סטטי משמעותו לא בתנועה. לכן בחלק הזה בקורס נדבר על מטענים במנוחה. בהמשך הקורס נדבר גם על מטענים בתנועה.

המטען החשמלי

הגדרה

מטען היא תכונה סקלרית. לכל חלקיק יש מטען. ישנו כוח שפועל בין מטענים - את התופעה הזו גילו כבר היוונים.
מסמנים את המטען החשמלי $Q$ או $q$ . לפעמים, אם יש מערכת של כמה מטענים נוכל לכתוב $q_{1},q_{2},\dots$ ולהתייחס למטען הכולל(הסכום של כל המטענים) כ- $Q$ .
המטען החשמלי הינו גודל סקלרי שיכול לקבל 2 סימנים: $+/-$ . (הבחירה של ה- $+/-$ היא שרירותית לחלוטין ויכלו לבחור את זה הפוך - אנחנו נעבוד לפי המוסכמות הקיימות)

הגדרה 1 (המטען הבסיסי)

נסמנו $\pm e$ כאשר $-e$ זה מטען של אלקטרון ו- $+e$ הוא מטען של פרוטון.

מסתבר כי יש לאלקטרון ופרוטום בדיוק את אותו המטען רק בסימנים שונים. מה זה אומר שמדובר במטען הבסיסי? לא ניתן למצוא בטבע מטען שיותר קטן מהמטען הבסיסי - אבן הבנייה קטנה ביותר שאנחנו מכירים זה הפרוטון או האלקטרון.

הערה

מי שיתעסק בתורת החלקיקים קצת יותר, יגלה כי יהיה ניתן לחלק את האלקטרון/פרוטון לחלקיקים קטנים יותר בשם קווארקים שלהם מטען קטן יותר משל האלקרטון.
מה שמתברר הוא שלא ניתן למצוא בטבע את הקווארקים בקבוצות קטנות יותר מקבוצות שנותנות את המטען הביסי.

יחידות

עבור מטען היחידה היא קולון - $C$ .

e \approx 1.6\cdot 10^{-19}C

כלומר, היחידה הזו של קולון היא יחידה מאוד גדולה יחסית למטען של אלקטרון או פרוטון.
לכן, בהרבה שאלות נראה כי כתוב $q_{1}=3nC$ . זה בעצם $3$ ננו-קולון, שמשמעו $10^{-9}C$ .

ההשפעה של המטען

כעת נביט בנוסחה שמתארת את הכוח שפועל בין שני מטענים. שני מטענים באותו סימן דוחים אחד את השני ושני מטענים בסימנים מנוגדים דוחים אחד את השני. לנוסחה הזו שנראה, גילו דרך ניסויים ושמה חוק קולון.

משפט (חוק קולון)

יהיו $q_{1},q_{2}$ מטענים אשר ביניהם $\vec{r}_{12}$ כך:
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-04-14 10.49.43.excalidraw.svg
אזי $\vec{F}_{1,2}$ - הכוח שמעטן $q_{1}$ מפעיל על מטען $q_{2}$ מובא על ידי הנוסחה:

\vec{F}_{1,2}=k \frac{q_{1}q_{2}}{r_{1,2}^2}\hat{r}_{1,2}=k \frac{q_{1}q_{2}}{r_{1,2}^3}\vec{r}_{1,2}

הקבוע $k$ נקרא קבוע קולון וערכו הוא $9.10^{9} \frac{N\cdot m^2}{C^2}$ .
בהמשך הקורס נסמן גם $k=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}$ כאשר $\epsilon_{0}$ הוא מקדם דיאלקטרי של הריק עליו גם נלמד בהמשך.

הערה

אם מעניין אותנו הגודל של הוקטור כדאי להשתמש בנוסחה הראשונה(עם הכובע).
יש פעמים שבהם אנחנו גם נרצה להשתמש בנוסחה השניה.
אם נניח קיבלנו וקטור מכוער נניח $\vec{F}=3\hat{x}+4\hat{y}+5\hat{z}$ אז ניתן לחשב את הגודל לפי משפט פיטגורס: $|\vec{F}|=\sqrt{ 3^2+4^2+5^2 }$ .

עקרון הסופרפוזיציה

כאשר נרצה לחשב כוח שפועל על מטען מהרבה מטענים אחרים נוכל לעשות את זה באמצעות עקרון הסופר-פוזיציה, שזה פשוט שם $fancy$ לחיבור.

נחשב כעת את הכוח שפועל על מטען $q_{0}$ שהוא אחד מבין $N$ מטענים:

\vec{F}_{tot}=\vec{F}_{0}=\vec{F}_{1,0}+\vec{F}_{2,0}+\dots+\vec{F}_{N-1,0}=\sum_{i=1}^{N-1}\vec{F}_{i,0}=\sum_{i=1}^{N-1} k \frac{q_{i}q_{0}}{r_{i,0}^2}\hat{r}_{i,0}=kq_{0}\sum_{i=1}^{N-1} \frac{q_{i}}{r_{i,0}^2}\hat{r}_{i,0}

דוגמה

נניח ויש לנו אלקטרוסקופ - הוא בנוי מגולה מתחתית שיש מעל טבעת חלולה היא מתחברת לפס של מתכת מוליכה שנמצאת בתוך הטבעת. בנוסף יש מחט מתכנתית חופשית לסתובב ואנחנו נראה שכאשר אנחנו מקרבים מטען אל הגולה המחט תזוז.
פיזיקה2-אלקטרוסקופ.png
כאשר חנה נגעה בגולה עם גוף הטעון בחשמל ססטטי, המחט זזה. אם היינו מחכים זמן רב, היינו רואים שהמחט הייתה חוזרת למקומה המקורי - זאת מפאת היותו של האוויר לא מבודד אידיאלי. ככל שיש לחות יותר גבוהה באוויר, כך האוויר מוליך יותר. אם האולם היה מלא באנשים, זה היה קורה יותר מהר כי הייתה יותר לחות.
חנה נגעה עם היד שלה בגולה והמחט חזרה למקומה המקורי. מטען לא נעלם או נשבר - לכן, כל המטען עבר לחנה. חנה נוגעת גם בקרקע ולכן המטען עבר דרכה לקרקע. זאת כמובן אם היא לא נועלת נעליים מבודדות.
אם המטען היה גדול מדי, חנה הייתה מתחשמלת.

הערה

אלקטרוסקופ לא יכול להבדיל בין מטען חיובי לשלילי.

הערה

בשלב הזה של הקורס אנו לרוב נחכה כמה שניות לאחר שעשינו פעולה על מנת שהמערכת תתייצב ויהיה לנו מצב אלקטרוסטטי. בהמשך הקורס כבר לא נצטרך את המגבלה הזו.

כעת ניווכח בבעיה - אנחנו לא יכולים לראות את המטענים בעין וניתן לדבר עליהם רק בצורה מיקרוסקופית ולא מאקרוסקופית. בהרבה בעיות יהיה לנו נוח לעבוד עם משהו בשם צפיפות של מטען כדי לעבוד על גופים מאקרוסופי.

צפיפות מטען

צפיפות מטען אורכית

עבור הרבה בעיות נסתכל על התפלגות המטענים כעל התפלגות רציפה. יש 3 סוגים של התפלגויות מטען הנקראות גם צפיפויות מטען ונגדיר אותן כעת:

הגדרה 2 (צפיפות מטען אורכית)

עבור מקרים בהם יש חוט/תייל ועל התייל יש מטענים באופן לא שווה ולכן ישנם איזורים עם צפיפות מטען גדולה יותר וצפיפות מטען קטנה יותר.
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-04-14 11.16.08.excalidraw.svg
אם אנחנו נקח את התייל ונפצל אותו לחתיכות קטנות בגודל $d \ell$ וכשנסתכל כמה מטען יש לנו ליחידת אורך נקבל את צפיפות המטען:

\lambda=\frac{dQ}{d \ell}\quad \small{\color{red} \frac{C}{m}}

שזהו מטען ליחידת אורך.

הערה

אם יש בעיה של צפיפות מטען לא אחידה, אנחנו ככל הנראה נקבל את הפונקציה של המטען.

משפט (המטען הכולל בבעיות אורכיות)

Q=\int dQ \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{ההגדרה}} \end{matrix}}{=} \int \lambda d \ell

צפיפות מטען משטחית

כעת, נעבור מלהסתכל על מקרים בהם יש רק אורך, למקרים בהם מטען המתפרש על משטח דו מימדי לו יש שטח.

הגדרה 3 (צפיפות מטען משטחית)

עבור משטח דו מימדי בו יש צפיפות מטען משתנה, אם אנחנו נקח את המשטח ונפצל אותו לחתיכות קטנות המרכיבות אותו ואז אנחנו נסתכל על חתיכה שנסמנה $ds$ נסתכל על כמה מטען יש בשטח הזה

\sigma=\frac{dQ}{ds} \quad \small{\color{red} \frac{C}{m^2}}

שזהו מטען ליחידת שטח.

משפט (המטען הכולל בבעיות משטחיות)

Q=\int dQ \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{ההגדרה}} \end{matrix}}{=} \int \sigma ds

הערה

בתרגול אנחנו נראה איך במדוייק למצוא את אלמנט השטח הרלוונטי ואיך למצוא את $Q$ במדוייק.

דוגמה

נניח ו- $ds=dxdy$ ומתקיים $\sigma(x,y)=2xy^2$ אז

Q=\int dQ=\iint 2xy^2dxdy

צפיפות מטען נפחית

המקרים בהם נעבוד עם צפיפות מטען נפחית הוא במקרים שיש לנו גוף תלת מימדי או גוף מסויים עם נפח. במקרה הזה, מה שאנו עושים זה לקחת את האובייק שלנו ולפרק אותו לאלמנטי נפח קטנים שנסמנם $dV$ שסכומם מרכיב את כל נפח האובייקט.

הגדרה 4 (צפיפות מטען נפחית)

\rho=\frac{dQ}{dV} \quad \small{\color{red} \frac{C}{m^3}}

שזהו מטען ליחידת נפח.

משפט (המטען הכולל בבעיות נפחיות)

Q=\int dQ=\int \rho dV

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית

בעייה דו-מטענית

נרצה לדעת כמה אנרגייה יש לנו בבעיה עם שני מטענים $q_{1},q_{2}$ זהי סימן אשר ביניהם מרחק $r_{12}$ .
למה הגיוני כי תהיה כאן אנרגייה? אנו נדרשנו לפעול כנגד הכוח החשמלי כדי להביא את המטענים למצב בו הם נמצאים ושהם לא יתרחקו כפי שהכוח החשמלי רוצה.
למה האנרגיה פוטנציאלית? בפיזיקה 1מ הוכחנו כי כל כח מרכזי הוא משמר. נראה כעת כי חוק קולון מציג לנו בעצם כי הכוח החשמלי הוא כוח מרכזי ולכן, הוא יהיה משמר ולכן תהיה לו אנרגיה פוטנציאלית לפי הגדרה. נביט שוב בנוסחה:

\vec{F}_{12}=k \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}\hat{r}

זהו כוח מרכזי כי הוא תלוי אך ורק במרחק $r$ וכיוונו בכיוון $\pm \hat{r}$ .
כל כח מרכזי הוא כוח משמר $\impliedby$ הכוח של חוק קולון משמר.
נזכר כי לאנרגייה פוטנציאלית תמיד צריך לקבוע נקודת יחוס כדי למדוד יחסית אליה. עבור הכוח החשמלי מקובל לקבוע את נקודת היחוס ב- $\infty$ ואז, כשנרצה להגיד למה שווה האנרגייה הפוטנציאלית זה:

U(r_{12})=-\int_{r_{ref}=\infty}^{r_{12}}\vec{F}\cdot d\vec{r}

בואו נציב את מה שרלוונטי למקרה שלנו - הכח החשמלי:

U(r_{12})=-\int_{\infty}^{r_{12}} k \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}\hat{r}\cdot dr\; \hat{r}

הערה

חנה ממליצה תמיד לקחת בה"כ את הכיוון החיובי של $\hat{r}$ כדי שלא נצטרך להפוך את הגבולות בסיכון שנעשה סלטים באינטגרל.

כעת נביט בתוצאה שקיבלנו ונראה כי זה משהו שאנו יודעים לחשב:
נזכר כי $\hat{r}\cdot \hat{r}=1$ שכן זוהי מכפלה סקלרית.

U(r_{12})=-\int_{\infty}^{r_{12}} k \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}dr=-kq_{1}q_{2} \int_{\infty}^{r_{12}} \frac{dr}{r^2}=-kq_{1}q_{2}\left. -\frac{1}{r} \right\vert_{\infty}^{r_{12}}=kq_{1}q_{2}\left( \frac{1}{r_{12}}-0 \right)=k \frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}

\Downarrow

מסקנה

U(r_{12})=k \frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}

מסקנה (מהמסקנה)

אם המטענים שווי סימן $\impliedby$ הם ידחו זה את זה $\impliedby$ נאלצנו להשקיע עבודה $\impliedby$ $U>0$ .
אם המטענים שוני סימן $\impliedby$ הם ימשכו זה את זה $\impliedby$ $U<0$ .

בעיה $n$ מטענית

בשביל לפתח את הנוסחה עבור $n$ מטענים, נדרש לבקר קודם במצב בו יש לנו שלושה מטענים בלבד.

בעיה תלת מטענית

נביט במערכת:
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-04-14 12.01.21.excalidraw.svg
נרצה לחשב כמה אנרגיה פוטנציאלית עצורה במערכת הזו.
שעת סיפור: תחילה חנה לקחה מטען $q_{1}$ והביאה אותו מהאינסוף למערכת. לא היו מטענים אחרים ולכן לא הייתה התנגדות ולכן $U=0$ . לאחר מכן, חנה תקעה את $q_{1}$ על מסמר והלכה להביא מה- $\infty$ את $q_{2}$ . כאשר היא הביאה מה- $\infty$ את $q_{2}$ המטען $q_{1}$ התנגד ולכן העבודה שנדרשה בהבאתו היא $U=k \frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}$ . חנה תקעה גם את $q_{2}$ על מסמר והלכה להביא את $q_{3}$ . שם כבר הייתה התנגדות של $q_{1}$ ושל $q_{2}$ ולכן, לפי עקרון הסופרפוזיציה נקבל כי $U=k \frac{q_{1}q_{3}}{r_{13}}+k \frac{q_{2}q_{3}}{r_{23}}$ היא האנרגיה הפוטנציאלית שנדרשנו אליה כדי להביא את $q_{3}$ כאשר $q_{1}$ ו- $q_{2}$ כבר נמצאים. לכן:

U=0+k \frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}+k \frac{q_{1}q_{3}}{r_{13}}+k \frac{q_{2}q_{3}}{r_{23}}

בעיה $N$ מטענית

עבור $N$ מטענים נבצע את עקרון הסופרפוזיציקה כמו ממקודם ונקבל:

U=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^N\sum_{\begin{matrix} j=0 \\ j\neq i \end{matrix}}^Nk \frac{q_{i}q_{j}}{r_{ij}}

למה הוספנו $\frac{1}{2}$ ? מכיוון שכל איטרציה נכנסה כאשר $i=m_{1}$ ו- $j=m_{2}$ וגם כשאר $i=m_{2}$ ו- $j=m_{1}$ . לכן, נדרשנו לתקן את הסטייה.

הערה

ניתן לכתוב זאת גם בצורה אחרת ואז להשמיט את ה- $\frac{1}{2}$ אך זוהי צורה פחות נוחה כאשר נעבור לאינטגרלים.

דוגמה (מוודאים שהנוסחה עובדת)

עבור מערכת עם $N=3$ נקבל:

\begin{align*} U& =\frac{1}{2}\left[ k \frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}+k \frac{q_{1}q_{3}}{r_{13}}+k \frac{q_{2}q_{1}}{r_{12}}+k \frac{q_{2}q_{3}}{r_{23}}+k \frac{q_{3}q_{1}}{r_{31}}+k \frac{q_{3}q_{2}}{r_{23}} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ 2k \frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}+2k \frac{q_{1}q_{3}}{r_{13}}+2k \frac{q_{2}q_{3}}{r_{23}} \right] \\ & = k \frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}+k \frac{q_{1}q_{3}}{r_{13}}+k \frac{q_{2}q_{3}}{r_{23}} \end{align*}

כנדרש.

המשמעות של $U$ היא כמות העבודה שנדרשנו לבצע כדי להביא את המטענים האלו מה- $\infty$ אל המקום בו הם נמצאים בבעיה שלנו.

התפלגות מטען

נסתכל על דוגמה לחישוב כח חשמלי במערכות בהן יש התפלגות מעטן רציפה.

תרגיל

נחשב את הכח החשמלי שטבעת ברדיוס $R$ , הטעונה בצפיפות מטען אורכית אחידה $\lambda$ , מפעילה על מטען נקודתי $q_{0}$ הנמצא בגובה $z$ על ציר הסימטריצה של הטבעת.

נצייר סקיצה:
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-04-23 12.33.00.excalidraw.svg
נסתכל על אלמנט מטען:

\lambda = \frac{dq}{d\ell} \implies dq=\lambda d\ell

אנחנו תמיד נעבוד בשאלה כאילו המטענים כולם חיוביים אלא אם כן נאמר אחרת.
נסתכל על התרומה של $dq$ על הכוח שפועל על $q_{0}$ . נבדוק האם יש סימטריה: מכיוון שזו טבעת וצפיפות המטען אחידה, נקבל שהמרחק של כל אלמנט מטען בקצה הטבעת מ- $q_{0}$ הוא זהה. לכן, אין צורך לחשב שני כוחות מנוגדים, ונדרש לחשב רק את ההיתל של הכוח על ציר ה- $\hat{z}$ שכן הרכיב בציר ה- $\hat{x}/\hat{y}$ יתבטל מטעמי סימטריה.
לכן, מספיק לחשב את הרכיב בכיוון האנכי: $d\vec{F}_{z}=d\vec{F}\cos\alpha$ ולסכום עליו.

תחילה, נמצא את $\cos\alpha$ :

\cos\alpha=\frac{z}{\sqrt{ z^2+R^2 }}

כעת, באמצעות חוק קולות נחשב את הכוח:

d\vec{F}=k \frac{dq\cdot q_{0}}{z^2+R^2}= k\frac{\lambda d\ell \cdot q_{0}}{z^2+R^2} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ d \ell=Rd\theta \end{matrix}}{=}\frac{kq_{0} \lambda R}{z^2+R^2}d\theta

d{F}_{z}=\frac{k \lambda Rq_{0}z}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}d\theta

לקבלת הכח השקול נסכום את כל התרומות לפי עקרון הסופרפוזיציה:

\vec{F}=\int d{F}_{z}\hat{z}=\int_{0}^{2\pi} \frac{k\lambda Rq_{0}z}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}d\theta \hat{z}= \frac{k\lambda Rq_{0} z}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}} 2\pi \hat{z}

נבדוק את היחידות ליתר בטחון. ( $k$ מתאים ל- $k$ ו- $q_{0}$ מתאים לאחד מהמטענים. המטען השני יהיה $\lambda R$ אשר יוצר יחידות של מטען. היחידות $\frac{z}{(z^2+R^2){\frac{3}{2}}}$ נותן $\frac{1}{m^2}$ ולכן עברנו בהצלחה את בדיקת היחידות)
נבדוק כעת מה יקרה במקרה קיצון:

עבור $z=0$ אכן מתקבל כי הכח מתאפס כנדרש.
עבור $z\gg R$ המטען יראה את הטבעת כאילו היא מטען נקודתי. לכן, נצפה שהכח יתנהג כמו הכוח בין שני מטענים נקודתיים.
אם $z\gg R$ אזי $z^2+R^2 \approx z^2$ ולכן:
$\vec{F} \approx \frac{k\lambda2\pi Rq_{0} \cancel{ z }}{z^{\cancel{ 3 }2}}\hat{z} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ Q=2\pi R\lambda \end{matrix}}{=}\frac{kQq_{0}}{z^2}\hat{z}$
קיבלנו כצפוי כוח שמתנהג כאילו היה בין 2 מטענים נקודתיים.

הערה

חנה ממליצה שכאשר פותרים בעיה לעשות לפחות את הבדיקה של היחידות ואם יש זמן נוסף, לבדוק גם את מקרה הקצה.

הערה (נוספת)

בקורס הזה צפו לסימטריה וחפשו אותה!

תרגיל

נפתור בעיה מאוד דומה, רק במקום שהכוח יופעל ע"י טבעת, הוא יופעל ע"י דסקה. (המרכז לא חלול)
נחשב את הכח החשמלי שדסקה ברדיוס $R$ , הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה $\sigma$ , מפעילה על מטען נקודתי $q_{0}$ הנמצא בגובה $z$ על ציר הסימטריה של הדסקה.

נצייר שוב סקיצה:
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-04-23 13.04.55.excalidraw.svg

ישנן שתי אופציות לפתרון הבעיה. נסתכל על שתיהן ונפתור באחת מהן.

דרך א': בדומה לפתרון הקודם, נסתכל על כל אלמנטי השטח ובאותו האופן כמו מקודם, רכיבים מבטלים אחד את השני לאור הסימטריה ונשאר שוב רק עם כח בציר ה- $\hat{z}$ . ישנו הבדל אחד משמעותי והוא ש- $\sigma=\frac{dq}{ds}\implies dq=\sigma ds$ כאשר $ds=rdrd\theta$ ולכן יהיה אינטגרל כפול עם $r$ בין $0$ עד ל- $R$ ו- $\theta$ בין $0$ עד ל- $2\pi$ .
דרך ב': ניתן להתייחס לדסקה כאוסף של טבעות בעובי $dr$ שיוצרות יחדיו את כל הדסקה. ואז, מכיוון שמצאנו בתרגיל הקודם את הכח שמפעילה טבעת שכזו, נוכל לבצע אינטגרל אחד על $dr$ על הביטוי שמצאנו ממקודם.

קבלנו עבור טבעת ברדיוס $R$ ומטען אחיד $Q$ :

\vec{F}_{\R{\text{טבעת}}}=\frac{k Qq_{0}z}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\hat{z}

נתאים כעת את הביטוי למקרה שלנו:

dQ_{\R{\text{עבור כל טבעת}}}=\sigma ds=\sigma \pi r dr

d\vec{F}=\frac{k\sigma 2\pi r q_{0} z}{(z^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}dr \hat{z}

אנו נרצה את כל הכוח ולכן נבצע אינטגרל על כל הכוחות של כל הטבעות:

\vec{F}=\int_{0}^{R} \frac{2\pi k\sigma q_{0}z}{(z^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}rdr\hat{z} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{אינטגרל נפוץ}} \end{matrix}}{=} 2k\sigma \pi q_{0}z \cdot\left. - \frac{1}{\sqrt{ r^2+z^2 }}\right\vert_{0}^R =k\sigma2\pi q_{0}\left( 1-\frac{z}{\sqrt{ R^2+z^2 }} \right)\hat{z}

נבצע רק בדיקת יחידות מקוצר זמן:

החלק בסוגריים הינו חסר יחידות
יש לנו $k$ ויש לנו $q_{0}$
נותר לנו לבדוק כי $2\pi\sigma$ זה $\frac{C}{m^2}$ : ל- $\sigma$ יש בדיוק יחידות של מטען חלקי אורך בריבוע ולכן זה מתאים.

שדה חשמלי

שדה זוהי פונקציה וקטורית של המרחב, המתארת תכונה פיזיקלית של המרחב המקיף מטענים חשמליים. הפונקציה הנ"ל מוגדרת כך:

\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q} \qquad {\small\left[ \frac{N}{C} \right]}

כאשר $\vec{F}$ הוא הכוח החשמלי ו- $q$ מטען בוחן.

נניח ויש לנו מטען $+Q$ ואנו רוצים לראות את ההשפעה שלו על המרחב. נקח מטען בוחן שהוא תמיד חיובי ונציב אותו באיזושהי נקודה במרחב ואז נחשב שם את השדה כדי למדוד את ההשפעה של $+Q$ .
במקרה הנ"ל(שדה חשמלי הנובע ממטען נקודתי $Q$ ):

\vec{E}=\frac{kQ}{r^2}\hat{r}

מטען הבוחן מצטמצם והוא לא חשוב לנו - אנו רוצים לדעת רק את ההשפעה על המרחב.

הגדרה 5 (קווי שדה)

קווי השדה הם קווים הנותנים לנו מידע על כיוון ועוצמת השדה.
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-12 10.35.10.excalidraw.svg
הכיוון של קווי השדה הוא בכיוון השדה.
צפיפות קווי השדה גדולה יותר ככל שהשדה החשמלי חזק יותר.

הערה

באופן דומה ליחסות כללית, כשאנו מציבים מטען במרחב אנו משנים את המרחב (אני לא הולך לצייר את הדוגמה)

דוגמה (שדה של מטען נקודתי

Q<0

)

הכיוון של קווי השדה יהיה פנימה, אל תוך המטען.
פיזיקה2-קווי שדה-מטען שלילי.svg

דוגמה (דיפול)

מערכת של 2 מטענים: $+Q,-Q$ .
פיזיקה2-קווי שדה-שני מטענים הפוכים.svg

הערה

קווי השדה יכולים להתחיל במטען חיובי ולהסתיים ב- $\infty$
קווי השדה יכולים להתחיל ב- $\infty$ ולהסתיים במטען שלילי.

הערה

אנו כל פעם מסתכלים על שדה חשמלי של מערכת נתונה. כל פעם שאנו משנים את המערכת השדה החשמלי כמובן ישתנה.
בהמשך, כשנגיע לזרם חשמלי נראה שהשדה משתנה כל הזמן.

שטף חשמלי

הקונספט של שטף חשמלי מתאר כמה מטען עובר בחתך שטח.

\phi_{_E}=\oint\!\!\!\!\!\oint \vec{E}\cdot d\vec{s}

היחידות, אנו מקבלים לפי ההגדרה והן $\frac{N\cdot m^2}{C}$ . (שהרי אנו מכפילים שטח בשדה שאת יחידותיו ראינו קודם לכן)

נניח ויש לנו איזשהו משטח שאת השטף החשמלי דרכו נרצה למצוא לפי הגדרה
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-12 10.46.20.excalidraw.svg
אינטואיטיבית, אנו מחשבים "כמה שדה חוצה את המשטח".

מה יקרה אם קווי השדה מקבילים לשטף $\phi_{_{E}}=0\impliedby$ .
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-12 10.50.29.excalidraw.svg

הערה

ניתן להשתמש בהגדרה הזו עבור כל משטח, גם לא ישר.
פיזיקה2 - משטח היוצא ממנו שדה ושטף.svg

משפט (מוסכמה)

עבור משטח סגור(משטח שכולא בתוכו נפח), הכיוון של וקטור השטח הוא כלפי חוצה.
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-12 10.53.16.excalidraw.svg

תרגיל

חשבו את השטף החשמלי דרך מטעפת כדורית ברדיוס $R$ שבמרכזה מונח מטען נקודתי $Q$ .

כשאומרים לנו לחשב שטף, נדרש לדעת מהו השדה ומהו המשטח. בשאלה זו שניהם מוגדרים היטב - מטען נקודתי ומטעפת כדורית שהמטען במרכזה.
נצייר סקיצה:
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-12 11.00.01.excalidraw.svg

\phi_{_{E}}=\oint \vec{E}d\vec{s}=\left.\oint\frac{kQ}{r^2}\hat{r}\cdot ds\hat{r}\right\vert_{r=R}=\oint \frac{kQ}{R^2}\hat{r}ds\hat{r}=\frac{kQ}{R^2} \oint d\vec{s}=4\pi kQ

נשים לב כי התוצאה שקיבלנו הינה ללא תלות ב- $R$ . למה? כי אם נקטין את המטעפת הכדורית, אזי השטף גדול יותר ולכן זה מתאזן.

הגדרה 6 (מקדם דיאלקטרי של הריק)

\epsilon_{0}=\frac{1}{4\pi k}

נשים לב כי $4\pi kQ=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$ .

הערה

האינטגרלים ממקודם בעצם אמורים להיות $\unicode{x222F}$ אבל אין את הסימן הזה ב- $mathjax$ ולכן השתמשתי באינטגרל אחד עם עיגול :)

חוק גאוס

משפט (חוק גאוס)

השטף החשמלי דרך כל מטעפת סגורה, שווה ל- $4\pi kQ_{in}$ (או $\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}$ ) כאשר $Q_{in}$ הוא המטען הכלוא בתוך נפח המטעפת.

\phi_{_{E}}=\oint \vec{E}\cdot d\vec{s}=4\pi kQ_{in}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}

נשים לב כי החוק הרבה יותר כללי מהמקרה הפרטי שראינו. הוא מתייחס לכל מעטפת(לאו דווקא כדורית) ולכל מטען, לא משנה איפה הוא בתוך המעטפת. ההגבלה היחידה שיש לנו היא שהמטען חייב להיות בתוך המטעפת.
אם נרצה להתייחס למטענים שנמצאים מחוץ למעטפת אזי נדרש להשתמש בדרך אחרת.

הוכחה:
תהי מטעפת כלשהי(לאו דווקא עם נוסחה מוגדרת לשטח) ויהי מטען נקודתי $Q$ הנמצא איפשהו במטעפת. (אנו נבצע זאת על מטען אחד אך לפי עקרון הסופרפוזיציה נוכל להרחיב זאת גם לכל סכום של מטענים שנרצה לעבוד איתם)
נקח אלמנט שטח קטן ונסתכל על התרומה שלו. נניח שאלמנט השטח הזה נמצא במרחק $R$ מ- $Q$ . כיוון השדה יהיה באותו הכיוון של $R$ , כלפי חוצה.
נזכור ממקודם כי גם $d\vec{s}$ הוא כלפי חוץ.

d\phi_{_{E}}=\vec{E}(R)\cdot d\vec{s}

נבנה מטעפת כדורית לשם עזר שמתאימה ל- $d\vec{s}$ עליו אנו מסתכלים(כלומר, ברדיוס $R$ כשהמטען נמצא במרכזה) נקבל איזשהו $d\vec{s}^*$ שיהיה בכיוון $\hat{r}$ .
אזי נקבל:

d\phi_{_{E}}=\vec{E}(R){\color{red}d\vec{s}^*}=E(R){\color{red}ds^*}

כעת, נשים לב כי זה מאוד דומה, ואף שווה לחישוב הקודם שעשינו בתרגיל. לכן מתקיים:

d\phi_{_{E}}=\frac{kQ}{R^2}R^2 \sin\theta d\theta d\varphi=kQ\sin\theta d\theta d\varphi

נשים לב כי הביטוי שקיבלנו אינו תלוי ב- $R$ ולכן, לכל אלמנט שטח יתקיים: $d\phi_{E}=kQ\sin\theta d\theta d\varphi$ ואז:

\phi_{_{E}}=\oint d\phi_{_{E}}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^\pi \sin\theta d\theta d\varphi=4\pi kQ

כנדרש.
∎

דוגמה (מה קורה אם המטען בחוץ)

נניח ויש מעטפת סגורה שנראית ככה(מה איכפת לכם?) ומטען נקודתי $Q$ הנמצא מחוץ למעטפת.
אזי, על סמך חוק גאוס $\phi_{_{E}}=0 \impliedby Q_{in}=0$ .
נניח ונסתכל על קווי שדה החוצים אלמנט שטח שהוא חלק מהמטעפת, אזי הם גם חוצים עוד אלמנט שטח כדי לצאת מהמעטפת הסגורה אזי, הגודל של השטף השלילי והגודל של השטף החיובי הם זהים לאור השוני בקרבה ולכן גם בצפיפות קווי השדה ⇐ הם יבטלו אחד את השני.

במצב בו יש לנו $3$ מטענים בתוך מטעפת ועוד מטען רביעי מחוץ למעטפת אזי:

\phi_{_{E}}=\frac{1}{\epsilon_{0}}(q_{1}+q_{2}+q_{3})

המטען $q_{4}$ לא יתרום לשטף הכולל בגלל הנ"ל.

דוגמה (מטען שהוא לא בפנים ולא בחוץ)

נתון קונוס תחום אשר עליו נמצא מטען נקודתי בדיוק בבסיס העליון שלו.
הבעיה: חוק גאוס לא עוזר כאשר המטען נמצא בין לבין.

הפתרון הוא ליצור יצור חדש שהמטען נמצא בתוכו לגמרי ואז נוכל לחשב באמצעות חוק גאוס.
במידה ופשוט ניצור תמונת מראה כמו שתראו בציור למטה, נוכל פשוט לחלק את השטף בחצי לאור הסימטריה.

\underset{\R{\text{סופר מעטפת}}}{\phi_{_{E}}}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}

ואז:

\underset{\R{\text{קונוס תחום}}}{\phi_{_E}} =\frac{1}{2}\phi_{_{E}}=\frac{Q_{in}}{2\epsilon_{0}}

1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-12 11.41.08.excalidraw.svg

הערה

גם אם המשטח היה טעון וזה לא היה מטען נקודתי, הטריק הנ"ל עדיין היה עובד.

שימוש בחוק גאוס למציאת שדה חשמלי

נניח ויש לנו שדה חשמלי בתוך ומחוץ לקליפה כדורית בעלת רדיוס $R$ הטעונה במטען כולל $Q$ המפולג באופן אחיד.
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-12 11.45.03.excalidraw.svg
נרצה לחשב את השדה החשמלי.

\oint \vec{E}d\vec{s}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}=4\pi kQ_{in}

בבעיה הזו יש מלאאאאאא סימטריה ולכן, יש מצב שבו נוכל להוציא את השדה החשמלי מתוך האינטגרל.
אנו נעבוד בקורדינטות כדוריות, שזה הכי טבעי לבעיה הזו.
מכיוון שהשדה לא משתנה בהתאם לזווית שאנו נמצאים במעגל, אזי השדה אינו תלוי ב- $\theta,\varphi$ .
בכל נקודה הרכיבים מבטלים אחד את השני ואנו נשארים רק עם וקטור בכיוון הרדיאלי ולכן זה יהיה כיוון השדה.

\vec{E}(r,\theta,\varphi) \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{סימטריה}} \end{matrix}}{=}E(r)\hat{r}

מחוץ לקליפה, נגדיר $r>R$ ואז:

\oint E(r)\hat{r}\cdot ds\cdot \hat{r}=\oint E(r)ds \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{מכיוון שכל הנקודות}} \\ \R{\text{נמצאות באותו הרדיוס}} \\ \R{\text{ הוא בעצם}}E(r)\R{\text{מהמרכז, }} \\ \R{\text{קבוע}} \end{matrix}}{=}E(r)\oint ds=E(r)4\pi r^2 \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{גאוס}} \end{matrix}}{=}4\pi kQ

לכן נקבל: $\vec{E}(r)=\frac{kQ}{r^2}\hat{r}$ מחוץ לקליפה. נשים לב כי זוהי אותה הנוסחה של מטען נקודתי.

בתוך הקליפה, הסימטריה היא אותה סימטריה ולכן צד שמאל זהה. צד ימין לעומת זאת, נזכר ממקודם שלפי גאוס $\phi_{E}=0$ בתוך הקליפה ולכן:

E(r)4\pi r^2=4\pi k\cdot 0 \implies \begin{cases} E(r)=0 & r\neq 0 \R{\text{לאור חוק גאוס }} \\ E(r)=0 & r=0 \R{\text{ללא קשר לחוק גאוס אלא בגלל סימטריה }} \end{cases}

מסקנה

כאשר אנו נמצאים מחוץ לקליפה כדורית: $E(r)=\frac{kQ}{r^2}\hat{r}$
כאשר אנו נמצאים בתוך קליפה כדורית: $E(r)=0$ .

הערה

לא ניתן באמצעות חוק גאוס לחשב את השדה על הקליפה .

שיטה לפתרון בעיות עם חוק גאוס

לחשוב על סימטריה: במי השדה תלוי/לא תלוי ומה כיוונו.
לבנות מעטפת גאוסית מתאימה.
נשתמש בחוק גאוס (נשים כי לפעמים צריך לחשב בכמה תחומים שונים)

הערה

אם מתייחסים בנתונים למסה, אזי זה רמז לכך שיש $mg$ .
אם לא נתון שיש $mg$ ולא נתונה המסה אזי אין כח הכובד.

תרגיל

יהי תיל $\infty$ -י אחיד $(\lambda)$ . מהו השדה החשמלי במרחב?

תמיד לצייר סקיצה
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-12 12.09.33.excalidraw.svg
נעבוד בקורדינטות גליליות. נשים לב כי אין תלות ב- $\theta$ ואין תלות ב- $z$ כי הגליל זהה לכל אורכו. לכן, $\vec{E}$ תלוי רק ב- $r$ או שאינו תלוי בכלום כלל וכלל.
נבנה מעטפת גאוסית מתאימה כעת. נבנה מעטפת גלילית בהתאמה עם הגוף שלנו כך שציר הסימטריה שלה מתלכד עם זה של הגוף שלנו.
נגדיר כי רדיוסה $r$ ואורכה $L$ .
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-12 12.12.53.excalidraw.svg
נשתמש בחוק גאוס.

\oint \vec{E}d\vec{s}=4\pi kQ_{in}

בנוסף, נבצע את האינגרל בעצמנו

\oint E(r)\hat{r}d\vec{s} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{כיוונו של השדה החשמלי הוא רק בכיוון הרדיאלי}} \\ \R{\text{כלומר, הבסיסים לא תורמים}} \end{matrix}}{=}E(r)\iint \underset{\begin{matrix} \R{\text{מטעפת}} \\ \R{\text{ללא בסיסים}} \end{matrix}}{ds}=E(r)\cdot 2\pi r\cdot L

לכן מתקיים:

4\pi k\lambda L=E(r)2\pi rL \implies 2 k\lambda =E(r)r \implies \vec{E}(r)=\frac{2\lambda k}{r}\hat{r}

הערה

את הכיוון לא קיבלנו מהמשוואה הזו, אלא ממקודם :)

תרגיל

חשבו את השדה החשמלי בתוך ומחוץ לכדור אחיד הטעון במטען חשמלי כולל $Q$ . כאשר רדיוס הכדור הוא $R$ .

כאשר אנו מסתכלים על הבעיה הזו אנו ישר רואים בתוך או בחוץ ולכן אנו יודעים כי צריך לפצל את הבעיה לתחומים.
נסרטט סקיצה:
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-14 12.35.28.excalidraw.svg
נשתמש בקורדינטות כדוריות ולכן $\vec{E}(r,\theta,\varphi)$ .
נשים לב כי מדובר בכדור אחיד ולכן הזווית $\theta$ אינה משנה את השדה, שכן יש סימטריה, לכן אין תלות ב- $\theta$ . בנוסף, ישנה גם סימטריה על הזווית $\varphi$ ולכן אין תלות ב- $\varphi$ .
יכול להיות שתהיה תלות ב- $r$ , שהוא המרחק ממרכז הכדור, ולכן, נשאיר אותו (זה לאו דווקא אומר שבטוח תהיה תלות ב- $r$ )
לכן, $\vec{E}(r,\theta,\varphi)=E(r)$ .

כעת נעבור לשלב השני ונבנה מטעפת גאוסית מתאימה אשר שומרת על הסימטריה של הבעיה. לכן, נבנה מעטפת גאוסית כדורית(בציור בכחול) ואז נוכל להפעיל את חוק גאוס.
נסתכל על אלמנט שטח. הכיוון של השטח( $d\vec{s}$ ) הוא החוצה, ובכך $\hat{r}$ .

\oint\!\!\!\!\!\oint \vec{E}d\vec{s}=\oint\!\!\!\!\!\oint E(r)\hat{r}\cdot ds \hat{r}=\oint\!\!\!\!\!\oint E(r)ds =E(r)\oint\!\!\!\!\!\oint ds=E(r)4 \pi r^2 \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חוק גאוס}} \end{matrix}}{=} 4\pi k Q

נקבל כי מחוץ לכדור מתקיים: $\vec{E}(r)=k \frac{Q}{r^2}\hat{r}$ .

הערה

נשים לב כי בדומה לקליפה כדורית, השדה מחוץ לכדור אחיד מתנהג כמו שדה של מטען נקודתי.

בתוך הכדור $r<R$ מתקיים:

E(r)4\pi r^2 =4\pi k \cdot Q_{in}

מה שקורה כעת, זה ש- $Q_{in}$ הוא רק המטען שנמצא בתוך המטעפת הגאוסית, שהיא בתוך הכדור. נתון שהכדור אחיד. נחשב כעת את $Q_{in}$ :

Q_{in}=\rho\frac{ 4}{3}\pi r^3 \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \rho= \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \end{matrix}}{=} \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \frac{4}{3} \pi r^3=Q \frac{r^3}{R^3}

כעת, נוכל להשתמש בכך:

E(r)r^2= k Q \frac{r^3}{R^3} \implies E(r) =\frac{kQ}{R^3}r \implies \vec{E}(r)=\frac{kQ}{R^3}r \hat{r}

מסקנה

\begin{array}{|c|c|} \hline \R{\text{מחוץ לכדור}} & \R{\text{בתוך הכדור}} \\ \hline \vec{E}(r)=k \frac{Q}{r^2}\hat{r} & \vec{E}(r)=\frac{kQ}{R^3} r \hat{r} \\ \hline \end{array}

נצייר סקיצה של השדה החשמלי כתלות ב- $\hat{r}$ :
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-14 12.50.13.excalidraw.svg

תרגיל

חשבו את השדה החשמלי במרחב שנוצר ע"י מישור $\infty$ הטעון בצפיפות מטען משטחית אחידה $\sigma$ .

נתחיל מלצייר סקיצה של המערכת:
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-14 12.52.53.excalidraw.svg
מישורים קל לתאר בקורדינטות קרטזיות ולכן נעבוד בהן. ננסה להחליט במי השדה תלוי.
כאשר אנו הולכים בכיוון ה- $\hat{y}$ נשים לב שבגלל שיש לנו צפיפות מטען משטחית אחידה, שום דבר לא משתנה, שכן המשטח $\infty$ ולכן גם אם נלך ל- $\infty$ עדיין המשטח יהיה באותו המקום ביחס אלינו. באותו האופן גם ב- $\hat{x}$ . לכן, שניהם לא משנים את השדה והשדה אולי תלוי ב- $\hat{z}$ .

E(x,y,z)=E(\hat{z})\begin{cases} \hat{z} & z>0 \\ -\hat{z} & z<0 \end{cases}

הבנו את הכיוון כי יש סימטריה במישור $xy$ ולכן, לכל וקטור שדה בכיוון ה- $\hat{x}$ יהיה נגדי לו ולכן הוא יתאפס עם הנגדי לו. לכן, נותרת רק השפעה בציר ה- $\hat{z}$ .
נשים לב גם כי $|E(z)|=|E(-z)|$ .

נחשוב כעת על איזו מעטפת גאוסית נשתמש בה. נרצה להוציא את $E$ כגורם משותף, לכן אם תהיה מעטפת בעלת אותו ה- $z$ נוכל להוציא אותו. אוסף הנקודות בעלות אותו ה- $\hat{z}$ זה שני משטחים מלמעלה ומלמטה. אך אנו צריכים מטעפת סגורה בשביל גאוס, לכן, נוסיף לשני המשטחים שלנו פאות שלא ישפיעו על השדה שלנו שכן הם לכיוון החוצה שלהם שהוא במישור $xy$ ולפי הנל, אין השפעה.
נוכל לבחור כמה צורות שונות שישמשו כמעטפת גאוסית: גליל, קוביה וכו' - זה לא משנה. גם המשטחים יכולים להיות באיזו צורה שמתאימה לנו - ריבוע, משולש, עיגול וכו'.

נחיל לחשב:

\begin{align*} \oiint \vec{E}d\vec{s}&=\iint |E(z)|\hat{z}ds\hat{z}+\iint |E(-z)|(-\hat{z})ds(-\hat{z})=|E(z)|\iint ds+|E(-z)|\iint ds \\ \\ &=|E(z)|A+|E(-z)|A=2|E(z)|A \\ & \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{גאוס}} \end{matrix}}{=}\frac{\sigma A}{\epsilon_{0}} \end{align*}

\Downarrow

2|E(z)|=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}} \implies |E(z)|=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}

נשים לב כי קיבלנו ש- $|E(z)|$ אינו תלוי ב- $z$ .

\vec{E}(z)=\begin{cases} \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}} & z>0 \\ 0 & z=0 & \R{\text{ללא קשר לחוק גאוס:}} \\ -\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}} & z<0 \end{cases}

נצייר זאת בתור גרף:
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-14 13.07.25.excalidraw.svg

השינוי בשדה

נזכר בקליפה כדורית ונראה מה גרף השדה שלה:
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-14 13.13.27.excalidraw.svg
כאשר אנו שואפים ל- $R$ מימין הגרף שואף ל- $\frac{kQ}{R^2}$ וכאשר אנו שואפים משמאל הגרף שואף ל- $0$ . מהו ההפרש?

\Delta E=\frac{kQ}{R^2}-0=\frac{kQ}{R^2}=\frac{k \sigma \pi R^2}{R^2}=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}

עוד מעט נראה כי לכל מצב $\Delta E=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ .

משפט (הקפיצה)

יהי משטח $A$ (לאו דווקא מישורי) ותהי $\sigma(\vec{r})$ פונקציית המטען. יהיו $\vec{E}_{1}$ השדה מתחת למשטח ו- $\vec{E}_{2}$ השדה מעל המשטח.

\lim_{ r \to r_{0}^+ } \vec{E}_{2}-\lim_{ r \to r_{0}^- } \vec{E}_{1}=\Delta \vec{E}=\frac{\sigma(\vec{r}_{0})}{\epsilon_{0}}(\pm \hat{r})

דוגמה

יהיו כמה לוחות בעלי שטח $A$ כאשר המרווח ביניהם הוא $d$ כאשר $A \gg d^2$ .
המטען העליון טעון ב- $-\sigma$ והמטען התחתון טעון ב- $+\sigma$ .
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-18 12.42.41.excalidraw.svg
נחשב את השדה בתחום $z<0$ לפי סופרפוזיציה ובתחומים האחרים לפי משפט הקפיצה.
נזכור ממקודם כי במישורים אינסופיים מתקיים כי השדה אינו תלוי במרחק ולכן, לפי סופרפוזיציה $E=0$ .
לפי משפט הקפיצה, $\Delta E=E_{2}-E_{1}=\frac{\sigma(z=0)}{\epsilon_{0}}$ ומכאן נובע כי $E_{2}=+\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ .
בנוסף, $E_{3}-E_{2}=\frac{\sigma(z=d)}{\epsilon_{0}}$ ולכן $E_{3}=E_{2}+\frac{\sigma(z=d)}{\epsilon_{0}}=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}+\frac{-\sigma}{\epsilon_{0}}=0$ .

חוק גאוס בצורה הדיפרנציאלית

הערה (תזכורת)

\vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{z}

בעבר, בקורס במכניקה, ראינו שימוש באופרטור נבלה בתצורה של גרדיאנט.
דוגמה: $\vec{F}_{\R{\text{משמר}}}=-\vec{\nabla}U$ .
ניתן להשתמש באופרטור נבלה הזה בעוד תצורות עם שמות שאין סיכוי שאני מוציא מדיבור.
אנו נתרכז כעת בדיברגנץ.

הקדמה: הדיברגנץ

הגדרה (סימון)

\vec{\nabla}\cdot \vec{F}

כאשר $\vec{F}$ שדה וקטורי כללי.

איך נחשב זאת?

\begin{align*} \vec{\nabla}\cdot \vec{F}&=\left( \frac{\partial}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{z} \right)\cdot(F_{x}\hat{x}+F_{y}\hat{y}+F_{z}\hat{z}) \\ &=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z} \end{align*}

הגדרה 7 (דיברגנץ)

נסמן $v_{i}$ נפח של מעטפת.

\vec{\nabla}\cdot \vec{F}=\lim_{ v_{i} \to 0 } \frac{\begin{gather}\oiint \vec{F}\cdot d\vec{s}\end{gather}}{v_{i}}

החוק

משפט (חוק גאוס הדיפרנציאלי

\left({\Tiny\begin{matrix}\R{\text{בקורס זה}}\\\R{\text{ללא ההוכחה}}\end{matrix}}\right)

)

\vec{\nabla}\cdot \vec{E}(x,y,z)=4\pi k\rho(x,y,z)=\frac{\rho(x,y,z)}{\epsilon_{0}}

לרוב, נשתמש בחוק גאוס בצורה הדיפרנציאלית כאשר נתון השדה החשמלי ויש לחשב את צפיפות המטען הנפחית המתאימה.

תרגיל

נתון השדה החשמלי הבא(עבור $x>0$ )

\vec{E}=\begin{cases} \frac{\rho_{0}d}{24\epsilon_{0}} \hat{x} & x> \frac{d}{2} \\ \frac{\rho_{0}x^3}{3d^2\epsilon_{0}}\hat{x} & 0<x< \frac{d}{2} \end{cases}

מהי צפיפות המטען הנפחית בתחומים הללו בהתאמה?

עבור $x> \frac{d}{2}$ :
לפי חוק גאוס הדיפרנציאלי:

\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=\frac{\partial E_{x}}{\partial x}+\frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\rho_{0}d}{24\epsilon_{0}} \right)=0=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}

\implies \rho=0

פרשנות: מחוץ לטבלה, באיזור הזה אין מטענים.

עבור $0<x< \frac{d}{2}$ :
לפי חוק גאוס הדיפרנציאלי:

\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=\frac{\partial E_{x}}{\partial x}+\frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\rho_{0}x^3}{3d^2\epsilon_{0}} \right)=\frac{\rho_{0}}{d^2\epsilon_{0}}x^2= \frac{\rho}{\epsilon_{0}}

\implies \rho(x)=\frac{\rho_{0}}{d^2}x^2

פרשנות: בתוך הטבלה.

פוטנציאל חשמלי

נניח ואנו רוצים לעשות טיול מיגור לעתלית - איזה כלי יוכל לעזור לנו למצוא כמה כוח יקח לנו לעשות את זה? הכלי שנשתמש בו הוא מפה. זה כלי שנותן לנו לראות את המישור(הלא ישר כי יש את הכרמל באמצע) עם קווי הגובה וכך נוכל לדעת מה יקרה.
פוטנציאל חשמלי גם הוא כמו מפה שכזו עבור העבודה שנדרש לעשות על מנת להזיז מטענים.

הגדרה 8 (פוטנציאל חשמלי)

הפוטנציאל החשמלי הוא העבודה ליחידת מטען שיש להשקיע כדי להביא את המטען מנקדות הייחוס לנקודה כלשהי במרחב.
הפוטנציאל החשמלי הוא פונקציה סקלרית של המרחב.

\varphi(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_{ref}}^{\vec{r}}\frac{\vec{F}\cdot d\vec{r}}{q}=-\int_{\vec{r}_{ref}}^{\vec{r}} \vec{E}\cdot d\vec{r} \qquad \left[ \frac{J}{C} \right]=[V]

הפוטנציאל תלוי בבחירת נקודת הייחוס.

דוגמה

פוטנציאל של מטען נקודתי $Q$ .
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-19 10.37.52.excalidraw.svg
בחירות: קורדינטות כדוריות. ראשית הצירים תהא על המטען.
נהוג(עבור מערכות קומפקטיות) לקבוע את נק' הייחוס באינסוף כך ש- $\varphi(r\to \infty)=0$ . ניתן לקבוע במקומות אחרים, אבל אז יש לציין זאת במפורש.
נבחר כנהוג שנקודת הייחוס $r_{ref}:r\to \infty$ .

נחשב לפי ההגדרה:

\varphi(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_{ref}}^{\vec{r}} \vec{E}d\vec{\tilde{r}}=-\int_{\infty}^{\vec{r}} \frac{kQ}{\tilde{r}^2}\hat{r} \cdot d\tilde{r}\hat{r}=-kQ \int_{\infty} ^{\vec{r}} \frac{d\tilde{r}}{\tilde{r}^2}=-kQ\left[ -\frac{1}{\tilde{r}} \right]_{\infty}^r =-\frac{kQ}{r}

דוגמה (פוטנציאל שוצר ע"י אוסף של מטענים נקודתיים)

1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-19 10.49.06.excalidraw.svg
נקודת הייחוס נקבעה ב- $\infty$ .

r_{i}=|\vec{r}_{i}|=\sqrt{ (x-x_{i}')^2+(y-y_{i}')^2+(z-z_{i}')^2 }

לפי עקרון הסופרפוזיציה:

\varphi(x,y,z)=\sum_{i=1}^N \frac{kq_{i}}{\sqrt{ (x-x_{i}')^2+(y-y_{i}')^2+(z-z_{i}')^2 }}

דוגמה (פוטנציאל שנוצר ע"י התפלגות מטען רציפה(נפחית))

פיזיקה2-אלקטרוסטטיקה-פוטנציאל1.svg
נעבוד בקורדינטות קרטזיות.

\varphi(\underbrace{x,y,z}_{\vec{r}})=\int_{Q} \frac{kdq}{\sqrt{ (x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2 }}=\int_{z'}\int_{y'}\int_{x'} \frac{k\rho(x',y',z') dx'dy'dz'}{\sqrt{ (x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2 }}

הגבולות הינם בהתאם לצורה. (פר בעיה תינתן לנו הצורה הזו)

דוגמה (פוטנציאל הנוצר ע"י קליפה כדורית בעלת רדיוס

R

, הטעונה במטען כולל

Q

המפולג על הקליפה באופן אחיד.)

\color{red}\LARGE \R{\text{בעיה חשובה!!!!}}

1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-19 11.07.00.excalidraw.svg
נעשה את הבחירות שיהפכו לנו את הבעיה לפשוטה:

קורדינטות כדוריות $(r,\theta,\varphi)$
ראשית הצירים במרכז הקליפה
נקודת היחוס ב- $\infty$ .

תזכורת: $\vec{E}=\begin{cases}\vec{0} & r<R \\ k \frac{Q}{r^2}\hat{r} & r>R\end{cases}$ . כעת, יש לנו את כל מה שנדרש כדי לחשב את הפוטנציאל. הגיוני שפונקציית הפוטנציאל תהיה גם שונה בבפנים ובבחוץ.
חלק א' - פוטנציאל מחוץ לקליפה $r>R$ :

\varphi(r>R)=-\int_{\infty}^r \frac{kQ}{r^2}\hat{r}\cdot d\tilde{r}\hat{r}=\frac{kQ}{r}

מחוץ לקליפה הפוטנציאל הינו כמו הפוטנציאל של מטען נקודתי.

חלק ב' - פוטנציאל בתוך הקליפה $r<R$ :
בגלל שאנו מביאים את המטען מה- $\infty$ אנו עדיין נדרש לעבור מחוץ לקליפה ונדרש לחבר גם את $\varphi$ שמצאנו קודם.

\varphi(r<R)=-\int_{\infty}^R \frac{kQ}{\tilde{r}^2}\hat{r}\cdot d\tilde{r}\hat{r}-\int_{R}^r \vec{0}d\tilde{r}\hat{r}=\frac{kQ}{R}

נצייר גרף:
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-19 11.15.36.excalidraw.svg

הערה (חשובה!)

תמיד הפונקציה של הפוטנציאל היא פונקציה רציפה (גם אם השדה איננו רציף)

הגדרה 9 (הפרש פוטנציאלים(מתח חשמלי))

V=\varphi(B)-\varphi(A)

תרגיל

עבור חוט דק טעון בצפיפות מטען אורכית אחידה $\lambda$ כאשר החוט $\infty$ -י, מהו הפרש הפוטנציאלים?

1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-19 11.32.14.excalidraw.svg

\varphi(B)=-\int_{\vec{r}_{ref}}^B \vec{E}d\vec{r} \quad \qquad \varphi(A)=-\int_{\vec{r}_{ref}}^A \vec{E}\cdot d\vec{r}

\varphi(B)-\varphi(A)=-\int_{A}^B \vec{E}d\vec{r}

נוכל לבחור כמה מסלולים אך אנו נבחר לנו את הנוח ביותר לחשב את שטחו: נעלה למעלה בכיוון אנכי עד שנגיע לגובה של $B$ ואז נלך ימינה באופן אופקי עד שנגיע לנקודה $B$ . מה שטוב במסלול הזה הוא שהוא בעל קווים המקבילים לצירים וכך יותר קל לחשב.

\varphi(B)-\varphi(A)=-\int_{r_{\tiny A}}^{r_{\tiny B}} \frac{2k\lambda}{r}\hat{r}dr\hat{r}-\int_{z_{\tiny A}}^{z_{\tiny B}} \frac{2k\lambda}{r}\hat{r}dz\hat{z}=-2k\lambda \ln\left( \frac{r_{\tiny B}}{r_{\tiny A}} \right)=2k\lambda \ln\left( \frac{r_{\tiny A}}{r_{\tiny B}} \right)

תרגיל

נתון שדה חשמלי $\vec{E}(x,y)=(3x^2+3y^2)\hat{x}+6xy\hat{y}$ . נתון כי נקודת הייחוס היא בראשית הצירים.
מהו הפוטנציאל בנק' $(x_{0},y_{0})$ ?

פיזיקה2-אלקטרוסטטיקה-פוטנציאל חשמלי2.svg
אנו שוב נרצה לקחת את המסלול הקל ביותר לחישוב. לשם כך, כמו בתרגיל הקודם, נקח מסלול המקביל לצירים - במקרה הזה $xy$ .
נלך תחילה מ- $(0,0)$ ל- $(x_{0},0)$ ואז מ- $(x_{0},0)$ ל- $(x_{0},y_{0})$ .
נשים לב כי לאורך המסלול הראשון, $y=0$ בכל נקודה ונקבל כי לאורך המסלול מתקיים: $\vec{E}=3x^2\hat{x}+0\hat{y}$
במסלול השני תמיד $x=x_{0}$ ולכן מתקיים: $\vec{E}=(3x_{0}^2+3y^2)\hat{x}+6x_{0}y\hat{y}$

\begin{align*} \varphi(x_{0},y_{0})&=-\int_{0}^{x_{0}} (3x^2\hat{x})dx\hat{x}-\int_{0}^{y_{0}} [(3x_{0}^2+3y^2)\hat{x}+x_{0}y\hat{y}]\cdot dy\hat{y} \\ &=-\int_{0}^{x_{0}} 3x^2dx-\int_{0}^{y_{0}} 6x_{0}ydy=-x_{0}^3-3x_{0}y_{0}^2 \end{align*}

הקשר בין השדה החשמלי והפוטנציאל

מצד אחד, אנו יודעים כי $\displaystyle \varphi(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_{ref}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{\tilde{r}}$ . אם יש לנו פוטנציאל ואנו רוצים למצוא את השדה נוכל להשתמש בגרדיאנט:

\vec{E}=-\vec{\nabla}\varphi=-\frac{\partial\varphi}{\partial x}\hat{x}-\frac{\partial\varphi}{\partial y}\hat{y}-\frac{\partial\varphi}{\partial z}\hat{z}

זה שימושי כאשר ידוע הפוטנציאל ויש לחשב את השדה או את הכוח על מטען נתון או את התפלגות המטען המתאימה.

משטחים(או נפחים) שווי פוטנציאל

הגדרה 10

המקום הגיאומטרי שעבורו הפוטנציאל זהה נקרא משטח שווה פוטנציאל.

אם נניח יש לנו פוטנציאל $\varphi=\frac{kQ}{r}$ אזי אוסף נקודות שעבורו הפוטנציאל זהה הינן בעלות אותו ה- $r$ . זהו משטח שווה פוטנציאל.
במידה ואנו נסתכל על קליפה כדורית, מחוץ לקליפה, משטחים שווי פוטנציאל הם ספירות בעלות רדיוס $r$ .

נשים לב לתכונה נוספת של משטחים שווי פוטנציאל. נשים לב כי המשטחים ניצבים לקווי השדה. למה? איך? הוכחה מישהו? נראה עוד שנייה :)

טענה

קווי השדה החשמלי ניצבים למשטחים שווי פוטנציאל.

פיזיקה2-אלקטרוסטטיקה-פוטנציאל חשמלי3.svg
נתון משטח שווה פוטנציאל ונניח בשלילה כי השדה אינו ניצב למשטח הנ"ל. כלומר, לשדה החשמלי יש לפחות רכיב אחד שמקביל למשטח.
אם נסתכל על שתי נקודות על קו השדה המקביל נקבל כי:

V=-\int_{A}^B \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{A}^B (E_{\parallel}\hat{\parallel}+E_{\perp}\hat{\perp})\cdot d\vec{r}

אנו הולכים מ- $A$ ל- $B$ ולכן הכיוון של $dr$ הינו גם בכיוון המקביל. אזי נקבל:

0=-\int_{A}^B E_{\parallel}dr \implies E_{\parallel}=0

רוטור של שדה אלקטרוסטטי

הקדמה: רוטור של שדה וקטורי

\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{z}

רוטור הינו $\vec{\nabla}\times \vec{F}$ ומחשבים אותו כך:

\vec{\nabla}\times \vec{F}=\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{vmatrix}

\vec{\nabla}\times \vec{F}=\hat{x}\left( \frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z} \right)-\hat{y}\left( \frac{\partial F_{z}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial z} \right)+\hat{z}\left( \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} \right)

דוגמה

פיזיקה2-אלקטרוסטטיקה-פוטנציאל חשמלי4.svg

\begin{matrix} \vec{F}=-x^2\hat{y} \qquad \qquad \vec{F}=x\hat{x}+y\hat{y} \qquad \qquad \vec{F}=y\hat{x}-x\hat{y} \end{matrix}

אנו נלך לפי המוסכמה: הכיוון של הוקטורים של השדה הם לפי הכיוון שאנחנו מסתכלים עליו וצפיפות הקווים לא תשנה אלא ישנה אורכם.
נתחיל מהציור הימני ביותר:

\vec{\nabla}\times \vec{F}=\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y & -x & 0 \end{vmatrix}=\hat{z}(-1-1)-2\hat{z}

אם היינו לוקחים כדור טניס קטן והיינו שמים אותו איפשהו במערבוליות הזאתי ושמנו איזשהו מקל שלא נותן לו לזוז ורק מאפשר לו להסתובב סביב עצמו. האם הוא יסתובב? כן, כי מימין יש לו זרם מים חזק יותר ואז הוא יסתובב עם כיוון השעון. להסתובב עם כיוון השעון עם עצמו תואם את זה שסיבוב עם כיוון השעון הוא סיבוב בכיוון של $-\hat{z}$ . פה יש לנו אינטואיציה בסיסית על ההתנהגות.

בציור המרכזי, נקח שוב כדור טניס דמיוני - האם הוא יסתובב? שני הצדדים מנסים לסובב אותו לצדדים מנוגדים אזי הוא לא יסתובב סביב עצמו.
נחשב כעת את הרוטור:

\vec{\nabla}\times \vec{F}=\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x & y & 0 \end{vmatrix}=\vec{0}

וזה באמת תואם את זה שהכדור הדימיוני לא מסתובב סביב עצמו.

לבסוף, בציור השמאלי, ככל שאנחנו מתקרבים לראשית החצים נהיים קטנים יותר אבל רק בהשפעת המרחק מציר ה- $\hat{x}$ .
אם נשים כדור דמיוני נניח באגף הימני של ציר ה- $\hat{x}$ הוא יסתובב סביב עצמו שכן מימין יש לו זרם חזק יותר - הוא יסתובב עם כיוון השעון.

\vec{\nabla}\times \vec{F}=\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & -x^2 & 0 \end{vmatrix}=-2x\hat{z}

קיבלנו רוטור שתלוי ב- $x$ ולכן כאשר הכדור יהיה בצד הימני של ציר ה- $\hat{x}$ הכדור יסתובב עם כיוון השעון ואם נשים את הכדור בצד השמאלי של $\hat{x}$ אנחנו נקבל סיבוב נגד כיוון השעון.

הגדרה 11

\vec{\nabla}\times \vec{F}=\lim_{ a_{x} \to 0 } \frac{\begin{gather} \oint_{c_{x}} \vec{F}\cdot d\vec{r} \end{gather}}{a_{x}}\hat{x}+\lim_{ a_{y} \to 0 } \frac{\begin{gather} \oint_{c_{y}} \vec{F}\cdot d\vec{r} \end{gather}}{a_{y}}\hat{y}+\lim_{ a_{z} \to 0 } \frac{\begin{gather} \oint_{c_{z}} \vec{F}\cdot d\vec{r} \end{gather}}{a_{z}}\hat{z}

המשפט

דיברנו על כך שהכוח החשמלי שאנו מקבלים מחוק קולון הוא כוח מרכזי ולכן הוא כוח מרכזי.
בנוסף, לפי הגדרת השדה אנו יודעים כי השדה החשמלי הוא מרכזי(כי מחוק קולון הכוח החשמלי הוא מרכזי)
לכן אנו יודעים כי $\displaystyle \oint \vec{F}\cdot d\vec{r}=0$ לכל מסלול סגור.
לכן, $\displaystyle \oint \vec{E}\cdot d\vec{r}=0$ לכל מסלול סגור.
לאור הגדרת הרוטור חייב להתקיים כי הרוטור של שדה אלקטרוסטטי הוא 0.

\vec{\nabla}\times \vec{E}=0

דוגמה

פיזיקה2-אלקטרוסטטיקה-פוטנציאל חשמלי4.svg
אם כעת נקח פונקציות של שדה:

\begin{matrix} \vec{E}=-x^2\hat{y} \qquad \qquad \vec{E}=x\hat{x}+y\hat{y} \qquad \qquad \vec{E}=y\hat{x}-x\hat{y} \end{matrix}

אנו נרצה לברר איזה שדה יכול להיות שדה חשמלי.

\vec{\nabla}\times \vec{E}=-2x\hat{z} \qquad \qquad \vec{\nabla}\times \vec{E}=0 \qquad \qquad \vec{\nabla}\times \vec{E}=-2\hat{z}

הימני והשמאלי לא יכולים להיות שדות חשמליים שכן הרוטור שלהם אינו שווה ל-0.
האמצעי בהחלט יכול להיות שדה חשמלי. (לא מובטח שהוא שדה חשמלי(זה לא אמ"מ - אין בזה הגיון))

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית

ראינו ממקודם כי:

U=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N q_{i} \sum_{j \neq i}^N \frac{kq_{j}}{r_{ij}}

נשים לב כי הסכום האחרון הוא הפוטנציאל שכל המטענים האחרים יוצרים בנקודה בה נמצא המטען $q_{i}$ . לכן, בעצם מתקיים:

\boxed{U=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N q_{i}\varphi_{i}}

בהכללה לרצף נקבל:

U=\frac{1}{2}\int_{Q} \varphi dq

מוליכים (אלקטרוסטטיים)

ניתן לסווג את החומרים השונים ל-4 סוגים מבחינת המוליכות החשמלית:

מבודדים - לא מאפשרים תנועה של מטענים דרכם.
מוליכים למחצה - מוליכים תחת מצבי לחץ וטמפרטורה מסויימים.
מוליכים - מאפשרים תנועה של חומרים דרכם אך מתנגדים דרכם. (נניח כסף מוליך יותר טוב מנחושת)
מוליכי על - לא מתנגדים כלל למעבר של מטענים דרכם.

בשלב הזה של הקורס אנו נעסוק רק בשני מצבים: מבודדים אידיאלים ומוליכים אידיאלים.
כשנעבור את אלקטרוסטטיקה נדבר על מה מוליך טוב ומה פחות.

איך מתנהג מוליך בצורה פשטנית?

נסתכל על אטום בצורה פשטנית
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-0.svg
כאשר יש אלקטרונים שקשורים חלש מאוד לגרעין(להם נקרא "אלקטרונים חופשיים") הם יכולים לנוע בתוך החומר ולכן החומר מוליך שכן הוא יכול לקבל ולאבד מטען.
ככל שהאלקטרון רחוק יותר מהגרעין הוא קשור חלש יותר. בכך, אם נבנה מעטפת גאוסית סביב הגרעין שכוללת את הקלטרון, היא תכלול עוד אלקטרונים שימסכו.

תכונות של מוליכים במצב אלקטרוסטטי

נניח ויש לנו גוף מוליך ושמים אותו בשדה חשמלי חיצוני.
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-1.svg
בצד שמאל יצטברו לנו מינוסים - אלקטרונים חופשיים שהולכים נגד כיוון השדה. לכן, יווצר לנו מצב של עודף מטען חיובי בצד הימני.
נוצר שדה חשמלי חדש, בתוך הגוף, אשר כיוונו נגד כיוון השדה החיצוני.
התהליך הזה(של תנועת האלקטרונים) נמשך עד שהשדה שנוצר מהפרדת המטענים משתווה בגודלו לשדה המקורי.
ברגע שאנו מגיעים למצב אלקטרוסטטי, סך כל השדה החשמלי בתוך המוליך שווה ל-0.

אם $\underset{\R{\text{בתוך המוליך}}}{\vec{E}}=0$ אז:

\Delta \varphi=-\int_{A}^B \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{A}^B 0\cdot d\vec{r}=0

⇐ נפח הגוף המוליך ושפתו הם שווי פוטנציאל ⇐ קווי השדה ניצבים לשפת המוליך.
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-2.svg
בנוסף, $\vec{\nabla}\times \vec{E}=4\pi k\rho$ לפי גאוס הדיפרנציאלי ולכן:

\vec{E}=0 \implies \underset{\R{\text{בתוך המוליך}}}{\rho}=0

אם יש התפלגות מטען היא תהיה רק על השפה(התפלגות מטען משטחית $\sigma$ )

תרגיל

קליפה מוליכה עבה בעלת רדיוס פנימי $a$ ורדיוס חיצוני $b$ נטרלית. במרכז החלל שבתוך הקליפה מוצב מטען נקודתי $Q>0$ .
א. מהו המטען על השפה הפנימית ( $a$ ) ועל השפה החיצונית $(b)$ של הקליפה?
ב. מהו השדה החשמלי במרחב?

פתרון א':
נצייר סקיצה:
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-3.svg
במצב אלקטרוסטטי, השדה חייב להיות שווה ל-0 בתוך הקליפה.
אם נרצה לדעת את צפיפות המטען בתוך הקליפה, נוכל להשתמש בחוק גאוס ולדרוש ש- $Q_{in}$ יהיה שווה לאפס.
מי זה $Q_{in}$ ? נסמן את המטענים על השפה $a$ ו- $b$ בהתאמה $Q_{b},Q_{a}$ .

Q_{in}=Q+Q_{a}=0 \implies Q_{a}=-Q

כלומר, על השפה הפנימית מצטברים אלקטרונים ולכן יווצר שם מטען שלילי.

כעת, נרצה לדעת מהו המטען שיש על השפה החיצונית. נתון שהקליפה היא נטרלית. כלומר, סך כל המטען על הגוף שווה ל- $0$ . לכן:

Q_{a}+Q_{b} =0 \implies Q_{b}=-Q_{a}=-(-Q)=Q

כלומר, על השפה החיצונית אין הרבה אלקטרונים ולכן יווצר שם מטען חיובי.

פתרון ב':
לפי עקרון הסופרפוזיציה ניתן לחשב את השדה החשמלי במרחב:

E=\begin{cases} \frac{kQ}{r^2}\hat{r} & r<a \\ \vec{0} & a<r<b \\ \frac{kQ}{r^2}\hat{r} & b<r \end{cases}

זאת לפי חוק גאוס.
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-4.svg
נשים לב כי קיבלנו קפיצות בשדה שכן עברנו משטח עם צפיפויות $\sigma$ כלשהן.

הערה

לגבי השדה על השפה לא מדברים בקורס.

דוגמה (אנרגיה פוטנציאלית חשמלית שאצורה במערכת של

n

מוליכים טעונים)

יש לנו $n$ מוליכים. כל אחד עם הצורה שלו והמטען שלו. לכל צורה, $\varphi_{i}$ הוא הפוטנציאל בנק' בה היא נמצאת שיצרו כל הצורות האחרות.
נניח שאנו יודעים מה המטען על כל מוליך ומה הפוטנציאל על כל מוליך.
אנו נרצה לחשב את האנרגיה הפוטנציאלית:

U=\frac{1}{2}\int_{Q} \varphi dq=\frac{1}{2}\int_{q_{1}} \varphi_{1}dq_{1}+\frac{1}{2}\int_{q_{2}} \varphi_{2}dq_{2}+\dots+\frac{1}{2}\int_{q_{n}} \varphi_{n}dq_{n}

מוליך הוא גוף שווה פוטנציאל ולכן, בכל נקודה על מוליך מסויים, הפוטנציאל זהה ולכן נוכל להוציא את $\varphi$ מהאינטגרל כך:

U=\frac{1}{2}\varphi_{1}\int_{q_{1}}dq_{1}+\frac{1}{2}\varphi_{2}\int_{q_{2}} dq_{2}+\dots+\frac{1}{2}\varphi_{n}\int_{q_{n}}dq_{n}=\boxed{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \varphi_{i}q_{i}}

נשים לב כי הנוסחה שקיבלנו כאן זהה לנוסחה על מטענים נקודתיים.
זוהי נוסחה שניתן להשתמש בה עבור $n$ מוליכים טעונים.

תרגיל

חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית האצורה בקבל לוחות טעון.
1 - אלקטרוסטטיקה 2026-05-28 12.43.12.excalidraw.svg

נשתמש בנוסחה שפיתחנו קודם: $U=\frac{1}{2}\varphi(z=0)\sigma A+\frac{1}{2}\varphi(z=d)(-\sigma A)$ .
כעת רק נותר למצוא את הפוטנציאלים. אבל בתכלס, אנו יכולים למצוא רק את הפרש הפוטנציאלים שכן:

U=\frac{1}{2}\sigma A(\varphi(z=0)-\varphi(z=d))

נבצע חישוב עזר:

\Delta\varphi=\varphi(z=0)-\varphi(z=d)=-\int_{d}^0 \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}\hat{z}\cdot dz \hat{z}=-\int_{d}^0 \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}dz=\frac{\sigma d}{\epsilon_{0}}

לכן נקבל כי האנרגיה הפוטנציאלית הינה:

U=\frac{1}{2}\frac{\sigma^2Ad}{\epsilon_{0}}

מצאנו את האנרגיה העצורה בקבל לוחות עם $\pm\sigma$ .

כעת, נרצה להסתכל על האנרגיה מנקודת מבט מעט שונה, של שדות חשמליים, על מנת לפתח נוסחה אחרת אשר גם בה נוכל להשתמש.

U=\frac{\sigma^2Ad}{2\epsilon_{0}} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \vec{E}=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}} \end{matrix}}{=} \frac{\sigma^2Ad}{2\epsilon_{0}^2}\epsilon_{0} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ V_{\R{\text{נפח}}}=Ad \end{matrix}}{=} \frac{\epsilon_{0}\vec{E}^2V_{\R{\text{נפח}}}}{2}

ניתן לקחת את הנוסחה הזאת ולהכליל אותה למקרה הכללי יותר בו השדה כן תלוי בנקודה בה אנו נמצאים.
כאשר מכלילים למקרה כללי יותר, נקבל את הנוסחה הבאה:

U=\frac{\epsilon_{0}}{2} \underset{\begin{matrix} \R{\text{על כל המרחב}} \\ \begin{pmatrix} \R{\text{על כל העולם}} \\ \R{\text{כולו}} \end{pmatrix} \end{matrix}}{\iiint} {E}^2dV

דוגמה

נחשב את האלקטרוסטטית העצורה בקליפה כדורית הטעונה במטען כולל $Q$ המפולג באופן אחיד. רדיוס קליפה $R$ .
נחשב בשתי דרכים ונתחיל בדרך החדשה יותר:

\begin{align*} U&=\frac{\epsilon_{0}}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^\pi \int_{0}^R 0^2dV+\frac{\epsilon_{0}}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{R}^{\infty} \frac{k^2Q^2}{r^4} r^2\sin\theta \,d\theta d\varphi dr \\ &=\frac{\epsilon_{0}}{2}k^2Q^2 \int_{R}^\infty \frac{dr}{r^2}\int_{0}^\pi \sin\theta\,d\theta \int_{0}^{2\pi}d\varphi=\frac{\epsilon_{0}}{2}k^2Q^2 \frac{1}{R} 2 \cdot 2\pi \\ &=4\pi\frac{\epsilon_{0}k^2Q^2}{2R}=\frac{kQ^2}{2R} \end{align*}

זוהי האנרגיה שעצורה בקליפה כדורית אחידה הטעונה במטען כולל $Q$ .

כעת, נחשב בדרך השנייה:

\begin{align*} U&=\frac{1}{2}\int_{Q} \varphi dq=\frac{1}{2}\int_{Q} \frac{kQ}{R}dq=\frac{kQ}{2R}\int_{Q}dq=\frac{kQ^2}{2R} \end{align*}

את המעבר הזה עשינו שכן זוהי בעיה מוכרת. (ובזאת נאמר - הכניסו לדף הנוסחאות שלכם)

הערה

אם אנו נמצאים בבעיה לא מוכרת, שלא ראינו בעבר - נוח להשתמש בשיטה הראשונה(בדוגמה) שכן רק צריך למצוא שדה.
אם הבעיה מוכרת ואנו יודעים מהו הפוטנציאל בה, קל מאוד לעבוד עם השיטה השניה(בדוגמה).

חיבור בין מוליכים והארקה

נתונים 2 מוליכים:
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-5.svg
מחברים בין המוליכים בעזרת תיל מוליך דק
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-6.svg
באופן אפקטיבי שני המוליכים הפכו להיות מוליך אחד ויחיד שכן החיבור מאפשר מעבר בין מטענים מאחד לשני.
מכיוון שיש מעבר חופשי של מטענים, הפוטנציאלים ישתוו ונקבל $\varphi_{1}^*=\varphi_{2}^*$ .
נשים לב גם בנוסף כי אנו בריק ומטענים לא יכלו לצאת מהמערכת ולכן, לפי שימור מטען:

Q_{1}+Q_{2}=Q_{1}^*+Q_{2}^*

שני אלו כלים מאוד חזקים שאיתם ניתן לפתור בעיות רבות.

הערה

ניתן להשוות את מה שקורה כאן את מה שקורה כאשר יש לנו שני מיכלים שאנו שמים בהם מים בגובה שונה:
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-7.svg
לאחר מכן אנו לוקחים את אותם שני מיכלים ואנו מחברים בין התחתיות של המיכלים הללו באמצעות צינור דק מאוד.
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-8.svg
כעת יחל תהליך של מעבר מים עד אשר גובה המים ישווה בשני המיכלים.
זה מה שנקרא חוק כלים שלובים.

תרגיל

2 כדורים מוליכים בעלי רדיוסים $R_{1},R_{2}$ טעונים במטענים התחלתיים $Q_{1},Q_{2}$ בהתאמה.
מחברים את הכדורים באמצעות תיל מוליך דק (המטען עליו זניח) ומחכים רגע עד שהמערכת תתייצב.
נתון כי הכדורים רחוקים מאוד זה מזה.
א. מהו המטען הסופי על כל אחד מהכדורים?
ב. מהו המטען הסופי על כל אחד מהכדורים כאשר $R_{2}\gg R_{1}$ ?

פתרון א':
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-9.svg
נתחיל מהשוואת פוטנציאלים:
מכיוון שהכדורים מאוד מאוד רחוקים, אין השפעה של המטענים אחד על השני. בנוסף, אנו יודעים מכיוון שזה גוף מוליך, שהמטען נמצא רק על השפה ולכן הוא מתנהג כמו מטען נקודתי:

(1) \quad \frac{kQ_{2}^*}{R_{2}}=\frac{kQ_{1}^*}{R_{1}} \implies Q_{1}^*=\frac{R_{1}}{R_{2}}Q_{2}^*

כעת נעבור לשימור מטען:

(2) \quad Q_{1}+Q_{2}=Q_{1}^*+Q_{2}^* \underset{(1)}{=} \frac{R_{1}+R_{2}}{R_{2}}Q_{2}^* \implies Q_{2}^*=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(Q_{1}+Q_{2})

ולכן:

Q_{1}^*=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}(Q_{1}+Q_{2})

פתרון ב':
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-10.svg
פה אנו מתייחסים למקרה פרטי בו $R_{2}\gg R_{1}$ ולכן, מה שקורה הוא שהמטענים החיוביים ב- $Q_{1}$ דוחים אחד את השני, אך הם לא יכולים באמת לעשות זאת כי השפה מאודדד קטנה. לכן, הם מוכרחים לעבור ל- $Q_{2}$ הענק.
לכן, אנו נצפה שמטען חיובי יעבור מ- $Q_{1}$ ל- $Q_{2}$ .

Q_{2}^* \underset{R_{2}\to \infty}{\longrightarrow} Q_{1}+Q_{2} \qquad \qquad Q_{1}^* \underset{R_{2}\to \infty}{\longrightarrow} 0

וזה תואם את מה שאמרנו :)

הארקה

הארקה היא חיבור של מוליך לכדור הארץ כאשר ידוע שכדור הארץ בעצמו הוא מוליך גדול מאוד.
אנו מסמנים הארקה $⏚$
לאור השוואת פוטנציאלים:

\varphi\left(\begin{matrix} \R{\text{מוליך}} \\ \R{\text{מוארק}} \end{matrix}\right)=\varphi\left(\begin{matrix} \R{\text{כדוה"א}} \end{matrix}\right)=0

אנו בעצם לא משנים את הפוטנציאל של כדור הארץ שכן השינוי הוא כל כך זניח.
האם יש שימור מטען? אם המערכת היא הגוף המוארק בלבד, אז אין שימור מטען שכן כל המטען בורח לכדור הארץ. אם המערכת היא גם הגוך המוארק וגם כדור הארץ אז כן יש שימור מטען.

תרגיל

נתונות שתי קליפות כדוריות מוליכות דקות קונצנטריות. רדיוסי הקליפות $R$ ו- $2R$ והן טעונות ב- $5Q$ וב- $-Q$ בהתאמה.
מאריקים את הקליפה הפנימית.
א. מהו המטען על הקליפות לאחר ההארקה?
ב. מהו הפוטנציאל במרחב לאחר ההארקה?

פתרון א':
נצייר סקיצה:
פיזיקה2-הרצאת-מוליכים-תמונה-11.svg
על הקליפה החיצונית שום דבר לא השתנה ולכן המטען בה נשאר $-Q$ גם לאחר הארקה.
על הקליפה הפנימית בוצעה הארקה ולכן המטען בה השתנה ולכן נדרש למצוא את המטען החדש $Q^*$ .
הפוטנציאל על הקליפה הפנימית מתאפס לאור ההארקה ולכן:

0= \frac{kQ^*}{R}-\frac{kQ}{2R}=k \frac{2Q^*-Q}{2R}\implies Q^*=\frac{1}{2}Q

פתרון ב':
נחלק את המרחב לתחומים השונים ונחשב את הפוטנציאל לפי עקרון הסופרפוזיציה:

\varphi=\begin{cases} \frac{k \frac{Q}{2}}{R}+\frac{k(-Q)}{2R} & r\leq R \\ \frac{k \frac{Q}{2}}{r}+\frac{k(-Q)}{2R} & R<r\leq 2R \\ \frac{k \frac{Q}{2}}{r}+\frac{k(-Q)}{r} & 2R< r \end{cases}=\begin{cases} 0 & r\leq R \\ k \frac{Q}{2r}-\frac{kQ}{2R} & R<r\leq 2R \\ -\frac{kQ}{2r} & 2R< r \end{cases}

קיבול וקבלים

קבל טיפוסי בנוי מ- $2$ מוליכים, הטעונים ב- $+Q$ וב- $-Q$ .
האם יהיו מצבים אחרים? ברור, ואז צריך לחשוב. אך $\pm Q$ הוא המצב הטיפוסי.
פיזיקה2-הרצאה-קבלים-תמונה-1.svg
המתח בין מוליכי הקבל הינו:

V=\Delta \varphi=-\int_{-}^+ \vec{E}\cdot d\vec{r}

כעת נסתכל על הגדול שאנו קוראים לו קיבול:

הגדרה 12 (קיבול)

היחס בין המטען $Q$ לבין הפרש הפוטנציאלים נקרא קיבול והוא מסומן באות $C$ .

C=\frac{Q}{\Delta \varphi}=\frac{Q}{V}

זהו גודל קבוע לקבל התלוי בגיאומטריה שלו.
היחידה בה אנו מודדים קיבול היא $[F]$ - פאראד.

הערה

נשים לב כי זה תלוי בגיאומטריה ולכן, $Q$ חייב להצטמצם שכן היחס אינו תלוי ב- $Q$ .

דוגמה (קיבול של קבל לוחות)

מדובר על שני מוליכים בצורה של לוחות מישוריים המקבילים אחד לשני אשר שטחם $A$ והמרחק ביניהם הוא $d$ .
אנו נעבוד בשלבים:
א. נניח מטען $\pm Q$ על שני מוליכי הקבל.
ב. נמצא את הפרש הפוטנציאלים בין המוליכים. (או בעיה ידועה או לפי אינטגרל)
ג. מציבים בהגדרת הקיבול.

ראינו היום $\Delta \varphi=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}d$ ולכן נוכל ללכת ישר להצבה בהגדרת הקיבול:

C=\frac{Q}{\frac{\sigma d}{\epsilon_{0}}} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \sigma=\frac{Q}{A} \end{matrix}}{=} \frac{Q}{\frac{Qd}{A\epsilon_{0}}}=\frac{\epsilon_{0}A}{d}

קיבלנו כי הקיבול תלוי אך ורק בגיאומטריה.

אנו נרצה את הטוב משני העולמות: קבל קטן שגם יש לו יכולת קיבול גדולה.
לכן, לא נוכל להגדיל את $A$ לכל גודל שנרצה. אך בחיים האמיתיים, יכול להיות שהקבלים יפרקו אחד את השני אם הם יהיו קרובים מדי ולכן שמים ביניהם חומר דיאלקטרי (שאינו בחומר הסמסטר הזה לאור קיצורו ל- $12$ שבועות)
עוד דבר שניתן לעשות הוא ליצור קבל אשר נלפף אותו בעיגול ואז גם יש לו שטח יחסית גדול אבל הוא לא תופס הרבה נפח שכן השטח הזה מגולגל.

דוגמה (קבל כדורי)

יש לנו מוליך בצורת כדור שרדיוסו $R$ ואנו רוצים לדעת מה הקיבול שלו.
פיזיקה2-הרצאה-קבלים-תמונה-2.svg
זוהי אינה בעיה טיפוסית שכן אין לנו שני מוליכים, אלא רק אחד.
האם משהו ישתנה מבחינת השדה אם נוסיף מעטפת כדורית ברדיוס אינסופי? לא - כי זה לא ישנה שום דבר במערכת.
אז אנו מדמיינים מטעפת בעלת רדיוס $\infty$ ואז אנו מניחים שעל הכדור יש $+Q$ ועל המעטפת יש $-Q$ .
זוהי כבר בעיה מוכרת. אנו יודעים כי $\varphi_{\infty}=0$ ועל הכדור $\varphi=\frac{kQ}{R}$ .
כעת נוכל לחשב את הכדור:

C=\frac{Q}{\Delta \varphi}-\frac{Q}{\frac{kQ}{R}}=\frac{R}{k}

דוגמה

נניח ויש לנו קבל קליפות גלילי קואקסיאלי. כלומר, נתונות שתי קלפיות גליליות מוליכות, האחת בעלת רדיוס $a$ , השנייה בעלת רדיוס $b$ . נתון $a<b$ וכי הקליפות קואקסיאליות. לשתי הקליפות גובה $L$ כך ש- $L\gg b$ .
פיזיקה2-הרצאה-קבלים-תמונה-3.svg
נסמן את ציר הסימטריה המשותף שלהם ב- $\hat{z}$ .
מה נותן לנו את זה ש- $L\gg b$ ? להניח שהקליפות הינן באורך $\infty$ ולהשתמש בסימטריה שיוצאת מזה.
⇐ נניח מטענים $+Q,-Q$ על שני המטענים.
⇐ נחשב את $\Delta \varphi$
⇐ נציב בהגדרה
נניח כי על הקליפה הפנימית יש לנו את ה- $+Q$ ועל החיצונית יש $-Q$ .
הכיוון של השדה, לאור שאנו מתייחסים לזה כקליפות $\infty$ , הוא אך ורק $\hat{r}$ . כלומר, $\vec{E}(\vec{r})=E(r)\hat{r}$ .
נשתמש בחוק גאוס על מנת חישוב השדה שכן יש לנו מספיק סימטריה בבעיה זו:

נבנה מעטפת גאוסית בעל אורך $\ell$ ורדיוס $a<r<b$ .
מחוק גאוס נקבל: $\displaystyle \oiint \vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}$ כלומר, $E(r) \cdot 2\pi r\ell=\frac{1}{\epsilon_{0}} Q \frac{\ell}{L}$
מסקנה: $\displaystyle E(r)=\frac{Q}{2\pi r\epsilon_{0}L}=\frac{4\pi KQ}{2\pi rL}=\frac{2kQ}{rL}$ .

נוכל כעת לחשב את הפרש הפוטנציאלים:

\Delta \varphi=-\int_{b}^a \frac{2kQ}{rL}\hat{r}\cdot dr\hat{r}=-\frac{2kQ}{L}\int_{b}^a \frac{dr}{r}=\frac{2kQ}{L}(\ln b-\ln a)=\frac{2kQ}{L}\ln\left( \frac{b}{a} \right)

כעת נציב בהגדרה כדי למצוא את הקיבול:

C=\frac{Q}{\Delta \varphi}=\frac{Q}{\frac{2kQ}{L}\ln\left( \frac{b}{a} \right)}=\frac{L}{2k\ln \frac{b}{a}}

נבדוק שקיבלנו משהו שהוא תקין:

הכל תלוי בגיאומטריה, או קבוע של הטבע או פשוט מספר ולכן זה כביל :)

מה היה קורה אם נניח היינו שמים את המטענים הפוך על הקליפות? היה מתקיים:

\Delta \varphi=-\int_{\color{red} a}^{\color{red} b} {\color{red}-} \frac{2kQ}{rL}\hat{r}\cdot dr\hat{r}

ולכן, הכל היה נשאר אותו הדבר :)

אנרגיה שעצורה בקבל

אחד מהשימושיים המרכזיים בקבלים היא לאגור בתוכם אנרגיה, לרוב באופן זמני. בהמשך הקורס, נראה שימושים מגוונים לדבר זה.
ראינו אנרגיה במערכת של $N$ מוליכים טעונים וחישבנו שהיא $\displaystyle U=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N \varphi_{i}Q_{i}$ .
קבל, הוא מערכת של $N=2$ מוליכים עם מטענים $\pm Q$ . לכן מתקיים:

U=\frac{1}{2}\varphi_{+}Q+\frac{1}{2}\varphi_{-}(-Q)=\frac{1}{2}Q(\varphi_{+}-\varphi_{-})\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C=\frac{Q}{V} \end{matrix}}{=}\frac{1}{2}QV = \frac{1}{2} CV^2=\frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}

חיבור קבלים בטור ובמקביל

הגדרה (סימונים)

קיבל - [להוסיף סימן]
סוללה - [להוסיף סימן]

חיבור קבלים במקביל

חיבור של רכיבים חשמליים במקביל, פירושו שעל כל הרכיבים יש את אותו המתח.
פיזיקה2-הרצאה-קבלים-תמונה-4.svg
את כל הדבר הזה נרצה להחליף בקבל יחיד אשר נקרא לו קבל שקול ונסמנו $C_{T}$ ופירושו שהמערכת החיצונית לא יכולה לחוש בהבדל.
מי תהיה המערכת החיצונית? אנו נחשוב על הדבר הפשוט ביותר ונחבר את הקבלים שלנו לסוללה. לכן, כשנחליף את כל הקבלים לקבל השקול, אסור לסוללה לדעת שמשהו השתנה.
פיזיקה2-הרצאה-קבלים-תמונה-5.svg
נסמן את המטען על קבל 1 ב- $Q_{1}$ , את המטען על קבל 2 ב- $Q_{2}$ וכך הלאה.

לאור שימור מטען נקבל $Q=Q_{1}+Q_{2}+\dots+Q_{N}$ .
המתח על כל הקבלים זהה ולכן $V=V_{1}=V_{2}=\dots=V_{n}$ .

נרצה עכשיו באמצעות נוסחה $(2)$ להציב דברים בנוסחה $(1)$ כדי למצוא את הקיבול הכולל:

\begin{cases} Q_{1}=C_{1}V_{1}=C_{1}V \\ Q_{2}=C_{2}V_{2}=C_{2}V \\ \vdots \\ Q_{N}=C_{N}V_{N}=C_{N}V \end{cases}\implies Q=C_{T}V

נציב במשוואה הראשונה:

C_{T}V=C_{1}V+C_{2}V+\dots+C_{N}V \implies C_{T}=C_{1}+C_{2}+\dots+C_{N}

משפט (קבל שקול בחיבור קבלים במקביל)

יהיו $N$ קבלים המחוברים במקביל. אזי:

C_{T}=\sum_{i=1}^N C_{i}

חיבור קבלים בטור

על קבלים שמחוברים יש את אותו המטען.
פיזיקה2-הרצאה-קבלים-תמונה-6.svg
יש לנו $N$ קבלים המחוברים בטור אחד לשני אשר בקצוותיהם יש חיבור למעגל חשמלי, שבמקרה שלנו יהיה רק סוללה.
אנו נרצה להחליף את הקבלים בקבל יחיד $C_{T}$ כך שהמעגל החיצוני לא ירגיש הבדל.
פיזיקה2-הרצאה-קבלים-תמונה-7.svg
נוכל להסתכל על הקשר בין המתח שיש לנו במעגל שקיבלנו למעגל עם הקבל השקול.
נסמן את המטען על קבל 1 ב- $Q_{1}$ , את המטען על קבל 2 ב- $Q_{2}$ וכך הלאה.
נקבל:

\begin{align*} 1.\; & V=V_{1}+V_{2}+\dots+V_{N} & \R{\text{סופרפוזיציה}} \\ 2.\; & Q=Q_{1}=Q_{2}=\dots=Q_{N} & \R{\text{חיבור בטור}} \\ 3.\; & C=\frac{Q}{V} & \R{\text{הגדרת הקיבול}} \end{align*}

נציב במשוואות:

\frac{Q}{C_{T}}=\frac{Q}{C_{1}}+\frac{Q}{C_{2}}+\dots+\frac{Q}{C_{N}}

משפט (קבל שקול בחיבור קבלים בטור)

יהיו $N$ קבלים המחוברים בטור. אזי:

\frac{1}{C_{T}}=\sum_{i=1}^N \frac{1}{C_{i}}

חיבורים משולבים

תרגיל

נסתכל על המקרה הבא:
פיזיקה2-הרצאה-קבלים-תמונה-8.svg
נתונים 7 קבלים זהים בעלי קיבול $C$ המחוברים כמתואר באיור.
מהו הקיבול השקול בין הנקודות $A$ ו- $B$ ?

את כל הקבלים נרצה להחליף בקבל אחד שקול. אך אין לנו חיבור בטור או במקביל.
ניתן לחפש איזורים בהם יש חיבור בטור/במקביל ואז אפשר לעשות להם קבל שקול.
נסתכל כעת על שני הקבלים הימניים ונראה שהם בעצם מחוברים בטור. נסמן את הקבל השקול שלהם $C^*$ ואז:

\frac{1}{C^*}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C}=\frac{2}{C} \implies C^*=\frac{C}{2}

כעת נסתכל גם בפינה השמאלית ונראה שזה בדיוק אותו הדבר.
נצייר את המעגל מחדש:
פיזיקה2-הרצאה-קבלים-תמונה-9.svg
כעת נשים לב כי יש לנו חיבור במקביל של הקבלים ולכן נוכל לאחד אותם:

C^{**}=C^*+C+C^*\implies C^{**}=2C

נסתכל עוד פעם על המעגל:
פיזיקה2-הרצאה-קבלים-תמונה-10.svg
כעת, יש לנו חיבור בטור של שלושה קבלים ונעשה זאת כך:

\frac{1}{C_{T}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C^{**}}+\frac{1}{C}\implies C_{T}=\frac{2}{5}C

פיזיקה 2

אלקטרוסטטיקה

פיזיקה 2

אלקטרוסטטיקה

המטען החשמלי

הגדרה

יחידות

ההשפעה של המטען

עקרון הסופרפוזיציה

צפיפות מטען

צפיפות מטען אורכית

צפיפות מטען משטחית

צפיפות מטען נפחית

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית

בעייה דו-מטענית

בעיה nnn מטענית

בעיה תלת מטענית

בעיה NNN מטענית

התפלגות מטען

שדה חשמלי

שטף חשמלי

חוק גאוס

שימוש בחוק גאוס למציאת שדה חשמלי

שיטה לפתרון בעיות עם חוק גאוס

השינוי בשדה

חוק גאוס בצורה הדיפרנציאלית

הקדמה: הדיברגנץ

החוק

פוטנציאל חשמלי

הקשר בין השדה החשמלי והפוטנציאל

משטחים(או נפחים) שווי פוטנציאל

רוטור של שדה אלקטרוסטטי

הקדמה: רוטור של שדה וקטורי

המשפט

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית

מוליכים (אלקטרוסטטיים)

איך מתנהג מוליך בצורה פשטנית?

תכונות של מוליכים במצב אלקטרוסטטי

חיבור בין מוליכים והארקה

הארקה

קיבול וקבלים

אנרגיה שעצורה בקבל

חיבור קבלים בטור ובמקביל

חיבור קבלים במקביל

חיבור קבלים בטור

חיבורים משולבים

בעיה $n$ מטענית

בעיה $N$ מטענית