נתון משולש עם זווית של $70\degree$ וזווית של $40\degree$ כמתואר באיור. נדרשנו להוכיח כי $AB=AC$ ונעשה זאת כעת.
​
ההוכחה תעשה בשלבים:

1. סכום הזוויות במשולש הוא $180\degree$ (משפט)
2. נתון: $\angle A=40\degree,\angle C=70\degree$.
3. לכן, $\angle B=70\degree$ (מסקנה מ-1,2)
4. במשולש, מול זוויות שוות יש צלעות שוות (משפט)
5. לכן: $\angle B=\angle C$. (מסקנה מ-2,3)
6. לכן: $AB=AC$ (מסקנה מ-4,5)

גיאומטריה של המישור התחילה כשאדם בשם אוקלידס החליט שקיימים דברים בשם אקסיומות אשר הינם דברים שכולנו מסכימים שהם נכונים אך אין לנו דרך להוכיח. (בהתחשב בכך שהוא חי לפני כל מתמטיקה פורמלית אי פעם זה די מרשים)
משם הוא יצר תורה פורמלית שכל דבר בה ניתן להסיק רק מהאקסיומות שהוא הציע. (למערכת האקסיומות שלו קוראים במפתיע מערכת האקסיומות של אוקלידס)

מערכת ההוכחה של אוקלידס היא לא מערכת ההוכחה היחידה שקיימת. אך כל מערכות ההוכחות חייבות לעקוב אחרי הכללים שנלמד אשר הם הבסיס למה זה הוכחה.

תהי $X$ קבוצה ותהי פונקציה $f:X\to X$. תהי $A \subseteq X$.
הקבוצה $A$ נקראת סגורה תחת $f$ אם לכל $a \in A$ מתקיים $f(a)\in A$.

עבור $X=\mathbb{N}$ ו-$f(n)=n\pmod{3}$:

• אם $A=\left\{ 0,1,\dots,9 \right\}$ אזי $A$ סגורה תחת $f$ שכן:
  לכל $n \in \mathbb{N}$ מתקיים כי $f(n)\in \left\{ 0,1,2 \right\}$. בנוסף $\left\{ 0,1,2 \right\}\subseteq A$
  לכן, $f(n)\in A$ ובפרט לכל $a \in A$ מתקיים $f(a)\in A$.
• אם $B=\mathbb{N}_{even}$ נגלה כי $B$ אינה סגורה תחת $f$ שכן:
  נקח $f(4)=4\pmod{3}=1$. נשים לב כי $4 \in B$ אך $1 \not\in B$.

תהי $X$ קבוצה ותהי $F$ קבוצה של פונקציות מעל $X$. כלומר, לכל $f \in F$ קיימת מקומיות $k \in \mathbb{N}^+$ כך ש-$f:X^k\to X$.
תהי $A \subseteq X$. נאמר כי $A$ סגורה תחת $F$ אם לכל $f \in F$ ולכל $a_{1},\dots,a_{k}\in A$ מתקיים ש-$f(a_{1},\dots,a_{k})\in A$.

עבור $X=\mathbb{N}$ ו-$g(n_{1},n_{2})=n_{1}+n_{2}$ כאשר $F=\left\{ g \right\}$.

• הקבוצה $A=\left\{ 0,1,\dots,9 \right\}$ אינה סגורה תחת $F$. נקח את $(9,2)\in A^2=A\times A$ אך $g(9,2)=11 \not\in A$.
• הקבוצה $B=\mathbb{N}_{even}$ כן סגורה תחת $F$: סכום של זוגיים הוא זוגי ולכן לכל $b_{1},b_{2}\in B$ מתקיים כי $g(b_{1},b_{2})\in B$.

בהינתן קבוצת פונקציות $F$ מעל $X$ מתקיים ש-$X$ סגורה תחת $F$.

בהינתן קבוצה $X$ וקבוצת פונקציות $F$ מעל $X$, ובהנתן שתי תתי קבוצות $A_{1},A_{2}\subseteq X$ הסגורות תחת $F$ מתקיים כי $A_{1}\cap A_{2}$ סגורה תחת $F$.

האם גם $A_{1}\cup A_{2}$ סגורה תחת $F$?

נקח $f(a,b)=a+b$ כאשר $X=\mathbb{N}$.
נגדיר $A_{1}=\mathbb{N}_{even},A_{2}=\left\{ k\mid k=3n, n\in \mathbb{N} \right\}$ ואז:

תהי קבוצה $X$, קבוצת פונקציות $F$ מעל $X$ ואוסף של תתי קבוצות $B \subseteq \mathcal{P}(X)$ הסגורות תחת $F$.
אזי, $\bigcap B$ סגורה תחת $F$.

תהי קבוצה $X$ העולם וקבוצה $B \subseteq X$ הבסיס. תהי $F$ קבוצה של פונקציות מעל $X$ שלה נקרא פונקציות יצירה.
הקבוצה האינדוקטיבית $X_{\small B,F}$ היא הקבוצה המקיימת את שלושת התנאים הבאים:
א. $B \subseteq X_{\small B,F}$.
ב. $X_{\small B,F}$ סגורה תחת $F$.
ג. לכל $T$ המקיימת $B \subseteq T$ וכן $T$ סגורה תחת $F$ מתקיים $X_{\small B,F}\subseteq T$.

אנחנו לא מגדירים את הקבוצה ככה שכן אנו רוצים להגדיר בעזרת הקבוצה הזו אינדוקציה ואנחנו לא יכולים להגדיר אינדוקציה באינדוקציה כי זה לא יהיה נכון מתמטית (זה יהיה הגדרה מעגלית)

נסתכל על הקבוצה $X=(\left\{ 0,1,\dots,9 \right\}\cup \left\{ (,),+,- \right\})^*$ (תזכורת: ה-$*$ מסמן לנו שזו שפת כל המילים מעל הא"ב)
נגדיר $B=\left\{ 0,1,\dots,9 \right\}$ ו-$F=\left\{ f_{-},f_{+} \right\}$ כאשר $f_{+}(x,y)=(x+y)$ ו-$f_{-}(x,y)=(x-y)$.

נסתכל על כמה דוגמות למילים ב-$X_{\small B,F}$:

1. המילה $8$ נמצאת בקבוצה שכן $8 \in B$.
2. באותו האופן גם $3 \in X_{\small B,F}$.
3. כעת, נוכל להפעיל את אחת הפונקציות ונקבל כי $(8-3)\in X_{\small B,F}$. (נוכל לכתוב $f_{-}(1,2)$ כדי לסמל שאנחנו מפעילים את $f_{-}$ על התוצאות משלבים 1 ו-2)
4. נשים לב כי גם $6 \in X_{\small B,F}\impliedby6 \in B$.
5. בנוסף: $((8-3)+6)\in X_{\small B,F}$ ע"י $f_{+}(3,4)$.

נשים לב כי קיבלנו כאן משהו שהוא מאוד דומה להוכחה פורמלית שראינו בהקדמה. בנוסף, נשים לב כי הדוגמה שפה כי בנייה כמו האינטואיציה השנייה שרק עתה ראינו.

נקבל אם כן(כמובן שצריך להוכיח פורמלית) את קבוצת הביטויים האריטמטיים מעל הספרות (עם $+,-$ בלבד)

סדרת יצירה מעל $X_{\small B,F}$ עבור איבר $a \in X$ היא סדרה סופית $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ כך ש:
א. $a =a_{n}$.
ב. לכל $1\leq i\leq n$ או $a_{i}\in B$ או $a_{i}$ התקבל מהפעלת $f \in F$ על איברים מתוך $a_{1},\dots,a_{i-1}$.

6. הסדרה בהכרח סופית.
7. אם ל-$a$ יש סדרת יצירה מעל $X_{\small B,F}$ אז יש לו $\infty$ סדרות יצירה.
8. הגדרה שקולה ל-$X_{\small B,F}$: קבוצת כל האיברים שיש להם סדרת יצירה.

ל-$a \in X$ יש סדרת יצירה מעל $a \in X_{\small B,F}\iff X_{\small B,F}$.

נתונה קבוצה $X$, תת קבוצה $B \subseteq X$ וקבוצת פונקציות $F$ מעל $X$.
נתונה $T \subseteq X$. אם מתקיימים התנאים הבאים:

1. מתקיים $B \subseteq T$
2. הקבוצה $T$ סגורה תחת $F$

אזי, $X_{\small B,F}\subseteq T$

עבור:

(ראו דוגמה ממקודם כדי לדעת מה אלו הפונקציות)
נוכיח כעת כי $10 \not\in X_{B,F}$.
נחפש תכונה $T$ ש-$X_{B,F}$ מקיימים ו-$10$ לא.

1. אורך כל מילה ב-$X_{B,F}$ אי זוגי.
2. בין כל שתי ספרות יש $+/-$.
3. אם המילה ארוכה מ-$1$ אזי יש בה $)$

נבחר נניח את התכונה הראשונה ונלך עליה:

• ברור ש-$w=10 \not\in T$ שכן $|w|=2$ ו-$2\mid 2$ ולכן זוגי.
• נוכיח כי $X_{\small B,F}\subseteq T$ לפי משפט ההוכחה באינדוקציה.
  • איברי הבסיס באורך $1$ ולכן $B \subseteq T$.
  • נוכיח כעת סגירות תחת $F$:
    יהיו $x,y \in T$. אזי: $f_{+}(x,y)=(x+y)$. נשים לב כי $x,y$ אי זוגיים ואנו מוסיפים בנוסף אליהם $3$ תווים.
    באופן דומה עבור $f_{-}$.
  • לכן, $T$ סגורה תחת $F$.

בהנתן עולם $X$, קבוצת בסיס $B$ וקבוצת פונקציות $F$ מעל $X$, הקבוצה $X_{B,F}$ קיימת ויחידה.
למעשה: