סיפורים
המשך של התרגיל מהפעם הקודמת .
U = s p { ( 1 1 0 1 ) , ( 0 0 − 1 1 ) } U=sp\left\{ \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} \right\} U = s p { ( 1 0 1 1 ) , ( 0 − 1 0 1 ) } W = s p { ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } W=sp\left\{ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right\} W = s p { ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } נמצא בסיס ל-U , W U,W U , W U + W U+W U + W ( 1 1 1 0 ) \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} ( 1 1 1 0 )
( 1 1 1 0 ) = 1 ⋅ ( 1 0 0 0 ) + 1 ⋅ ( 0 1 0 0 ) + 0 ⋅ ( 0 0 1 0 ) + 1 ⋅ ( 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}={\color{red}1}\cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}+{\color{red}1}\cdot \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}+{\color{red}0}\cdot \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}+{\color{red}1}\cdot \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} ( 1 1 1 0 ) = 1 ⋅ ( 1 0 0 0 ) + 1 ⋅ ( 0 0 1 0 ) + 0 ⋅ ( 0 1 0 0 ) + 1 ⋅ ( 0 0 0 1 ) נקרא למה שמסומן באדום וקטורי קורדינטות .
E = ( ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) ) E=\left(\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\right) E = ( ( 1 0 0 0 ) , ( 0 0 1 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 0 1 ) ) קיבלנו:
[ ( 1 1 0 1 ) ] E = ( 1 1 0 1 ) \left[\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\right]_{E}=\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} [ ( 1 0 1 1 ) ] E = 1 1 0 1 ובאופן דומה:
[ ( 0 0 − 1 1 ) ] E = ( 0 0 − 1 1 ) \left[\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}\right]_{E}=\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix} [ ( 0 − 1 0 1 ) ] E = 0 0 − 1 1 נשים במטריצה כשורות:
( 1 1 0 1 0 0 − 1 1 ) \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix} ( 1 0 1 0 0 − 1 1 1 ) המטריצה מדורגת ולכן הווקטורים מהווים בסיס לתת המרחב של F n \mathbb{F}^n F n U U U { ( 1 1 0 1 ) , ( 0 0 − 1 1 ) } \left\{ \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\-1&1\end{pmatrix} \right\} { ( 1 0 1 1 ) , ( 0 − 1 0 1 ) } U U U W W W
[ ( 1 0 0 0 ) ] E = ( 1 0 0 0 ) , [ ( 0 1 1 0 ) ] E = ( 0 1 1 0 ) , [ ( 0 0 0 1 ) ] E = ( 0 0 0 1 ) \left[ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \right]_{E}=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}, \left[ \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \right]_{E}=\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},\left[ \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right]_{E}=\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} [ ( 1 0 0 0 ) ] E = 1 0 0 0 , [ ( 0 1 1 0 ) ] E = 0 1 1 0 , [ ( 0 0 0 1 ) ] E = 0 0 0 1 המטריצה ( 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 { ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } \left\{ \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \right\} { ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } W W W
U + W = s p { ( 1 1 0 1 ) , ( 0 0 − 1 1 ) , ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } U+W=sp\left\{ \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right\} U + W = s p { ( 1 0 1 1 ) , ( 0 − 1 0 1 ) , ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } נבצע את מה שעשינו עד כה עם וקטורי הקורדינטות ונציב במטריצה:
( 1 1 0 1 0 0 − 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ) → ( 1 1 0 1 0 0 − 1 1 0 − 1 0 − 1 0 1 1 0 0 0 0 1 ) → ( 1 1 0 1 0 − 1 0 − 1 0 0 − 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 − 1 0 1 0 1 1 0 0 1 → 1 0 0 0 0 1 0 − 1 1 0 0 − 1 0 1 0 1 1 − 1 0 1 → 1 0 0 0 0 1 − 1 0 1 0 0 0 − 1 1 0 1 − 1 1 0 1 → ( 1 1 0 1 0 − 1 0 − 1 0 0 − 1 1 0 0 1 − 1 0 0 0 1 ) → ( 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 − 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) \to \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} → 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 0 − 1 1 0 1 − 1 1 − 1 1 → 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 − 1 1 0 לכן, { ( 1 1 0 1 ) , ( 0 1 0 1 ) , ( 0 0 1 − 1 ) , ( 0 0 0 1 ) } \left\{ \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \right\} { ( 1 0 1 1 ) , ( 0 0 1 1 ) , ( 0 1 0 − 1 ) , ( 0 0 0 1 ) } U + W U+W U + W
הערה (שיוסי משום מה רשם באנגלית)
U + W ⊆ R 2 × 2 U+W \subseteq \mathbb{R}^{2\times 2} U + W ⊆ R 2 × 2 dim ( U + W ) = dim R 2 × 2 = 4 ⟹ U + W = R 2 × 2 \dim(U+W)=\dim \mathbb{R}^{2\times 2}=4 \implies U+W=\mathbb{R}^{2\times 2} dim ( U + W ) = dim R 2 × 2 = 4 ⟹ U + W = R 2 × 2
מצאו בסיס ומימד לתת המרחב של R 2 [ x ] \mathbb{R}_{2}[x] R 2 [ x ]
W = s p { x 2 + 2 x + 3 , 4 x 2 + 5 x + 6 , 7 x 2 + 8 x + 9 } W=sp\left\{ x^2+2x+3,4x^2+5x+6,7x^2+8x+9 \right\} W = s p { x 2 + 2 x + 3 , 4 x 2 + 5 x + 6 , 7 x 2 + 8 x + 9 } נקח את הבסיס הסטנדרטי הסדור לפולינומים ב-R 2 [ x ] \mathbb{R}_{2}[x] R 2 [ x ]
E = ( x 2 , x , 1 ) E=(x^2,x,1) E = ( x 2 , x , 1 ) אזי:
x 2 + 2 x + 3 = 1 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 3 ⋅ 1 x^2+2x+3=1\cdot x^2+2\cdot x+3\cdot1 x 2 + 2 x + 3 = 1 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 3 ⋅ 1 [ x 2 + 2 x + 3 ] E = ( 1 2 3 ) [x^2+2x+3]_{E}=\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} [ x 2 + 2 x + 3 ] E = 1 2 3 באופן דומה:
[ 4 x 2 + 5 x + 6 ] E = ( 4 5 6 ) [4x^2+5x+6]_{E}=\begin{pmatrix}
4 \\
5 \\
6
\end{pmatrix} [ 4 x 2 + 5 x + 6 ] E = 4 5 6 [ 7 x 2 + 8 x + 9 ] E = ( 7 8 9 ) [7x^2+8x+9]_{E}=\begin{pmatrix}
7 \\
8 \\
9
\end{pmatrix} [ 7 x 2 + 8 x + 9 ] E = 7 8 9 נציב במטריצה:
( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) → ( 1 0 − 1 0 1 2 0 0 0 ) \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} 1 4 7 2 5 8 3 6 9 → 1 0 0 0 1 0 − 1 2 0 ואז הבסיס ל-W W W { x 2 − 1 , x + 2 } \left\{ x^2-1,x+2 \right\} { x 2 − 1 , x + 2 }
("זה קורס של מעפר באתה לעפר תשוב" - יוסי)
בחזרה לפורמליות
יהא V V V B B B V V V V V V יחיד כצ"ל של איברי B B B
הוכחה:
ברור (הוזמן על ידי הסטודנטים) \R{\text{ברור (הוזמן על ידי הסטודנטים)}} ברור (הוזמן על ידי הסטודנטים) יהא v ‾ ∈ V \underline{v} \in V v ∈ V B = { v ‾ 1 , … , v ‾ n } B=\left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} \right\} B = { v 1 , … , v n } V V V α 1 , … , α n \alpha_{1},\dots,\alpha_{n} α 1 , … , α n β 1 , … , β n \beta_{1},\dots,\beta_{n} β 1 , … , β n
v ‾ = α 1 v ‾ 1 + α 2 v ‾ 2 + ⋯ + α n v ‾ n v ‾ = β 1 v ‾ 1 + β 2 v ‾ 2 + ⋯ + β n v ‾ n 0 ‾ = ( α 1 − β 1 ) v ‾ 1 + ( α 2 − β 2 ) v ‾ 2 + ⋯ + ( α n − β n ) v ‾ n \begin{matrix}
\underline{v}=\alpha_{1}\underline{v}_{1}+\alpha_{2}\underline{v}_{2}+\dots+\alpha_{n}\underline{v}_{n} \\
\underline{v}=\beta_{1}\underline{v}_{1}+\beta_{2}\underline{v}_{2}+\dots+\beta_{n}\underline{v}_{n} \\
\hline \underline{0}=(\alpha_{1}-\beta_{1})\underline{v}_{1}+(\alpha_{2}-\beta_{2})\underline{v}_{2}+\dots+(\alpha_{n}-\beta_{n})\underline{v}_{n}
\end{matrix} v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + ⋯ + α n v n v = β 1 v 1 + β 2 v 2 + ⋯ + β n v n 0 = ( α 1 − β 1 ) v 1 + ( α 2 − β 2 ) v 2 + ⋯ + ( α n − β n ) v n כיוון ש-v ‾ 1 , … , v ‾ n \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} v 1 , … , v n B B B
α 1 − β 1 = 0 , α 2 − β 2 = 0 , … , α n − β n = 0 ⟹ α i = β i \alpha_{1}-\beta_{1}=0,\alpha_{2}-\beta_{2}=0,\dots ,\alpha_{n}-\beta_{n}=0 \implies \alpha_{i}=\beta_{i} α 1 − β 1 = 0 , α 2 − β 2 = 0 , … , α n − β n = 0 ⟹ α i = β i ∎
הגדרה 1 (קורדינטות של וקטור)
יהא V V V B = ( v ‾ 1 , … , v ‾ n ) B=(\underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n}) B = ( v 1 , … , v n ) v ‾ ∈ V \underline{v} \in V v ∈ V v ‾ = α 1 v ‾ 1 + α 2 v ‾ 2 + ⋯ + α n v ‾ n \underline{v}=\alpha_{1}\underline{v}_{1}+\alpha_{2}\underline{v}_{2}+\dots+\alpha_{n}\underline{v}_{n} v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + ⋯ + α n v n α i ∈ F \alpha_{i}\in \mathbb{F} α i ∈ F α 1 , … , α n \alpha_{1},\dots,\alpha_{n} α 1 , … , α n הקורדינטות של v ‾ \underline{v} v B B B [ v ‾ ] B = ( α 1 ⋮ α n ) [\ \underline{v}\ ]_{B}=\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\ \vdots\\\alpha_{n}\end{pmatrix} [ v ] B = α 1 ⋮ α n [ v ‾ ] B [\ \underline{v} \ ]_{B} [ v ] B וקטור הקורדינטות של v ‾ \underline{v} v B B B
( 1 2 3 ) = 1 ⋅ ( 1 0 0 ) + 2 ⋅ ( 0 1 0 ) + 3 ⋅ ( 0 0 1 ) \begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}
0\\1\\0
\end{pmatrix}+3\cdot \begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix} 1 2 3 = 1 ⋅ 1 0 0 + 2 ⋅ 0 1 0 + 3 ⋅ 0 0 1 E = ( ( 1 0 0 ) , ( 0 1 0 ) , ( 0 0 1 ) ) E=\left(\begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\\1\\0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}\right) E = 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 [ ( 1 2 3 ) ] E = ( 1 2 3 ) \left[\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}\right]_{E}=\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix} 1 2 3 E = 1 2 3 אם נסתכל על בסיס אחר, נניח B = ( ( 1 0 0 ) , ( 1 1 0 ) , ( 1 1 1 ) ) B=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right) B = 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1
[ ( 1 2 3 ) ] B = ( − 1 − 1 3 ) \left[\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}\right]_{B}=\begin{pmatrix}
-1\\-1\\3
\end{pmatrix} 1 2 3 B = − 1 − 1 3
יהא V V V B B B
לכל v ‾ 1 , v ‾ 2 ∈ V \underline{v}_{1},\underline{v}_{2}\in V v 1 , v 2 ∈ V [ v ‾ 1 + v ‾ 2 ] B = [ v ‾ 1 ] B + [ v ‾ 2 ] B [\underline{v}_{1}+\underline{v}_{2}]_{B}=[\ \underline{v}_{1}\ ]_{B}+[\ \underline{v}_{2}\ ]_{B} [ v 1 + v 2 ] B = [ v 1 ] B + [ v 2 ] B
לכל v ‾ ∈ V \underline{v} \in V v ∈ V α ∈ F \alpha \in \mathbb{F} α ∈ F [ α v ‾ ] B = α [ v ‾ ] B [\alpha \underline{v}]_{B}=\alpha[\ \underline{v}\ ]_{B} [ α v ] B = α [ v ] B
מתקיים: [ v ‾ ] B = 0 ‾ ⟺ v ‾ = 0 ‾ V [\ \underline{v}\ ]_{B}=\underline{0} \iff \underline{v}=\underline{0}_{V} [ v ] B = 0 ⟺ v = 0 V
הוכחה: ל-(1)B = ( w ‾ 1 , … , w ‾ n ) B=(\underline{w}_{1},\dots,\underline{w}_{n}) B = ( w 1 , … , w n ) V V V [ v ‾ 1 ] B = ( α 1 ⋮ α n ) [ v ‾ 2 ] B = ( β 1 ⋮ β n ) [\underline{v}_{1}]_{B}=\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\ \vdots\\ \alpha_{n}\end{pmatrix}[\underline{v}_{2}]_{B}=\begin{pmatrix}\beta_{1}\\ \vdots\\ \beta_{n}\end{pmatrix} [ v 1 ] B = α 1 ⋮ α n [ v 2 ] B = β 1 ⋮ β n
[ v ‾ 1 ] B + [ v ‾ 2 ] B = ( α 1 + β 1 ⋮ α n + β n ) [\underline{v}_{1}]_{B}+[\underline{v}_{2}]_{B}=\begin{pmatrix}
\alpha_{1}+\beta_{1} \\
\vdots \\
\alpha_{n}+\beta_{n}
\end{pmatrix} [ v 1 ] B + [ v 2 ] B = α 1 + β 1 ⋮ α n + β n מההנחה נובע כי:
v ‾ 1 = α 1 w 1 + ⋯ + α n w n + v ‾ 2 = β 1 w 1 + ⋯ + β n w n v ‾ 1 + v ‾ 2 = ( α 1 + β 1 ) w 1 + ⋯ + ( α n − β n ) w n \begin{matrix}
&\underline{v}_{1}=\alpha_{1}w_{1}+\dots+\alpha_{n}w_{n} \\
^+& \underline{v}_{2}=\beta_{1}w_{1}+\dots+\beta_{n}w_{n} \\
\hline &\underline{v}_{1}+\underline{v}_{2}=(\alpha_{1}+\beta_{1})w_{1}+\dots+(\alpha_{n}-\beta_{n})w_{n}
\end{matrix} + v 1 = α 1 w 1 + ⋯ + α n w n v 2 = β 1 w 1 + ⋯ + β n w n v 1 + v 2 = ( α 1 + β 1 ) w 1 + ⋯ + ( α n − β n ) w n ⟹ [ v ‾ 1 + v ‾ 2 ] B = ( α 1 + β 1 ⋮ α n + β n ) \implies [\underline{v}_{1}+\underline{v}_{2}]_{B}=\begin{pmatrix}
\alpha_{1}+\beta_{1} \\
\vdots \\
\alpha_{n}+\beta_{n}
\end{pmatrix} ⟹ [ v 1 + v 2 ] B = α 1 + β 1 ⋮ α n + β n ∎
הוכחה ל-(2) תרגיל .הוכחה: ל-(3)
0 ‾ V = 0 ⋅ w 1 + ⋯ + 0 ⋅ w n ⟺ [ v ‾ ] B = ( 0 ⋮ 0 ) \underline{0}_{V}=0\cdot w_{1}+\dots+0\cdot w_{n} \iff [\underline{v}]_{B}=\begin{pmatrix}
0 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix} 0 V = 0 ⋅ w 1 + ⋯ + 0 ⋅ w n ⟺ [ v ] B = 0 ⋮ 0 ∎
יהא V V V n n n B B B { [ v ‾ 1 ] B , … , [ v ‾ k ] B } ⟺ בת"ל ב-V { v ‾ 1 , … v ‾ k } ⊂ V \left\{ [\underline{v}_{1}]_{B},\dots,[\underline{v}_{k}]_{B} \right\} \iff \R{\text{בת"ל ב-V}}\left\{ \underline{v}_{1},\dots \underline{v}_{k} \right\}\subset V { [ v 1 ] B , … , [ v k ] B } ⟺ בת"ל ב-V { v 1 , … v k } ⊂ V F n \mathbb{F}^n F n
הוכחה: v ‾ 1 , … , v ‾ k \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{k} v 1 , … , v k α 1 [ v ‾ 1 ] B + ⋯ + α k [ v ‾ k ] B = 0 ‾ \alpha_{1}[\underline{v}_{1}]_{B}+\dots+\alpha_{k}[\underline{v}_{k}]_{B}=\underline{0} α 1 [ v 1 ] B + ⋯ + α k [ v k ] B = 0
[ α 1 v ‾ 1 + ⋯ + α k v ‾ k ] B = 0 ‾ [\alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{k}\underline{v}_{k}]_{B}=\underline{0} [ α 1 v 1 + ⋯ + α k v k ] B = 0 ⟺ ↓ לפי טענה קודמת α 1 v ‾ 1 + ⋯ + α k v ‾ k = 0 ‾ V \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לפי טענה קודמת}}
\end{matrix}}{\iff} \alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{k}\underline{v}_{k}=\underline{0}_{V} ↓ לפי טענה קודמת ⟺ α 1 v 1 + ⋯ + α k v k = 0 V ⟺ α 1 + ⋯ + α k = 0 \iff \alpha_{1}+\dots+\alpha_{k}=0 ⟺ α 1 + ⋯ + α k = 0 כלומר, [ v ‾ 1 ] B , … , [ v ‾ k ] B [\underline{v}_{1}]_{B},\dots,[\underline{v}_{k}]_{B} [ v 1 ] B , … , [ v k ] B צד שני: נניח כי [ v ‾ 1 ] B , … , [ v ‾ k ] B [\underline{v}_{1}]_{B},\dots,[\underline{v}_{k}]_{B} [ v 1 ] B , … , [ v k ] B α 1 v ‾ 1 + ⋯ + α k v ‾ k = 0 ‾ V \alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{k}\underline{v}_{k}=\underline{0}_{V} α 1 v 1 + ⋯ + α k v k = 0 V [ α 1 v ‾ 1 + ⋯ + α k v ‾ k ] B = 0 ‾ [\alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{k}\underline{v}_{k}]_{B}=\underline{0} [ α 1 v 1 + ⋯ + α k v k ] B = 0 α 1 [ v ‾ 1 ] B + ⋯ + α k [ v ‾ k ] B = 0 ‾ \alpha_{1}[\underline{v}_{1}]_{B}+\dots+\alpha_{k}[\underline{v}_{k}]_{B}=\underline{0} α 1 [ v 1 ] B + ⋯ + α k [ v k ] B = 0 α 1 + ⋯ + α k = 0 \alpha_{1}+\dots+\alpha_{k}=0 α 1 + ⋯ + α k = 0 ∎
משפט זה ישאר נכון גם אם נחליף בת"ל בפורשת (בשני חלקי המשפט).