חזור לתיקייה: 01040166 - אלגברה אמ

5 - מרחבים ווקטורים

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • סיפורים
  • מרחבים ווקטוריים
  • תת-מרחב ווקטורי
  • פעולות בין תת מרחבים
  • חיתוך
  • איחוד
  • סכום
  • סכום ישר
  • הכללה של סכום ישר

5 - מרחבים ווקטורים

01040166

אלגברה אמ

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

מרחבים ווקטורים

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

סיפורים

R2={(a1a2)a1,a2∈R}\mathbb{R}^2=\left\{\begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{pmatrix} & a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \end{array}\right\}R2={(a1​a2​​)​a1​,a2​∈R​}

חיבור ווקטורים:

∀a‾,b‾∈R2:a‾+b‾=(a1a2)+(b1b2)=(a1+b1a2+b2)\forall \underline{a},\underline{b} \in \mathbb{R}^2:\quad \underline{a}+\underline{b}=\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1}+b_{1} \\ a_{2}+b_{2} \end{pmatrix}∀a​,b​∈R2:a​+b​=(a1​a2​​)+(b1​b2​​)=(a1​+b1​a2​+b2​​)

הקבוצה R2\mathbb{R}^2R2 היא חבורה קומוטטיבית לגבי חיבור.

  1. סגירות: a‾,b‾∈R2  ⟹  a‾+b‾∈R2\underline{a},\underline{b}\in \mathbb{R}^2 \implies \underline{a}+\underline{b} \in \mathbb{R}^2a​,b​∈R2⟹a​+b​∈R2
  2. אסוציאטיביות: (a‾+b‾)+c‾=a‾+(b‾+c‾)(\underline{a}+\underline{b})+\underline{c}=\underline{a}+(\underline{b}+\underline{c})(a​+b​)+c​=a​+(b​+c​)
  3. אדיש לחיבור: a‾+(00)=a‾\underline{a}+\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}=\underline{a}a​+(00​)=a​
  4. נגדי: (a1a2)+(−a1−a2)=(00)\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-a_{1} \\ -a_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}(a1​a2​​)+(−a1​−a2​​)=(00​)
  5. קומוטטיביות: a‾+b‾=b‾+a‾\underline{a}+\underline{b}=\underline{b}+\underline{a}a​+b​=b​+a​.

קיבלנו כי R2\mathbb{R}^2R2 חבורה קומוטטיבית לגבי חיבור.

כפל ווקטור בסקלר:
יהא α∈R\alpha \in \mathbb{R}α∈R ו-a‾∈R2\underline{a} \in \mathbb{R}^2a​∈R2 אזי αa‾=(αa1αa2)\alpha \underline{a}=\begin{pmatrix}\alpha a_{1}\\ \alpha a_{2}\end{pmatrix}αa​=(αa1​αa2​​).

  1. סגירות לכפל בסקלרים: ברור ש- αa‾∈R2\alpha \underline{a} \in \mathbb{R}^2αa​∈R2
  2. אסוציאטיביות: (α⋅β)a‾=α(β⋅a‾)(\alpha\cdot \beta)\underline{a}=\alpha(\beta \cdot \underline{a})(α⋅β)a​=α(β⋅a​) כאשר α,β∈R,a‾∈R2\alpha,\beta \in \mathbb{R},\underline{a} \in \mathbb{R}^2α,β∈R,a​∈R2.
  3. איבר אדיש לכפל: 1⋅(a1a2)=(a1a2)1\cdot \begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}1⋅(a1​a2​​)=(a1​a2​​) אותו איבר שאדיש לכפל בשדה.
  4. דיסטריבוטיביות: α∈R,a‾,b‾∈R2  ⟹  α(a‾+b‾)=αa‾+αb‾\alpha \in \mathbb{R}, \underline{a},\underline{b}\in \mathbb{R}^2 \implies \alpha(\underline{a}+\underline{b})=\alpha \underline{a}+\alpha \underline{b}α∈R,a​,b​∈R2⟹α(a​+b​)=αa​+αb​
  5. דיסטריבוטיביות 2: α,β∈R,a‾∈R2  ⟹  (α+β)a‾=αa‾+βa‾\alpha,\beta \in \mathbb{R},\underline{a}\in \mathbb{R}^2 \implies (\alpha+\beta)\underline{a}=\alpha \underline{a}+\beta \underline{a}α,β∈R,a​∈R2⟹(α+β)a​=αa​+βa​

סיכום: ראינו כעת מקרה פרטי של מרחב ווקטורי.

מרחבים ווקטוריים

הגדרה 1 (מרחב וקטורי)

יהא F\mathbb{F}F שדה. קבוצה VVV יחד עם שתי פעולות:
חיבור ב-VVV וכפל איבר ב-F\mathbb{F}F באיבר ב-VVV (שיקרא כפל בסקלר) תקרא מרחב וקטורי מעל השדה F\mathbb{F}F אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

  1. סגירות לחיבור: לכל v‾,w‾∈V\underline{v},\underline{w}\in Vv​,w​∈V מתקיים v‾+w‾∈V\underline{v}+\underline{w}\in Vv​+w​∈V.
  2. אסוציאטיביות של החיבור: לכל u‾,v‾,w‾∈V\underline{u},\underline{v},\underline{w}\in Vu​,v​,w​∈V מתקיים (u‾+v‾)+w‾=u‾+(v‾+w‾)(\underline{u}+\underline{v})+\underline{w}=\underline{u}+(\underline{v}+\underline{w})(u​+v​)+w​=u​+(v​+w​).
  3. קיום איבר אדיש לחיבור: קיים איבר 0‾∈V\underline{0}\in V0​∈V כך שלכל v‾∈V\underline{v}\in Vv​∈V מתקיים v‾+0‾=v‾\underline{v}+\underline{0}=\underline{v}v​+0​=v​.
  4. קיום נגדי: לכל v‾∈V\underline{v}\in Vv​∈V כך ש-v‾+(−v‾)=0‾\underline{v}+(-\underline{v})=\underline{0}v​+(−v​)=0​.
  5. קומוטטיביות החיבור: לכל v‾,w‾∈V\underline{v},\underline{w}\in Vv​,w​∈V מתקיים v‾+w‾=w‾+v‾\underline{v}+\underline{w}=\underline{w}+\underline{v}v​+w​=w​+v​.

התכונות שראינו עד כה הן בעצם חבורה קומוטטטיבית לגבי חיבור.

  1. סגירות לכפל בסקלר: לכל α∈F\alpha \in \mathbb{F}α∈F, v⃗∈V\vec{v}\in Vv∈V מתקיים: αv‾∈V\alpha \underline{v}\in Vαv​∈V.
  2. אסוציאטיביות לכפל בסקלר: לכל α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}α,β∈F ו-v‾∈V\underline{v}\in Vv​∈V מתקיים: (α⋅β)v‾=α⋅(β⋅v‾)(\alpha\cdot \beta)\underline{v}=\alpha\cdot(\beta\cdot\underline{v})(α⋅β)v​=α⋅(β⋅v​)
  3. האדיש הכפלי בשדה אדיש גם ביחס לכפל בסקלר. כלומר, לכל v‾∈V\underline{v}\in Vv​∈V אזי: 1⋅v‾=v‾1\cdot \underline{v}=\underline{v}1⋅v​=v​.
  4. דיסטריבוטיביות 1: לכל α∈F\alpha \in \mathbb{F}α∈F ו-v‾,w‾∈V\underline{v},\underline{w}\in Vv​,w​∈V מתקיים: α(v‾+w‾)=αv‾+αw‾\alpha(\underline{v}+\underline{w})=\alpha \underline{v}+\alpha \underline{w}α(v​+w​)=αv​+αw​
  5. דיסטריבוטיביות 2: לכל α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}α,β∈F ו-v‾∈V\underline{v}\in Vv​∈V מתקיים: (α+β)v‾=αv‾+βv‾(\alpha+\beta)\underline{v}=\alpha \underline{v}+\beta \underline{v}(α+β)v​=αv​+βv​.

איברי המ"ו(מרחב ווקטורי) נקראים ווקטורים. נסמנם: v‾\underline{v}v​ או v⃗\vec{v}v או v⃗\underset{\vec{}}{v}v​.

דוגמה (כמה דוגמות)

מרחבים ווקטוריים:

  1. יהא R2={(ab)a,b∈R}\mathbb{R}^2=\left\{ \begin{array}{c|c}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} & a,b \in \mathbb{R}\end{array} \right\}R2={(ab​)​a,b∈R​} מעל R\mathbb{R}R. עם פעולות חיבור של ווקטורים וכפל סקלר בווקטור.
  2. יהא C3={(abc)a,b,c∈C}\mathbb{C}^3=\left\{\begin{array}{c|c}\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}&a,b,c \in \mathbb{C}\end{array}\right\}C3=⎩⎨⎧​​abc​​​a,b,c∈C​⎭⎬⎫​ (מעל C\mathbb{C}C) עם פעולות כנ"ל.
  3. יהא Fn={(a1a2⋮an)ai∈F}\mathbb{F}^n=\left\{\begin{array}{c|c}\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n}\end{pmatrix}&a_{i}\in \mathbb{F}\end{array}\right\}Fn=⎩⎨⎧​​a1​a2​⋮an​​​​ai​∈F​⎭⎬⎫​ (מעל F\mathbb{F}F) עם פעולות כנ"ל.
  4. יהא M(F)2×3M \underset{2\times3}{(\mathbb{F})}M2×3(F)​ (מעל F\mathbb{F}F) עם פעולות חיבור מטריצות וכפל מטריצה בסקלר.
  5. יהא M(F)m×nM \underset{m\times n}{(\mathbb{F})}Mm×n(F)​ (מעל F\mathbb{F}F) עם פעולות כנ"ל.
  6. אוסף כל הפונקציות הממשיות f:R→Rf:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f:R→R עם פעולות חיבור פונקציות וכפל פונקציה בסקלר (מעל R\mathbb{R}R).
    (אפשר גם f:F→Ff:\mathbb{F}\to \mathbb{F}f:F→F מעל F\mathbb{F}F)
  7. אוסף כל הפולינומים (מעל F\mathbb{F}F) עם חיבור פולינומים וכפל פולינומים בסקלר.
  8. יהא R3[x]\mathbb{R}_{3}[x]R3​[x] אוסף כל הופלינומים ממעלה קטנה או שווה ל-3 עם פעולות כנ"ל.
  9. יהא Fn[x]={p(x)∣deg⁡(p(x))≤n}\mathbb{F}_{n}[x]=\{ p(x)|\deg(p(x))\leq n \}Fn​[x]={p(x)∣deg(p(x))≤n} (מעל F\mathbb{F}F) עם פעולות כנ"ל. (הכללה של 8)
  10. אם נקח V=FV=\mathbb{F}V=F אזי F\mathbb{F}F מ"ו מעל F\mathbb{F}F.
  11. ידוע כי C\mathbb{C}C מ"ו מעל R\mathbb{R}R.

לא מ"ו:
12. אוסף כל הפולינומים ממעלה בדיוק 2. עם פעולות כנ"ל(כמו ב-7,8,9).

הערה

ישנם עוד פעולות שאנו לא משתמשים בהן: כפל סקלרי וכפל ווקטורי.
אם זה היה קורס רחב יותר קצת, היינו לומדים את זה עוד שבוע שבועיים.

טענה (תכונות המ"ו)

יהא VVV מ"ו מעל F\mathbb{F}F אזי:

  1. לכל u‾,v‾,w‾\underline{u},\underline{v},\underline{w}u​,v​,w​ אז אם u‾+v‾=u‾+w‾\underline{u}+\underline{v}=\underline{u}+\underline{w}u​+v​=u​+w​ אז: v‾=w‾\underline{v}=\underline{w}v​=w​.
  2. איבר ה-0‾\underline{0}0​ יחיד והנגדי יחיד
  3. אם 0∈F0 \in \mathbb{F}0∈F אזי 0⋅v‾=0‾0\cdot \underline{v}=\underline{0}0⋅v​=0​.
  4. אם 0‾∈V\underline{0}\in V0​∈V אזי α⋅0‾=0‾\alpha\cdot\underline{0}=\underline{0}α⋅0​=0​.
  5. אם αv‾=0‾\alpha \underline{v}=\underline{0}αv​=0​ אזי α=0\alpha=0α=0 או v‾=0‾\underline{v}=\underline{0}v​=0​.
  6. מתקיים: (−α)v‾=−αv‾=α(−v‾)(-\alpha)\underline{v}=-\alpha \underline{v}=\alpha(-\underline{v})(−α)v​=−αv​=α(−v​)

הוכחה: (1)
נניח כי u‾+v‾=u‾+w‾\underline{u}+\underline{v}=\underline{u}+\underline{w}u​+v​=u​+w​. אזי:

(−u‾)+u‾+v‾=(−u‾)+u‾+w‾(-\underline{u})+\underline{u}+\underline{v}=(-\underline{u})+\underline{u}+\underline{w}(−u​)+u​+v​=(−u​)+u​+w​

מאסוציאטיביות:

(−u‾+u‾)+v‾=(−u‾+u‾)+w‾(-\underline{u}+\underline{u})+\underline{v}=(-\underline{u}+\underline{u})+\underline{w}(−u​+u​)+v​=(−u​+u​)+w​

ולכן:

0‾+v‾=0‾+w‾  ⟹  v‾=w‾\underline{0}+\underline{v}=\underline{0}+\underline{w} \implies \underline{v}=\underline{w}0​+v​=0​+w​⟹v​=w​

∎

את (2) מיכאל יוכיח לבד.

הוכחה: (3)

0⋅v‾=אדיש לחיבור בשדה(0+0)v‾=דיסטר’0⋅v‾+0⋅v‾0\cdot \underline{v}\underset{\R{\text{אדיש לחיבור בשדה}}}{=}(0+0)\underline{v}\underset{\R{\text{דיסטר'}}}{=}0\cdot \underline{v}+0\cdot\underline{v}0⋅v​אדיש לחיבור בשדה=​(0+0)v​דיסטר’=​0⋅v​+0⋅v​

ולכן:

0=0⋅v‾0=0\cdot \underline{v}0=0⋅v​

∎

הוכחה: (4)

α⋅0‾=אדיש לחיבור ב-Vα(0‾+0‾)=דיסטר’α⋅0‾+α⋅0‾\cancel{\alpha\cdot \underline{0}}\underset{\R{\text{אדיש לחיבור ב-V}}}{=}\alpha(\underline{0}+\underline{0})\underset{\R{\text{דיסטר'}}}{=}\alpha\cdot\underline{0}+\cancel{\alpha\cdot\underline{0}}α⋅0​אדיש לחיבור ב-V=​α(0​+0​)דיסטר’=​α⋅0​+α⋅0​

ולכן:

α⋅0‾=0‾\alpha\cdot \underline{0}=\underline{0}α⋅0​=0​

∎

הוכחה: (5)

αv‾=0‾\alpha \underline{v}=\underline{0}αv​=0​

אם α=0\alpha=0α=0 סיימנו לפי (3).
אם α≠0\alpha\neq0α=0:

α−1/αv‾=0‾\alpha^{-1}/\alpha \underline{v}=\underline{0}α−1/αv​=0​ (α−1α)v‾=α−10‾(\alpha^{-1}\alpha)\underline{v}=\alpha^{-1}\underline{0}(α−1α)v​=α−10​ v‾=0‾\underline{v}=\underline{0}v​=0​

∎

הוכחה: (6)

(−α)v‾+αv‾=דיסטר’(α+(−α))v‾(-\alpha)\underline{v}+\alpha \underline{v}\underset{\R{\text{דיסטר'}}}{=}(\alpha+(-\alpha))\underline{v}(−α)v​+αv​דיסטר’=​(α+(−α))v​ =\alpha נגדי ל- )-\alpha(0⋅v‾=(3)0‾\underset{\R{\alpha \text{ נגדי ל-} )-\alpha(}}{=}0\cdot \underline{v}\underset{(3)}{=}\underline{0}\alpha נגדי ל- )-\alpha(=​0⋅v​(3)=​0​

∎

תת-מרחב ווקטורי

הגדרה 2 (תת מרחב ווקטורי)

יהא VVV מ"ו מעל F\mathbb{F}F. WWW נקרא תת-מרחב ווקטורי(ת"מ) של VVV אם:

  1. מתקיים: W⊆VW \subseteq VW⊆V
  2. WWW מ"ו מעל F\mathbb{F}F ביחס לאותן הפעולות
דוגמה (כמה דוגמות)

  1. W={(x,y,0)∣x,y∈R}W=\{ (x,y,0)|x,y \in \mathbb{R} \}W={(x,y,0)∣x,y∈R} ת"מ של V=R3V=\mathbb{R}^3V=R3
    ​6 - מרחבים ווקטורים 2025-11-25 13.37.59.excalidraw.svg
  2. U={(x,0,0)∣x∈R}U=\{ (x,0,0)|x \in \mathbb{R} \}U={(x,0,0)∣x∈R} ת"מ של V=R3V=\mathbb{R}^3V=R3
  3. W=R2W=\mathbb{R}^2W=R2 איננו ת"מ של V=R3V=\mathbb{R}^3V=R3 מכיוון שאין הכלה

ישנם 2 נוספים:

ת"מ טריוויאליים{V ת"מ של W=VV ת"מ של W={0‾}\R{\text{ת"מ טריוויאליים}}\begin{cases} V\R{\text{ ת"מ של }} W=V \\ V\R{\text{ ת"מ של }} W=\{ \underline{0} \} \end{cases}ת"מ טריוויאליים{V ת"מ של W=VV ת"מ של W={0​}​

("למה הם נקראים טריוויאליים? כי הם טריוויאליים!!" - יוסי)

משפט

יהא VVV מ"ו מעל F\mathbb{F}F ותהא WWW תת-קבוצה של VVV עם אותן הפעולות המוגדרות ב-VVV.
אזי WWW ת"מ של VVV ⇔
4. מתקיים: W≠∅W\neq \emptysetW=∅.
5. WWW סגורה לחיבור (לכל w‾1,w‾2∈W\underline{w}_{1},\underline{w}_{2}\in Ww​1​,w​2​∈W מתקיים w‾1+w‾2∈W\underline{w}_{1}+\underline{w}_{2}\in Ww​1​+w​2​∈W)
6. WWW סגורה לכפל בסקלר לכל α∈F\alpha \in \mathbb{F}α∈F,w‾∈W\underline{w}\in Ww​∈W גם α⋅w‾∈W\alpha\cdot \underline{w}\in Wα⋅w​∈W

(התנאים הינם: לא ריקה, סגורה לחיבור וסגורה לכפל בסקלר)

הוכחה:
⇐: אם WWW ת"מ של VVV אזי הוא בפרט מ"ו לכן, היא לא ריקה (מכילה את האדיש החיבורי), סגורה לחיבור ולכפל בסקלר.
⇒: סגירות לחיבור ולכפל בסקלר מתקיימים לפי ההנחה.
אסוציאטיביות2×2\times2×, קומוטטיביות, דיסטריבוטיביות2×2\times2× מתקיימות מכיוון שזוהי תת קבוצה של החבורה ביחס לחיבור וכפל עם סקלר VVV.
גם תכונות האדיש הכפלי 1⋅v‾=v‾1 \cdot \underline{v}=\underline{v}1⋅v​=v​ מתקיימת באותו האופן.
קיום אדיש חיבורי מתקיים כיוון ש-WWW אינה ריקה ולכן קיים איבר w‾∈W\underline{w} \in Ww​∈W בנוסף, 0∈F0 \in \mathbb{F}0∈F וכיוון ש-WWW סגורה ביחס לכפל בסקלר נקבל כי 0⋅w‾∈W0\cdot \underline{w}\in W0⋅w​∈W מכיוון ש-0‾∈V\underline{0}\in V0​∈V נקבל כי: 0‾∈W\underline{0}\in W0​∈W.
גם הנגדי החיבורי קיים שכן, לפי תכונה 6 ממקודם ביחס ל-VVV:

(−1)⋅w‾=−w‾∈W(-1)\cdot \underline{w}=-\underline{w}\in W(−1)⋅w​=−w​∈W

ולכן נקבל כי קיים נגדי לחיבור.
∎

הערה

כדאי להתחיל לבדוק ת"מ באמצעות בדיקה של האם ווקטור האפס(0‾\underline{0}0​) נמצא בת"מ

  • אם כן, אז הת"מ אינו קבוצה ריקה
  • אם לא, אז זה לא מרחב ווקטורי ולכן לא ת"מ
דוגמה (תוך כדי תנועה)

W={(x,y,0)∣x,y∈R}W=\{ (x,y,0)|x,y \in \mathbb{R} \}W={(x,y,0)∣x,y∈R}

נראה כי WWW הוא ת"מ מעל V=R3V=\mathbb{R}^3V=R3.

מכיוון ש-(0,0,0)∈W(0,0,0)\in W(0,0,0)∈W היא אינה ריקה.
נראה כי אם נקח (x,y,0),(x2,y2,0)∈W(x,y,0),(x_{2},y_{2},0)\in W(x,y,0),(x2​,y2​,0)∈W אזי: (x1+x2,y1+y2,0)∈W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},0)\in W(x1​+x2​,y1​+y2​,0)∈W ולכן היא סגורה לכפל בסקלר.
נקח (x,y,0)∈W(x,y,0)\in W(x,y,0)∈W ו-α∈R\alpha \in \mathbb{R}α∈R אזי α(x,y,0)=(αx,αy,0)∈W\alpha(x,y,0)=(\alpha x,\alpha y,0)\in Wα(x,y,0)=(αx,αy,0)∈W ולכן היא סגורה לכפל בסקלר.

לכן, WWW היא ת"מ מעל V=R3V=\mathbb{R}^3V=R3.

דוגמה (עוד כמה דוגמות)

נקח W={At=−A∣A∈M(F)n×n}W=\{ A^t=-A|A \in M \underset{n\times n}{(\mathbb{F})} \}W={At=−A∣A∈Mn×n(F)​} ונבדוק האם הוא ת"מ של V=M(F)n×nV=M \underset{n\times n}{(\mathbb{F})}V=Mn×n(F)​.

  1. לא ריקה 0n×n∈W0_{n\times n}\in W0n×n​∈W.
  2. נקח A1,A2∈WA_{1},A_{2}\in WA1​,A2​∈W, λ1,λ2∈F\lambda_{1},\lambda_{2}\in \mathbb{F}λ1​,λ2​∈F אזי:
(λ1A1+λ2A2)t=כללי טרנספוז(λ1A1)t+(λ2A2)t=כללי טרנספוזλ1A1t+λ2A2t (\lambda_{1}A_{1}+\lambda_{2}A_{2})^t \underset{\R{\text{כללי טרנספוז}}}{=}(\lambda_{1}A_{1})^t+(\lambda_{2}A_{2})^t \underset{\R{\text{כללי טרנספוז}}}{=} \lambda_{1}A_{1}^t+\lambda_{2}A_{2}^t(λ1​A1​+λ2​A2​)tכללי טרנספוז=​(λ1​A1​)t+(λ2​A2​)tכללי טרנספוז=​λ1​A1t​+λ2​A2t​ =λ1(−A1)+λ2(−A2)=כללי מטריצות−(λ1A1+λ2A2) =\lambda_{1}(-A_{1})+\lambda_{2}(-A_{2})\underset{\R{\text{כללי מטריצות}}}{=}-(\lambda_{1}A_{1}+\lambda_{2}A_{2})=λ1​(−A1​)+λ2​(−A2​)כללי מטריצות=​−(λ1​A1​+λ2​A2​)

ולכן, WWW הינו ת"מ של VVV.

האם W={x‾∈F∣Am×nx‾=0‾}W=\{ \underline{x}\in \mathbb{F}|\underset{m\times n}{A}\underline{x}=\underline{0} \}W={x​∈F∣m×nA​x​=0​} אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית Ax‾=0A\underline{x}=0Ax​=0 ת"מ של Fn\mathbb{F}^nFn?

א. 0‾∈W\underline{0}\in W0​∈W (פתרון הטריוויאלי)
ב. נקח x‾1,x‾2\underline{x}_{1},\underline{x}_{2}x​1​,x​2​ ו-λ1,λ2∈F\lambda_{1},\lambda_{2}\in \mathbb{F}λ1​,λ2​∈F נראה כי:

A(λ1x‾1+λ2x‾2)=כללי מטריצותλ1(Ax‾1)+λ2(Ax‾2)=λ1⋅0‾+λ2⋅0‾=0‾+0‾=0‾A(\lambda_{1}\underline{x}_{1}+\lambda_{2}\underline{x}_{2})\underset{\R{\text{כללי מטריצות}}}{=}\lambda_{1}(A\underline{x}_{1})+\lambda_{2}(A\underline{x}_{2})=\lambda_{1}\cdot\underline{0}+\lambda_{2}\cdot\underline{0}=\underline{0}+\underline{0}=\underline{0}A(λ1​x​1​+λ2​x​2​)כללי מטריצות=​λ1​(Ax​1​)+λ2​(Ax​2​)=λ1​⋅0​+λ2​⋅0​=0​+0​=0​

ולכן, WWW סגור לחיבור.

האם L={(x1,x2,x3,x4)∈R4∣x1≥x2}L=\{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb{R}^4|x_{1}\geq x_{2} \}L={(x1​,x2​,x3​,x4​)∈R4∣x1​≥x2​} ת"מ של R4\mathbb{R}^4R4?
לא ת"מ מכיוון שאין סגירות:

(−1)(2,1,0,0)=(−2,−1,0,0)∉L(-1)(2,1,0,0)=(-2,-1,0,0)\not\in L(−1)(2,1,0,0)=(−2,−1,0,0)∈L

פעולות בין תת מרחבים

חיתוך

משפט

יהא VVV מ"ו מעל F\mathbb{F}F ויהיו u,w⊆Vu,w \subseteq Vu,w⊆V ת"מ של VVV.
אזי u∩wu \cap wu∩w ת"מ של VVV.

הוכחה:

  1. לא ריקה: 0‾∈u∩w\underline{0}\in u \cap w0​∈u∩w שהרי 0‾∈u\underline{0}\in u0​∈u ו-0‾∈w\underline{0}\in w0​∈w שהרי הם ת"מ של VVV.
  2. סגורה לחיבור: נקח v‾1,v‾2∈u∩w\underline{v}_{1},\underline{v}_{2}\in u \cap wv​1​,v​2​∈u∩w אזי v‾1,v‾2∈u\underline{v}_{1},\underline{v}_{2}\in uv​1​,v​2​∈u וגם v‾1,v‾2∈w\underline{v}_{1},\underline{v}_{2}\in wv​1​,v​2​∈w מהגדרת החיתוך, ולכן, v‾1+v‾2∈u\underline{v}_{1}+\underline{v}_{2}\in uv​1​+v​2​∈u וגם v‾1+v‾2∈w\underline{v}_{1}+\underline{v}_{2}\in wv​1​+v​2​∈w שהרי u,wu,wu,w ת"מ ויש סגירות לחיבור בכל אחד מהם. ומכאן כי, v‾1+v‾2∈u∩w\underline{v}_{1}+\underline{v}_{2}\in u \cap wv​1​+v​2​∈u∩w לפי הגדרת החיתוך.
  3. סגורה לכל כפל בסקלר: נקח v‾∈u∩w\underline{v}\in u \cap wv​∈u∩w ו-λ∈F\lambda \in \mathbb{F}λ∈F. אזי v‾∈u\underline{v}\in uv​∈u לפי הגדרת החיתוך ולכן λv‾∈u\lambda \underline{v} \in uλv​∈u וגם λv‾∈w\lambda \underline{v} \in wλv​∈w.
    ∎
הערה

באופן דומה, ניתן להראות כי כל חיתוך של מספר סופי של תת-מרחבים הוא תת מרחב.

איחוד

נקח U={(a0)a∈R}U=\left\{ \begin{array}{c|c}\begin{pmatrix}a \\ 0\end{pmatrix}&a \in \mathbb{R}\end{array} \right\}U={(a0​)​a∈R​} ו-W={(0b)b∈R}W=\left\{\begin{array}{c|c}\begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix}&b \in \mathbb{R}\end{array}\right\}W={(0b​)​b∈R​} אזי:

U∪W={(a0)  or  (0b)a,b∈R}U \cup W=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}\; or\; \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} & a,b \in \mathbb{R} \end{array} \right\}U∪W={(a0​)or(0b​)​a,b∈R​}

כפי שניתן לראות האיחוד אינו תת מרחב. ניתן לראות בדוגמה זו כי האיחוד אינו סגור לחיבור.

הערה

באיחוד של ת"מ:

  1. מתקיים: 0‾∈U∪W\underline{0}\in U \cup W0​∈U∪W.
  2. יש סגירות לכפל בסקלר.
טענה (תרגיל)

VVV ת"מ מעל F\mathbb{F}F. U,WU,WU,W ת"מ של VVV.
U∪WU \cup WU∪W הוא ת"מ ⇔ U⊆WU \subseteq WU⊆W או W⊆UW \subseteq UW⊆U

סכום

משפט

יהא VVV מ"ו מעל F\mathbb{F}F. U,WU,WU,W ת"מ של VVV.
הקבוצה U+W={u‾+w‾∣u‾∈U,w‾∈W}U+W=\{ \underline{u}+\underline{w}|\underline{u} \in U,\underline{w} \in W \}U+W={u​+w​∣u​∈U,w​∈W} היא ת"מ של VVV המכילה את UUU ואת WWW.

הערה

U+WU+WU+W נקרא סכום של ת"מ

הוכחה:

  1. לא ריקה: 0‾+0‾=0‾∈U+W\underline{0}+\underline{0}=\underline{0}\in U+W0​+0​=0​∈U+W ולכן U+WU+WU+W אינה ריקה.
  2. סגירות לחיבור: נקח u‾1+w‾1∈U+W\underline{u}_{1}+\underline{w}_{1}\in U+Wu​1​+w​1​∈U+W ו-u‾2+w‾2∈U+W\underline{u}_{2}+\underline{w}_{2}\in U+Wu​2​+w​2​∈U+W אזי (u‾1+w‾1)+(u‾2+w‾2)=קומ’,אסוצ’(u‾1+u‾2⏟∈ U)+(w‾1+w‾2⏟∈ W)∈U+W(\underline{u}_{1}+\underline{w}_{1})+(\underline{u}_{2}+\underline{w}_{2})\underset{\R{\text{קומ',אסוצ'}}}{=}(\underbrace{\underline{u}_{1}+\underline{u}_{2}}_{\in\ U})+(\underbrace{\underline{w}_{1}+\underline{w}_{2}}_{\in\ W}) \in U+W(u​1​+w​1​)+(u​2​+w​2​)קומ’,אסוצ’=​(∈ Uu​1​+u​2​​​)+(∈ Ww​1​+w​2​​​)∈U+W.
  3. סגירות לכפל בסקלר: נקח u‾+w‾∈U+W\underline{u}+\underline{w}\in U+Wu​+w​∈U+W ו-λ∈F\lambda \in \mathbb{F}λ∈F. אזי, λ(u‾+w‾)=λu‾+λw‾∈U+W\lambda(\underline{u}+\underline{w})=\lambda \underline{u}+\lambda \underline{w} \in U+Wλ(u​+w​)=λu​+λw​∈U+W.
    ∎
דוגמה

V=R3V=\mathbb{R}^3V=R3 U={(ab0)a,b∈R}W={(00c)c∈R}U=\left\{\begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} & a,b \in \mathbb{R} \end{array}\right\} \qquad W=\left\{\begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \end{pmatrix} & c \in \mathbb{R} \end{array}\right\}U=⎩⎨⎧​​ab0​​​a,b∈R​⎭⎬⎫​W=⎩⎨⎧​​00c​​​c∈R​⎭⎬⎫​ U+W={(abc)a,b,c∈R}=R3U∩W={(000)}U+W=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} & a,b,c \in \mathbb{R} \end{array} \right\}=\mathbb{R}^3 \qquad U \cap W=\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}U+W=⎩⎨⎧​​abc​​​a,b,c∈R​⎭⎬⎫​=R3U∩W=⎩⎨⎧​​000​​⎭⎬⎫​

במצב אחר, אך דומה:

U={(ab0)a,b∈R}W={(0dc)c,d∈R}U=\left\{\begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} & a,b \in \mathbb{R} \end{array}\right\} \qquad W=\left\{\begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} 0 \\ d \\ c \end{pmatrix} & c,d \in \mathbb{R} \end{array}\right\}U=⎩⎨⎧​​ab0​​​a,b∈R​⎭⎬⎫​W=⎩⎨⎧​​0dc​​​c,d∈R​⎭⎬⎫​ U+W={(ab+dc)a,b,c,d∈R}=R3U∩W={(0b0)b∈R}U+W=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a \\ b+d \\ c \end{pmatrix} & a,b,c,d \in \mathbb{R} \end{array} \right\}=\mathbb{R}^3 \qquad U \cap W=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 0 \end{pmatrix} & b \in \mathbb{R} \end{array} \right\}U+W=⎩⎨⎧​​ab+dc​​​a,b,c,d∈R​⎭⎬⎫​=R3U∩W=⎩⎨⎧​​0b0​​​b∈R​⎭⎬⎫​

נראה כי בדוגמה העליונה יש הצגה יחידה לכל ווקטור ב-VVV כסכום של ווקטור מ-UUU ווקטור מ-WWW בעוד שבדוגמה התחתונה אין ולכן הדוגמה הראשונה "יותר יעילה".

סכום ישר

הגדרה 3 (סכום ישר של ת"מ)

יהא VVV מ"ו ויהיו U,WU,WU,W ת"מ של VVV.
U+WU+WU+W נקרא סכום ישר ומסומן U⊕WU \oplus WU⊕W אם כל v‾∈U+W\underline{v} \in U+Wv​∈U+W ניתן לכתיבה יחידה כ-v‾=u‾+w‾\underline{v}=\underline{u}+\underline{w}v​=u​+w​ כאשר u‾∈U\underline{u} \in Uu​∈U ו-w‾∈W\underline{w} \in Ww​∈W.

משפט (הגדרה שקולה)

יהא VVV מ"ו ויהיו U,WU,WU,W ת"מ. U+WU+WU+W הוא סכום ישר ⇔ U∩W={ 0‾ }U \cap W=\{\ \underline{0}\ \}U∩W={ 0​ }.

הוכחה:
⇐: נניח כי U+WU+WU+W ישר. נקח v‾∈U∩W\underline{v} \in U \cap Wv​∈U∩W ונכתוב אותו בצורה: v‾=0‾∈ U+v‾∈ W=v‾∈ W+0‾∈ U\underline{v}=\underbracket{\underline{0}}_{\in\ U}+\underbracket{\underline{v}}_{\in\ W}=\underbracket{\underline{v}}_{\in\ W}+\underbracket{\underline{0}}_{\in\ U}v​=∈ U0​​+∈ Wv​​=∈ Wv​​+∈ U0​​ אבל U+WU+WU+W הוא סכום ישר לפי ההנחה ולכן v‾=0‾\underline{v}=\underline{0}v​=0​.
⇒: נניח כי U∩W={ 0‾ }U \cap W=\{\ \underline{0}\ \}U∩W={ 0​ }. נקח v‾∈U+W\underline{v} \in U+Wv​∈U+W ונכתוב: v‾=u‾1+w‾1=u‾2+w‾2\underline{v}=\underline{u}_{1}+\underline{w}_{1}=\underline{u}_{2}+\underline{w}_{2}v​=u​1​+w​1​=u​2​+w​2​.

u‾1−u‾2⏟∈ Uסגירות ב-U=w‾2−w‾1⏟∈ Wסגירות ב-W\underbrace{\underline{u}_{1}-\underline{u}_{2}}_{\begin{matrix} \in\ U \\ \R{\text{סגירות ב-U}} \end{matrix}}=\underbrace{\underline{w}_{2}-\underline{w}_{1}}_{\begin{matrix} \in\ W \\ \R{\text{סגירות ב-W}} \end{matrix}}∈ Uסגירות ב-U​u​1​−u​2​​​=∈ Wסגירות ב-W​w​2​−w​1​​​

ולכן: u‾1−u‾2,w‾2−w‾1∈U∩W\underline{u}_{1}-\underline{u}_{2},\underline{w}_{2}-\underline{w}_{1}\in U \cap Wu​1​−u​2​,w​2​−w​1​∈U∩W ולכן: u‾1−u‾2=0‾\underline{u}_{1}-\underline{u}_{2}=\underline{0}u​1​−u​2​=0​ ו-w‾2−w‾1=0‾\underline{w}_{2}-\underline{w}_{1}=\underline{0}w​2​−w​1​=0​. כלומר: u‾1=u‾2\underline{u}_{1}=\underline{u}_{2}u​1​=u​2​ ו-w‾1=w‾2\underline{w}_{1}=\underline{w}_{2}w​1​=w​2​.
∎

הכללה של סכום ישר
משפט

יהא VVV מ"ו ויהיו W1,…WnW_{1},\dots W_{n}W1​,…Wn​ ת"מ שלו.
הסכום W1+⋯+WnW_{1}+\dots+W_{n}W1​+⋯+Wn​ הוא סכום ישר(כלומר, כל ווקטור ניתן לכתיבה בצורה יחידה כסכום של ווקטורים מכל אחד מהתת מרחבים) ⇔ לכל iii:

Wi∩(W1+W2+⋯+Wi−1+Wi+1+⋯+Wn)={ 0‾ }W_{i}\cap(W_{1}+W_{2}+\dots+W_{i-1}+W_{i+1}+\dots+W_{n})=\{\ \underline{0}\ \}Wi​∩(W1​+W2​+⋯+Wi−1​+Wi+1​+⋯+Wn​)={ 0​ }

הוכחה:
⇐: נניח שהסכום ישר.
נקח v‾∈Wi∩(w1+⋯+wi−1+wi+1+⋯+wn)\underline{v}\in W_{i}\cap(w_{1}+\dots+w_{i-1}+w_{i+1}+\dots+w_{n})v​∈Wi​∩(w1​+⋯+wi−1​+wi+1​+⋯+wn​) ונראה כי v‾=0‾\underline{v}=\underline{0}v​=0​.
אזי:

v‾=v‾1∈ W1+⋯+v‾i−1∈ Wi−1+v‾i+1∈ Wi+1+⋯+v‾n∈ Wn\underline{v}=\underbracket{\underline{v}_{1}}_{\in\ W_{1}}+\dots+\underbracket{\underline{v}_{i-1}}_{\in\ W_{i-1}}+\underbracket{\underline{v}_{i+1}}_{\in\ W_{i+1}}+\dots+\underbracket{\underline{v}_{n}}_{\in\ W_{n}}v​=∈ W1​v​1​​+⋯+∈ Wi−1​v​i−1​​+∈ Wi+1​v​i+1​​+⋯+∈ Wn​v​n​​

לכן: v‾=v‾i∈Wi\underline{v}=\underline{v}_{i}\in W_{i}v​=v​i​∈Wi​ ולכן: v‾i=v‾1+⋯+v‾i−1+v‾i+1+…v‾n\underline{v}_{i}=\underline{v}_{1}+\dots+\underline{v}_{i-1}+\underline{v}_{i+1}+\dots \underline{v}_{n}v​i​=v​1​+⋯+v​i−1​+v​i+1​+…v​n​.
נעביר אגפים: 0‾=v‾1+⋯+v‾i−1+v‾i+v‾i+1+…v‾n\underline{0}=\underline{v}_{1}+\dots+\underline{v}_{i-1}+\underline{v}_{i}+\underline{v}_{i+1}+\dots \underline{v}_{n}0​=v​1​+⋯+v​i−1​+v​i​+v​i+1​+…v​n​.
זהו סכום ישר ובפרט ל-0‾\underline{0}0​ הצגה יחידה ולכן כל הוקטורים בסכום אפסים ובפרט v‾i=0‾\underline{v}_{i}=\underline{0}v​i​=0​ ולכן v‾=0‾\underline{v}=\underline{0}v​=0​.
⇒: נניח שקיים איבר v‾\underline{v}v​ בסכום שניתן לכתיבה: v‾=v‾1∈ W1+v‾2∈ W2+⋯+v‾n∈ Wn=w‾1∈ W1+⋯+w‾n∈ Wn\underline{v}=\underbracket{\underline{v}_{1}}_{\in\ W_{1}}+\underbracket{\underline{v}_{2}}_{\in\ W_{2}}+\dots+\underbracket{\underline{v}_{n}}_{\in\ W_{n}}=\underbracket{\underline{w}_{1}}_{\in\ W_{1}}+\dots+\underbracket{\underline{w}_{n}}_{\in\ W_{n}}v​=∈ W1​v​1​​+∈ W2​v​2​​+⋯+∈ Wn​v​n​​=∈ W1​w​1​​+⋯+∈ Wn​w​n​​
נראה כי v‾1=w‾1\underline{v}_{1}=\underline{w}_{1}v​1​=w​1​ לכל i=1,2,…,ni=1,2,\dots,ni=1,2,…,n נכתוב:

v‾i−w‾i∈ Wi=(w‾1−v‾1)∈ W1+⋯+(w‾i−1−v‾i−1)∈ Wi−1+(w‾i+1−v‾i+1)∈ Wi+1+⋯+(w‾n−v‾n)∈ Wn\underbracket{\underline{v}_{i}-\underline{w}_{i}}_{\in\ W_{i}}=\underbracket{(\underline{w}_{1}-\underline{v}_{1})}_{\in\ W_{1}}+\dots+\underbracket{(\underline{w}_{i-1}-\underline{v}_{i-1})}_{\in\ W_{i-1}}+\underbracket{(\underline{w}_{i+1}-\underline{v}_{i+1})}_{\in\ W_{i+1}}+\dots+\underbracket{(\underline{w}_{n}-\underline{v}_{n})}_{\in\ W_{n}}∈ Wi​v​i​−w​i​​=∈ W1​(w​1​−v​1​)​+⋯+∈ Wi−1​(w​i−1​−v​i−1​)​+∈ Wi+1​(w​i+1​−v​i+1​)​+⋯+∈ Wn​(w​n​−v​n​)​

על פי הנתון, נקבל כי v‾i−w‾i∈wi\underline{v}_{i}-\underline{w}_{i}\in w_{i}v​i​−w​i​∈wi​ וגם v‾i−w‾i∈w‾1+⋯+w‾i−1+w‾i+1+⋯+w‾n\underline{v}_{i}-\underline{w}_{i}\in \underline{w}_{1}+\dots+\underline{w}_{i-1}+\underline{w}_{i+1}+\dots+\underline{w}_{n}v​i​−w​i​∈w​1​+⋯+w​i−1​+w​i+1​+⋯+w​n​ כלומר, v‾i−w‾i∈Wi∩w‾1+⋯+w‾i−1+w‾i+1+⋯+w‾n\underline{v}_{i}-\underline{w}_{i}\in W_{i}\cap\underline{w}_{1}+\dots+\underline{w}_{i-1}+\underline{w}_{i+1}+\dots+\underline{w}_{n}v​i​−w​i​∈Wi​∩w​1​+⋯+w​i−1​+w​i+1​+⋯+w​n​ ולכן: v‾i−w‾i=0‾\underline{v}_{i}-\underline{w}_{i}=\underline{0}v​i​−w​i​=0​ ⇐ v‾i=w‾i\underline{v}_{i}=\underline{w}_{i}v​i​=w​i​
מצב זה נכון לכל iii ולכן יש הצגה יחידה.
∎