חזור לתיקייה: 01140071 - פיזיקה 1מ

11 - תורת היחסות הפרטית

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • עקרונות תורת היחסות
  • טרנספורמציית לורנץ'
  • הנחות טרנספורמציית לורנץ'
  • הטרנספורמציה עצמה
  • טרנספורמציית לורנץ' ההפוכה
  • הערות נוספות
  • התקצרות האורך
  • אינווריאנט מרחב-זמן
  • סיפורים
  • אפקט דופלר היחסותי
  • התרחקות
  • התקרבות
  • טרנספורמציית לורנץ' למהירויות
  • הטרנספורמציה ההפוכה
  • דינמיקה יחסותית
  • תנע יחסותית
  • אנרגיה
  • קינטית
  • אינווריאנט תנע-אנרגייה
  • האינווריאנט לכמה גופים
  • פוטונים
  • טרנספורמציית תנע-אנרגיה
  • מערכת מרכז המסה
  • חוקי שימור

11 - תורת היחסות הפרטית

01140071

פיזיקה 1מ

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

תורת היחסות הפרטית

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

כל הסיפור הזה התחיל במאה העשרים. מי שהתחיל את הסיפור הזה היה איינשטיין כאשר ב-190519051905 הוא פרסם את מאמר על תורת היחסות הפרטית (רק מערכות יחוס אינרציאליות - אין כוחות מדומים ודלמבר(יאי :BoBxHappy:).

הערה

ב-191519151915 איינשטיין פרסם את תורת היחסות הכללית, עליה לא נלמד בקורס זה.

תורת היחסות הפרטית, בניגוד לרוב התחומים בפיזיקה, התחילה מהתאוריה במוחו של איינשטיין ולא מניסויים ולאחר מכן הוכחה. (לאחר מותו של איינשטיין)
הסיפור של תורת היחסות מתחיל במהירות האור בריק c=3⋅108msec⁡c=3\cdot10^8 \frac{m}{\sec}c=3⋅108secm​. התנהגויות גופים במהירות האור הינה שונה מאיך שהם מתנהגים בדרך כלל ונראה שכאשר תהיה לנו מהירות v≪cv\ll cv≪c נוכל לחזור למשוואות הרגילות(טרנספורמציית לורנץ' ⇐ טרנספורמציית גלילי)

נסתכל כעת על שתי תילים טעונים חיובית כך:
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-12 10.55.54.excalidraw.svg
אדם רץ במהירות vvv בין שתי הלוחות. אם נהיה הרצים אנו בעצם נראה את המטענים מתקרבים אלינו. ומה זה מטענים נעים? זהו זרם ולכן מנקודת מבטינו יהיו שני תילים עם זרם ולכן, יהיה גם כוח מגנטי בין שני התילים שכן יש בהם זרם.
עכשיו אנו רואים שיש כוח FמגנטיF_{\R{מגנטי}}Fמגנטי​ אשר מפריע לשיווי המשקל של המערכת. אזי כביכול אין שיווי משקל וזה לא הגיוני!\color{red}\R{\text{לא הגיוני!}}לא הגיוני!

הפתרון ניתן על ידי תורת היחסות הפרטית\LARGE\color{#00CF0C}\R{\text{הפתרון ניתן על ידי תורת היחסות הפרטית}}הפתרון ניתן על ידי תורת היחסות הפרטית

אז מה קורה ביחסות? אם אנו זזים נורא נורא מהר, במערכת האדם: התיל נראה קצר יותר(זה נקרא התקצרות האורך ונוכיח זאת בהמשך)
המטען שהיה בתיל הוא אותו האחד, אבל מבחינתינו הוא יותר מרוכז שכן הוא על פחות אורך - אזי, אם נסתכל נראה כי כעת יש יותר מטען פר יחידת אורך ⇐ יש יותר כוח חשמלי פר יחידת אורך ⇐ עדיין מתקיים שיווי משקל.

עקרונות תורת היחסות

משפט (עקרונות תורת היחסות)

  1. מהירות האור בריק קבועה ואינה תלויה במהירות הצופה או במהירות המשדר.
    (הערה: נשים לב כי טרנספורמציית גלילי לא עובדת כאן)
  2. חוקי הפיזיקה זהים בכל המערכות האינרציאליות.
    (מה זה אומר? שימור תנע, F=maF=maF=ma וכל שאר הקשרים בין דברים נשמרים אותם הקשרים בכל מערכת)

כעת נבצע ניסוי מחשבתי קטן ונגלה עוד תכונה של תורת היחסות.
נסתכל על עגלה נעה אשר בתוכה יש משדר וקולט הנמצאים אחד על יד השני כך: (בתוך העגלה יש ריק)
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-12 11.12.45.excalidraw.svg
מה נראה במערכת הקרון?

  • בתוך מערכת הקרון נראה כי נוכל למדוד את שני האירועים(היציאה והקליטה) באמצעות אותו השעון.
  • מהרגע שהאור יצא ועד הרגע שהוא נקלט Δt0=2Lc\Delta t_{0}=\frac{2L}{c}Δt0​=c2L​.

מכיוון שהקרון בתנועה, זה בעצם יראה כך:
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-12 11.16.18.excalidraw.svg
מה קורה במערכת המעבדה?
נסמן:

  • זמן למעלה - tupt_{up}tup​
  • זמן למטה -tdownt_{down}tdown​

זהו בעצם פיתגורס ונוכל לבצע זאת כך:

tup=(v⋅tup)2+L2ct_{up}=\frac{\sqrt{ (v\cdot t_{up})^2+L^2 }}{c}tup​=c(v⋅tup​)2+L2​​ tdown=tup=(v⋅tup)2+L2ct_{down}=t_{up}=\frac{\sqrt{ (v\cdot t_{up})^2+L^2 }}{c}tdown​=tup​=c(v⋅tup​)2+L2​​

אבל מה זה tupt_{up}tup​ בכלל?

tup⋅c=(v⋅tup)2+L2t_{up}\cdot c=\sqrt{ (v\cdot t_{up})^2+L^2 }tup​⋅c=(v⋅tup​)2+L2​ tup2⋅c2=tup2v2+L2t_{up}^2\cdot c^2=t_{up}^2v^2+L^2tup2​⋅c2=tup2​v2+L2 tup2(c2−v2)=L2t_{up}^2(c^2-v^2)=L^2tup2​(c2−v2)=L2 tup=Lc2−v2=Lc1−v2c2t_{up}=\frac{L}{\sqrt{ c^2-v^2 }}=\frac{L}{c\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }}tup​=c2−v2​L​=c1−c2v2​​L​ Δt=2LcΔt0⋅11−v2c2γ=Δt0⋅γ\Delta t=\underbracket{\frac{2L}{c}}_{\Delta t_{0}}\cdot\frac{1}{\underbracket{ 1-\frac{v^2}{c^2} }_{\gamma}}=\Delta t_{0}\cdot\gammaΔt=Δt0​c2L​​⋅γ1−c2v2​​1​=Δt0​⋅γ

הפרש הזמנים שאנו יכולים למדוד כשאנו בחוץ גדול יותר מהפרש הזמנים שאנו יכולים למדוד מבפנים.
קיבלנו: Δt=Δt0⋅γ\Delta t=\Delta t_{0}\cdot\gammaΔt=Δt0​⋅γ. נראה כעת ההשפעות על γ\gammaγ:

γ=11−v2c2\gamma=\frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }}γ=1−c2v2​​1​

כאשר vvv היא המהירות בין המערכות.
נשים לב שמכיוון שהמכנה שווה או קטן מ-111 נקבל הגבלה על γ\gammaγ והיא ש-γ≥1\gamma\geq1γ≥1 ולכן:

Δt>Δt0\Delta t>\Delta t_{0}Δt>Δt0​
הגדרה 1 (מאורע)

מאורע הוא "דבר" בעל מיקום וזמן המסומן (x,y,z,t)(x,y,z,t)(x,y,z,t) כאשר x,y,zx,y,zx,y,z הם המיקום ו-ttt הוא הזמן. (וקטור מ-R4\mathbb{R}^4R4)

בסיפור שלנו:
מאורע 1: פליטת האור.
מאורע 2: קליטת האור.

במערכת הקרון: מאורע הפליטה ומאורע הקליטה התרחשו באותו המקום.

הגדרה 2 (זמן עצמי)

להפרש זמנים בין 2 מאורעות שמתרחשים באותו המקום קוראים זמן עצמי ומסמנים τ\uptauτ. (בהמשך הסיכום תאו תראה τ\tauτ)

אצלנו τ=Δt0\tau=\Delta t_{0}τ=Δt0​.

Δt=γτ\Delta t=\gamma \tauΔt=γτ

זהו האפקט הראשון שלמדנו והוא התארכות הזמן. (כאשר Δt\Delta tΔt זה הזמן מחוץ לקרון)
נשים כי הזמן העצמי הוא הקצר ביותר.

טרנספורמציית לורנץ'

עבור אותו מאורע, טרנספורמציית לורנץ' תעזור לנו עם מעברים בין מערכות יחוס שונות.

(x,y,z,t)↔(x′,y′,z′,t′)(x,y,z,t) \leftrightarrow (x',y',z',t')(x,y,z,t)↔(x′,y′,z′,t′)

נזכור שב-v≪cv\ll cv≪c חייבים לחזור לטרנספורמציית גלילי.

הנחות טרנספורמציית לורנץ'

  1. הצירים של שתי המערכות מקבילים.
    x^=x^′,y^=y^′,z^=z^′\hat{x}=\hat{x}', \qquad \hat{y}=\hat{y}', \qquad \hat{z}=\hat{z}'x^=x^′,y^​=y^​′,z^=z^′
  2. מערכת S′S'S′ נעה ביחס למערכת SSS במהירות קבועה v⃗\vec{v}v. (באחד הצירים)
  3. באיפוס שעונים t=t′=0t=t'=0t=t′=0 המערכות מתלכדות.
  4. קיים תיקון לטרנספורמציית גלילי
    x′=σ(x−vt)x'={\color{red} \sigma}(x-vt)x′=σ(x−vt)
    t′=αx+ε⋅tt'={\color{red} \alpha} x+{\color{red} \epsilon} \cdot tt′=αx+ε⋅t
    נבדוק בסוף שעבור v≪cv\ll cv≪c מתקיים ש- {σ→1α→0ε→1\begin{cases}\sigma\to1\\\alpha\to0\\\epsilon\to1\end{cases}⎩⎨⎧​σ→1α→0ε→1​.

נבצע ניסוי מחשבתי מספר שתיים והוא יהיה ניסוי הבזק אור מהראשית:
יש לנו שתי מערכות SSS ו-S′S'S′ וכאשר t=t′=0t=t'=0t=t′=0 הן מתלכדות. יש לנו איזשהו משדר ואנו פולטים אור ב-t=t′=0t=t'=0t=t′=0.
יש הבזק אור אשר מתרחש בראשית של שתי המערכות ב-t=t′=0t=t'=0t=t′=0. אנו יודעים כי האור מתקדם ב-ccc לא משנה באיזו מערכת נסתכל (על פי עקרונות תורת היחסות).
כמה האור עבר זה פשוט פיטגורס.
במערכת SSS:

t=x2+y2+z2c  ⟹  c2t2=x2+y2+z2  ⟹  c2t2−x2−y2−z2=0t=\frac{\sqrt{ x^2+y^2+z^2 }}{c} \implies c^2t^2=x^2+y^2+z^2 \implies c^2t^2-x^2-y^2-z^2=0t=cx2+y2+z2​​⟹c2t2=x2+y2+z2⟹c2t2−x2−y2−z2=0

במערכת S′S'S′:

t′=x′2+y′2+z′2c  ⟹  c2t′2=x′2+y′2+z′2  ⟹  c2t′2−x′2−y′2−z′2=0t'=\frac{\sqrt{ x'^2+y'^2+z'^2 }}{c} \implies c^2t'^2=x'^2+y'^2+z'^2 \implies c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2=0t′=cx′2+y′2+z′2​​⟹c2t′2=x′2+y′2+z′2⟹c2t′2−x′2−y′2−z′2=0

שניהם שווים לאפס ולכן נוכל להשוותם:

c2t2−x2−y2−z2=c2t′2−x′2+y′2+z′2c^2t^2-x^2-y^2-z^2=c^2t'^2-x'^2+y'^2+z'^2c2t2−x2−y2−z2=c2t′2−x′2+y′2+z′2

המערכת S′S'S′ נעה במהירות v⃗=vx^\vec{v}=v\hat{x}v=vx^ ולכן y=y′y=y'y=y′ ו-z=z′z=z'z=z′ לכל y,zy,zy,z.

c2t2−x2=c2t′2−x′2c^2t^2-x^2=c^2t'^2-x'^2c2t2−x2=c2t′2−x′2

נכניס למשוואה את הצורה של t′,x′t',x't′,x′ על פי הנחות הטרנספורמציה:

x2−c2t2=σ2(x−vt)2⏟x′2−c2(αx+εt)2⏟t′2x^2-c^2t^2=\underbrace{\sigma^2(x-vt)^2}_{x'^2}-c^2\underbrace{(\alpha x+\epsilon t)^2}_{t'^2}x2−c2t2=x′2σ2(x−vt)2​​−c2t′2(αx+εt)2​​

נפתח את המשוואה:

x2−c2t2=σ2(x2+v2t2−2xvt)−c2(α2x2+ε2t2+2αεxt)x^2-c^2t^2=\sigma^2(x^2+v^2t^2-2xvt)-c^2(\alpha^2x^2+\epsilon^2t^2+2\alpha \epsilon xt)x2−c2t2=σ2(x2+v2t2−2xvt)−c2(α2x2+ε2t2+2αεxt)

פותחים סוגרים ומקבצים איברים ואז נקבל:

x2−c2t2=x2(σ2−c2α2)−c2t2(ε2−σ2v2c2)−2xt(σ2v+c2εα)x^2-c^2t^2=x^2(\sigma^2-c^2\alpha^2)-c^2t^2\left( \epsilon^2-\frac{\sigma^2v^2}{c^2} \right)-2xt(\sigma^2v+c^2\epsilon\alpha)x2−c2t2=x2(σ2−c2α2)−c2t2(ε2−c2σ2v2​)−2xt(σ2v+c2εα)

נבצע השוואת מקדמים:

{x2:1=σ2−c2α2c2t2:1=ε2−σ2v2c22xt:0=σ2v+c2εα\begin{cases} x^2: & 1=\sigma^2-c^2\alpha^2 \\ c^2t^2: & 1=\epsilon^2-\frac{\sigma^2v^2}{c^2} \\ 2xt: & 0=\sigma^2v+c^2\epsilon\alpha \end{cases}⎩⎨⎧​x2:c2t2:2xt:​1=σ2−c2α21=ε2−c2σ2v2​0=σ2v+c2εα​

קיבלנו שלוש משוואות ושולה נעלמים (α,σ,ε)(\alpha,\sigma,\epsilon)(α,σ,ε). נקבל כי:

σ=γε=γα=−vc2γ\sigma=\gamma \qquad \epsilon=\gamma \qquad \alpha=-\frac{v}{c^2}\gammaσ=γε=γα=−c2v​γ

נקבל כי:

x′=γ(x−vt)y′=yz′=zt′=γ(t−vc2x)\boxed{\begin{align*} & x'=\gamma(x-vt) \\ & y'=y \\ & z'=z \\ & t'=\gamma\left( t-\frac{v}{c^2}x \right) \end{align*}}​x′=γ(x−vt)y′=yz′=zt′=γ(t−c2v​x)​​

זוהי טרנספורמציית לורנץ'

הטרנספורמציה עצמה

משפט (טרנספורמציית לורנץ')

יהיו SSS ו-S′S'S′ שתי מערכות כך ש:

  1. הצירים של שתי המערכות מקבילים.
  2. מערכת S′S'S′ נעה ביחס למערכת SSS במהירות קבועה v⃗\vec{v}v. (באחד הצירים)
  3. באיפוס שעונים t=t′=0t=t'=0t=t′=0 המערכות מתלכדות.
  4. קיים תיקון לטרנספורמציית גלילי: x′=σ(x−vt)x'={\color{red} \sigma}(x-vt)x′=σ(x−vt) ו-t′=αx+ε⋅tt'={\color{red} \alpha} x+{\color{red} \epsilon} \cdot tt′=αx+ε⋅t כך שכאשר v≪cv\ll cv≪c אזי מתקיים {σ→1α→0ε→1\begin{cases}\sigma\to1\\\alpha\to0\\\epsilon\to1\end{cases}⎩⎨⎧​σ→1α→0ε→1​

אזי מתקיים: (בהנחה שהתנועה היא בציר ה-x^\hat{x}x^)

x′=γ(x−vt)y′=yz′=zt′=γ(t−vc2x)x'=\gamma(x-vt) \qquad y'=y \qquad z'=z \qquad t'=\gamma\left( t-\frac{v}{c^2}x \right)x′=γ(x−vt)y′=yz′=zt′=γ(t−c2v​x)

טרנספורמציית לורנץ' ההפוכה

טרנספורמציית לורנץ' מטפלת במעבר בין מערכת מאיצה S′S'S′ למערכת שאינה מאיצה SSS. נרצה כעת לבצע את הפעולה ההפוכה:

x=γ(x′+vt′)y=y′z=z′t=γ(t′+vc2x′)\boxed{\begin{align*} & x= \gamma(x'+vt') \\ & y=y' \\ & z=z' \\ & t=\gamma\left( t'+\frac{v}{c^2}x' \right) \end{align*}}​x=γ(x′+vt′)y=y′z=z′t=γ(t′+c2v​x′)​​

למה זה הגיוני? כי אם המעכת S′S'S′ נעה לכיוון ימין יחסית למערכת SSS, אז יחסית ל-S′S'S′ המערכת SSS נעה שמאלה.
בעצם, מבחינת מערכת S′S'S′, מערכת SSS נעה במהירות −vx^-v\hat{x}−vx^. אז במשוואות, נכתוב −v-v−v במקום +v+v+v.
בנוסף: γ\gammaγ לא מושפע כי הוא כולל v2v^2v2 ולא v1v^1v1.
נותר רק לבדוק כי תנאי 444 מתקיים. כאשר נקח v≪cv\ll cv≪c נקבל:

lim⁡vc→011−v2c2=1\lim_{ \frac{v}{c} \to 0 } \frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }}=1cv​→0lim​1−c2v2​​1​=1 lim⁡vc→0vc211−(vc)2=lim⁡vc→01cvc1−(vc)2=0\lim_{ \frac{v}{c} \to 0 } \frac{v}{c^2} \frac{1}{\sqrt{ 1-\left( \frac{v}{c} \right)^2 }}=\lim_{ \frac{v}{c} \to 0 } \frac{1}{c} \frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{ 1-\left( \frac{v}{c} \right)^2 }}=0cv​→0lim​c2v​1−(cv​)2​1​=cv​→0lim​c1​1−(cv​)2​cv​​=0

הערות נוספות

נכיר סימן נוסף: β=vc\beta=\frac{v}{c}β=cv​.
ל-γ\gammaγ יש שורש במכנה. מה שבתוך השורש נדרש להיות חיובי ולכן:

1−(vc)2>0  ⟹  v2<c2  ⟹  |v|<|c|1-\left( \frac{v}{c} \right)^2>0 \implies v^2<c^2 \implies \fbox{|v|<|c|}1−(cv​)2>0⟹v2<c2⟹|v|<|c|​

כלומר: 0≤β≤10\leq\beta\leq 10≤β≤1 ו-γ≥1\gamma\geq1γ≥1.
כעת, נראה את טרנספורמציית לורנץ' שוב רק עם β\betaβ כדי שלא נהיה מבולבלים.

משפט (שכתוב טרנספורמציית לורנץ')

יהיו SSS ו-S′S'S′ שתי מערכות כך ש:

  1. הצירים של שתי המערכות מקבילים.
  2. מערכת S′S'S′ נעה ביחס למערכת SSS במהירות קבועה v⃗\vec{v}v. (באחד הצירים)
  3. באיפוס שעונים t=t′=0t=t'=0t=t′=0 המערכות מתלכדות.
  4. קיים תיקון לטרנספורמציית גלילי: x′=σ(x−vt)x'={\color{red} \sigma}(x-vt)x′=σ(x−vt) ו-t′=αx+ε⋅tt'={\color{red} \alpha} x+{\color{red} \epsilon} \cdot tt′=αx+ε⋅t כך שכאשר v≪cv\ll cv≪c אזי מתקיים {σ→1α→0ε→1\begin{cases}\sigma\to1\\\alpha\to0\\\epsilon\to1\end{cases}⎩⎨⎧​σ→1α→0ε→1​

אזי מתקיים: (בהנחה שהתנועה היא בציר ה-x^\hat{x}x^)

x′=γ(x−βct)y′=yz′=zt′=γ(t−βcx)x'=\gamma(x-\beta ct) \qquad y'=y \qquad z'=z \qquad t'=\gamma\left( t-\frac{\beta}{c} x \right)x′=γ(x−βct)y′=yz′=zt′=γ(t−cβ​x)
משפט

מהירות של גוף מסויים במערכת יחוס מסויימת לא תעבור את ccc.

משפט

מהירות יחסית בין גופים באותה המערכת יכולה להגיע עד 2c2c2c.

התקצרות האורך

תרגיל

נקח מערכת SSS שבה יש מקל ומערת נוספת, S′S'S′ אשר זזה במהירות vvv.
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-15 10.38.38.excalidraw.svg
האורך L0=x2−x1L_{0}=x_{2}-x_{1}L0​=x2​−x1​ במערכת המנוחה של המקל נקרא אורך עצמי.
מהו אורך המקל כפי שנראה במערכת S′S'S′?

נצטרך למדוד את שתי הקצוות באותו הזמן. (כי אורך = מדידת שני הקצוות בו זמנית)

x2=γ(x2′+vt2′)x_{2}=\gamma(x_{2}'+vt_{2}')x2​=γ(x2′​+vt2′​) x1=γ(x1′+vt1′)x_{1}=\gamma(x_{1}'+vt_{1}')x1​=γ(x1′​+vt1′​) L0=x2−x1=γ(x2′+vt2′)−γ(x1′+vt1′)=γ(x2′−x1′)+γv(t2′−t1)L_{0}=x_{2}-x_{1}=\gamma(x_{2}'+vt_{2}')-\gamma(x_{1}'+vt_{1}')=\gamma(x_{2}'-x_{1}')+\gamma v(t_{2}'-t_{1} )L0​=x2​−x1​=γ(x2′​+vt2′​)−γ(x1′​+vt1′​)=γ(x2′​−x1′​)+γv(t2′​−t1​)

מכיוון שאנו מודדים את האורך באותו הזמן, t1′=t2′t_{1}'=t_{2}'t1′​=t2′​ ולכן:

L0=γ(x2′−x1′)=γLL_{0}=\gamma(x_{2}'-x_{1}')=\gamma LL0​=γ(x2′​−x1′​)=γL

ונקבל כי:

L=L0γL=\frac{L_{0}}{\gamma }L=γL0​​

כלומר, במערכת הנעה האורך הוא קטן יותר מהאורך העצמי. כלומר, האורך העצמי הוא הארוך ביותר.

תרגיל

מיואון μ\muμ הוא חלקיק לא יציב אשר מתפרק לאחר זמן קצר לחלקיקים אחרים. (הערה: ככל שחלקיק יותר כבד, ככה הוא מתפרק מהר יותר)
משך זמן החיים הממוצע של מיואון הוא τ=2.3⋅10−6sec⁡\tau=2.3\cdot10^{-6}\secτ=2.3⋅10−6sec. (למה קראנו לזמן τ\tauτ? מכיוון שזה זמן עצמי במערכת המיואון)
נתון v=0.9cv=0.9cv=0.9c.

מה המרחק DDD שעבר החלקיק יחסית למערכת כדוה"א? ומה הזמן TTT שנמדד בכדוה"א מהרגע שהמיואון נוצר ועד הרגע שהוא מתפרק?

בואו נבנה טבלת מאורעות - שנשתמש בה הרבה בתרגול ובמבחן. נגדיר קודם כל את המערכות שלנו:

S=כדוה"אS=\R{\text{כדוה"א}}S=כדוה"א S′=μ  (המיואון)S'=\mu\; (\R{\text{המיואון}})S′=μ(המיואון)

נבנה את הטבלה:

S′Sמאורעx1′=?t1′=?x1=?t1=?מיואון נוצרx2′=?x2′=?x2=?t2=?  מיואון מתפרק  \begin{array}{c|c} S' & S & \R{\text{מאורע}} \\ \hline x_{1}'=? \qquad t_{1}'=? & x_{1}=? \qquad t_{1}=? & \R{\text{מיואון נוצר}} \\ \hline x_{2}'=? \qquad x_{2}'=? & x_{2}=? \qquad t_{2}=? & \;\R{\text{מיואון מתפרק}}\; \\ \hline \end{array}S′x1′​=?t1′​=?x2′​=?x2′​=?​Sx1​=?t1​=?x2​=?t2​=?​מאורעמיואון נוצרמיואון מתפרק​​
הערה (איפוס שעונים)

אם במערכת SSS הגוף הוא (0,0)(0,0)(0,0) אזי גם ב-S′S'S′ נקבל (0,0)(0,0)(0,0).
שימו שאם המיקום שונה, אזי הזמן גם יכול להיות שונה ונדרש להשתמש בלונרץ'.

נסמן את מיקום התחלת החלקיק ב-x=0x=0x=0 ובזמן t=0t=0t=0.

S′Sמאורעx1′=0t1′=0x1=0t1=0מיואון נוצרx2′=0t2′=τx2=?t2=?  מיואון מתפרק  \begin{array}{c|c} S' & S & \R{\text{מאורע}} \\ \hline x_{1}'=0 \qquad t_{1}'=0 & x_{1}=0 \qquad t_{1}=0 & \R{\text{מיואון נוצר}} \\ \hline x_{2}'=0 \qquad t_{2}'=\tau & x_{2}=? \qquad t_{2}=? & \;\R{\text{מיואון מתפרק}}\; \\ \hline \end{array}S′x1′​=0t1′​=0x2′​=0t2′​=τ​Sx1​=0t1​=0x2​=?t2​=?​מאורעמיואון נוצרמיואון מתפרק​​

ברגע שיש לנו לפחות חצי מהטבלה, נוכל בעזרת לורנץ' למלא את שאר הטבלה.
מה שנדרש למצוא: D=x2−x1T=t2−t1D=x_{2}-x_{1} \qquad T=t_{2}-t_{1}D=x2​−x1​T=t2​−t1​.
נחשב קודם כל את γ\gammaγ:

γ=11−0.92=2.29\gamma=\frac{1}{1-0.9^2}=2.29γ=1−0.921​=2.29 t2=γ(t2′+Lc2x2′)−γτ  ⟹  T=γτt_{2}=\gamma\left( t_{2}'+\frac{L}{c^2} x_{2}' \right)-\gamma \tau \implies T=\gamma \taut2​=γ(t2′​+c2L​x2′​)−γτ⟹T=γτ

אפשר היה לחשב את TTT תוך שימוש בהתארכות הזמן.

T=γτ=5.28⋅10−6sec⁡T=\gamma \tau=5.28 \cdot 10^{-6}\secT=γτ=5.28⋅10−6sec

כעת נסתכל על המיקום:

x2=γ(x2′+vt2′)=γvτ  ⟹  D=γvτ=2.29⋅0.9c⋅2.3⋅10−6=1.42⋅103mx_{2}=\gamma(x_{2}'+vt_{2}')=\gamma v\tau \implies D=\gamma v\tau=2.29 \cdot 0.9c \cdot 2.3\cdot 10^{-6}=1.42\cdot 10^3 mx2​=γ(x2′​+vt2′​)=γvτ⟹D=γvτ=2.29⋅0.9c⋅2.3⋅10−6=1.42⋅103m

יכולנו לחשב גם את DDD ללא טבלת מאוראות. למה? המיואון זז במהירות קבועה ואנו יודעים למשך כמה זמן הוא עושה את זה ואז: D=vTD=vTD=vT.

הערה

התקצרות האורך מתרחשת רק בציר בו יש את התנועה ולא בשאר.

אינווריאנט מרחב-זמן

נביט בביטוי (ct′)2−x′2−y′2−z′2(ct')^2-x'^2-y'^2-z'^2(ct′)2−x′2−y′2−z′2 ובעזרת לורנץ' נקבל:

=(cγ(t−vc2x))2−(γ(x−vt))2−y2−z2=(c2γ2(t2+v2c4x2−2tvc2x))−(γ2(x2+v2t2−2xvt))=\left( c\gamma\left( t-\frac{v}{c^2}x \right) \right)^2-(\gamma(x-vt))^2-y^2-z^2=\left( c^2\gamma^2\left( t^2+\frac{v^2}{c^4}x^2 -2t \frac{v}{c^2}x\right) \right)-(\gamma^2(x^2+v^2t^2-2xvt))=(cγ(t−c2v​x))2−(γ(x−vt))2−y2−z2=(c2γ2(t2+c4v2​x2−2tc2v​x))−(γ2(x2+v2t2−2xvt)) −y2−z2=γ2[c2t2(1−v2c2)1γ2−x2(1−v2c2)]−y2−z2=c2t2−x2−y2−z2-y^2-z^2=\gamma^2\left[ c^2t^2\underbracket{\left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)}_{\frac{1}{\gamma^2}}-x^2\left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right) \right]-y^2-z^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2−y2−z2=γ2​c2t2γ21​(1−c2v2​)​−x2(1−c2v2​)​−y2−z2=c2t2−x2−y2−z2

קיבלנו אינווריאנט מרחב-זמן!

(ct′)2−x′2−y′2−z′2=(ct)2−x2−y2−z2(ct')^2-x'^2-y'^2-z'^2=(ct)^2-x^2-y^2-z^2(ct′)2−x′2−y′2−z′2=(ct)2−x2−y2−z2

אפשר גם לכתוב:

(cΔt′)2−(Δx′)2−(Δy′)2−(Δz′)2=(cΔt)2−(Δx)2−(Δy)2−(Δz)2(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2-(\Delta y')^2-(\Delta z')^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2(cΔt′)2−(Δx′)2−(Δy′)2−(Δz′)2=(cΔt)2−(Δx)2−(Δy)2−(Δz)2

סיפורים

האם יכול להיות כי מאורע 111 קרה לפני מאורע 222 במערכת SSS, אבל במערכת S′S'S′ מאורע 2 קרה לפני מאורע 1? זה תלוי!
נניח והייתה חתולה בהריון אשר הייתה במקום אחד והמליטה ואז ישנה ליד הגורים שלה במקום אחר. האם יכול להיות שחייזר שעף בחלל רואה אותה עם הגורים שלה לפני שהיא המליטה אותם? לא. למה? אם יש קשר סיבתי בין מאורעות, באף מערכת לא יהיה היפוך מאורעות.

בואו נחשוב על תת הקבוצה הזאת של קשר סיבתי. נניח מדען מחכה לתוצאה של ניסוי של מדען אחר כדי לעשות ניסוי, אז איך אנחנו עושים את זה? המדען הראשון מקבל תוצאה ומתקשר ומעביר את המידע הדרוש למדען השני ואז המדען השני מכניס את המידע הזה ומתחיל את הניסוי. המידע עובר באיזושהי מהירות והמהירות המקסימלית שהמידע הזה יכל לעבור בה היא מהירות האור. נניח ומהירות המידע היא:

Vמידע=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2ΔtV_{\R{מידע}}=\frac{\sqrt{ (\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 }}{\Delta t}Vמידע​=Δt(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2​​

בשביל שיהיה סיכוי לקשר סיבתי נדרוש כי Vמידע≤cV_{\R{\text{מידע}}}\leq cVמידע​≤c.

(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2Δt<c\frac{\sqrt{ (\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 }}{\Delta t}<cΔt(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2​​<c ⇓\Downarrow⇓ (Δx)2+(Δy)2+(Δz)2<(cΔt)2(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2<(c\Delta t)^2(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2<(cΔt)2

נעביר אגף ונקבל כי (cΔt)2−(Δx)2−(Δy)2−(Δz)2>0(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2>0(cΔt)2−(Δx)2−(Δy)2−(Δz)2>0. אם יש קשר סיבתי, אזי זה מתקיים בכל מערכות הייחוס.
אם מתקיים כי (Δx)2+(Δy)2+(Δz)2Δt>c\frac{\sqrt{ (\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 }}{\Delta t}>cΔt(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2​​>c אז המידע שהיה אמור לעבור ביניהם עבר מהר יותר ממהירות האור ולכן, אין קשר סיבתי וגם (cΔt)2−(Δx)2−(Δy)2−(Δz)2<0(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2<0(cΔt)2−(Δx)2−(Δy)2−(Δz)2<0 ואז כן יש סיכוי שיש היפוך מאורעות, שכן אחד לא חיכה לשני כדי להתחיל.

אם יש שני מאורעות אשר קרו בזמן מסויים ובמקום מסויים ויש ביניהם קשר סיבתי, אז אנו יודעים שלא יהיה היפוך מאורעות, אבל... אם נניח כאשר החתולה המליטה ועבר לידה זבוב, ואז כאשר מדדנו שוב את הזמן, כאשר היא שיחקה עם הגורים שלה, ולידה עבר יטוש שאינו קשור לזבוב, אזי גם שמה לא יהיה היפוך מאורעות אפילו שלא היה קשר סיבתי. כלומר, אם יש קשר סיבתי   ⟸  \impliedby⟸ לא יהיה היפוך מאורעות, אם אין קשר סיבתי   ⟸  \impliedby⟸ לרוב לא יהיה היפוך מאורעות, אבל יש איזור אפור קטן שבו גם לא יהיה היפוך מאורעות למרות שהם לא קשורים אחד לשני.

אפקט דופלר היחסותי

אם יש לנו מקלט ומשדר יכולים להיות ביניהם שני מצבים: או שהם מתקרבים, או שהם מתרחקים. תחילה נסתכל על המצב בו הם מתרחקים.

התרחקות

נצמיד כעת מערכת אחת למשדר ואחת למקלט.
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-19 10.34.00.excalidraw.svg
המשדר משדר פולסים של אור כל τ\tauτ שניות. (זה זמן עצמי כי הוא פולט פולסים במקום שבו הוא נמצא)
נחשב כעת את ΔT\Delta TΔT בין שני פולסים עוקבים במקלט. את זאת נעשה באמצעות טבלת מאורעות:

מקלט=S′משדר=Sמאורעx1′=0t1′=0x1=0t1=0פליטת פולס ראשוןx2′=?t2′=?x2=0t2=τפליטת הפולס השני\begin{array}{c|c} \R{מקלט}=S' & \R{משדר}=S & \R{מאורע} \\ \hline x_{1}'=0 \quad t_{1}'=0 & x_{1}=0 \quad t_{1}=0 & \R{\text{פליטת פולס ראשון}} \\ \hline x_{2}'=? \quad t_{2}'=? & x_{2}=0 \quad t_{2}=\tau & \R{\text{פליטת הפולס השני}} \\ \hline \end{array}מקלט=S′x1′​=0t1′​=0x2′​=?t2′​=?​משדר=Sx1​=0t1​=0x2​=0t2​=τ​מאורעפליטת פולס ראשוןפליטת הפולס השני​​

איפה ומתי נפלט הפולס השני, לפי מערכת S′S'S′? (יכולנו אגב לעשות את זה עם שני פולסים אחרים כמו τ\tauτ ו-2τ2\tau2τ)

t2′=γτ−γ⋅0=γτt_{2}'=\gamma \tau-\gamma\cdot 0=\gamma \taut2′​=γτ−γ⋅0=γτ

זאת לפי התארכות הזמן ולורנץ'.
נמשיך כעת ונמצא את x2′x_{2}'x2′​. לפי לורנץ' נקבל:

x2′=γ(x2−vt2)=γ(0−Vτ)=−γVτx_{2}'=\gamma(x_{2}-vt_{2})=\gamma(0-V\tau)=-\gamma V\taux2′​=γ(x2​−vt2​)=γ(0−Vτ)=−γVτ

מתי המקלט עושה קליק? כאשר מגיע אליו הפולס. ב-000 זה קורה באותו הזמן שכן הם שניהם בראשית. אך כעת, המקלט לא באותו המקום של המשדר ולכן יקח לו עוד קצת זמן עד שהאור יגיע למקלט ורק אז הוא יעשה קליק.
לכן, נצטרך להוסיף את הזמן שלוקח לאור להגיע מהנקודה שבה הוא נפלט אל המקלט.
נסתכל כעת ממערכת המקלט(עד עכשיו הסתכלנו ממערכת המשדר) ונראה כמה זמן יקח לפולס להגיע למקלט.
נסמן את הזמן של הקליק הראשון ב-T1′T_{1}'T1′​:

T1′=t1′+T1arrival=0T_{1}'=t_{1}'+\underset{arrival}{T_{1}}=0T1′​=t1′​+arrivalT1​​=0 T2′=t2′+T2arrival=γτ+γVτcT_{2}'=t_{2}'+\underset{arrival}{T_{2}}=\gamma \tau+\frac{\gamma V\tau}{c}T2′​=t2′​+arrivalT2​​=γτ+cγVτ​

כאשר γVτc\frac{\gamma V\tau}{c}cγVτ​ הוא הזמן שלוקח לפולס להגיע למקלט. (אנו מתייחסים פה כאילו המערכת S′S'S′ היא בראשית הצירים. אנו יכולים לעשות זאת כי אם נהיה בתוך המערכת הזו, מבחינתינו כל שאר העולם יזוז בזמן שאנחנו נשאר במקום)

ΔT=T2′−T1′=γτ+γVτc=γτ(1+Vc)−τ(1+Vc)1−v2c2=1+Vc(1+Vc)(1−Vc)τ=τ1+Vc1−Vc\Delta T=T_{2}'-T_{1}'=\gamma \tau+\frac{\gamma V\tau}{c}=\gamma \tau\left( 1+\frac{V}{c} \right)-\frac{\tau\left( 1+\frac{V}{c} \right)}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }}=\frac{1+\frac{V}{c}}{\sqrt{ \left( 1+\frac{V}{c} \right)\left( 1-\frac{V}{c} \right) }}\tau=\tau\sqrt{ \frac{1+\frac{V}{c}}{1-\frac{V}{c}} }ΔT=T2′​−T1′​=γτ+cγVτ​=γτ(1+cV​)−1−c2v2​​τ(1+cV​)​=(1+cV​)(1−cV​)​1+cV​​τ=τ1−cV​1+cV​​​

קיבלנו כי:

ΔTמקלט=τ1+Vc1−Vc\underset{\R{מקלט}}{\Delta T}=\tau \sqrt{ \frac{1+\frac{V}{c}}{1-\frac{V}{c}} }מקלטΔT​=τ1−cV​1+cV​​​

מכיוון שיש לנו מונה הגדול מ-111 ומכנה הקטן מ-111 נקבל כי ΔTמקלט>τ\underset{\R{מקלט}}{\Delta T}>\tauמקלטΔT​>τ.
נזכר כי תדירות היא f=1Tf=\frac{1}{T}f=T1​. אזי, אם משדרים פולסים בתדירות f0=1Tf_{0}=\frac{1}{T}f0​=T1​ מקבלים:

fמקלט=f01−Vc1+Vc\underset{\R{מקלט}}{f}=f_{0}\sqrt{ \frac{1-\frac{V}{c}}{1+\frac{V}{c}} }מקלטf​=f0​1+cV​1−cV​​​

ואז fמקלט<f0\underset{\R{מקלט}}{f}<f_{0}מקלטf​<f0​.
מכיוון שזהו אור, נוכל להתייחס אליו כגל, ואז אוך הגל שלו יהיה:

λ0=c⋅τ\lambda_{0}=c\cdot \tauλ0​=c⋅τ λמקלט=λ01+Vc1−Vc\underset{\R{מקלט}}{\lambda}=\lambda_{0}\sqrt{ \frac{1+\frac{V}{c}}{1-\frac{V}{c}} }מקלטλ​=λ0​1−cV​1+cV​​​

התקרבות

לא נעשה את הפיתוח כולו. כל מה שמשתנה הוא הסימן של VVV ולכן:

ΔTמקלט=τ1−Vc1+Vc\underset{\R{מקלט}}{\Delta T}=\tau \sqrt{ \frac{1-\frac{V}{c}}{1+\frac{V}{c}} }מקלטΔT​=τ1+cV​1−cV​​​

טרנספורמציית לורנץ' למהירויות

מה שנרצה לראות פה זה איך לעבור בין u⃗\vec{u}u ל-u⃗′\vec{u}'u′. תחילה, נזכר בלורנץ':

x′=γ(x−vt)y′=yz′=zt′=γ(t−vc2x)\boxed{\begin{align*} & x'=\gamma(x-vt) \\ & y'=y \\ & z'=z \\ & t'=\gamma\left( t-\frac{v}{c^2}x \right) \end{align*}}​x′=γ(x−vt)y′=yz′=zt′=γ(t−c2v​x)​​

נתחיל בלחשב נגזרות:

dx′dt=γ(dxdt−v)=γ(ux−v)\frac{dx'}{dt}=\gamma\left( \frac{dx}{dt}-v \right)=\gamma(u_{x}-v)dtdx′​=γ(dtdx​−v)=γ(ux​−v) dy′dt=dydt=uy\frac{dy'}{dt}=\frac{dy}{dt}=u_{y}dtdy′​=dtdy​=uy​ dz′dt=dzdt=uz\frac{dz'}{dt}=\frac{dz}{dt}=u_{z}dtdz′​=dtdz​=uz​ dt′dt=ddt(γ(t−vc2x))=γ(1−vc2dxdt)=γ(1−vc2ux)\frac{dt'}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \gamma\left( t-\frac{v}{c^2}x \right) \right)=\gamma\left( 1-\frac{v}{c^2} \frac{dx}{dt} \right)=\gamma\left( 1-\frac{v}{c^2}u_{x} \right)dtdt′​=dtd​(γ(t−c2v​x))=γ(1−c2v​dtdx​)=γ(1−c2v​ux​)

נחשב כעת את u⃗′\vec{u}'u′:

ux′=dx′dt′=(dx′dt)(dtdt′)=dx′dt(dt′dt)−1=γ(ux−v)1γ(1−vc2ux)=ux−v1−vc2uxu_{x}'=\frac{dx'}{dt'}=\left( \frac{dx'}{dt} \right)\left( \frac{dt}{dt'} \right)=\frac{dx'}{dt} \left( \frac{dt'}{dt} \right)^{-1}=\cancel{\gamma}(u_{x}-v) \frac{1}{\cancel{\gamma}\left( 1-\frac{v}{c^2}u_{x} \right)}=\boxed{\frac{u_{x}-v}{1-\frac{v}{c^2}u_{x}}}ux′​=dt′dx′​=(dtdx′​)(dt′dt​)=dtdx′​(dtdt′​)−1=γ(ux​−v)γ(1−c2v​ux​)1​=1−c2v​ux​ux​−v​​ uy′=dy′dt′=(dy′dt)(dt′dt)−1=uyγ(1−vc2ux)u_{y}'=\frac{dy'}{dt'}=\left( \frac{dy'}{dt} \right)\left( \frac{dt'}{dt} \right)^{-1}=\boxed{\frac{u_{y}}{\gamma\left( 1-\frac{v}{c^2}u_{x} \right)}}uy′​=dt′dy′​=(dtdy′​)(dtdt′​)−1=γ(1−c2v​ux​)uy​​​

באופן דומה נקבל כי:

uz′=uzγ(1−vc2ux)u_{z}'=\boxed{\frac{u_{z}}{\gamma\left( 1-\frac{v}{c^2}u_{x} \right)}}uz′​=γ(1−c2v​ux​)uz​​​
משפט (טרנספורמציית מהירויות יחסותית)

יהיו SSS ו-S′S'S′ שתי מערכות המקיימות את כל תנאי טרנספורמציית לורנץ'. אזי:

ux′=ux−V1−Vc2uxuy′=uyγ(1−Vc2ux)uz′=uzγ(1−Vc2ux)u_{x}'=\frac{u_{x}-V}{1-\frac{V}{c^2}u_{x}} \qquad u_{y}'=\frac{u_{y}}{\gamma\left( 1-\frac{V}{c^2}u_{x} \right)} \qquad u_{z}'=\frac{u_{z}}{\gamma\left( 1-\frac{V}{c^2}u_{x} \right)}ux′​=1−c2V​ux​ux​−V​uy′​=γ(1−c2V​ux​)uy​​uz′​=γ(1−c2V​ux​)uz​​

נשים כי בשונה מטרנספורמציית לורנץ' הרגילה, שבה מתקיים y=y′,z=z′y=y',z=z'y=y′,z=z′, כאן יש uy′≠uyu_{y}'\neq u_{y}uy′​=uy​ ו-uz′≠uzu_{z}'\neq u_{z}uz′​=uz​.
זה נובע מכך שאומנם yyy ו-zzz לא עוברים טרנספורמציה, אבל הזמן כן עובר. ולכן, מפאת הגדרת המהירות: uy′=dy′dt′u_{y}'=\frac{dy'}{dt'}uy′​=dt′dy′​ אז נקבל שכן יש שינוי.

הטרנספורמציה ההפוכה

פשוט נוכל להפוך ולקבל:

משפט (טרנספורמציית מהירויות יחסותית ההפוכה)

יהיו SSS ו-S′S'S′ שתי מערכות המקיימות את כל תנאי טרנספורמציית לורנץ'. אזי:

ux=ux′+v1+vc2uxuy=uy′γ(1+vc2ux)uz=uz′γ(1+vc2ux)u_{x}=\frac{u_{x}'+v}{1+\frac{v}{c^2}u_{x}} \qquad u_{y}=\frac{u_{y}'}{\gamma\left( 1+\frac{v}{c^2}u_{x} \right)} \qquad u_{z}=\frac{u_{z}'}{\gamma\left( 1+\frac{v}{c^2}u_{x} \right)}ux​=1+c2v​ux​ux′​+v​uy​=γ(1+c2v​ux​)uy′​​uz​=γ(1+c2v​ux​)uz′​​

נשים לב כי רק הסימן של vvv משתנה.

תרגיל

בחללית שנעה במהירות V⃗=0.5cx^\vec{V}=0.5c\hat{x}V=0.5cx^ יחסית לכדוה"א.
חלקיק נע חלקיק במהירות u⃗′=0.6cx^+0.2cy^\vec{u}'=0.6c\hat{x}+0.2c\hat{y}u′=0.6cx^+0.2cy^​ יחסית לחללית.
מהי מהירות החלקיק כפי שמודד צופה בכדוה"א?

בשאלות מסוג זה יש לנו 3 תפקידים "לחלק" והם: מערכת SSS, מערכת S′S'S′ והגוף.
בשאלה זו נחליט כי SSS היא כדוה"א, S′S'S′ היא החללית והגוף הוא החלקיק.
תחילה נחשב את γ\gammaγ:

γ=11−0.52=23\gamma=\frac{1}{\sqrt{ 1-0.5^2 }}=\frac{2}{\sqrt{ 3 }}γ=1−0.52​1​=3​2​ ux=ux′+v1+Vc2ux′=0.6c+0.5c1+0.6⋅0.5=0.846cu_{x}=\frac{u_{x}'+v}{1+\frac{V}{c^2}u_{x}'}=\frac{0.6c+0.5c}{1+0.6\cdot 0.5}=0.846cux​=1+c2V​ux′​ux′​+v​=1+0.6⋅0.50.6c+0.5c​=0.846c uy=uy′γ(1+Vc2ux)=0.2c23(1+0.5⋅0.6)=0.133cu_{y}=\frac{u_{y}'}{\gamma\left( 1+\frac{V}{c^2}u_{x} \right)}=\frac{0.2c}{\frac{2}{\sqrt{ 3 }}(1+0.5\cdot 0.6)}=0.133cuy​=γ(1+c2V​ux​)uy′​​=3​2​(1+0.5⋅0.6)0.2c​=0.133c uz=uz′γ(1+Vc2ux)=0…=0u_{z}=\frac{u_{z}'}{\gamma\left( 1+\frac{V}{c^2}u_{x} \right)}=\frac{0}{\dots}=0uz​=γ(1+c2V​ux​)uz′​​=…0​=0

קיבלנו:

u⃗=0.846cx^+0.133cy^\vec{u}=0.846c\hat{x}+0.133c\hat{y}u=0.846cx^+0.133cy^​

איזו בדיקת שפיות נוכל לעשות כעת?

  • נוכל לבדוק שזה לא עובר את מהירות האור - ccc.
    (0.846c)2+(0.133)c2=(0.8462+0.1332)c2=0.856c<cכנדרש! \sqrt{ (0.846c)^2+(0.133)c^2 }=\sqrt{ (0.846^2+0.133^2)c^2 }=0.856c < c \R{\text{כנדרש! }}(0.846c)2+(0.133)c2​=(0.8462+0.1332)c2​=0.856c<cכנדרש! 

ניתן לשים כי יש מערכות בהן גוף זז רק בציר ה-x^\hat{x}x^. אזי, אנו יודעים כי במערכת אחרת(כך ששתיהן מקיימות את תנאי לורנץ') נקבל כי יש מהירות אך ורק בציר ה-x^\hat{x}x^.

דינמיקה יחסותית

דינמיקה יחסותית בעצם מדברת על ענייני תנע ואנרגייה. דיברנו עליהם הרבה בעולם הלא יחסותי וכעת נוכל לפעיל אותם גם בעולם היחסותי.
נתחיל בלהבדיל בין:

  • גודל נשמר - גודל שערכו נשמר במערכת סגורה. (כגון: מסה, תנע, אנרגייה)
  • גודל אינווריאנטי - גודל שלא משתנה בין מערכות. (כגון: מסה, אינווריאנט מרחב-זמן)

כעת, נסתכל על מצב בו יש לנו גוף בעל מסה ומהירות. יש לו P⃗=mv⃗\vec{P}=m\vec{v}P=mv.
במערכות אינרצאליות: שימור תנע במערכת אחת ⇐ שימור תנע במערכות אחרות.
נרצה לראות האם נוכל להשתמש בנוסחה הזו גם בתחום היחסותי והאם זה שובר שימור תנע.

נניח ויש לנו מסה MMM אשר נמצא במנוחה ובנקודת זמן מסויימת מתפרק ל-2 חלקיקים שמסותיהם m1m_{1}m1​ ו-m2m_{2}m2​ והם זזים ב-v1v_{1}v1​ ו-v2v_{2}v2​ בהתאמה.
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-19 11.50.17.excalidraw.svg
האם יש שימור תנע במערכת זו? אמור להיות לפי מה שלמדנו בקורס עד כה. זאת מפאת שיש רק כוחות פנימיים.
מכיוון ש-v0=0v_{0}=0v0​=0 נקבל ש-P⃗tot=0\vec{P}_{tot}=0Ptot​=0 וזה מקיים:

0=m1v⃗1+m2v⃗20=m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}0=m1​v1​+m2​v2​

נעבור למערכת S′S'S′ אחרת שנעה במהירות Vx^V\hat{x}Vx^.
בהתחלה: u⃗=0\vec{u}=0u=0 במערכת SSS ובמערכת S′S'S′ נקבל(ע"פ טרנספורמציית המהירויות)

ux′=ux−V1−Vc2ux=−Vu_{x}'=\frac{u_{x}-V}{1-\frac{V}{c^2} u_{x}}=-Vux′​=1−c2V​ux​ux​−V​=−V u⃗′=−Vx^\vec{u}'=-V\hat{x}u′=−Vx^ P⃗tot=−MVx^\vec{P}_{tot}=-MV\hat{x}Ptot​=−MVx^

מה קורה לאחר ההתפרקות?

v2′=v2−V1−v2⋅Vc2v1′=v1−V1−v1Vc2v_{2}'=\frac{v_{2}-V}{1-v_{2}\cdot \frac{V}{c^2}} \qquad v_{1}'=\frac{v_{1}-V}{1-v_{1} \frac{V}{c^2}}v2′​=1−v2​⋅c2V​v2​−V​v1′​=1−v1​c2V​v1​−V​

ולכן:

P⃗tot′=m1v1′+m2v2′=m1(v1−V)1−v1⋅Vc2+m2(v2−V)1−v2⋅Vc2\vec{P}_{tot}'=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'=\frac{m_{1}(v_{1}-V)}{1-v_{1}\cdot \frac{V}{c^2}}+\frac{m_{2}(v_{2}-V)}{1-v_{2} \cdot \frac{V}{c^2}}Ptot′​=m1​v1′​+m2​v2′​=1−v1​⋅c2V​m1​(v1​−V)​+1−v2​⋅c2V​m2​(v2​−V)​

כביכול צריך להתקיים:

−MV=m1(v1−V)1−v1⋅Vc2+m2(v2−V)1−v2⋅Vc2-MV=\frac{m_{1}(v_{1}-V)}{1-v_{1}\cdot \frac{V}{c^2}}+\frac{m_{2}(v_{2}-V)}{1-v_{2} \cdot \frac{V}{c^2}}−MV=1−v1​⋅c2V​m1​(v1​−V)​+1−v2​⋅c2V​m2​(v2​−V)​

צד שמאל הוא נתון.
[סשה תשלח לנו סרטון עם פתרון מדוייק של השאלה]

מסקנה

ההגדרה P⃗=mv⃗\vec{P}=m\vec{v}P=mv לא מתאימה בתחום היחסותי כיוון שנקבל שימור תנע במערכת אינרציאלית אחת וחוסר שימור תנע במערכת אינרציאלית אחרת.

לאור זאת, כפי שעדכנו את טרנספורמציית גלילי לטרנספורמציית לורנץ', ככה נדרש לעדכן את הגדרת התנע שלנו לגדרה יחסותית

תנע יחסותית

הגדרה 3 (תנע)

יהי גוף בעל מסה mmm ומהירות u⃗\vec{u}u. אזי:

P⃗=γmmu⃗\vec{P}=\gamma_{m}m\vec{u}P=γm​mu

כאשר

γm=11−u2c2\gamma_{m}=\frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{u^2}{c^2} }}γm​=1−c2u2​​1​

אנחנו מסתכלים על גוף במערכת SSS. ה-γm\gamma_{m}γm​ כוללת את המהירות של הגוף עצמו במערכת הנתונה (וזאת בניגוד ל-γ\gammaγ מטרנספורמציית לורנץ' שמתייחסת למהירות התנועה של מערכת אינרציאלית S′S'S′)
איך נוכל להבדיל בין ה-γ\gammaγ של טרנספורמציית לורנץ' ל-γ\gammaγ של התנע? לפי ההקשר בלבד. פה סימנו עם γm\gamma_{m}γm​ אך בדפים הרשמיים נכתב רק γ\gammaγ.
מומלץ לסמן איכשהו שזוהי ה-γ\gammaγ של התנע כדי לא להתבלבל ולהציב אותה בטעות בטרנספורמציית לורנץ'.

נראה גם, כי אם נקח u≪cu\ll cu≪c נקבל כי:

P⃗m=mu⃗1−u2c2⟶mu⃗\vec{P}_{m}= \frac{m\vec{u}}{\sqrt{ 1-\frac{u^2}{c^2} }} \longrightarrow m\vec{u}Pm​=1−c2u2​​mu​⟶mu

מה שמתאים לנו לנוסחת התנע הלא יחסותית.
ישנה עוד תצורת כתיבה לתנע אשר משתמשת רק ב-γ\gammaγ ולא ב-vvv מפורש. נראה פיתוח שלה כעת:

γ=11−v2c2\gamma=\frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }}γ=1−c2v2​​1​ 1=γ1−v2c21=\gamma \sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }1=γ1−c2v2​​ 1γ=1−v2c2  ⟹  1γ2=1−v2c2\frac{1}{\gamma}=\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} } \implies \frac{1}{\gamma^2}=1-\frac{v^2}{c^2}γ1​=1−c2v2​​⟹γ21​=1−c2v2​ v2c2=1−1γ2  ⟹  v=c1−1γ2=cγ2−1γ\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{\gamma^2}\implies v=c\sqrt{ 1-\frac{1}{\gamma^2} }=\frac{c\sqrt{ \gamma^2-1 }}{\gamma}c2v2​=1−γ21​⟹v=c1−γ21​​=γcγ2−1​​

קיבלנו כי v=cγγ2−1v=\frac{c}{\gamma}\sqrt{ \gamma^2-1 }v=γc​γ2−1​ ואז, מהגדרת התנע נקבל כי:

P⃗=mv⃗⋅γ=mγ⋅cγγ2−1⋅v^=mcγ2−1⋅v^\vec{P}=m\vec{v}\cdot \gamma=m\gamma \cdot \frac{c}{\gamma}\sqrt{ \gamma^2-1 }\cdot\hat{v}=\boxed{mc\sqrt{ \gamma^2-1 }\cdot \hat{v}}P=mv⋅γ=mγ⋅γc​γ2−1​⋅v^=mcγ2−1​⋅v^​

אנרגיה

קינטית

חוק שני של ניוטון עדיין מתקיים ולכן נשתמש בו:

∑iF⃗i=dP⃗dt=ddt(mv1−v2c2)\sum_{i}\vec{F}_{i}=\frac{d\vec{P}}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \frac{mv}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }} \right)i∑​Fi​=dtdP​=dtd​​1−c2v2​​mv​​

לפי משפט עבודה-אנרגייה:

ΔEk=∫0xfF⋅dx=∫0xfddt(mv1−v2c2)dx=∫0tf[mdvdt1−v2c2−12mv(−2vc)dvdt(1−v2c2)32(dxdt)dt]=…\Delta E_{k}=\int_{0}^{x_{f}}F\cdot dx=\int_{0}^{x_{f}} \frac{d}{dt}\left( \frac{mv}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }} \right)dx=\int_{0}^{t_{f}} \left[ \frac{m\frac{dv}{dt}}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }}-\frac{1}{2} \frac{mv\left( -\frac{2v}{c} \right) \frac{dv}{dt}}{\left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{\frac{3}{2}} } \left( \frac{dx}{dt} \right)dt\right]=\dotsΔEk​=0∫xf​​F⋅dx=0∫xf​​dtd​​1−c2v2​​mv​​dx=0∫tf​​​1−c2v2​​mdtdv​​−21​(1−c2v2​)23​mv(−c2v​)dtdv​​(dtdx​)dt​=… ⋯=mc21−v2c2−mc2\dots=\frac{mc^2}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }}-mc^2⋯=1−c2v2​​mc2​−mc2 Ek=γmc2−mc2=(γ−1)mc2E_{k}=\gamma mc^2-mc^2=(\gamma-1)mc^2Ek​=γmc2−mc2=(γ−1)mc2

נעביר אגף ונקבל:

Em=γmmc2=Ek+mc2E_{m}=\gamma_{m} mc^2=E_{k}+mc^2Em​=γm​mc2=Ek​+mc2

האיבר mc2mc^2mc2 נקרא אנרגיית מנוחה ו-γmmc2\gamma_{m}mc^2γm​mc2 נקרא סך האנגיה של הגוף.
נגיד שסך האנרגיה של הגוף מורכב מאנרגיית המנוחה של הגוף והאנרגיה הקינטית של הגוף.
על סמך הידע שלנו במכניקה קלאסית, נדרוש שכאשר v≪cv\ll cv≪c יתקיים Ek=12mv2E_{k}=\frac{1}{2}mv^2Ek​=21​mv2. נראה כעת אם זה מתקיים.
נסתכל על γ−1\gamma-1γ−1:

γ−1=11−v2c2−1\gamma-1=\frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }}-1γ−1=1−c2v2​​1​−1

כעת נבצע לזה פירוק טיילור:

γ−1≈1+12v2c2+…−1=12v2c2\gamma-1 \approx \cancel{ 1 }+\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}+\dots\cancel{ -1 } =\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}γ−1≈1+21​c2v2​+…−1=21​c2v2​

אז אנרגייה קינטית במהירויות נמוכות תהא:

Ekv≪c=(γ−1)mc2=(12v2c2)mc2=12mv2E_{k}^{v\ll c}=(\gamma-1)mc^2=\left( \frac{1}{2} \frac{v^2}{\cancel{ c^2 }} \right)m\cancel{ c^2 }=\frac{1}{2}mv^2Ekv≪c​=(γ−1)mc2=(21​c2v2​)mc2=21​mv2

כנדרש.

אינווריאנט תנע-אנרגייה

נתחיל מלהתייחס לגוף יחיד ונצור משוואה המקשרת את המסה של הגוף, את התנע של הגוף ואת האנרגיה של הגוף.

1=1−v2c21−v2c2=11−v2c2−(v2c2)1−v2c2=γ2−v2c2γ21= \frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{\left( \frac{v^2}{c^2} \right)}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\gamma^2-\frac{v^2}{c^2}\gamma^21=1−c2v2​1−c2v2​​=1−c2v2​1​−1−c2v2​(c2v2​)​=γ2−c2v2​γ2

נכפול את שני האגפים ב-m2c4m^2c^4m2c4:

m2c4=γ2m2c2−m2c4v2c2γ2m^2c^4=\gamma^2m^2c^2-m^2c^4 \frac{v^2}{c^2}\gamma^2m2c4=γ2m2c2−m2c4c2v2​γ2 m2c4=γ2m2c4−γ2m2c2v2=(γmc2)2−(γmv)2⋅c2m^2c^4=\gamma^2m^2c^4-\gamma^2m^2c^2v^2=(\gamma mc^2)^2-(\gamma mv)^2\cdot c^2m2c4=γ2m2c4−γ2m2c2v2=(γmc2)2−(γmv)2⋅c2

נזהה כעת כל מני משתנים שאנו מכירים:

m2c4=Em2−P⃗2c2\boxed{m^2c^4=E_{m}^2-\vec{P}^2c^2}m2c4=Em2​−P2c2​

בפיתוח שראינו, יכולנו להחליף את vvv ב-v′v'v′, מה שכמובן לא משנה את הפיתוח עצמו. ואז היינו מקבלים:

m2c4=Em′2−P⃗′2c2\boxed{m^2c^4=E_{m}'^2-\vec{P}'^2c^2}m2c4=Em′2​−P′2c2​
מסקנה

עבור חלקיק יחיד, קיבלנו כי בכל שתי מערכות אינרציאליות מתקיים:

Em2−P⃗2c2=Em′2−P⃗′2c2=m2c4E_{m}^2-\vec{P}^2c^2=E_{m}'^2-\vec{P}'^2c^2=m^2c^4Em2​−P2c2=Em′2​−P′2c2=m2c4

זהו האינווריאנט.

נשים לב כי במערכת המנוחה של החלקיק, שמתקיים בה P⃗=0\vec{P}=0P=0 ו-E=mc2E=mc^2E=mc2(שכן זוהי אנרגיית המנוחה) מתקיים:

E2−P⃗2⋅c2=(mc2)2−02⋅c2=m2c4E^2-\vec{P}^2\cdot c^2=(mc^2)^2-0^2\cdot c^2=m^2c^4E2−P2⋅c2=(mc2)2−02⋅c2=m2c4

כנדרש. בעצם, הביטוי m2c4m^2c^4m2c4 הוא פשוט הביטוי מחושב במערכת המנוחה של הגוף כפי שראינו כעת.

האינווריאנט לכמה גופים

במידה ויש הרבה גופים/חלקיקים, מתקיים:

Etot2−Ptot2c2=Etot′2−Ptot′2c2≠Mtot2c4E_{tot}^2-P_{tot}^2c^2=E_{tot}'^2-P_{tot}'^2c^2 {\color{red}\neq M_{tot}^2c^4}Etot2​−Ptot2​c2=Etot′2​−Ptot′2​c2=Mtot2​c4

לא נוכיח זאת בקורס זה. זה הרבה מתמטיקה. אך כן נשתמש בזה.

הערה

במערכת מרכז המסה, אשר נדבר עליה בהמשך:

Etot2−Ptot2c2=Ecm2E_{tot}^2-P_{tot}^2c^2=E_{cm}^2Etot2​−Ptot2​c2=Ecm2​

אבל לא כל הגופים במנוחה ולכן זה לא יהיה Mtot2c4M^2_{tot}c^4Mtot2​c4.

נסכל כעת על כמה גרפים ונראה את ההבדלים בין הגדלים היחסותיים ללא יחסותיים.
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-26 10.56.08.excalidraw.svg
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-26 11.00.34.excalidraw.svg

פוטונים

פוטונים הם חלקיקים של האור, חסרי מסה אבל יש להם EmE_{m}Em​ ו-PPP.

E2−P2c2=m2c4E^2-P^2c^2=m^2c^4E2−P2c2=m2c4

מה קורה אם m=0m=0m=0?

E2−P2c2=0E^2-P^2c^2=0E2−P2c2=0 E=P⃗cE=\vec{P}cE=Pc

נחזור לנוסחת האנרגייה שלנו ממקודם ונשווה:

E=γmc2  ⟹  γm=Ec2E=\gamma mc^2 \implies \gamma m=\frac{E}{c^2}E=γmc2⟹γm=c2E​ P⃗=(γm)v⃗=Ec2v⃗\vec{P}=(\gamma m)\vec{v}=\frac{E}{c^2}\vec{v}P=(γm)v=c2E​v v⃗=P⃗⋅c2E=P⃗⋅c2P⃗⋅c=c⋅p^\vec{v}=\frac{\vec{P}\cdot c^2}{E}=\frac{\vec{P}\cdot c^2}{\vec{P}\cdot c}=c\cdot \hat{p}v=EP⋅c2​=P⋅cP⋅c2​=c⋅p^​

קיבלנו כי מהירות הפוטון היא מהירות האור!

הערה

זה לא הפיתוח הכי מדוייק, שכן אנו משחקים עם המסה אבל המסה היא 0.
יש פיתוחים יותר ריגורוזים אבל לא נכנס אליהם בקורס זה.

מאחר והאור הוא גם גל, יש לו אורך גל λ\lambdaλ ותדירות fff כך ש-λf=c\lambda f=cλf=c.

Ep=h⋅fE_{p}=h\cdot fEp​=h⋅f

כאשר hhh הוא קבוע פלאנק ושווה ל-6.625⋅10−346.625\cdot 10^{-34}6.625⋅10−34 עם יחידות J⋅sec⁡J\cdot \secJ⋅sec.

הערה

לפעמים, במקום hfhfhf כותבים hνh\nuhν.

על פי המשוואות שראינו עד כה, נוכל לחשב את תנע של פוטון:

P⃗=Ec=hλ=hfc\boxed{\vec{P}=\frac{E}{c}=\frac{h}{\lambda}=\frac{hf}{c}}P=cE​=λh​=chf​​

כעת, נביט באור:
יהיו שתי מערכות SSS ו-S′S'S′ כך שמערכת S′S'S′ נעה במהירות Vx^V\hat{x}Vx^ ביחס למערכת SSS.
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-26 11.33.17.excalidraw.svg
נסתכל על האור במערכת S′S'S′ על כיוון תנועתו ועל גודל מהירותו.
נתחיל ממערכת SSS שם נראה כי u⃗=c⋅x^=uxx^\vec{u}=c\cdot \hat{x}=u_{x}\hat{x}u=c⋅x^=ux​x^ כאשר uy=uz=0u_{y}=u_{z}=0uy​=uz​=0.
כעת, באמצעטות לורנץ' נקבל כי במערכת S′S'S′:

uy′=uyγ(1−V⋅uxc2)=0u_{y}'= \frac{u_{y}}{\gamma\left( 1-\frac{V\cdot u_{x}}{c^2} \right)}=0uy′​=γ(1−c2V⋅ux​​)uy​​=0 uz′=uzγ(1−V⋅uxc2)=0u_{z}'= \frac{u_{z}}{\gamma\left( 1-\frac{V\cdot u_{x}}{c^2} \right)}=0uz′​=γ(1−c2V⋅ux​​)uz​​=0 ux′=ux−V1−V⋅uxc2=c−V1−Vc=c−V1−Vc=c−Vc−Vc=cu_{x}'=\frac{u_{x}-V}{1-\frac{V\cdot u_{x}}{c^2}}=\frac{c-V}{1-\frac{V}{c}}=\frac{c-V}{1-\frac{V}{c}}=\frac{c-V}{\frac{c-V}{c}}=cux′​=1−c2V⋅ux​​ux​−V​=1−cV​c−V​=1−cV​c−V​=cc−V​c−V​=c
הערה

מה שקרה פה הוא קצת מעגלי, שכן הנחת הבסיס שלנו, שעל פניה בנינו את המשוואות היא שמהירות האור קבועה בכל מערכת. לכן, אין זה מפתיע שקיבלנו שמהירות האור היא מהירות האור גם במערכת S′S'S′.

טרנספורמציית תנע-אנרגיה

תזכורת (מאורע): (xyzct)\begin{pmatrix}x & y & z & ct\end{pmatrix}(x​y​z​ct​)
נרצה כעת לכתוב מאורע עם תנע ואנרגיה:

(PxPyPzE)\begin{pmatrix} P_{x} & P_{y} & P_{z} & E \end{pmatrix}(Px​​Py​​Pz​​E​)

ואם נרצה להשתמש באותן יחידות נוכל גם לכתוב:

(PxPyPzEc)\begin{pmatrix} P_{x} & P_{y} & P_{z} & \frac{E}{c} \end{pmatrix}(Px​​Py​​Pz​​cE​​)

נניח שיש גוף עם מהירות u⃗\vec{u}u.

u⃗=(dxdt,dydt,dzdt)\vec{u}=\left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right)u=(dtdx​,dtdy​,dtdz​) P⃗=γmmu⃗=mu⃗1−u2c2\vec{P}=\gamma_{m}m\vec{u}=\frac{m\vec{u}}{\sqrt{ 1-\frac{u^2}{c^2} }}P=γm​mu=1−c2u2​​mu​ E=γmmc2=mc21−u2c2E=\gamma_{m}mc^2=\frac{mc^2}{\sqrt{ 1-\frac{u^2}{c^2} }}E=γm​mc2=1−c2u2​​mc2​

כל זה קורה במערכת SSS שהיא מערכת המעבדה. נגדיר מערכת חדשה S′S'S′ שתהיה מערכת הגוף.
נסתכל כעת על שני מאורעות במערכת SSS שהפרש הזמנים ביניהם Δt\Delta tΔt ובמערכת S′S'S′ ההפרש ביניהם הוא Δt′=τ\Delta t'=\tauΔt′=τ. (שכן זוהי מערכת הגוף, אזי, זמן עצמי)
ברגע שיש לנו את τ\tauτ ואת Δt\Delta tΔt יש ביניהם קשר מאוד ברור שהוא התארכות הזמן וזה אומר שמתקיים:

Δt=γmΔt′=γmτ\Delta t=\gamma_{m}\Delta t'=\gamma_{m}\tauΔt=γm​Δt′=γm​τ

נקח מאורעות קרובים מאוד בזמנים ואז:

dtdt′=γm\frac{dt}{dt'}=\gamma_{m}dt′dt​=γm​ ux=dxdt=dxdt′dt′dt=1γmdxdt′=dxdt′1−u2c2u_{x}=\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dt'} \frac{dt'}{dt}=\frac{1}{\gamma_{m}} \frac{dx}{dt'}=\frac{dx}{dt'} \sqrt{ 1-\frac{u^2}{c^2} }ux​=dtdx​=dt′dx​dtdt′​=γm​1​dt′dx​=dt′dx​1−c2u2​​

עכשיו בואו נסתכל על התנע:

Px=γmmux=11−u2c2m⋅dxdt′⋅1−u2c2=mdxdt′P_{x}=\gamma_{m}m u_{x}=\frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{u^2}{c^2} }} m \cdot \frac{dx}{dt'}\cdot \sqrt{ 1-\frac{u^2}{c^2} }=m \frac{dx}{dt'}Px​=γm​mux​=1−c2u2​​1​m⋅dt′dx​⋅1−c2u2​​=mdt′dx​

בצירים האחרים:

Py=γm⋅m⋅uy=11−u2c2⋅m⋅dydt′⋅1−u2c2=mdydt′P_{y}=\gamma_{m}\cdot m\cdot u_{y}=\frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{u^2}{c^2} }}\cdot m\cdot \frac{dy}{dt'}\cdot \sqrt{ 1-\frac{u^2}{c^2} }=m \frac{dy}{dt'}Py​=γm​⋅m⋅uy​=1−c2u2​​1​⋅m⋅dt′dy​⋅1−c2u2​​=mdt′dy​ Pz=mdzdt′P_{z}=m \frac{dz}{dt'}Pz​=mdt′dz​

כעת, נוכל לחשב את האנרגיה:

E=γmmc2=mc2⋅dtdt′E=\gamma_{m}mc^2=mc^2 \cdot \frac{dt}{dt'}E=γm​mc2=mc2⋅dt′dt​

מה למדנו?
כאן אנו רואים כי מערכת המנוחה של הגוף - S′S'S′ היא מערכת מיוחדת.
קיבלנו שהתנע בכל אחד מהצירים שווה למסה כפול המהירות בציר יחסית למערכת S′S'S′, כלומר, המהירות היא ההעתק בציר חלקי הזמן העצמי. מפה, אנו נרצה להבין מהו הקשר (Px,Py,Pz,E)↔(Px′,Py′,Pz′,E)(P_{x},P_{y},P_{z},E)\leftrightarrow (P_{x}',P_{y}',P_{z}',E)(Px​,Py​,Pz​,E)↔(Px′​,Py′​,Pz′​,E) כאשר ′'′ יכולה להיות כל מערכת ולאו דווקא המערכת המיוחדת. כעת, נבצע לאט ובזהירות את התרגום מלורנץ' לטרנספורמצייה החדשה שלנו.
אנו יודעים כי m,cm,cm,c לא משתנים בין מערכות, ולעומת זאת dx,dy,dz,dtdx,dy,dz,dtdx,dy,dz,dt כן משתנים בין מערכות. בנוסף, אנו יודעים כי dt′dt'dt′ לא קשור למעבר בין 2 מערכות סתמיות, שכן הוא הזמן העצמי(הזמן במערכת העצמית של הגוף).
נזכר תחילה במשוואות לורנץ':

x′=γ(x−vt)y′=yz′=zt′=γ(t−vc2x){x'=\gamma(x-vt) \qquad y'=y \qquad z'=z \qquad t'=\gamma\left( t-\frac{v}{c^2}x \right)}x′=γ(x−vt)y′=yz′=zt′=γ(t−c2v​x)

ננסה להפוך את זה למצב בו כל היחידות יהיו אותו הדבר:

x′=γ(x−vc⋅ct)y′=yz′=zct′=γ(ct−vcx)\begin{align*} & x'=\gamma\left( x- \frac{v}{c}\cdot ct \right) \\ & y'=y \\ & z'=z \\ & ct'=\gamma\left( ct-\frac{v}{c}x \right) \end{align*}​x′=γ(x−cv​⋅ct)y′=yz′=zct′=γ(ct−cv​x)​

נרצה כעת למצוא את התנע והאנרגיה כדי שנוכל להציג את כל המשתנים באותן יחידות.

Px′=γ(Px−vc⋅Ec)=γ(Px−vc2E)P_{x}'=\gamma\left( P_{x}-\frac{v}{c}\cdot \frac{E}{c} \right)=\gamma\left( P_{x}-\frac{v}{c^2}E \right)Px′​=γ(Px​−cv​⋅cE​)=γ(Px​−c2v​E) Py′=PyP_{y}'=P_{y}Py′​=Py​ Pz′=PzP_{z}'=P_{z}Pz′​=Pz​ E′c=γ(Ec−vc⋅Px)\frac{E'}{c}=\gamma\left( \frac{E}{c}-\frac{v}{c}\cdot P_{x} \right)cE′​=γ(cE​−cv​⋅Px​) E′=γ(E−vPx)E'=\gamma(E-vP_{x})E′=γ(E−vPx​)

ואז קיבלנו:

משפט (טרנספורמציית תנע-אנרגייה)

יהיו SSS ו-S′S'S′ שתי מערכות המקיימות את תנאי טרנספורמציית לורנץ'. אזי:

Px′=γ(Px−vc2E)Py′=PyPz′=PzE′=γ(E−vPx)P_{x}'=\gamma\left( P_{x}-\frac{v}{c^2}E \right) \qquad P_{y}'=P_{y} \qquad P_{z}'=P_{z} \qquad E'=\gamma(E-vP_{x})Px′​=γ(Px​−c2v​E)Py′​=Py​Pz′​=Pz​E′=γ(E−vPx​)
משפט (טרנספומציית תנע-אנרגייה ההפוכה)

יהיו SSS ו-S′S'S′ שתי מערכות המקיימות את תנאי טרנספורמציית לורנץ'. אזי:

Px=γ(Px′+vc2E′)Py=Py′Pz=Pz′E=γ(E′+vPx′)P_{x}=\gamma\left( P_{x}'+\frac{v}{c^2}E' \right) \qquad P_{y}=P_{y}' \qquad P_{z}=P_{z}' \qquad E=\gamma(E'+vP_{x}')Px​=γ(Px′​+c2v​E′)Py​=Py′​Pz​=Pz′​E=γ(E′+vPx′​)

מערכת מרכז המסה

בעולם לא יחסותי, הגדרנו: V⃗cm=∑imiv⃗i∑imi\vec{V}_{cm}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}Vcm​=∑i​mi​∑i​mi​vi​​ וגם אמרנו שבמערכת מרכז המסה מתקיים P⃗tot′=0\vec{P}_{tot}'=0Ptot′​=0.
ביחסות, יש בעיה להגדיר את V⃗cm\vec{V}_{cm}Vcm​ תוך שימוש בהגדרה הקודמת, זאת מכיוון שנניח ויש לנו מערכת עם חלקיקים רגילים בעלי מסה ופוטונים אשר אין להם מסה. לפעמים, הפוטונים מתנגשים בחלקיקים אחרים וגורמים לשינוי תנע בהם. לכן, מהירות מרכז המסה נדרשת להיות מושפעת מפוטונים אפילו שאין להם מסה("זה מה שנקרא אפלייה על רקע מסתי" - שסה) לכן, נגדיר את מערכת מרכז המסה כך:

P⃗tot′=∑iP⃗i=0\vec{P}_{tot}'=\sum_{i}\vec{P}_{i}=0Ptot′​=i∑​Pi​=0

זוהי ההגדרה היחידה של מערכת מרכז המסה ביחסות. אין לנו את V⃗cm\vec{V}_{cm}Vcm​.

דוגמה

שני חלקיקים נעים במעבדה על ציר xxx כך ש:

P⃗1=P1x^P⃗2=P2x^\vec{P}_{1}=P_{1}\hat{x} \qquad \vec{P}_{2}=P_{2}\hat{x}P1​=P1​x^P2​=P2​x^

נמצא כעת את מהירות מרכז המסה שלהם: V⃗cm\vec{V}_{cm}Vcm​.
לשם כך, נבדוק מה אנו יודעים על התנעים שלהם במערכת S′S'S′. כל הגדלים נתונים לנו במערכת מעבדה מסויימת SSS. מערכת S′S'S′ שהיא מערכת מרכז המסה, זזה במערכת V⃗cm\vec{V}_{cm}Vcm​ יחסית למערכת SSS.
נעביר P⃗1,P⃗2\vec{P}_{1},\vec{P}_{2}P1​,P2​ ל-P⃗1′,P⃗2′\vec{P}_{1}',\vec{P}_{2}'P1′​,P2′​ לפי הטרנספורמצייה:

P1′=γcm(P1−Vcmc2E1){P}_{1}'=\gamma_{cm}\left( P_{1}-\frac{V_{cm}}{c^2}E_{1} \right)P1′​=γcm​(P1​−c2Vcm​​E1​) P2′=γcm(P2−Vcmc2E2)P_{2}'=\gamma_{cm}\left( P_{2}-\frac{V_{cm}}{c^2}E_{2} \right)P2′​=γcm​(P2​−c2Vcm​​E2​)

מכיוון שזוהי מערכת מרכז המסה, P1′+P2′=0P_{1}'+P_{2}'=0P1′​+P2′​=0 ולכן:

γcm(P1−Vcmc2E1)+γcm(P2−Vcmc2E2)=0\gamma_{cm}\left( P_{1}-\frac{V_{cm}}{c^2}E_{1} \right)+\gamma_{cm}\left( P_{2}-\frac{V_{cm}}{c^2}E_{2} \right)=0γcm​(P1​−c2Vcm​​E1​)+γcm​(P2​−c2Vcm​​E2​)=0

מכיוון ש-γ≥1\gamma\geq1γ≥1 נוכל לחלק בה:

(P1+P2)−Vcmc2(E1+E2)=0(P_{1}+P_{2})-\frac{V_{cm}}{c^2}(E_{1}+E_{2})=0(P1​+P2​)−c2Vcm​​(E1​+E2​)=0 Vcm=c2(P1+P2)E1+E2\boxed{V_{cm}=\frac{c^2(P_{1}+P_{2})}{E_{1}+E_{2}}}Vcm​=E1​+E2​c2(P1​+P2​)​​

אם היו לנו עוד גופים, אז אפשר היה לכתוב כי:

Vcm=c2PtotEtotV_{cm}=\frac{c^2P_{tot}}{E_{tot}}Vcm​=Etot​c2Ptot​​
הגדרה 4 (מערכת מרכז המסה)

המערכת שבה מתקיים P⃗tot=0\vec{P}_{tot}=0Ptot​=0.

חוקי שימור

במערכות עליהן נסתכל יהיה גם שימור תנע וגם שימור אנרגיה. ההסבר ללמה זה מתרחש זה לא חלק מהחומר של קורס זה(חפשו בגוגל משפט נתר). מה שנראה כעת זה שאנו מניחים שימור תנע ומתקבל שימור אנרגיה.
נקח שני גופים בעלי מסות m1,m2m_{1},m_{2}m1​,m2​ בהתאמה אשר להם יש תנע P⃗1,P⃗2\vec{P}_{1},\vec{P}_{2}P1​,P2​ נעים אחד לכיוון השני.
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-29 10.39.40.excalidraw.svg
הם מתנגשים ונעלמים ובמקומם נוצר חלקיק בעל מסה m3m_{3}m3​ במנוחה.
משימור תנע נובע P⃗1+P⃗2=0\vec{P}_{1}+\vec{P}_{2}=0P1​+P2​=0 ולכן P⃗1=−P⃗2\vec{P}_{1}=-\vec{P}_{2}P1​=−P2​.

הערה

באופן כללי מתקיים P⃗1+P⃗2=P⃗3\vec{P}_{1}+\vec{P}_{2}=\vec{P}_{3}P1​+P2​=P3​.

משימור תנע מתקיים גם: P⃗1′+P⃗2′=P⃗3′\vec{P}_{1}'+\vec{P}_{2}'=\vec{P}_{3}'P1′​+P2′​=P3′​. נניח שאנחנו על ציר ה-xxx למען הפשטות.
מטרנספורמציית תנע-אנרגיה:

P⃗1′=γ(P1−vc2E1)P⃗2′=γ(P2−vc2E2)\vec{P}_{1}'=\gamma\left( P_{1}-\frac{v}{c^2}E_{1} \right) \qquad \vec{P}_{2}'=\gamma\left( P_{2}-\frac{v}{c^2}E_{2} \right)P1′​=γ(P1​−c2v​E1​)P2′​=γ(P2​−c2v​E2​)

נציב את הביטויים הבאים לתוך משוואת שימור התנע שלנו:

γ(P1−vc2E1)+γ(P2−vc2E2)=γ(P3−vc2E3)\gamma\left( P_{1}-\frac{v}{c^2}E_{1} \right)+\gamma\left( P_{2}-\frac{v}{c^2}E_{2} \right)=\gamma\left( P_{3}-\frac{v}{c^2}E_{3} \right)γ(P1​−c2v​E1​)+γ(P2​−c2v​E2​)=γ(P3​−c2v​E3​)
הערה

ה-γ\gammaγ שאנו רואים כאן זו אותה γ\gammaγ של טרנספורמציית לורנץ' אשר כוללת את המהירות בין המערכות.
זוהי לא ה-γm\gamma_{m}γm​ של התנע.

γ(P1+P2)−γvc2(E1+E2)=γP3−γvc2E3\gamma(P_{1}+P_{2})-\gamma\frac{v}{c^2}(E_{1}+E_{2})=\gamma P_{3}-\gamma \frac{v}{c^2}E_{3}γ(P1​+P2​)−γc2v​(E1​+E2​)=γP3​−γc2v​E3​

מכיוון שיש שימור תנע, P1+P2=P3P_{1}+P_{2}=P_{3}P1​+P2​=P3​ ולכן:

−γvc2(E1+E2)=−γvc2E3-\gamma \frac{v}{c^2}(E_{1}+E_{2})=-\gamma \frac{v}{c^2}E_{3}−γc2v​(E1​+E2​)=−γc2v​E3​ E1+E2=E3E_{1}+E_{2}=E_{3}E1​+E2​=E3​

ולכן, מתקיים גם שימור אנרגייה, כנדרש. כעת, נשתמש בשימור האנרגיה הזה לחישוב:

γ1m1c2+γ2m2c2=m3c2\gamma_{1}m_{1}c^2+\gamma_{2}m_{2}c^2=m_{3}c^2γ1​m1​c2+γ2​m2​c2=m3​c2 γ1m1+γ2m2=m3\gamma_{1}m_{1}+\gamma_{2}m_{2}=m_{3}γ1​m1​+γ2​m2​=m3​

מכיוון ש-γ>1\gamma>1γ>1 קיבלנו כי בהרכח m3>m1+m2m_{3}> m_{1}+m_{2}m3​>m1​+m2​.
זה ה-"וואו" האחרון בקורס זה - קיבלנו שאין שימור מסה ביחסות שכן לקחנו שתי מסות וקיבלנו מסה הגדולה יותר משתיהן לאחר ההתנגשות.

דוגמה (עוד דוגמה קטנה לשאלה)

נניח ויש לנו מסה m1m_{1}m1​ על ציר ה-xxx והיא זזה במהירות −v1y^-v_{1}\hat{y}−v1​y^​. ברגע זה פוגע בה פוטון בזווית α\alphaα.
​11 - תורת היחסות הפרטית 2026-01-29 11.00.40.excalidraw.svg
לאחר ההתנגשות, המסה m1m_{1}m1​ נעה במהירות v2x^v_{2}\hat{x}v2​x^. בכיוון החיובי של ציר ה-x^\hat{x}x^.
נרצה למצוא את אורך הגל של הפוטון λ\lambdaλ.

הערה (תזכורת)

λf  ⟹  f=cλλ=cfE=P⋅cEph=hf\lambda f \implies \begin{matrix} f=\frac{c}{\lambda}\\ \lambda=\frac{c}{f} \end{matrix} \qquad E=P\cdot c \qquad E_{ph}=hfλf⟹f=λc​λ=fc​​E=P⋅cEph​=hf

נפתח את משוואת התנע של הפוטון:

P=Ephc=hfc=hc(cλ)=hλP=\frac{E_{ph}}{c}=\frac{hf}{c}=\frac{h}{c}\left( \frac{c}{\lambda} \right)=\frac{h}{\lambda}P=cEph​​=chf​=ch​(λc​)=λh​

משימור תנע אנחנו מבינים שבתמונת ה"לפני" סך התנע בציר ה-y^\hat{y}y^​ חייב להתאפס. נרשום את משוואות שימור התנע:

P⃗ph=hλcos⁡α⋅x^+hλsin⁡α⋅y^\vec{P}_{ph}=\frac{h}{\lambda}\cos \alpha \cdot\hat{x}+\frac{h}{\lambda}\sin\alpha \cdot\hat{y}Pph​=λh​cosα⋅x^+λh​sinα⋅y^​

נפרק לצירים:

x:hλcos⁡α=γ2m1v2y:hλsin⁡α−γ1m1v1=0\begin{align*} x:\quad & \frac{h}{\lambda}\cos\alpha=\gamma_{2}m_{1}v_{2} \\ y:\quad & \frac{h}{\lambda}\sin\alpha-\gamma_{1}m_{1}v_{1}=0 \end{align*}x:y:​λh​cosα=γ2​m1​v2​λh​sinα−γ1​m1​v1​=0​

נשתמש במשוואת ציר ה-yyy על מנת לבודד את אורך הגל:

hλsin⁡α=m1v11−v12c2  ⟹  λ=hsin⁡α1−v12c2m1v1\frac{h}{\lambda}\sin\alpha=\frac{m_{1}v_{1}}{\sqrt{ 1-\frac{v_{1}^2}{c^2} }}\implies \boxed{\lambda=h\sin\alpha\frac{\sqrt{ 1-\frac{v_{1}^2}{c^2} }}{m_{1}v_{1}}}λh​sinα=1−c2v12​​​m1​v1​​⟹λ=hsinαm1​v1​1−c2v12​​​​​

כעת, נבצע בדיקת שפיות ונבדוק את היחידות:

m=J⋅sec⁡2kg⋅m=kg⋅m2sec⁡2⋅sec⁡2kg⋅m=mm=\frac{J\cdot \sec^2}{kg\cdot m}=\frac{kg \cdot \frac{m^2}{\sec^2}\cdot \sec^2}{kg\cdot m}=mm=kg⋅mJ⋅sec2​=kg⋅mkg⋅sec2m2​⋅sec2​=m

אז הכל אחלה - ויייייי!