חזור לתיקייה: 01040032 - חשבון אינפיניטסימלי 2מ'

5 - העולם הרב מימדי

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • פרקים נבחרים בטופולוגיה
  • קטעים וסביבות
  • סדרות ב-\mathbb{R}^k

5 - העולם הרב מימדי

01040032

חשבון אינפיניטסימלי 2מ'

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

העולם הרב מימדי

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

כעת אנו עוברים מהעולם הדו מימדי לעולם התלת מימדי בו יש לנו פונקציות הלוקחות שתי משתנים ומוציאות מספר.

נניח יש לנו מפה טופוגרפית, אנו לא מסתכלים רק על קו אחד בלבד מה הגובה בכל נקודה, אלא אנו מסתכלים על הגובה במישור.
גם כשאנו מסתכלים על טמפרטורה, הטמפרטורה אינה בקו אחד, אלא בכל נקודה במרחב.
עם דברים כאלו אנו נתעסק בהמשך הקורס וגם בקורס חשבון אינפיטיסימלי 3\R{\text{חשבון אינפיטיסימלי 3}}חשבון אינפיטיסימלי 3 שאולי תקחו בהמשך.

נדרש להגדיר מחדש כל מני דברים שראינו בחד מימד כעת בדו מימד מה שהולך להיות התשתית לפונקציות החדשות שנבנה.
עד כה חיינו במרחב R\mathbb{R}R שהוא שדה הממשיים. כעת, אנו נעבור למרחב Rn\mathbb{R}^nRn אותו אנו מכירים מאלגברה כמ"ו:

{(x1x2…xn)xi∈R}\left\{ \begin{array}{c|c} \\ \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \end{pmatrix} & x_{i}\in \mathbb{R} \\ \\ \end{array} \right\}⎩⎨⎧​(x1​​x2​​…​xn​​)​xi​∈R​⎭⎬⎫​

נדרש כעת על המרחב Rn\mathbb{R}^nRn להגדיר למבנים גיאומטריים כגון מרחק, זווית וכדומה.

פרקים נבחרים בטופולוגיה

על המ"ו Rn\mathbb{R}^nRn נגדיר מטריקה (מרחק) באופן הבא:

d(x‾,y‾)=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2d(\underline{x},\underline{y})=\sqrt{ (x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2+\dots+(x_{n}-y_{n})^2 }d(x​,y​)=(x1​−y1​)2+(x2​−y2​)2+⋯+(xn​−yn​)2​

Rn\mathbb{R}^nRn עם המטריקה הזו נקרא המרחב האוקלידי ה-nnn ממדי. (על שם אוקלידס - איזה יווני אחד)

דוגמה

  • עבור n=1n=1n=1 מקבלים פשוט ∣x−y∣|x-y|∣x−y∣.
  • עבור n=2n=2n=2 מקבלים (x1−y1)2+(x2−y2)2\sqrt{ (x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2 }(x1​−y1​)2+(x2​−y2​)2​ שזה מגיע ממשפט פיטגורס(יווני אחר)
הערה

לא הגדרנו מה זה מטריקה שכן אנו רק נוגעים בדברים ולא עושים טופולוגיה באופן מלא.
מטריקה באופן כללי מקיימת את האקסיומות הבאת:
א. d(x,y)≥0d(x,y)\geq 0d(x,y)≥0
ב. d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)
ג. x=y  ⟺  d(x,y)=0x=y \iff d(x,y)=0x=y⟺d(x,y)=0
ד. d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)
כדי להוכיח את ד' עבור המטריקה שהגדרנו צריך את אי-שוויון קושי-שוורץ.

הגדרה 1 (מכפלה פנימית)

יהיו x‾,y‾∈Rn\underline{x},\underline{y} \in \mathbb{R}^nx​,y​∈Rn אזי, המכפלה הפנימית(סקלרית) ביניהם הינה:

x‾⋅y‾=x1y1+x2y2+⋯+xnyn\underline{x}\cdot \underline{y}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dots+x_{n}y_{n}x​⋅y​=x1​y1​+x2​y2​+⋯+xn​yn​
הגדרה 2 (נורמה מסויימת)

אורך של וקטור יקרא נורמה ונגדירו כך:

∥x‾∥=x‾⋅x‾=x12+⋯+xn2\left\lVert \underline{x} \right\rVert =\sqrt{ \underline{x}\cdot \underline{x} }=\sqrt{ x_{1}^2+\dots+x_{n}^2 }∥x​∥=x​⋅x​​=x12​+⋯+xn2​​
הערה

גם נורמה זה משהו שמקיים אקסיומות.

הגדרה 3 (מטריקת המרחב האוקלידי)

d(x,y)=∥x‾−y‾∥=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2d(x,y)=\left\lVert \underline{x}-\underline{y} \right\rVert =\sqrt{ (x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2+\dots+(x_{n}-y_{n})^2 }d(x,y)=​x​−y​​=(x1​−y1​)2+(x2​−y2​)2+⋯+(xn​−yn​)2​
הגדרה 4 (זווית ברב מימד)

יהיו x‾,y‾∈Rn\underline{x},\underline{y} \in \mathbb{R}^nx​,y​∈Rn אשר ביניהם זווית α\alphaα. אזי מתקיים:

x‾⋅y‾∥x‾∥⋅∥y‾∥=cos⁡α\frac{\underline{x}\cdot \underline{y}}{\left\lVert \underline{x} \right\rVert\cdot \left\lVert \underline{y} \right\rVert }=\cos\alpha∥x​∥⋅​y​​x​⋅y​​=cosα

קטעים וסביבות

מסתבר שיש שני סוגים שימושיים של סביבות עליהן נדבר.

הגדרה 5 (סביבה מעגלית)

יהי ε>0\epsilon>0ε>0 ותהי (a,b)∈R2(a,b)\in \mathbb{R}^2(a,b)∈R2.
נקרא ל-{(x,y)∈R2(x−a)2+(y−b)2<ε}\left\{ \begin{array}{c|c}(x,y)\in \mathbb{R}^2 & \displaystyle \sqrt{ (x-a)^2+(y-b)^2 } < \epsilon\end{array} \right\}{(x,y)∈R2​(x−a)2+(y−b)2​<ε​} ה-ε\epsilonε סביבה המעגלית של (a,b)(a,b)(a,b).
מסמנים B(x‾0,ε)B(\underline{x}^0,\epsilon)B(x​0,ε) סביבה של x‾0\underline{x}^0x​0 ברדיוס ε\epsilonε. היא נקראת גם כדור פתוח.

הגדרה 6 (סביבה ריבועית)

יהי ε>0\epsilon>0ε>0 ותהי (a,b)∈R2(a,b)\in \mathbb{R}^2(a,b)∈R2
נקרא ל-{(x,y)∣x−a∣<ε∧∣y−b∣<ε}\left\{ \begin{array}{c|c} (x,y) & \displaystyle |x-a|<\epsilon \land |y-b|<\epsilon\end{array} \right\}{(x,y)​∣x−a∣<ε∧∣y−b∣<ε​} ה-ε\epsilonε סביבה הריבועית של (a,b)(a,b)(a,b).

תרגיל

וודאו שאתם יודעים לנסח ב-Rn\mathbb{R}^nRn.

הערה

בכל סביבה מעגלית מוכלת סביבה ריבועית וההפך.

הגדרה 7 (נקודה פנימית)

x‾0\underline{x}^0x​0 נקראת נקודה פנימית של קבוצה A⊆RnA \subseteq \mathbb{R}^nA⊆Rn אם קיימת ε\epsilonε-סביבה של x‾0\underline{x}^0x​0 שמוכלת ב-AAA.

​5 - העולם הרב מימדי 2026-06-14 13.10.49.excalidraw.svg

הגדרה 8 (נקודת שפה)

x‾0\underline{x}^0x​0 נקראת נקודת שפה של קבוצה A⊆RnA \subseteq \mathbb{R}^nA⊆Rn אם בכל ε\epsilonε-סביבה של x‾0\underline{x}^0x​0 יש גם נק' מ-AAA וגם נקודות שלא ב-AAA.

הגדרה 9 (קבוצה פתוחה)

קבוצה AAA נקראת פתוחה אם כל x∈Ax \in Ax∈A היא נקודה פנימית.

הגדרה 10 (קבוצה סגורה)

קבוצה AAA נקראת סגורה אם היא מכילה את כל נקודות השפה שלה.

דוגמה

ε\epsilonε-סביבה מעגלית היא קבוצה פתוחה. כך גם ε\epsilonε-סביבה ריבועית.

הגדרה 11 (הפנים של קבוצה)

נסמן את אוסף כל הנקודות הפנימיות של AAA ב-A°A \degreeA° ולו נקרא הפנים של AAA.

הגדרה 12 (השפה של קבוצה)

אוסף כל נקודות השפה של AAA מסומן ב-∂A\partial A∂A ונקרא השפה של AAA.

הגדרה 13 (סגור של קבוצה)

נסמן ב-A‾\overline{A}A את הסגור של AAA ונגדירו כך:

A‾=A∪(∂A)\overline{A}=A \cup(\partial A)A=A∪(∂A)
דוגמה

​5 - העולם הרב מימדי 2026-06-14 13.23.47.excalidraw.svg
הגדרנו כדור A=B(x‾0,r)A=B(\underline{x}^0,r)A=B(x​0,r) כסביבה מעגלית ולכן הוא ללא הקצוות.
כלומר, AAA קבוצה פתוחה.

∂A={x‾∣d(x‾,x‾0)=r}\partial A=\left\{ \underline{x}| d(\underline{x},\underline{x}^0)=r \right\}∂A={x​∣d(x​,x​0)=r} A‾=A∪∂A={x‾∣d(x‾,x‾0)≤r}\overline{A}=A \cup \partial A=\left\{ \underline{x}| d(\underline{x},\underline{x}^0)\leq r \right\}A=A∪∂A={x​∣d(x​,x​0)≤r}
דוגמה

​5 - העולם הרב מימדי 2026-06-14 13.27.24.excalidraw.svg
האם AAA פתוחה? לא לנחש - ללכת להגדרות
למעשה ל-AAA הזאת אין אף נקודה פנימית ולכן A°=∅A \degree=\emptysetA°=∅.
לכן, ∂A=A\partial A=A∂A=A ובכך AAA סגורה.

הגדרה 14 (קבוצה חסומה)

קבוצה AAA נקראת חסומה אם קיים כדור שמכיל אותה.

הגדרה 15 (קבוצה קומפקטית)

קבוצה AAA שהיא סגורה וחסומה נקראת קומפקטית.

דוגמה

נביט בקבוצה הבאה:

{(x,y)∈R2x=cos⁡ty=sin⁡t,    0≤t≤2π}\left\{ \begin{array}{c|c} (x,y)\in \mathbb{R}^2 & \begin{matrix} x=\cos t \\ y=\sin t \end{matrix},\;\; 0\leq t\leq 2\pi \end{array} \right\}{(x,y)∈R2​x=costy=sint​,0≤t≤2π​}

מה זו הקבוצה הזו בדיוק?
​5 - העולם הרב מימדי 2026-06-14 13.44.05.excalidraw.svg
זהו בעצם מעגל היחידה. אזהרה: זה לא פונקציה!!!!
באופן כללי ניתן לתאר עקומים במרחב(אינפי 3 :BoBxsHappyBeaming:) ובאופן כללי ניתן לתאר אותו באמצעות קבוצה כמו שראינו פה.

הגדרה 16 (עקום רציף)

הקבוצה {x‾=(x1x2…xn)∈Rnxi=φi(t),  φiרציפות,    a≤t≤b}\displaystyle \left\{ \begin{array}{c|c}\overset{\begin{matrix}\\ \end{matrix}}{}\underline{x}=\begin{pmatrix}x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n}\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^n & x_{i}=\varphi_{i}(t),\; \underset{\R{\text{רציפות}}}{\varphi_{i}},\;\; a\leq t\leq b\end{array} \right\}{​x​=(x1​​x2​​…​xn​​)∈Rn​xi​=φi​(t),רציפותφi​​,a≤t≤b​} נקראת עקום רציף ב-Rn\mathbb{R}^nRn ומסומן γ(t)\gamma(t)γ(t).

הערה

עקום רציף ב-R3\mathbb{R}^3R3 הוא γ:R→R3\gamma:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3γ:R→R3.

הגדרה 17 (קבוצה קשירה)

קבוצה AAA נקראת קשירה (מסילתית) אם לכל x‾,y‾∈A\underline{x},\underline{y} \in Ax​,y​∈A קיים עקום רציף שמוכל ב-AAA שמחבר אותן.

​5 - העולם הרב מימדי 2026-06-14 13.52.27.excalidraw.svg

סדרות ב-Rk\mathbb{R}^kRk

הגדרה 18 (גבול של סדרה ב-R2\mathbb{R}^2R2)

נאמר כי L=(L1,L2)∈R2L =(L_{1},L_{2}) \in \mathbb{R}^2L=(L1​,L2​)∈R2 הוא גבול של (xn,yn)(x_{n},y_{n})(xn​,yn​) אם לכל ε>0\epsilon>0ε>0 קיים NNN כך שלכל n>Nn>Nn>N מתקיים:

d((xn,yn),(L1,L2))<ε{\Large d(}(x_{n},y_{n}){\Large,}(L_{1},L_{2}){\Large )<\epsilon}d((xn​,yn​),(L1​,L2​))<ε

ונסמן:

lim⁡n→∞(xn,yn)=(L1,L2)\lim_{ n \to \infty } (x_{n},y_{n})=(L_{1},L_{2})n→∞lim​(xn​,yn​)=(L1​,L2​)
הערה

d((xn,yn),(L1,L2))=(xn−L1)2+(yn−L2)2<εd((x_{n},y_{n}),(L_{1},L_{2}))=\sqrt{ (x_{n}-L_{1})^2+(y_{n}-L_{2})^2 }<\epsilond((xn​,yn​),(L1​,L2​))=(xn​−L1​)2+(yn​−L2​)2​<ε
משפט

lim⁡n→∞yn=L2  ∧  lim⁡n→∞xn=L1  ⟺  lim⁡n→∞(xn,yn)=(L1,L2)\lim_{ n \to \infty } y_{n}=L_{2}\; \land\; \lim_{ n \to \infty } x_{n}=L_{1} \iff \lim_{ n \to \infty } (x_{n},y_{n})=(L_{1},L_{2})n→∞lim​yn​=L2​∧n→∞lim​xn​=L1​⟺n→∞lim​(xn​,yn​)=(L1​,L2​)

הוכחה:
: ⁣  ⟸  :\!\impliedby:⟸ יהי ε>0\epsilon>0ε>0.
קיים NNN כך שלכל n>Nn>Nn>N מתקיים:

∣xn−L1∣<∣xn−L1∣2+∣yn−L∣2=d((xn,yn),(L1,L2))<ε\left| x_{n}-L_{1} \right|< \sqrt{ |x_{n}-L_{1}|^2+|y_{n}-L|^2 }=d((x_{n},y_{n}),(L_{1},L_{2}))< \epsilon∣xn​−L1​∣<∣xn​−L1​∣2+∣yn​−L∣2​=d((xn​,yn​),(L1​,L2​))<ε

לכן, לפי הגדרת הגבול lim⁡n→∞xn=L1\lim_{ n \to \infty }x_{n}=L_{1}limn→∞​xn​=L1​.
: ⁣  ⟹  :\!\implies:⟹ יהי ε>0\epsilon>0ε>0.
נתון כי lim⁡n→∞xn=L1\lim_{ n \to \infty }x_{n}=L_{1}limn→∞​xn​=L1​ ובנוסף lim⁡n→∞yn=L2\lim_{ n \to \infty }y_n=L_{2}limn→∞​yn​=L2​. לכן, עבור ε2>0\frac{\epsilon}{2}>02ε​>0 קיים NNN כך שלכל n>Nn>Nn>N מתקיים:

∣xn−L1∣<ε2    ∧    ∣yn−L2∣<ε2|x_{n}-L_{1}| < \frac{\epsilon}{2} \;\; \land \;\; |y_{n}-L_{2}|< \frac{\epsilon}{2}∣xn​−L1​∣<2ε​∧∣yn​−L2​∣<2ε​

לכן, לכל n>Nn>Nn>N מתקיים:

הערה

עבור a,b≥0a,b \geq 0a,b≥0 מתקיים:

a2+b2≤a2+2ab+b2=(a+b)2 a^2+b^2 \leq a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a2+b2≤a2+2ab+b2=(a+b)2
(xn−L1)2+(yn−L2)2≤(∣xn−L1∣+∣yn−L2∣)2=∣xn−L1∣+∣yn−L2∣≤ε2+ε2=ε\sqrt{ (x_{n}-L_{1})^2+(y_{n}-L_{2})^2 }\leq \sqrt{ (|x_{n}-L_{1}|+|y_{n}-L_{2}|)^2 }=|x_{n}-L_{1}|+|y_{n}-L_{2}|\leq \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon(xn​−L1​)2+(yn​−L2​)2​≤(∣xn​−L1​∣+∣yn​−L2​∣)2​=∣xn​−L1​∣+∣yn​−L2​∣≤2ε​+2ε​=ε

אזי, לפי הגדרת הגבול, lim⁡n→∞(xn,yn)=(L1,L2)\lim_{ n \to \infty }(x_{n},y_{n})=(L_{1},L_{2})limn→∞​(xn​,yn​)=(L1​,L2​).
∎

משפט (בולצנו-ווירשטראס (BWBWBW))

לכל סדרה חסומה, יש ת"ס מתכנסת.

הוכחה: (ב-R2\mathbb{R}^2R2)
לפי BWBWBW ב-R\mathbb{R}R יש ת"ס xnkx_{n_{k}}xnk​​ של xnx_{n}xn​ שמתכנסת (כי xnx_{n}xn​ חסומה כי (xn,yn)(x_{n},y_{n})(xn​,yn​) חסומה)
ynky_{n_{k}}ynk​​ היא סדרה חסומה (כי ת"ס של yny_{n}yn​ שחסומה) ולכן, לפי BWBWBW ב-R\mathbb{R}R יש לה ת"ס ynkjy_{n_{k_{j}}}ynkj​​​ מתכנסת.
לכן, (xnkj,ynkj)(x_{n_{k_{j}}},y_{n_{k_{j}}})(xnkj​​​,ynkj​​​) מתכנסת.
∎

משפט

  1. קבוצה AAA היא סגורה   ⟺  \iff⟺ עבור כל סדרה מתכנסת של נקודות ב-AAA, גם הגבול שייך ל-AAA.
  2. קבוצה AAA היא קומפקטית   ⟺  \iff⟺ לכל סדרה של נקודות מ-AAA, יש ת"ס מתכנסת לגבול ב-AAA.