא האמפליטודה של E⃗\vec{E}E. (צריך לשים לב כי הוקטור בקצה הוא וקטור יחידה)

תרגיל

נתון הרכיב החשמלי של גל אלקטרומגנטי שנע בריק E⃗=E0sin⁡(ky−ωt)x^\vec{E}=E_{0}\sin(ky-\omega t)\hat{x}E=E0​sin(ky−ωt)x^.
מהו ההספק הממוצע המועבר למשטח ששטחו A1A_{1}A1​ המונח במישור xyxyxy? ומהו ההספק הממוצע המועבר למשטח ששטחו A2A_{2}A2​ המונח במישור xzxzxz?

נצייר סקיצה של הבעיה:
​פיזיקה2 - הרצאה 22 - תמונה 13.svg
⟸ עבור המשטח A1A_{1}A1​ הכיוון של הנורמל מאונך לכיוון התקדמות הגל ולכן ההספק דרכו הוא 000.
⟸ עבור המשטח השני:

Pממוצע=⟨S⃗⋅A2y^⟩TP_{\R{\text{ממוצע}}}=\left\langle \vec{S}\cdot A_{2}\hat{y}\right\rangle_{T}Pממוצע​=⟨S⋅A2​y^​⟩T​

נשים לב כי יש לנו פה את המצב הסטנדרטי - SSS הוא גם בכיוון y^\hat{y}y^​ ולכן אנו נמצאים במצב מהדוגמה ממקודם ולכן נוכל להשתמש בנוסחה ממקודם:

Pממוצע=E022μ0ccos⁡0⋅A2=E02A22μ0cP_{\R{\text{ממוצע}}}=\frac{E_{0}^2}{2\mu_{0}c}\cos 0\cdot A_{2}=\frac{E_{0}^2A_{2}}{2\mu_{0}c}Pממוצע​=2μ0​cE02​​cos0⋅A2​=2μ0​cE02​A2​​
תרגיל

רכיב השדה המגנטי של גל אלקטרומגנטי מישרוי הנע בריק הוא:

B⃗=3.7⋅10−6sin⁡(1.17⋅107z+ωt)y^[T]\vec{B}=3.7\cdot 10^{-6}\sin(1.17\cdot 10^7z+\omega t)\hat{y} [T]B=3.7⋅10−6sin(1.17⋅107z+ωt)y^​[T]

מהי כמות האנרגיה המועברת דרך מסגרת שהנורמל שלה מקביל לכיוון תנועת הגל ושטחה הוא 10cm210cm^210cm2 במשך 5 דק'?

נרצה להשתמש בעוצמה הממוצעת. לאור נתוני הבעיה, כלומר, הרכבת הגל, והעובדה ש-y^\hat{y}y^​ הוא וקטור יחידה, נוכל להשתמש בנוסחה שראינו ממקודם.

I=E022μ0cΔU=IΔtAI=\frac{E_{0}^2}{2\mu_{0}c} \qquad \qquad \qquad \Delta U=I\Delta tAI=2μ0​cE02​​ΔU=IΔtA

נחשב את עוצמת הקרינה הממוצעת:

I=B02c22μ0c=B02c2μ0I=\frac{B_{0}^2c^2}{2\mu_{0}c}=\frac{B_{0}^2c}{2\mu_{0}}I=2μ0​cB02​c2​=2μ0​B02​c​

ולכן מתקיים:

ΔU=(3⋅7⋅10−6)2⋅3⋅1082⋅4π⋅10−7⋅5⋅605 דקות⋅(0.1)210cm2≈490[J]\Delta U=\frac{(3\cdot7\cdot 10^{-6})^2 \cdot 3\cdot 10^8}{2\cdot 4\pi\cdot 10^{-7}}\cdot \underbracket{5\cdot 60}_{\R{\text{5 דקות}}}\cdot \underbracket{(0.1)^2}_{10 cm^2} \approx 490 [J]ΔU=2⋅4π⋅10−7(3⋅7⋅10−6)2⋅3⋅108​⋅5 דקות5⋅60​⋅10cm2(0.1)2​≈490[J]
תרגיל

עוצמת האור במרחק r1=1mr_{1}=1mr1​=1m ממקור אור נקודתי מונוכרומטי היא I=10[Wm2]I=10 \left[ \frac{W}{m^2} \right]I=10[m2W​].
חשבו את אמפליטודת השדה החשמלי במרחק r2=2mr_{2}=2mr2​=2m מהמקור.

מבחינת הרעיון: יש לנו מקור של אור ויש לנו שני רדיוסים מסביבו.
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 1.svg
ההספק של המקור הוא אותו ההספק שכן זה אותו המקור.
ההבדל הוא השטח עליו מתפשט ההספק.

I(r1)4πr12=Pr1=Pr2=I(r2)4πr22I(r_{1})4\pi r_{1}^2=P_{r_{1}}=P_{r_{2}}=I(r_{2})4\pi r_{2}^2I(r1​)4πr12​=Pr1​​=Pr2​​=I(r2​)4πr22​

נוכל כעת לחשב:

I(r2)=r12r22I(r1)=14⋅10=2.5[Wm2]I(r_{2})=\frac{r_{1}^2}{r_{2}^2} I(r_{1})=\frac{1}{4}\cdot 10=2.5 \left[ \frac{W}{m^2} \right]I(r2​)=r22​r12​​I(r1​)=41​⋅10=2.5[m2W​]

אנו מחפשים את E0E_{0}E0​ בנק' r2r_{2}r2​ אך אנו יודעים ש-I=E022μ0ccos⁡θI=\frac{E_{0}^2}{2\mu_{0}c}\cos\thetaI=2μ0​cE02​​cosθ. לכן, על סמך הקשר הזה נשווה ונקבל:

E022μ0c=E022μ0ccos⁡(0)=I(r2)=r12r22I(r1)\frac{E_{0}^2}{2\mu_{0}c}=\frac{E_{0}^2}{2\mu_{0}c}\cos(0)=I(r_{2})=\frac{r_{1}^2}{r_{2}^2}I(r_{1})2μ0​cE02​​=2μ0​cE02​​cos(0)=I(r2​)=r22​r12​​I(r1​) E0=r12r222μ0cI(r1)=5μ0c=20π⋅30=643.400π≈43.4[Nc]E_{0}=\sqrt{ \frac{r_{1}^2}{r_{2}^2}2\mu_{0}cI(r_{1}) }=\sqrt{ 5\mu_{0}c }=\sqrt{ 20\pi\cdot 30 }=\sqrt{ 643.4 00\pi }\approx 43.4 \left[ \frac{N}{c} \right]E0​=r22​r12​​2μ0​cI(r1​)​=5μ0​c​=20π⋅30​=643.400π​≈43.4[cN​]

עקרון הויגנס

עד כה ראינו גלים הנעים באותו הכיוון או בכיוונים מנוגדים, אך כעת אנו נסתכל על איך גלים עובדים במרחב.

משפט (עקרון הויגנס)

ניתן להתייחס לכל נקודה על חזית הגל כמקור נקודתי של גל חדש.
כל נקודה שמופרעת ע"י מעבר של גל דרכה הופכת למקור של גל כדורי, והתאבכות כל הגלים הכדוריים היא הגל הכולל המתקדם במרחב.

נניח כי יש לנו גלים בים ויש לנו שובר גלים.
הגל שלנו נע לכיוון החוף. אם היינו חושבים על גלים כחלקיקים שנעים לפי עקרונות קלאסיים, אז היינו מצפים, בצורה אינטואיטיבית, שרק בין שוברי הגלים, היכן שאין חסם, יהיה לנו המשך של הגל.
עקרון הויגנס אומר לנו שכל נקודה על הגל היא מקור נקודתי של גל, במקרה זה גל מעגלי שכן אנו מדברים על גלים של מים.
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 2.svg
אם אנו מציירים את הסופרפוזיציה של מה שמתקבל כאן(בצבע ורוד), אנו נקבל חזיתות גלים גדולות יותר ויותר ⟸ אנו רואים כי ההפרעה מתרחבת לאחר שוברי הגלים ⟸ הגל הצליח לעקוף את המחסום הזה.
ההסבר לזה הוא עקרון הויגנס.

הערה

עבור גל קווי, אנו מניחים שהוא אינסופי ולכן המקורות בכל נקודה בגל נדחפים באותה עוצמה ימינה ושמאלה ולכן ממשיכים קדימה. (באופן אינטואיטיבי בלבד, הפיזיקה מאחורי זה קצת שונה אבל לא ממש הבנתי במדוייק)

ניסוי יאנג בגלי אור (ניסוי שני הסדקים)

זהו אחד הניסויים החשובים ביותר בלנסות להבין מהו אור. למה? הניסוי הראה כי לאור יש תכונות גליות.
כלומר, אי אפשר לחשוב עליו רק כמו שחשבו עליו באופן היסטורי - כקרניים הנעות בקו ישר.
בניסוי גילו כי לאור השפעות של גל על המרחב ובכך גילינו כי הוא גל :)

הניסוי עצמו:

  • לקחו צינור ועשו בו שתי חריצים אשר המרחק ביניהם הוא ddd (בעל אותו סדר גודל לאורך הגל)
  • שמו מסך במרחק LLL גדול מאוד מהחריצים. (כלומר, L≫dL\gg dL≫d)
  • הקרינו אור מונוכרומטי קורהנטי מקוטב בכיוון מסויים יחיד על המישור הזה של החריצים. (אנו דורשים שהוא יהיה מקוטב על מנת שתהיה התאבכות הורסת - עוד על זאת נראה בהמשך)
  • נסתכל על המסך ונראה מה קורה

​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 3.svg

לכאורה, אם האור היה חלקיק, אז היינו מקבלים אור רק מול החריצים, אך מה שקורה זה שאנו מקבלים תבנית מחזורית של התאבכות על המסך ובכך אנו יודעים כי יש שם בעצם גל.
אנו נתעניין בהיכן האור חזק ביותר(היכן יש התאבכות בונה), היכן האור חלש ביותר(היכן יש התאבכות הורסת) והיכן האור בין לבין(סתם התאבכות)

מאיפה הגיעו הגלים? משני המקורות שהם החריצים, שכן לפי עקרון הויגנס, כל נקודה הופכת למקור של גל כדורי.

תיאור הנקודה:
נסתכל על נקודה כללית ואנו נאפיין אותה בעזרת הזווית שהיא יוצרת עם הכיוון החיובי של הציר האופטי - נקרא לה θ\thetaθ.
כדי שתהיה לנו התאבכות בונה אנו צריכים שיגיעו גלים ללא הזזה או ללא פאזה או עם הזזה שהיא כפולה שלמה של אורך הגל.
כדי שתהיה לנו האתבכות הורסת, אנו צריכים שיגיעו גלים עם הזזה של חצי אורך גל.

אנו כעת נרצה למצוא ביטוי להפרש הדרכים שהגלים עוברים ובכך נגלה מה ההפרש באורך הגל ביניהם.
אנו מסתכלים על הגלים ככמעט מקבילים שכן המרחק בין LLL גדול מאוד מאוד, בכך לוקח מרחק רב עד אשר הם יתנגשו ולכן נתייחס אליהם כמקבילים O ⁣:O\!:O:

אנו מניחים שהזוויות מתחלפות ולכן נגיד כי הזווית ה"מתחלפת" שלה היא גם θ\thetaθ כמצוייר בשרטוט.
נוריד אנך מהגל העליון לגל התחתון ואז נוצר לנו "משולש כמעט שווי שוקיים" ולכן מנקודה זו המרחק שהגלים עוברים זהה.
נקבל אם כן כי:

Δx=dsin⁡θ\Delta x=d\sin\thetaΔx=dsinθ

לכן:

התאבכות בונההתאבכות הורסתsin⁡θ=nλdsin⁡θ=(2n+1)λ2dn∈Zn∈Z\begin{matrix} \R{\text{התאבכות בונה}} && \R{\text{התאבכות הורסת}} \\ \sin\theta=\frac{n\lambda}{d} && \sin\theta=(2n+1) \frac{\lambda}{2d} \\ n \in \mathbb{Z} && n \in \mathbb{Z} \end{matrix}התאבכות בונהsinθ=dnλ​n∈Z​​התאבכות הורסתsinθ=(2n+1)2dλ​n∈Z​

התסכלות על מה נקבל על המסך:
נסתכל על מה שיתקבל על המסך, אנו יודעים כי יש נקודות אור ונקודות חושך על המסך כאשר האור והחושך מתנהגים כמו גל מעגלי אשר מרכזו בראשית הצירים - הציר האופטי.
נצייר זאת:
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 4.svg
בנקודה בה n=0n=0n=0, כאשר θ=0\theta=0θ=0 נקבל התאבכות בונה. לנקודה זו נקרא מקסימום מסדר 000 שכן זה המקסימום הראשון מהמרכז.
בנקודה בה n=1n=1n=1 נקבל גם כן התאבכות בונה, לנקודה זו נקרא מקסימום מסדר 111.
בנקודה בה n=2n=2n=2 נקבל מקסימום מסדר 222 וכך הלאה.

הנקודות בהן מתקבלת עוצמה מקסימלית של האור נקודות מקסימום מסדר nnn כאשר nnn מתאים ל-nnn בנוסחה sin⁡θ=nλd\sin\theta=\frac{n\lambda}{d}sinθ=dnλ​.
לנקודות בהן מתקבלת עוצמה מינימלית(הן נמצאות בין נקודות המקסימום) אין שם אחיד שכן אנו יכולים למצוא אותן בדרכים שונות עם 2n+12n+12n+1 או 2n−12n-12n−1.
אנו מתייחסים אליהן לפי השרטוט בלבד או לפי נקודות המקסימום בלבד.

נשאל כעת, כיצד הייתה נראית תבנית ההתאבכות אילו האור הפוגע היה אור לבן כאשר כל המרכיבים הם קורהנטיים(אחד מול השני) ומקוטבים באותו הכיוון?
הערה: אור לבן משמעו סכום של אורכי גל בצבעים שונים: אדום, ירוק, צהוב, כחול, סגול וכו'

נרצה כעת להסתכל על התנאי למקסימום, מקודם ראינו כי sin⁡θ=nλd\sin\theta=\frac{n\lambda}{d}sinθ=dnλ​, אך כעת באים כל מני גלים בעלי אורכי גל שונים ובכך נקודות מקסימום שונות.
עבור כל אורכי הגל בנקודה הנמצאת על הציר האופטי, במרכז, נקבל התאבכות בונה מקסימלית ובכך אור לבן - נקרא לנקודה זו מקסימום מסדר 000 לכל אורכי הגל.
נשים לב כעת כי λסגול=100nm,    λאדום=700nm\underset{\R{\text{סגול}}}\lambda=100nm,\;\;\underset{\R{\text{אדום}}}\lambda=700nmסגולλ​=100nm,אדוםλ​=700nm, בין נקודות המקסימום שלהם, נקבל את כל צבעי הקשת
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 5.svg
נשים לב כי אנו לא נקבל את כל צבעי הקשת מועתקים וחוזרים על עצמם במדוייק, שכן יכול להיות שנקודות מקסימום של צבעים שונים יהיו באותה הנקודה ולכן תהיה התאבכות משונה שכזו.
במה זה תלוי? בנתוני הבעיה.

נרצה להסתכל על עוצמת הקרינה הממוצעת שמתקבלת על המסך, זאת שמסומנת ב-III. נזכר כי I∝E02I \propto E_{0}^2I∝E02​.
על המסך נראה הרבה נקודות של אור וחושך, נוכל לקורא להם כתמים :)
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 6.svg
בנקודה זאת של האור, העין לא יכולה לקלוט את זה, אך יש אור-חושך-אור-חושך, אך העין שלנו לא יכולה לראות בכזו מהירות(כמו סרט) ולכן אנו נראה אור שהוא אור יציב.
זה דומה לאותו הרעיון של גל עומד, נניח גל עומד במיתר, ישנן נקודות קבועות וישנן נקודות בהן יש את ההתחלפות הכי הכי מהירה והכי הכי חזקה ואלו נקודות האור - הנקודות בגל האור פשוט מתנדנדות כל כך מהר עד כדי כך שהעין האנושית לא יכולה לראות זאת.
זו הסיבה למה נדבר על עוצמת הקרינה הממוצעת - העין לא יכולה לראות את עוצמת הקרינה הרגעית.

נסתכל על האיזור שנמצא סביב הציר האופטי ונראה שאנו מקבלים פונקציה זוגית שכזו:
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 7.svg

הערה

אילו הסדקים היו אידיאליים(רוחב כל סדק שואף ל-000) אז היינו מקבלים משהו כזה:
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 8.svg
זה מה שיוצא כאשר מחשבים באופן מתמטי את העוצמה, בניסוי האמיתי זה כמובן לא קורה כך (בסמסטר רגיל נכנסים לזה יותר, אך אנו בסמסטר מקוצר)

נסתכל כעת באופן איכותי על מעבר מסדק רחב לסדק דק מאוד:
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 9.svg

בשרטוט האמיתי אנו נקבל משהו כמו הרכבה של שתי הפונקציות שראינו(בשרטוט בהערה ובשרטוט האחרון)
בניסוי האמיתי הרוחב של הסדקים הוא לא באמת אפס ולכן נוצרת מעטפת מסויימת לגלים, בנוסף, נוצרת התנדנדות צפופה על הציר מכיוון שמדובר בשני סדקים.
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 7+.svg

הערה

בסמסטר מקוצר זה לא נדבר על גל אלקטרומגנטי העובר בחומר או חוק סנל.

תרגיל (מבחינה)

בניסוי יאנג, השתמשו בקרינה אלקטרומגנטית מונוכרומטית בתחום האור הנראה ויצרו תמונת התאבכות על ידי שני סדקים צרים מאוד שהמרחק ביניהם d=0.1mmd=0.1mmd=0.1mm על גבי מסך במרחק L=3.5mL=3.5mL=3.5m.
בין המקסימום השלישי(n=3n=3n=3) והרביעי(n=4n=4n=4) בתמונת ההתאבכות, נמדד מרחק של 1.75cm1.75cm1.75cm.
א. מהו אורך הגל שבו השתמשו?
ב. החליפו את הקרינה באור סגול. כיצד השתנה(גדל/קטן/לא השתנה) המרחק בין המקסימום השלישי והרביעי?

לא כתוב פה באופן מפורש L≫dL\gg dL≫d אך לאור הגדלים אנו יודעים כי L≫dL\gg dL≫d ולכן מותר להשתמש בכל הקירובים הנובעים מכך
נצייר שרטוט:
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 10.svg

פתרון א':
נסמן את המרחק בין המקסימום השלישי והרביעי כ-Δy=1.75cm\Delta y=1.75cmΔy=1.75cm.
נסתכל על איזשהו משולש עם הציר האופטי, yny_{n}yn​ וזווית θ\thetaθ.
מכיוון שזה משולש ישר זווית:

tan⁡θn=ynL  ⟹  yn=Ltan⁡θn\tan\theta_{n}=\frac{y_{n}}{L}\implies y_{n}=L\tan\theta_{n}tanθn​=Lyn​​⟹yn​=Ltanθn​

לאור העובדה שזה זוויות קטנות, אזי tan⁡θ≈sin⁡θ\tan\theta \approx \sin\thetatanθ≈sinθ ולכן:

Δy=y4−y3=Ltan⁡θ4−Ltan⁡θ3=L(sin⁡θ4−sin⁡θ3)\Delta y=y_{4}-y_{3}=L\tan\theta_{4}-L\tan\theta_{3}=L(\sin\theta_{4}-\sin\theta_{3})Δy=y4​−y3​=Ltanθ4​−Ltanθ3​=L(sinθ4​−sinθ3​)

אנו יכולים להשתמש פה בקירוב של זוויות קטנות לאור העובדה ש-LLL מאוד מאוד גדול, הרבה יותר מ-y3,y4y_{3},y_{4}y3​,y4​.

Δy=L(4λd−3λd)=Lλd\Delta y=L\left( \frac{4\lambda}{d}-\frac{3\lambda}{d} \right)=\frac{L\lambda}{d}Δy=L(d4λ​−d3λ​)=dLλ​

כעת נוכל מהקשר הזה לחלץ את λ\lambdaλ:

λ=ΔyLd=1.75⋅10−2⋅0.1⋅10−33.5=500nm\lambda=\frac{\Delta y}{L}d=\frac{1.75\cdot 10^{-2}\cdot 0.1\cdot 10^{-3}}{3.5}=500nmλ=LΔy​d=3.51.75⋅10−2⋅0.1⋅10−3​=500nm

בדיקת שפיות: קיבלנו אורך גל בתחום האור הנראה :)

פתרון ב':
עברנו לאורך גל של λ=400nm\lambda=400nmλ=400nm כעת, שכן זה אורך הגל של אור סגול.

Δy=Lλd\Delta y=\frac{L\lambda}{d}Δy=dLλ​

אנו משנים פה רק את λ\lambdaλ ולכן Δy\Delta yΔy יקטן.

תרגיל

בניסוי יאנג נתון d=0.1mmd=0.1mmd=0.1mm ו-L=2mL=2mL=2m ונתון כי המרחק בין סדר 000 על המסך והסדר הראשון הוא Δy=1cm\Delta y=1cmΔy=1cm.
א. מהו אורך הגל שבו השתמשו בניסוי?
ב. מהו המספר המקסימלי של הנקודות של התאבכות בונה שניתן לקבל על המסך בהזנחת דעיכה בגלל מרחק ובהזנחת השפעות שנובעות מרוחב הסדקים?

פתרון א':
זה ממש דומה לתרגיל הקודם שפתרנו ולכן נוכל להשתמש באותו הקשר ממקודם:

tan⁡θ=ΔyL  ⟹  Δy=Ltan⁡θ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=↓נתון שזה המקסימום מסדר ראשון ולכן הזווית קטנה ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣Lλd\tan\theta=\frac{\Delta y}{L}\implies \Delta y=L\tan \theta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{נתון שזה המקסימום מסדר ראשון ולכן הזווית קטנה}} \end{matrix}}{=}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \frac{L\lambda}{d}tanθ=LΔy​⟹Δy=Ltanθ↓נתון שזה המקסימום מסדר ראשון ולכן הזווית קטנה​=​dLλ​   ⟹  λ=dΔyL=0.1⋅10−3⋅10−22=500nm\implies \lambda=\frac{d\Delta y}{L}=\frac{0.1\cdot 10^{-3}\cdot 10^{-2}}{2}=500nm⟹λ=LdΔy​=20.1⋅10−3⋅10−2​=500nm

פתרון ב':
אנו נשתמש בכך ש-−1≤sin⁡θ≤1-1\leq \sin\theta\leq 1−1≤sinθ≤1.
מצאנו שהתאבכות בונה הוא sin⁡θ=nλd\sin\theta=\frac{n\lambda}{d}sinθ=dnλ​ ופתאום אנו אומרים כי ל-sin⁡\sinsin יש ערך מקסימלי ולא ניתן לקחת כל nnn כרצונינו:

nλd=1  ⟹  n=⌊dλ⌋∈Z\frac{n\lambda}{d}=1 \implies n=\left\lfloor \frac{d}{\lambda} \right\rfloor \in \mathbb{Z}dnλ​=1⟹n=⌊λd​⌋∈Z

נוכל כעת להציב את הנתונים:

n=⌊10−4500⋅10−9⌋=200n=\left\lfloor \frac{10^{-4}}{500 \cdot 10^{-9}} \right\rfloor =200n=⌊500⋅10−910−4​⌋=200

לכן, מספר הנקודות המקסימלי שניתן לקבל על המסך הוא 401401401 (זאת מפאת שיש 200200200 נקודות בצד החיובי, 200200200 נקודות בצד השלילי ונקודה נוספת עבור n=0n=0n=0)

הערה

בחיים האמיתיים אנו נקבל פחות מזה מכיוון שיש אפקטים של דעיכה ובנוסף מכיון ש-sin⁡θ=1\sin\theta=1sinθ=1 מתקבל לא מתקבל אף פעם שכן θ≠90°\theta\neq 90\degreeθ=90° בשום נקודה לאור העובדה שזה משולש על מערכת צירים קרטזית ולא על כדור.

הערה

אם יש לנו מסך סופי, נסתכל מהי הזווית המקסימלית הנוצרת עם הקצה של המסך וכך נוכל למצוא את המקסימום ש-sin⁡\sinsin מקבל.

תרגיל

במישור xyxyxy ממקמים 333 מקורות של גלים אלקטורמגנטיים קוהרנטיים ובעלי אותו אורך גל λ1=λ2=λ3=λ\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambdaλ1​=λ2​=λ3​=λ המקוטבים ליניארית בכיוון z^\hat{z}z^.
המקורות נקודתיים וממוקמים ב-(0,3d),(0,−3d),(−2d,0)(0,3d),(0,-3d),(-2d,0)(0,3d),(0,−3d),(−2d,0) ובעלי אמפליטודות A1,A2,A3A_{1},A_{2},A_{3}A1​,A2​,A3​.

מהו התנאי הכללי ביותר על האמפליטודות ועל אורך הגל כדי שבנקודה (4d,0)(4d,0)(4d,0) יתקבל חושך בכל רגע ttt?

נצייר סקיצה של מה שקורה כאן:
​פיזיקה2 - הרצאה 23 - תמונה 11.svg
המשמעות של חושך היא התאבכות הורסת.
זה אמנם לא ניסוי יאנג, אך ניתן להשתמש בעקרון של ניסוי יאנג על מנת למצוא את מה שאנו רוצים.
על מנת שתהיה התאבכות הורסת כל הזמן, אנו רוצים שהם יגיעו תמיד בהפרש מתאים על מנת לבטל אחד את השני.
אנו יודעים כי λ\lambdaλ הוא אורך הגל של כולם, אם זה לא היה המצב לא היינו יכולים לדבר על זה, בנוסף לכך, הקיטוב האחיד מאפשר את הקיום של מה שאנחנו מדברים עליו בשאלה.
כתוב שהגלים קורהנטיים ולכן כולם יתחילו בו זמנית במקסימום או במינימום ולכן, הפרש הפאזות הוא בהכרח לאור הדרך השונה.
אנו יודעים ש-A1,A2A_{1},A_{2}A1​,A2​ עוברים את אותה הדרך ולכן הם בהכרח מגיעים עם אותה הפאזה ומבצעים התאבכות בונה.
לכן, נדרוש ש-A1+A2=A3A_{1}+A_{2}=A_{3}A1​+A2​=A3​ ושהוא יבוא בפאזה הפוכה.
איך יצא שהוא יבוא בדיוק בפאזה ההפוכה? הפרש הדרכים האופטיות חייב להיות 6d−5d=Δr=λ2(2n+1)6d-5d=\Delta r=\frac{\lambda}{2}(2n+1)6d−5d=Δr=2λ​(2n+1).
מתוך כך אנו רואים כי d=λ2(2n+1)d=\frac{\lambda}{2}(2n+1)d=2λ​(2n+1), מסתכלים על התשובות ומסדרים את התשובה בהתאם.

מהתרגיל הזה אנו נקח את הרעיון הבסיסי שלה - אחד מהדברים שהתעסקנו איתם בקורס הוא עם גלים ובפרט התאבכות הורסת - מה היא? מקום שבו הגלים מבטלים אחד את השני וההמשך בתרגיל שראינו.
זהו לא משהו שמופיע בדף הנוסחאות, אך זה לא משהו זר ומוזר, זה משהו שממש אפשר לפתור באמצעות הכלים והעקרונות שראינו.
אל תצפו לראות במבחן רק שאלות שפתרתם כבר.