חזור לתיקייה: וובוורקים

וובוורק 6

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי

וובוורק 6

01040032

חשבון אינפיניטסימלי 2מ'

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

וובוורק 6

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

תרגיל (1)

נתונה סדרת הפונקציות fn(x)=sin⁡nxf_n(x)=\sin^n xfn​(x)=sinnx בקטע I=(−π2,π2)I=\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)I=(−2π​,2π​).
א. רשמו מהו גבול הסדרה: f(x)=lim⁡n→∞fn(x)f(x)=\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x)f(x)=limn→∞​fn​(x).
ב. רשמו מהו גבול הסדרה בנקודה x0=π2x_{0}=\frac{\pi}{2}x0​=2π​.
ג. האם הפונקציה fff רציפה בנקודה x0=π2x_{0}=\frac{\pi}{2}x0​=2π​?

פתרון א':
יהי x∈(−π2,π2)x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)x∈(−2π​,2π​). בקטע מתקיים −1<sin⁡x<1-1<\sin x<1−1<sinx<1 ולכן:

lim⁡n→∞sin⁡nx=0\lim_{ n \to \infty } \sin^n x=0n→∞lim​sinnx=0

פתרון ב':
בנקודה x0=π2x_{0}=\frac{\pi}{2}x0​=2π​ מתקיים sin⁡x0=1\sin x_{0}=1sinx0​=1 ולכן:

f(x0)=lim⁡n→∞sin⁡nπ2=lim⁡n→∞1n=1f(x_{0})=\lim_{ n \to \infty } \sin^n \frac{\pi}{2}=\lim_{ n \to \infty } 1^n=1f(x0​)=n→∞lim​sinn2π​=n→∞lim​1n=1

פתרון ג':
fff לא רציפה בנק' x0x_{0}x0​ שכן f(x0)=1f(x_{0})=1f(x0​)=1 ולכל x<x0x< x_{0}x<x0​ בקטע הפתוח מתקיים f(x0)=0f(x_{0})=0f(x0​)=0.

תרגיל (2)

מצאו את תחום ההתכנסות הנקודתית של הטור ∑n=1∞ln⁡nnx\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x}n=1∑∞​nxlnn​.

נקבע x0x_{0}x0​. לכל x0∈Rx_{0} \in \mathbb{R}x0​∈R מתקיים כי ln⁡nnx\frac{\ln n}{n^x}nxlnn​ הינה יורדת(שכן יש לה מקסימום ב-x=1x=1x=1), היא אי שלילית ולכן, נוכל להשתמש במבחן האינטגרל:

∫1∞ln⁡ttxdt=lim⁡M→∞∫1Mln⁡ttxdt=↓שיטת ההצבה(k=ln⁡tdk=1tdttx−1=e(x−1)k)lim⁡M→∞∫0ln⁡Mke(x−1)kdk=lim⁡M→∞∫0ln⁡Mke(1−x)kdk\begin{align*} \int_{1}^\infty \frac{\ln t}{t^x}dt&=\lim_{ M \to \infty } \int_{1}^M \frac{\ln t}{t^x}dt \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{שיטת ההצבה}} \\ \begin{pmatrix} k=\ln t \\ dk=\frac{1}{t}dt \\ t^{x-1}=e^{(x-1)k} \end{pmatrix} \end{matrix}}{=} \lim_{ M \to \infty } \int_{0}^{\ln M} \frac{k}{e^{(x-1)k}}dk=\lim_{ M \to \infty } \int_{0}^{\ln M} ke^{(1-x)k}dk \end{align*}1∫∞​txlnt​dt​=M→∞lim​1∫M​txlnt​dt↓שיטת ההצבה​k=lntdk=t1​dttx−1=e(x−1)k​​​=​M→∞lim​0∫lnM​e(x−1)kk​dk=M→∞lim​0∫lnM​ke(1−x)kdk​

עבור x=1x=1x=1 מתקיים:

lim⁡M→∞∫0ln⁡Mkdk=lim⁡M→∞M22=∞\lim_{ M \to \infty } \int_{0}^{\ln M}kdk=\lim_{ M \to \infty } \frac{M^2}{2}=\inftyM→∞lim​0∫lnM​kdk=M→∞lim​2M2​=∞

ולכן האינטגרל מתבדר.
עבור x≠1x \neq 1x=1 מתקיים:

 ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=↓אינטגרציה בחלקים(u=k  ⟹  u′=1v′=e(1−x)k  ⟹  v=e(1−x)k1−x) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣lim⁡M→∞(ke(1−x)k1−x∣0ln⁡M−∫0ln⁡Me(1−x)k1−xdk)=lim⁡M→∞(M1−xln⁡M1−x−e(1−x)k(1−x)2∣0ln⁡M)=lim⁡M→∞(ln⁡MM1−x1−x−M1−x(1−x)2+1(1−x)2)=lim⁡M→∞M1−x1−x(ln⁡M−11−x)+1(1−x)2\begin{align*} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{אינטגרציה בחלקים}} \\ \begin{pmatrix} u=k\implies u'=1 \\ v'=e^{(1-x)k}\implies v=\frac{e^{(1-x)k}}{1-x} \end{pmatrix} \end{matrix}}{=}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \lim_{ M \to \infty } \left( \left. k\frac{e^{(1-x)k}}{1-x} \right\vert_{0}^{\ln M}-\int_{0}^{\ln M} \frac{e^{(1-x)k}}{1-x}dk \right)=\lim_{ M \to \infty } \left( \frac{M^{1-x}\ln M }{1-x}-\left. \frac{e^{(1-x)k}}{(1-x)^2} \right\vert_{0}^{\ln M} \right) \\ &=\lim_{ M \to \infty } \left( \ln M \frac{M^{1-x}}{1-x}-\frac{M^{1-x}}{(1-x)^2}+\frac{1}{(1-x)^2} \right)=\lim_{ M \to \infty } \frac{M^{1-x}}{1-x}\left( \ln M-\frac{1}{1-x} \right)+\frac{1}{(1-x)^2} \end{align*}​↓אינטגרציה בחלקים(u=k⟹u′=1v′=e(1−x)k⟹v=1−xe(1−x)k​​)​=​M→∞lim​​k1−xe(1−x)k​​0lnM​−0∫lnM​1−xe(1−x)k​dk​=M→∞lim​(1−xM1−xlnM​−(1−x)2e(1−x)k​​0lnM​)=M→∞lim​(lnM1−xM1−x​−(1−x)2M1−x​+(1−x)21​)=M→∞lim​1−xM1−x​(lnM−1−x1​)+(1−x)21​​

כאשר x<1x<1x<1 החזקה 1−x1-x1−x חיובית ולכן האינטגרל מתבדר.
כאשר x>1x>1x>1 החזקה 1−x1-x1−x שלילית ולכן, גבול שואף ל-000 והאינטגרל מתכנס.

⇓\Downarrow⇓

הטור מתכנס עבור x>1x>1x>1.

תרגיל (3)

מצאו את תחום ההתכנסות של הטור ∑n=1∞15n−11+n∣x∣\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5^{n-1}\sqrt{ 1+n|x| }}n=1∑∞​5n−11+n∣x∣​1​

15n−11+n∣x∣≤15n−1\frac{1}{5^{n-1}\sqrt{ 1+n|x| }}\leq \frac{1}{5^{n-1}}5n−11+n∣x∣​1​≤5n−11​

הטור 15n−1\frac{1}{5^{n-1}}5n−11​ מתכנס ולכן, לכל x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R הטור הזה מתכנס נקודתית.

תרגיל (4)

משפט

סדרת הפונקציות fn(x)f_{n}(x)fn​(x) מתכנסת במ"ש ל-fff בקטע III אם ורק אם lim⁡n→∞sup⁡x∈I∣fn(x)−f(x)∣=0\displaystyle\lim_{ n \to \infty }\underset{x \in I}{\sup}|f_{n}(x)-f(x)|=0n→∞lim​x∈Isup​∣fn​(x)−f(x)∣=0.

א. עבור fn(x)=xnf_{n}(x)=x^nfn​(x)=xn ו-f(x)=0f(x)=0f(x)=0 בקטע [0,1)[0,1)[0,1), האם סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש?
ב. עבור fn(x)=nx1+n2x2f_{n}(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}fn​(x)=1+n2x2nx​ ו-f(x)=0f(x)=0f(x)=0 בקטע [0,1)[0,1)[0,1), האם סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש?
ג. עבור fn(x)=xnf_{n}(x)=\frac{x}{n}fn​(x)=nx​ ו-f(x)=0f(x)=0f(x)=0 בקטע [0,1)[0,1)[0,1), האם סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש?
ד. עבור fn(x)=sin⁡(x(1+1n))f_{n}(x)=\sin\left( x\left( 1+\frac{1}{n} \right) \right)fn​(x)=sin(x(1+n1​)) ו-f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx בקטע [0,π][0,\pi][0,π], האם סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש?

פתרון א':
ראינו בהרצאה כי לא קיים NNN כך שלכל x∈[0,1)x \in[0,1)x∈[0,1) ולכל n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N מתקיים ∣fn(x)∣<ε|f_{n}(x)|<\epsilon∣fn​(x)∣<ε. לכן, סדרת הפונקציות אינה מתכנסת במ"ש.

פתרון ב':
ראינו בהרצאה, כי באמצעות שלילית ההגדרה ניתן להוכיח כי fn(x)f_{n}(x)fn​(x) אינה מתכנסת במ"ש.

פתרון ג':
f,fnf,f_{n}f,fn​ רציפות. בנוסף, לכל x∈[0,1]x \in[0,1]x∈[0,1] הסדרה fn(x)f_{n}(x)fn​(x) מונוטונית יורדת.
fnf_{n}fn​ מתכנסת נקודתית ל-fff בקטע [0,1][0,1][0,1].
לכן, לפי דיני, הסדרה מתכנסת במ"ש ב-[0,1)[0,1)[0,1).

פתרון ד':
נבדוק לפי המשפט בתרגיל:

lim⁡n→∞sup⁡x∈[0,π]∣sin⁡(x(1+1n))−sin⁡x∣=lim⁡n→∞∣sin⁡(π2(1+1n))−1∣=1−1=0\lim_{ n \to \infty } \underset{x \in [0,\pi]}{\sup}\left| \sin\left( x\left( 1+\frac{1}{n} \right) \right)-\sin x \right|=\lim_{ n \to \infty } \left| \sin \left( \frac{\pi}{2}\left( 1+\frac{1}{n} \right) \right)-1 \right|=1-1=0n→∞lim​x∈[0,π]sup​​sin(x(1+n1​))−sinx​=n→∞lim​​sin(2π​(1+n1​))−1​=1−1=0

לכן, הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע.

תרגיל (5)

נוכיח כי סדרת הפונקציות fn(x)=nxe−nxf_{n}(x)=nxe^{-nx}fn​(x)=nxe−nx איננה מתכנסת במ"ש לגבול שלה בקטע [0,1][0,1][0,1].
א. חשבו את פונקציית הגבול.
ב. חשבו את ההפרש rn(x)=∣fn(x)−f(x)∣r_{n}(x)=|f_{n}(x)-f(x)|rn​(x)=∣fn​(x)−f(x)∣

הפונקציה rn(x)r_{n}(x)rn​(x) רציפה בקטע סגור ולכן הסופרמום שלה הוא המקסימום שלה בקטע.
ג. גזרו את הפונקציה rn(x)r_{n}(x)rn​(x)
ד. מצאו את נקודת המקסימום xMx_{M}xM​.
ה. למציאת המקסימום הגלובלי חשבו את rn(xm),rn(0),rn(1)r_{n}(x_{m}),r_{n}(0),r_{n}(1)rn​(xm​),rn​(0),rn​(1).
ו. מהו המקסימום הגלובלי של rnr_{n}rn​?
ז. הגבול של הפונקציה rn(xM)r_{n}(x_{M})rn​(xM​) הינו?

פתרון א':

lim⁡n→∞nxe−nx=lim⁡n→∞nxenx=↓לופיטלlim⁡n→∞xxenx=lim⁡n→∞1enx\lim_{ n \to \infty } nxe^{-nx}=\lim_{ n \to \infty } \frac{nx}{e^{nx}} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לופיטל}} \end{matrix}}{=}\lim_{ n \to \infty } \frac{x}{xe^{nx}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{e^{nx}}n→∞lim​nxe−nx=n→∞lim​enxnx​↓לופיטל​=​n→∞lim​xenxx​=n→∞lim​enx1​

אם x=0x=0x=0 אז נקבל f(0)=0f(0)=0f(0)=0.
אם x<0x<0x<0 מתקיים f(x)=1f(x)=1f(x)=1
אם x>0x>0x>0 מתקיים כי f(x)=0f(x)=0f(x)=0.
לכן, פונקציית הגבול היא f(x)=0f(x)=0f(x)=0.

פתרון ב':

rn(x)=∣nxe−nx∣=∣x∣ne−nx=∣x∣nenx=xnenxr_{n}(x)=|nxe^{-nx}|=|x|ne^{ -nx }=\frac{|x|n}{e^{nx}}=\frac{xn}{e^{nx}}rn​(x)=∣nxe−nx∣=∣x∣ne−nx=enx∣x∣n​=enxxn​

פתרון ג':

rn′(x)=nenx−n2xenxe2nx=nenx1−nxe2nxr_{n}'(x)=\frac{ne^{nx}-n^2xe^{nx}}{e^{2nx}}=ne^{nx} \frac{1-nx}{e^{2nx}}rn′​(x)=e2nxnenx−n2xenx​=nenxe2nx1−nx​

פתרון ד':

1=nx  ⟹  x=1n1=nx \implies x=\frac{1}{n}1=nx⟹x=n1​

פתרון ה':

rn(xm)=1ern(0)=0rn(1)=nenr_{n}(x_{m})=\frac{1}{e} \qquad r_{n}(0)=0 \qquad r_{n}(1)=\frac{n}{e^n}rn​(xm​)=e1​rn​(0)=0rn​(1)=enn​

הערך המקסימלי יהיה 1e\frac{1}{e}e1​.

פתרון ז':

lim⁡n→∞1e=1ε\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{e}=\frac{1}{\epsilon}n→∞lim​e1​=ε1​

זה לא שואף ל-000 ולכן הסדרה אינה מתכנסת במ"ש.

תרגיל (6)

השתמשו במשפט ווירשראס על מנת לבדוק את התכנסות הטור ∑n=0∞e−nxcos⁡nx\displaystyle \sum_{n=0}^\infty e^{-nx}\cos nxn=0∑∞​e−nxcosnx בקטע [1,∞)[1,\infty)[1,∞)
נשתמש בעובדות הבאות כדי לבחור טור מספרים חיוביים מתאים:

  • ∣cos⁡nx∣≤1|\cos nx|\leq 1∣cosnx∣≤1
  • x≥1x\geq 1x≥1
  • לכל ttt מתקיים et>0e^t>0et>0
  • e−nx≤e−ne^{-nx}\leq e^{-n}e−nx≤e−n עבור x≥1x\geq 1x≥1.

א. מהו הטור הגיאומטרי שנקבל?
ב. חשבו את סכומו של הטור.

פתרון א':

∣e−nxcos⁡nx∣≤e−n|e^{-nx}\cos nx|\leq e^{-n}∣e−nxcosnx∣≤e−n

לכן הטור החדש הינו ∑e−n\sum e^{-n}∑e−n.

פתרון ב':

∑n=0∞1en=∑n=0∞(1e)n\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{e^n}=\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{e} \right)^nn=0∑∞​en1​=n=0∑∞​(e1​)n

זהו טור גיאומטרי ולכן:

lim⁡n→∞Sn=11−1e=ee−1\lim_{ n \to \infty } S_{n}=\frac{1}{1-\frac{1}{e}}=\frac{e}{e-1}n→∞lim​Sn​=1−e1​1​=e−1e​
תרגיל (7)

נבדוק את התכנסות הטור ∑n=1∞x1+n3x2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x}{1+n^3x^2}n=1∑∞​1+n3x2x​ על כל הישר הממשי באמצעות מבחן ויירשטראס.
א+ב. מצאו את המקסימום הגלובלי של fn(x)=x1+n3x2f_{n}(x)=\frac{x}{1+n^3x^2}fn​(x)=1+n3x2x​. לשם כך גזרו אותו והשוו לאפס.
ג. מצאו את נקודת המקסימום הגלובלי
ד. הגדירו את an=∣fn(xM)∣a_{n}=|f_{n}(x_{M})|an​=∣fn​(xM​)∣
ה. האם הטור ∑an\sum a_{n}∑an​ מתכנס?
ו. האם הטור מתכנס במ"ש?

פתרון א+ב:

fn′(x)=1+n3x2−2n3x2(1+n3x2)2=1−n3x2(1+n3x2)2=0  ⟺  1=n3x2  ⟹  x=±1n3=±1n32f'_{n}(x)=\frac{1+n^3x^2-2n^3x^2}{(1+n^3x^2)^2}=\frac{1-n^3x^2}{(1+n^3x^2)^2}=0 \iff 1=n^3x^2 \implies x=\pm \sqrt{ \frac{1}{n^3} }=\pm \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}fn′​(x)=(1+n3x2)21+n3x2−2n3x2​=(1+n3x2)21−n3x2​=0⟺1=n3x2⟹x=±n31​​=±n23​1​ fn(−1n32)=−12n32f_{n}\left( -\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \right)=-\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}fn​(−n23​1​)=−2n23​1​ fn(1n32)=12n32f_{n}\left( \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \right)=\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}fn​(n23​1​)=2n23​1​

פתרון ג':

lim⁡x→∞x1+n3x2=↓לופיטלlim⁡x→∞12n3x=0\lim_{ x \to \infty } \frac{x}{1+n^3x^2} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לופיטל}} \end{matrix}}{=}\lim_{ x \to \infty } \frac{1}{2n^3x}=0x→∞lim​1+n3x2x​↓לופיטל​=​x→∞lim​2n3x1​=0 lim⁡x→−∞x1+n3x2=↓לופיטלlim⁡x→−∞12n3x=0\lim_{ x \to -\infty } \frac{x}{1+n^3x^2}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לופיטל}} \end{matrix}}{=} \lim_{ x \to -\infty } \frac{1}{2n^3x}=0x→−∞lim​1+n3x2x​↓לופיטל​=​x→−∞lim​2n3x1​=0

לכן, המקסימום הגלובלי הינו: 12n32\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}2n23​1​.

פתרון ד':

an=∣fn(xM)∣=12n32a_{n}=|f_{n}(x_{M})|=\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}an​=∣fn​(xM​)∣=2n23​1​

פתרון ה':
הטור מתכנס לפי משפט, שכן 32>1\frac{3}{2}>123​>1.

פתרון ו':
לכן, הטור מתכנס במ"ש.

תרגיל (8)

בדקו האם כל אחד מהטורים מתכנס במ"ש.

1.  ∑n=1∞xnn2x∈[−1,1]2.  ∑n=1∞(xn−xn+1)x∈[0,1)3.  ∑n=1∞(x2)nsin⁡(πx4)x∈(−2,2)4.  ∑n=1∞14n−11+n∣x∣x∈(−∞,∞)\begin{align*} 1.\; & \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} & x \in[-1,1] \\ 2.\; & \sum_{n=1}^\infty (x^n-x^{n+1}) & x \in[0,1) \\ 3.\; & \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x}{2} \right)^n \sin\left( \frac{\pi x}{4} \right) & x \in(-2,2) \\ 4.\; & \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^{n-1}\sqrt{ 1+n|x| }} & x \in(-\infty,\infty) \end{align*}1.2.3.4.​n=1∑∞​n2xn​n=1∑∞​(xn−xn+1)n=1∑∞​(2x​)nsin(4πx​)n=1∑∞​4n−11+n∣x∣​1​​x∈[−1,1]x∈[0,1)x∈(−2,2)x∈(−∞,∞)​

פתרון 1:
נשתמש בתנאי קושי:

∣∑k=n+1n+pxnn2∣<∣∑k=n+1n+p1nN2∣=1N2∑k=n+1m+p1=pN2=ε\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{x^n}{n^2} \right|< \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{1^n}{N^2} \right|=\frac{1}{N^2}\sum_{k=n+1}^{m+p} 1=\frac{p}{N^2}=\epsilon​k=n+1∑n+p​n2xn​​<​k=n+1∑n+p​N21n​​=N21​k=n+1∑m+p​1=N2p​=ε

פתרון 2:
הטור הזה הוא טור טלקסופי ומתקיים:

Sn=xn−x0=xn−1S_{n}=x^n-x^0=x^n-1Sn​=xn−x0=xn−1

הסכום הזה מתבדר ללא תלות ב-xxx. לכן, הטור לא מתכנס במ"ש.

פתרון 3:
החלק היחיד שמעניין בטור הזה הוא (x2)n\left( \frac{x}{2} \right)^n(2x​)n עבור x≥2x\geq 2x≥2 מתקיים כי הטור מתבר ועבור ∣x∣<2|x|< 2∣x∣<2 מתקיים כי הטור מתכנס, שכן זה טור הנדסי.
אני הולך לנחש שהטור לא מתכנס במ"ש.

פתרון 4:
ראינו בשאלה 3 כי הטור מתכנס נקודתית. כעת נראה אם הוא מתכנס במ"ש.
ראינו גם כי קיים טור מספרים חיוביים אשר החל ממקום מסויים מתקיים ∣fn(x)∣≤an|f_{n}(x)|\leq a_{n}∣fn​(x)∣≤an​.
לכן, לפי ווירשטראס, הטור מתכנס במ"ש.

תרגיל (9)

בדקו האם כל אחד מהטורים מתכנס במ"ש.

1.  ∑n=1∞ln⁡nnxx∈[4,∞)2.  ∑n=1∞ln⁡nnxx∈[1,∞)3.  ∑n=1∞ln⁡nnxx∈(1,∞)\begin{align*} 1.\; & \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} & x \in[4,\infty) \\ 2.\; & \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} & x \in[1,\infty) \\ 3.\; & \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} & x \in(1,\infty) \end{align*}1.2.3.​n=1∑∞​nxlnn​n=1∑∞​nxlnn​n=1∑∞​nxlnn​​x∈[4,∞)x∈[1,∞)x∈(1,∞)​

ראינו בשאלה קודמת שתחום ההתכנסות הנקודתית של הטור הוא x>1x>1x>1.
נוכל להגדיר פונקציה: fn(x)=ln⁡nnx≤ln⁡nn4f_{n}(x)=\frac{\ln n}{n^x}\leq \frac{\ln n}{n^4}fn​(x)=nxlnn​≤n4lnn​ אשר מתכנסת ולכן הטור מתכנס.
הטענה הבאה אינה נכונה שכן הטור אינו מתכנס נקודתית ב-x=1x=1x=1.
ניתן להוכיח כי הטענה האחרונה אינה נכונה לפי WWW.