בסיס
אז דיברנו על זה, כבר עשינו על זה את כל הדיונים וכעת נוכל לקרוא לילד בשמו.
יהא V V V F \mathbb{F} F v ‾ 1 , … , v ‾ n ∈ V \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n}\in V v 1 , … , v n ∈ V בסיס אם:
v ∈ s p { v ‾ 1 , … , v ‾ n } v \in sp\{ \underline{v}_{1},\dots ,\underline{v}_{n} \} v ∈ s p { v 1 , … , v n } { v ‾ 1 , … , v ‾ n } \{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} \} { v 1 , … , v n }
V = R 3 B = { ( 1 0 0 ) , ( 0 1 0 ) , ( 0 0 1 ) } V=\mathbb{R}^3 \qquad B=\left\{ \begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\\1\\0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix} \right\} V = R 3 B = ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 ⎭ ⎬ ⎫ היא פורסת כי למה לא. לכן, נוכל לכתוב: ( a b c ) = a ( 1 0 0 ) + b ( 0 1 0 ) + c ( 0 0 1 ) \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} a b c = a 1 0 0 + b 0 1 0 + c 0 0 1 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} 1 0 0 0 1 0 0 0 1
באופן כללי עבור V = F n V=\mathbb{F}^n V = F n
E = { e 1 = ( 1 0 ⋮ 0 ) , e 2 = ( 0 1 ⋮ 0 ) , … , e n = ( 0 0 ⋮ 1 ) } E=\left\{ e_{1}=\begin{pmatrix}
1\\0\\ \vdots\\0
\end{pmatrix},e_{2}=\begin{pmatrix}
0\\1\\ \vdots\\0
\end{pmatrix},\dots,e_{n}=\begin{pmatrix}
0\\0\\ \vdots\\1
\end{pmatrix} \right\} E = ⎩ ⎨ ⎧ e 1 = 1 0 ⋮ 0 , e 2 = 0 1 ⋮ 0 , … , e n = 0 0 ⋮ 1 ⎭ ⎬ ⎫ פורשת - ברור.
נקח את M ( F ) m × n M \underset{m\times n}{(\mathbb{F})} M m × n ( F ) M ( F ) 2 × 3 M \underset{2\times 3}{(\mathbb{F})} M 2 × 3 ( F )
E = { e 11 = ( 1 0 0 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 0 0 ) , e 13 = ( 0 0 1 0 0 0 ) e 21 = ( 0 0 0 1 0 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 0 1 0 ) , e 23 = ( 0 0 0 0 0 1 ) } E=\left\{ \begin{matrix}
e_{11}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},e_{12}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},e_{13}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\ e_{21}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix},e_{22}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix},e_{23}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{matrix} \right\} E = ⎩ ⎨ ⎧ e 11 = ( 1 0 0 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 0 1 0 0 0 ) , e 13 = ( 0 0 0 0 1 0 ) e 21 = ( 0 1 0 0 0 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 1 0 0 ) , e 23 = ( 0 0 0 0 0 1 ) ⎭ ⎬ ⎫
{ 0 } = s p { ∅ } \left\{ 0 \right\}=sp\left\{ \emptyset \right\} { 0 } = s p { ∅ } דיברנו על בסיסים סטנדרטים(אלמנטריים).
האם B B B R 3 \mathbb{R}^3 R 3
B = { ( 1 1 0 ) , ( 1 0 1 ) , ( 0 1 1 ) } B=\left\{ \begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1\\0\\1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\\1\\1
\end{pmatrix} \right\} B = ⎩ ⎨ ⎧ 1 1 0 , 1 0 1 , 0 1 1 ⎭ ⎬ ⎫ הוכחה:
( 1 1 0 1 0 1 0 1 1 ) → ( 1 1 0 0 − 1 1 0 1 1 ) → ( 1 1 0 0 − 1 1 0 0 2 ) \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix} 1 1 0 1 0 1 0 1 1 → 1 0 0 1 − 1 1 0 1 1 → 1 0 0 1 − 1 0 0 1 2 נבדוק האם היא קבוצה פורשת:( a b c ) ∈ R 3 \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3 a b c ∈ R 3 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} α 1 , α 2 , α 3
( a b c ) = α 1 ( 1 1 0 ) + α 2 ( 1 0 1 ) + α 3 ( 0 1 1 ) \begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}=\alpha_{1}\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}+\alpha_{2}\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}+\alpha_{3}\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} a b c = α 1 1 1 0 + α 2 1 0 1 + α 3 0 1 1 נציב בעמודות מטריצה:
( 1 1 0 a 1 0 1 b 0 1 1 c ) → ( 1 0 0 1 2 ( a + b − c ) 0 1 0 1 2 ( a − b + c ) 0 0 1 1 2 ( − a + b + c ) ) \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & a \\
1 & 0 & 1 & b \\
0 & 1 & 1 & c
\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{2}(a+b-c) \\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2}(a-b+c) \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{2}(-a+b+c)
\end{array}\right) 1 1 0 1 0 1 0 1 1 a b c → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 ( a + b − c ) 2 1 ( a − b + c ) 2 1 ( − a + b + c ) ∎
הגדרה 2 (בת"ל מקסימלית ופורשת מינימלית)
יהא V V V F \mathbb{F} F
קבוצת וקטורים תקרא בת"ל מקסימלית אם היא בת"ל וכל וקטור ב-V V V
קבוצת וקטורים תקרא פורשת מינימלית אם היא פורשת את V V V V V V
{ ( 1 0 0 ) , ( 0 1 1 ) , ( 0 0 1 ) } \left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\} ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 0 , 0 1 1 , 0 0 1 ⎭ ⎬ ⎫
יהא V V V
B B B B B B B B B
הוכחה: B B B V V V ממש שלה לא פורשת.A ⊂ B A \subset B A ⊂ B V V V A A A B B B v ‾ ∈ B ∖ A \underline{v} \in B \setminus A v ∈ B ∖ A A A A V V V v ‾ ∈ s p ( A ) \underline{v}\in sp(A) v ∈ s p ( A ) A ∪ { v ‾ } ⊆ B A \cup \left\{ \underline{v} \right\}\subseteq B A ∪ { v } ⊆ B B B B B B B B B B B B B v ‾ ∈ B \underline{v} \in B v ∈ B B ∖ { v ‾ } B \setminus \left\{ \underline{v} \right\} B ∖ { v } B B B B B B v ‾ ∈ V ∖ B \underline{v} \in V \setminus B v ∈ V ∖ B B ∪ { v ‾ } B \cup \left\{ \underline{v} \right\} B ∪ { v } v ∉ s p ( B ) v \not\in sp(B) v ∈ s p ( B ) B B B B B B B B B B B B B B B v ‾ ∈ V ∖ s p ( B ) \underline{v} \in V\setminus sp(B) v ∈ V ∖ s p ( B ) v ‾ ∉ s p ( B ) \underline{v} \not\in sp(B) v ∈ s p ( B ) B ∪ { v ‾ } B \cup \left\{ \underline{v} \right\} B ∪ { v } B B B B B B B B B ∎
יהא V V V V ≠ { 0 } V\neq \left\{ 0 \right\} V = { 0 } V V V
הוכחה:
ברור \R{\text{ברור}} ברור הסבר: אם A A A A A A ∎
יהי V V V V V V V V V
הוכחה של החברה: A A A ∎
מימד
מימד הוא מספר האיברים בבסיס.
נראה כי לכל הבסיסים של מרחב וקטורי אותו גודל.
הלמה של שטייניץ
למה (למת הההחלפה של שטייניץ)
יהא V V V A A A B B B ∣ A ∣ ≥ ∣ B ∣ |A|\geq|B| ∣ A ∣ ≥ ∣ B ∣
אם V V V 2 2 2
הוכחה: V V V B 1 , B 2 B_{1},B_{2} B 1 , B 2 B 1 B_{1} B 1 B 2 B_{2} B 2 ∣ B 1 ∣ ≥ ∣ B 2 ∣ |B_{1}|\geq |B_{2}| ∣ B 1 ∣ ≥ ∣ B 2 ∣ B 2 B_{2} B 2 B 1 B_{1} B 1 ∣ B 2 ∣ ≥ ∣ B 1 ∣ |B_{2}|\geq |B_{1}| ∣ B 2 ∣ ≥ ∣ B 1 ∣ ∣ B 1 ∣ = ∣ B 2 ∣ |B_{1}|=|B_{2}| ∣ B 1 ∣ = ∣ B 2 ∣ ∎
יהא V V V dim V \dim V dim V V V V V V V dim { 0 } = 0 \dim\left\{ 0 \right\}=0 dim { 0 } = 0
נדגים את ההוכחה(של הלמה ) על מקרה פרטי: A = { w ‾ 1 , w ‾ 2 , w ‾ 3 } A=\left\{ \underline{w}_{1},\underline{w}_{2},\underline{w}_{3} \right\} A = { w 1 , w 2 , w 3 } B = { v ‾ 1 , v ‾ 2 , v ‾ 3 , v ‾ 4 } B=\left\{ \underline{v}_{1},\underline{v}_{2},\underline{v}_{3},\underline{v}_{4} \right\} B = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } A 1 = { v ‾ 1 , w ‾ 1 , w ‾ 2 , w ‾ 3 } A_{1}=\left\{ \underline{v}_{1},\underline{w}_{1},\underline{w}_{2},\underline{w}_{3} \right\} A 1 = { v 1 , w 1 , w 2 , w 3 } A A A v ‾ 1 \underline{v}_{1} v 1 A A A A 1 A_{1} A 1 v ‾ 1 \underline{v}_{1} v 1 { v ‾ 1 } \left\{ \underline{v}_{1} \right\} { v 1 } { v ‾ 1 } \left\{ \underline{v}_{1} \right\} { v 1 } w w w w ‾ 2 \underline{w}_{2} w 2
A 2 = { v ‾ 1 , w ‾ 1 , w ‾ 3 } A_{2}=\left\{ \underline{v}_{1},\underline{w}_{1},\underline{w}_{3} \right\} A 2 = { v 1 , w 1 , w 3 } אנו יודעים כי A 2 A_{2} A 2 w ‾ 2 \underline{w}_{2} w 2
A 3 = { v ‾ 1 , v ‾ 2 , w ‾ 1 , w ‾ 3 } A_{3}=\left\{ \underline{v}_{1},\underline{v}_{2},\underline{w}_{1},\underline{w}_{3} \right\} A 3 = { v 1 , v 2 , w 1 , w 3 } זוהי קבוצה פורשת שכן היא מכילה את A 2 A_{2} A 2 v ‾ 2 \underline{v}_{2} v 2 A 2 A_{2} A 2 A 3 A_{3} A 3 v ‾ 1 , v ‾ 2 \underline{v}_{1},\underline{v}_{2} v 1 , v 2 w w w w ‾ 1 \underline{w}_{1} w 1
A 4 = { v ‾ 1 , v ‾ 2 , w ‾ 3 } A_{4}=\left\{ \underline{v}_{1},\underline{v}_{2},\underline{w}_{3} \right\} A 4 = { v 1 , v 2 , w 3 } נקבל כי A 4 A_{4} A 4
A 5 = { v ‾ 1 , v ‾ 2 , v ‾ 3 , w ‾ 3 } A_{5}=\left\{ \underline{v}_{1},\underline{v}_{2},\underline{v}_{3},\underline{w}_{3} \right\} A 5 = { v 1 , v 2 , v 3 , w 3 } נקבל כי היא פורשת, שכן היא מכילה את A 4 A_{4} A 4 v ‾ 3 \underline{v}_{3} v 3 v ‾ 1 , v ‾ 2 , v ‾ 3 \underline{v}_{1},\underline{v}_{2},\underline{v}_{3} v 1 , v 2 , v 3 w ‾ 3 \underline{w}_{3} w 3 A 6 = { v ‾ 1 , v ‾ 2 , v ‾ 3 } A_{6}=\left\{ \underline{v}_{1},\underline{v}_{2},\underline{v}_{3} \right\} A 6 = { v 1 , v 2 , v 3 } v ‾ 4 \underline{v}_{4} v 4 v ‾ 1 , v ‾ 2 , v ‾ 3 \underline{v}_{1},\underline{v}_{2},\underline{v}_{3} v 1 , v 2 , v 3 B B B ∎
יהא V V V n n n dim V = n \dim V=n dim V = n
בכל קבוצה בת"ל יש לכל היותר n n n
בכל קבוצה פורשת יש לפחות n n n
כל קבוצה בת"ל עם n n n
כל קבוצה פורשת עם n n n
הוכחה: dim V = n \dim V=n dim V = n V V V n n n n n n dim V = n \dim V=n dim V = n V V V n n n n n n B B B n n n B B B n n n ∎
כעת נוכיח את משפט 834 בפתוחה. יעלה ויבוא המשפט:
יהא V V V W W W V V V dim W ≤ dim V \dim W\leq \dim V dim W ≤ dim V W = V W=V W = V
בפרט, זה אומר ש-W ⊂ V W \subset V W ⊂ V dim W < dim V \dim W<\dim V dim W < dim V
הוכחה: dim V = n \dim V=n dim V = n dim W > n \dim W>n dim W > n W W W n n n W W W V V V V V V n n n dim W = n \dim W=n dim W = n W W W n n n V V V V V V B B B W = s p ( B ) W=sp(B) W = s p ( B ) V = s p ( B ) V=sp(B) V = s p ( B ) W = V W=V W = V ברור . (אם W = V W=V W = V dim W = dim V \dim W=\dim V dim W = dim V ∎
נקח V = M ( R ) 2 × 2 V=M \underset{2\times2}{(\mathbb{R})} V = M 2 × 2 ( R ) W = { A ∈ V ∣ A = A t } = { A ∈ V A = ( a b b c ) } , U = { A ∈ V A = ( a a − b a + b ) } W=\left\{ A \in V|A=A^t \right\}=\left\{ \begin{array}{c|c}A \in V& A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\end{array} \right\},U=\left\{ \begin{array}{c|c}A \in V & A=\begin{pmatrix}a&a\\-b&a+b\end{pmatrix}\end{array} \right\} W = { A ∈ V ∣ A = A t } = { A ∈ V A = ( a b b c ) } , U = { A ∈ V A = ( a − b a a + b ) } U , W , U + W , U ∩ W U,W,U+W,U \cap W U , W , U + W , U ∩ W
הוכחה: U U U W W W U U U
U = { A ∈ V A = ( a a − b a + b ) } = { a ( 1 1 0 1 ) + b ( 0 0 − 1 1 ) } = s p { ( 1 1 0 1 ) , ( 0 0 − 1 1 ) } U=\left\{ \begin{array}{c|c}
A \in V & A=\begin{pmatrix}
a & a \\
-b & a+b
\end{pmatrix}
\end{array} \right\}=\left\{ \begin{array}{c|c}
a\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\end{array} \right\}=sp\left\{ \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} \right\} U = { A ∈ V A = ( a − b a a + b ) } = { a ( 1 0 1 1 ) + b ( 0 − 1 0 1 ) } = s p { ( 1 0 1 1 ) , ( 0 − 1 0 1 ) } הוקטורים לא פרופורציונליים(בדקו!) ולכן בת"ל ולכן, הם בסיס ל-U U U { ( 1 1 0 1 ) , ( 0 0 − 1 1 ) } \left\{ \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\-1&1\end{pmatrix} \right\} { ( 1 0 1 1 ) , ( 0 − 1 0 1 ) } U U U dim U = 2 \dim U=2 dim U = 2
W = { ( a b b c ) a , b , c ∈ R } = { a ( 1 0 0 0 ) + b ( 0 1 1 0 ) + c ( 0 0 0 1 ) a , b , c ∈ R } W=\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & c
\end{pmatrix} & a,b,c \in \mathbb{R}
\end{array} \right\}=\left\{ \begin{array}{c|c}
a\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} & a,b,c \in \mathbb{R}
\end{array} \right\} W = { ( a b b c ) a , b , c ∈ R } = { a ( 1 0 0 0 ) + b ( 0 1 1 0 ) + c ( 0 0 0 1 ) a , b , c ∈ R } = s p { ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } =sp\left\{ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right\} = s p { ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } הקבוצה בת"ל (תרגיל) ולכן, בסיס ל-W W W dim W = 3 \dim W=3 dim W = 3 U + W U+W U + W
U + W = s p { ( 1 1 0 1 ) , ( 0 0 − 1 1 ) , ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } U+W=sp\left\{ \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right\} U + W = s p { ( 1 0 1 1 ) , ( 0 − 1 0 1 ) , ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } חיבור שלושת האמצעיים הינו הראשון ולכן נוכל להזדכות עליו(לא לעשות במבחן)
U + P = s p { ( 0 0 − 1 1 ) , ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } U+P=sp\left\{ \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right\} U + P = s p { ( 0 − 1 0 1 ) , ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } הקבוצה פורשת וגם בת"ל (תרגיל).U ∩ W U \cap W U ∩ W v ‾ ∈ U ∩ W \underline{v} \in U \cap W v ∈ U ∩ W דרך א':
α ( 1 1 0 1 ) + α 2 ( 0 0 − 1 1 ) = v ‾ = α 3 ( 1 0 0 0 ) + α 4 ( 0 1 1 0 ) + α 5 ( 0 0 0 1 ) \alpha \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}+\alpha_{2}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}=\underline{v}=\alpha_{3}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}+\alpha_{4}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}+\alpha_{5}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} α ( 1 0 1 1 ) + α 2 ( 0 − 1 0 1 ) = v = α 3 ( 1 0 0 0 ) + α 4 ( 0 1 1 0 ) + α 5 ( 0 0 0 1 ) פותרים - בוחרים אגף ומוצאים את החיתוך.דרך ב': A = ( a a − b a + b ) A=\begin{pmatrix}a&a\\-b&a+b\end{pmatrix} A = ( a − b a a + b )
( a − b a a + b ) = ( a a − b a + b ) \begin{pmatrix}
a & -b \\
a & a+b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & a \\
-b & a+b
\end{pmatrix} ( a a − b a + b ) = ( a − b a a + b )
יוסי מעדיף את דרך א' כי היא יותר בטוחה ודורשת פחות C P U CPU CP U
{ a = a − b = a a = − b a + b = a + b \begin{cases}
a=a \\
-b=a \\
a=-b \\
a+b=a+b
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a = a − b = a a = − b a + b = a + b קיבלנו כי b = − a b=-a b = − a
A = { ( a a a 0 ) a ∈ R } = s p { ( 1 1 1 0 ) } A=\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
a & a \\
a & 0
\end{pmatrix} & a \in \mathbb{R}
\end{array} \right\}=sp\left\{ \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \right\} A = { ( a a a 0 ) a ∈ R } = s p { ( 1 1 1 0 ) } ∎
יהי V V V F \mathbb{F} F dim V = 1 \dim V=1 dim V = 1 s p { k } sp\left\{ k \right\} s p { k } k ∈ F k \in \mathbb{F} k ∈ F בסיס של V V V
אם נחבר את שני המרחבים ("דמקה, דמקה, דמקה" - יוסי) אז נקבל את החיתוך ביניהם פעמיים - לכן, נצטרך לחסר אותו פעם אחת.
dim ( U + W ) = dim U + dim W − dim ( U ∩ W ) \dim(U+W)=\dim U+\dim W - \dim(U \cap W) dim ( U + W ) = dim U + dim W − dim ( U ∩ W ) וזהו משפט המימדים הראשון.
משפט (משפט המימדים הראשון(לסכום ת"מ))
יהא V V V U , W U,W U , W V V V
dim ( U + W ) = dim U + dim W − dim ( U ∩ W ) \dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U \cap W) dim ( U + W ) = dim U + dim W − dim ( U ∩ W )
הוכחה: ("proof חברה" - יוסי)dim U = n , dim W = m , dim ( U ∩ W ) = k \dim U=n,\dim W=m,\dim(U \cap W)=k dim U = n , dim W = m , dim ( U ∩ W ) = k dim ( U + W ) = n + m − k \dim(U+W)=n+m-k dim ( U + W ) = n + m − k { v ‾ 1 , … , v ‾ k } \left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{k} \right\} { v 1 , … , v k } U ∩ W U \cap W U ∩ W U U U
{ v ‾ 1 , … , v ‾ k , u ‾ k + 1 , u ‾ k + 2 , … , u ‾ n } \left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{k},\underline{u}_{k+1},\underline{u}_{k+2},\dots,\underline{u}_{n} \right\} { v 1 , … , v k , u k + 1 , u k + 2 , … , u n } ומאידך, נשלים אותו לבסיס של W W W
{ v ‾ 1 , … , v ‾ k , w ‾ k + 1 , w ‾ k + 2 , … , w ‾ m } \left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{k},\underline{w}_{k+1},\underline{w}_{k+2},\dots,\underline{w}_{m} \right\} { v 1 , … , v k , w k + 1 , w k + 2 , … , w m } נראה כי: B = { v ‾ 1 , … , v ‾ k , u ‾ k + 1 , … , u ‾ n , w ‾ k + 1 , … , w ‾ m } B=\left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{k},\underline{u}_{k+1},\dots,\underline{u}_{n},\underline{w}_{k+1},\dots,\underline{w}_{m} \right\} B = { v 1 , … , v k , u k + 1 , … , u n , w k + 1 , … , w m } U + W U+W U + W
U + W = s p { v ‾ 1 , … , v ‾ k , … , u ‾ k + 1 , … , u ‾ n } + s p { v ‾ 1 , … , v ‾ k , w ‾ k + 1 , … , w ‾ m } U+W=sp\left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{k},\dots,\underline{u}_{k+1},\dots,\underline{u}_{n} \right\}+sp\left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{k},\underline{w}_{k+1},\dots,\underline{w}_{m} \right\} U + W = s p { v 1 , … , v k , … , u k + 1 , … , u n } + s p { v 1 , … , v k , w k + 1 , … , w m } לפי משפט, U + W = s p B = { v ‾ 1 , … , v ‾ k , u ‾ k + 1 , … , u ‾ n , w ‾ k + 1 , … , w ‾ m } U+W=spB=\left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{k},\underline{u}_{k+1},\dots,\underline{u}_{n},\underline{w}_{k+1},\dots,\underline{w}_{m} \right\} U + W = s pB = { v 1 , … , v k , u k + 1 , … , u n , w k + 1 , … , w m }
α 1 v ‾ 1 + ⋯ + α k v ‾ k + β k + 1 u ‾ k + 1 + ⋯ + β n u ‾ n + γ k + 1 w ‾ k + 1 + ⋯ + γ m w ‾ m = 0 ‾ \alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{k}\underline{v}_{k}+\beta_{k+1}\underline{u}_{k+1}+\dots+\beta_{n}\underline{u}_{n}+\gamma_{k+1}\underline{w}_{k+1}+\dots+\gamma_{m}\underline{w}_{m}=\underline{0} α 1 v 1 + ⋯ + α k v k + β k + 1 u k + 1 + ⋯ + β n u n + γ k + 1 w k + 1 + ⋯ + γ m w m = 0 ⇓ \Downarrow ⇓ α 1 v ‾ 1 + ⋯ + α k v ‾ k + β k + 1 u ‾ k + 1 + ⋯ + β n u ‾ n ⏟ ∈ U = − γ k + 1 w ‾ k + 1 − ⋯ − γ m w ‾ m ⏟ ∈ W ( ∗ ) \underbrace{\alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{k}\underline{v}_{k}+\beta_{k+1}\underline{u}_{k+1}+\dots+\beta_{n}\underline{u}_{n}}_{\in\ U}=\underbrace{-\gamma_{k+1}\underline{w}_{k+1}-\dots-\gamma_{m}\underline{w}_{m}}_{\in\ W} \qquad (*) ∈ U α 1 v 1 + ⋯ + α k v k + β k + 1 u k + 1 + ⋯ + β n u n = ∈ W − γ k + 1 w k + 1 − ⋯ − γ m w m ( ∗ ) לכן, שני האגפים ב-U ∩ W U \cap W U ∩ W
− γ k + 1 w ‾ k + 1 − ⋯ − γ m w ‾ m ⏟ ∈ U ∩ W = δ 1 v ‾ 1 + ⋯ + δ k v ‾ k \underbrace{-\gamma_{k+1}\underline{w}_{k+1}-\dots-\gamma_{m}\underline{w}_{m}}_{\in\ U \cap W}=\delta_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\delta_{k}\underline{v}_{k} ∈ U ∩ W − γ k + 1 w k + 1 − ⋯ − γ m w m = δ 1 v 1 + ⋯ + δ k v k נקבל כי:
δ 1 v ‾ 1 + ⋯ + δ k v ‾ k + γ k + 1 w ‾ k + 1 + ⋯ + γ m w ‾ m = 0 ‾ \delta_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\delta_{k}\underline{v}_{k}+\gamma_{k+1}\underline{w}_{k+1}+\dots+\gamma_{m}\underline{w}_{m}=\underline{0} δ 1 v 1 + ⋯ + δ k v k + γ k + 1 w k + 1 + ⋯ + γ m w m = 0 אבל { v ‾ 1 , … , v ‾ k , w ‾ k + 1 , … , w ‾ m } \left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{k},\underline{w}_{k+1},\dots,\underline{w}_{m} \right\} { v 1 , … , v k , w k + 1 , … , w m } W W W δ 1 = ⋯ = δ k = γ k + 1 = ⋯ = γ m = 0 \delta_{1}=\dots=\delta_{k}=\gamma_{k+1}=\dots=\gamma_{m}=0 δ 1 = ⋯ = δ k = γ k + 1 = ⋯ = γ m = 0 ( ∗ ) (*) ( ∗ )
α 1 v ‾ 1 + ⋯ + α k v ‾ k + β k + 1 u ‾ k + 1 + ⋯ + β n u ‾ n = 0 ‾ \alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{k}\underline{v}_{k}+\beta_{k+1}\underline{u}_{k+1}+\dots+\beta_{n}\underline{u}_{n}=\underline{0} α 1 v 1 + ⋯ + α k v k + β k + 1 u k + 1 + ⋯ + β n u n = 0 אבל, { v ‾ 1 , … , v ‾ k , u ‾ k + 1 , … , u ‾ n } \left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{k},\underline{u}_{k+1},\dots,\underline{u}_{n} \right\} { v 1 , … , v k , u k + 1 , … , u n } U U U
α 1 = ⋯ = α k = β k + 1 = ⋯ = β n = 0 \alpha_{1}=\dots=\alpha_{k}=\beta_{k+1}=\dots=\beta_{n}=0 α 1 = ⋯ = α k = β k + 1 = ⋯ = β n = 0 ∎
יהא V V V U 1 , U 2 , W U_{1},U_{2},W U 1 , U 2 , W V V V
מתקיים V = U 1 ⊕ U 2 V=U_{1} \oplus U_{2} V = U 1 ⊕ U 2
מתקיים U 1 ∩ W = { 0 ‾ } U_{1} \cap W=\left\{ \underline{0} \right\} U 1 ∩ W = { 0 }
הוכיחו כי dim W ≤ dim U 2 \dim W\leq \dim U_{2} dim W ≤ dim U 2
הוכחה: U 1 + W ⊆ V = U 1 + U 2 U_{1}+W \subseteq V=U_{1}+U_{2} U 1 + W ⊆ V = U 1 + U 2 dim ( U 1 + W ) ≤ dim ( U 1 + U 2 ) \dim(U_{1}+W)\leq \dim(U_{1}+U_{2}) dim ( U 1 + W ) ≤ dim ( U 1 + U 2 )
dim U 1 + dim W − dim ( U 1 ∩ W ) ⏟ = 0 לפי נתון ≤ dim U 1 + dim U 2 − dim ( U 1 ∩ U 2 ) ⏟ = 0 לפי סכום ישר \dim U_{1}+\dim W-\underbrace{\dim(U_{1}\cap W)}_{\begin{matrix}
=0 \\
\R{\text{לפי נתון}}
\end{matrix}}\leq \dim U_{1}+\dim U_{2}-\underbrace{\dim(U_{1} \cap U_{2})}_{\begin{matrix}
=0 \\
\R{\text{לפי סכום ישר}}
\end{matrix}} dim U 1 + dim W − = 0 לפי נתון dim ( U 1 ∩ W ) ≤ dim U 1 + dim U 2 − = 0 לפי סכום ישר dim ( U 1 ∩ U 2 ) ∎
מימדים ומטריצות
r o w ( A ) = מרחב השורות של מטריצה A = אוסף כל הצ"ל של השורות של A row(A)=\begin{matrix}
\R{\text{מרחב השורות}} \\
\R{\text{של מטריצה A}}
\end{matrix}=\begin{matrix}
\R{\text{אוסף כל הצ"ל}} \\
\R{\text{של השורות של A}}
\end{matrix} ro w ( A ) = מרחב השורות של מטריצה A = אוסף כל הצ"ל של השורות של A
A , B A,B A , B r o w ( A ) = r o w ( B ) row(A)=row(B) ro w ( A ) = ro w ( B ) A , B A,B A , B A A A B B B שורות שונות מאפס של מטריצה מדורגת - בת"ל.
מספר השורות השונות מאפס של מטריצה מדורגת של המטריצה A A A A A A
dim ( r o w ( A ) ) = r ( A ) \dim(row(A))=r(A) dim ( ro w ( A )) = r ( A ) הוכחה:
ברור \R{\text{ברור}} ברור הסבר: r ( A ) r(A) r ( A ) A A A ∎
מימד מרחב השורות של A A A = = = A A A = = = A A A
A = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ) A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{pmatrix} A = 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 r o w ( A ) = s p { ( 1 2 3 4 ) , ( 5 6 7 8 ) , ( 9 10 11 12 ) } row(A)=sp\left\{ \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\6\\7\\8\end{pmatrix},\begin{pmatrix}9\\10\\11\\12\end{pmatrix} \right\} ro w ( A ) = s p ⎩ ⎨ ⎧ 1 2 3 4 , 5 6 7 8 , 9 10 11 12 ⎭ ⎬ ⎫ c o l ( A ) = s p { ( 1 5 9 ) , ( 2 6 10 ) , ( 3 7 11 ) , ( 4 8 12 ) } col(A)=sp\left\{ \begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\6\\10\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\7\\11\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\8\\12\end{pmatrix} \right\} co l ( A ) = s p ⎩ ⎨ ⎧ 1 5 9 , 2 6 10 , 3 7 11 , 4 8 12 ⎭ ⎬ ⎫ ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ) ⟶ ( 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12
\end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 ⟶ 1 0 0 2 1 0 3 2 0 4 3 0
r ( A ) = r ( A t ) r(A)=r(A^t) r ( A ) = r ( A t )
הוכחה: B B B m × n m\times n m × n r r r dim ( r o w ( A ) ) = r \dim(row(A))=r dim ( ro w ( A )) = r r r r { s 1 , … , s r } \left\{ s_{1},\dots,s_{r} \right\} { s 1 , … , s r } r o w ( A ) row(A) ro w ( A ) B B B s 1 , … , s r s_{1},\dots,s_{r} s 1 , … , s r B B B R 1 , … , R m R_{1},\dots,R_{m} R 1 , … , R m
( ∗ ) { R 1 = α 11 s 1 + α 12 s 2 + ⋯ + α 1 r s r R 2 = α 21 s 1 + α 22 s 2 + ⋯ + α 2 r s r ⋮ R m = α m 1 s 1 + α m 2 s 2 + ⋯ + α m r s r (*)\begin{cases}
R_{1}=\alpha_{11}s_{1}+\alpha_{12}s_{2}+\dots+\alpha_{1r}s_{r} \\
R_{2}=\alpha_{21}s_{1}+\alpha_{22}s_{2}+\dots+\alpha_{2r}s_{r} \\
\vdots \\
R_{m}=\alpha_{m1}s_{1}+\alpha_{m2}s_{2}+\dots+\alpha_{mr}s_{r}
\end{cases} ( ∗ ) ⎩ ⎨ ⎧ R 1 = α 11 s 1 + α 12 s 2 + ⋯ + α 1 r s r R 2 = α 21 s 1 + α 22 s 2 + ⋯ + α 2 r s r ⋮ R m = α m 1 s 1 + α m 2 s 2 + ⋯ + α m r s r נסמן:
s 1 = ( s 11 , s 12 , … , s 1 n ) ⋮ s r = ( s r 1 , s r 2 , … , s r n ) R 1 = ( b 11 , b 12 , … , b 1 n ) ⋮ R m = ( b m 1 , b m 2 , … , b m n ) \begin{matrix}
\begin{matrix}
s_{1}=(s_{11},s_{12},\dots,s_{1n}) \\
\vdots \\
s_{r}=(s_{r1},s_{r2},\dots,s_{rn})
\end{matrix} & \begin{matrix}
R_{1}=(b_{11},b_{12},\dots,b_{1n}) \\
\vdots \\
R_{m}=(b_{m1},b_{m2},\dots,b_{mn})
\end{matrix}
\end{matrix} s 1 = ( s 11 , s 12 , … , s 1 n ) ⋮ s r = ( s r 1 , s r 2 , … , s r n ) R 1 = ( b 11 , b 12 , … , b 1 n ) ⋮ R m = ( b m 1 , b m 2 , … , b mn ) נציב ב-( ∗ ) (*) ( ∗ )
( b n , b 12 , … , b 1 n ) = α 11 ( s 11 , s 12 , … , s 1 n ) + ⋯ + α 1 r ( s r 1 , s r 2 , … , s r n ) ⋮ ( b m 1 , b m 2 , … , b m n ) = α m 1 ( s 11 , s 12 , … , s 1 m ) + ⋯ + α m r ( s r 1 , s r 2 , … , s r n ) \begin{matrix}
(b_{n},b_{12},\dots,b_{1n})=\alpha_{11}(s_{11},s_{12},\dots,s_{1n})+\dots+\alpha_{1r}(s_{r1},s_{r2},\dots,s_{rn}) \\
\vdots \\
(b_{m1},b_{m2},\dots,b_{mn})=\alpha_{m1}(s_{11},s_{12},\dots,s_{1m})+\dots+\alpha_{mr}(s_{r1},s_{r2},\dots,s_{rn})
\end{matrix} ( b n , b 12 , … , b 1 n ) = α 11 ( s 11 , s 12 , … , s 1 n ) + ⋯ + α 1 r ( s r 1 , s r 2 , … , s r n ) ⋮ ( b m 1 , b m 2 , … , b mn ) = α m 1 ( s 11 , s 12 , … , s 1 m ) + ⋯ + α m r ( s r 1 , s r 2 , … , s r n ) נקבל כי:
c 1 העמודה השמאלית ביותר של B = ( b 11 b 21 ⋮ b m 1 ) = ( α 11 s 11 + ⋯ + α 1 r s r 1 α 21 s 11 + ⋯ + α 2 r s r 1 ⋮ α m 1 s 11 + ⋯ + α m r s r 1 ) \underset{\begin{matrix}
\R{\text{העמודה השמאלית}} \\
\R{\text{ביותר של B}}
\end{matrix}}{c_{1}}=\begin{pmatrix}
b_{11} \\
b_{21} \\
\vdots \\
b_{m1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\alpha_{11}s_{11}+\dots+\alpha_{1r}s_{r1} \\
\alpha_{21}s_{11}+\dots+\alpha_{2r}s_{r1} \\
\vdots \\
\alpha_{m1}s_{11}+\dots+\alpha_{mr}s_{r1}
\end{pmatrix} העמודה השמאלית ביותר של B c 1 = b 11 b 21 ⋮ b m 1 = α 11 s 11 + ⋯ + α 1 r s r 1 α 21 s 11 + ⋯ + α 2 r s r 1 ⋮ α m 1 s 11 + ⋯ + α m r s r 1 = s 11 ( α 11 α 21 ⋮ α m 1 ) ↓ v ‾ 1 + s 21 ( α 12 α 22 ⋮ α m 2 ) ↓ v ‾ 2 + ⋯ + s r 1 ( α 1 r α 2 r ⋮ α m r ) =s_{11}\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\underline{v}_{1}
\end{matrix}}{\begin{pmatrix}
\alpha_{11} \\
\alpha_{21} \\
\vdots \\
\alpha_{m1}
\end{pmatrix}}+s_{21}\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\underline{v}_{2}
\end{matrix}}{\begin{pmatrix}
\alpha_{12} \\
\alpha_{22} \\
\vdots \\
\alpha_{m2}
\end{pmatrix}}+\dots+s_{r1}\begin{pmatrix}
\alpha_{1r} \\
\alpha_{2r} \\
\vdots \\
\alpha_{mr}
\end{pmatrix} = s 11 ↓ v 1 α 11 α 21 ⋮ α m 1 + s 21 ↓ v 2 α 12 α 22 ⋮ α m 2 + ⋯ + s r 1 α 1 r α 2 r ⋮ α m r כלומר, העמודה הראשונה של B B B v ‾ 1 , … , v ‾ r \underline{v}_{1},\dots ,\underline{v}_{r} v 1 , … , v r
c i = ( b 1 i b 2 i ⋮ b m i ) = s 1 i ( α 11 α 21 ⋮ α m 1 ) + ⋯ + s r i ( α 1 r α 2 r ⋮ α m r ) c_{i}=\begin{pmatrix}
b_{1i} \\
b_{2i} \\
\vdots \\
b_{mi}
\end{pmatrix}=s_{1i}\begin{pmatrix}
\alpha_{11} \\
\alpha_{21} \\
\vdots \\
\alpha_{m1}
\end{pmatrix}+\dots+s_{ri}\begin{pmatrix}
\alpha_{1r} \\
\alpha_{2r} \\
\vdots \\
\alpha_{mr}
\end{pmatrix} c i = b 1 i b 2 i ⋮ b mi = s 1 i α 11 α 21 ⋮ α m 1 + ⋯ + s r i α 1 r α 2 r ⋮ α m r כלומר, כל עמודה של i i i B B B v ‾ 1 , … v ‾ r \underline{v}_{1},\dots \underline{v}_{r} v 1 , … v r { v ‾ 1 , … , v ‾ r } \left\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{r} \right\} { v 1 , … , v r } c o l ( B ) col(B) co l ( B ) dim ( c o l ( B ) ) ≤ r = dim ( r o w ( B ) ) \dim(col(B))\leq r=\dim(row(B)) dim ( co l ( B )) ≤ r = dim ( ro w ( B )) dim ( c o l ( B ) ) = d i m ( r o w ( B t ) ) \dim(col(B))=dim(row(B^t)) dim ( co l ( B )) = d im ( ro w ( B t )) dim ( r o w ( B t ) ) ≤ dim ( r o w ( B ) ) \dim(row(B^t))\leq \dim(row(B)) dim ( ro w ( B t )) ≤ dim ( ro w ( B )) B B B dim ( r o w ( B t ) t ) ≤ dim ( r o w ( B t ) ) \dim(row(B^t)^t)\leq \dim (row(B^t)) dim ( ro w ( B t ) t ) ≤ dim ( ro w ( B t )) dim ( r o w ( B ) ) = dim ( r o w ( B t ) ) \dim(row(B))=\dim(row(B^t)) dim ( ro w ( B )) = dim ( ro w ( B t ))
r ( B ) = r ( B t ) r(B)=r(B^t) r ( B ) = r ( B t ) ∎
תהא A A A m × n m\times n m × n r ( A ) ≤ min { m , n } r(A)\leq \min\left\{ m,n \right\} r ( A ) ≤ min { m , n } A ∈ F m × n , B ∈ F n × k A \in \mathbb{F}^{m\times n},B \in \mathbb{F}^{n\times k} A ∈ F m × n , B ∈ F n × k
r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\leq \min\left\{ r(A),r(B) \right\} r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) }
מימד מרחב השורות של מטריצה A A A A A A A A A \qquad \qquad \qquad r ( A ) ≤ min { m , n } r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } \begin{matrix}r(A)\leq \min\left\{ m,n \right\}\\ r(AB)\leq \min\left\{ r(A),r(B) \right\}\end{matrix} r ( A ) ≤ min { m , n } r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } A A A m × n m \times n m × n
הוכחה: של מסקנה (1)
c o l ( A B ) ⊆ c o l ( A ) r o w ( A B ) ⊆ r o w ( B ) ⟹ dim c o l ( A B ) ≤ dim c o l ( A ) dim r o w ( A B ) ≤ dim r o w ( B ) \begin{matrix}
col(AB) \subseteq col(A) \\
row(AB) \subseteq row(B)
\end{matrix} \implies \begin{matrix}
\dim col(AB)\leq \dim col(A) \\
\dim row(AB)\leq \dim row(B)
\end{matrix} co l ( A B ) ⊆ co l ( A ) ro w ( A B ) ⊆ ro w ( B ) ⟹ dim co l ( A B ) ≤ dim co l ( A ) dim ro w ( A B ) ≤ dim ro w ( B ) ⟹ r ( A B ) ≤ r ( A ) r ( A B ) ≤ r ( B ) ⟹ r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } \implies \begin{matrix}
r(AB)\leq r(A) \\
r(AB) \leq r(B)
\end{matrix} \implies r(AB)\leq \min\left\{ r(A),r(B) \right\} ⟹ r ( A B ) ≤ r ( A ) r ( A B ) ≤ r ( B ) ⟹ r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } ∎
סיפורים לחנוכה
( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) x ‾ = 0 ‾ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}\underline{x}=\underline{0} 1 4 7 2 5 8 3 6 9 x = 0 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) → ( 1 0 − 1 0 1 2 0 0 0 ) \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} 1 4 7 2 5 8 3 6 9 → 1 0 0 0 1 0 − 1 2 0 n − r ( A ) = מס’ דרגות החופש=מימד מרחב הפתרונים n-r(A)=\R{\text{מס' דרגות החופש=מימד מרחב הפתרונים}} n − r ( A ) = מס’ דרגות החופש=מימד מרחב הפתרונים חזרה לפורמליות
תהא A x ‾ = 0 ‾ A\underline{x}=\underline{0} A x = 0 n n n A A A
P ( A ) = { x ‾ ∈ F n ∣ A x ‾ = 0 ‾ } P(A)=\left\{ \underline{x} \in \mathbb{F}^n|A\underline{x}=\underline{0} \right\} P ( A ) = { x ∈ F n ∣ A x = 0 } (מרחב הפתרונים של A x ‾ = 0 ‾ A\underline{x}=\underline{0} A x = 0
dim P ( A ) = n − r ( A ) \dim P(A)=n-r(A) dim P ( A ) = n − r ( A )
r ( A ) + dim P ( A ) = n r(A)+\dim P(A)=n r ( A ) + dim P ( A ) = n הוכחה: k = n − r ( A ) k=n-r(A) k = n − r ( A ) k k k k k k y 1 , y 2 , … , y k y_{1},y_{2},\dots,y_{k} y 1 , y 2 , … , y k y k + 1 , … , y n y_{k+1},\dots,y_{n} y k + 1 , … , y n
( y 1 y 2 ⋮ y k α 11 y 1 + α 12 y 2 + ⋯ + α 1 k y k ⋮ α n − k , 1 y 1 + α n − k , 2 y 2 + ⋯ + α n − k , k y k ) = y 1 ( 1 0 0 ⋮ 0 ∗ ⋮ ∗ ) + y 2 ( 0 1 0 ⋮ 0 ∗ ⋮ ∗ ) + ⋯ + y k ( 0 0 ⋮ 0 1 ∗ ⋮ ∗ ) \begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2} \\
\vdots \\
y_{k} \\
\alpha_{11}y_{1}+\alpha_{12}y_{2}+\dots+\alpha_{1k}y_{k} \\
\vdots \\
\alpha_{n-k,1}y_{1}+\alpha_{n-k,2}y_{2}+\dots+\alpha_{n-k,k}y_{k}
\end{pmatrix}=y_{1}\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
* \\
\vdots \\
*
\end{pmatrix}+y_{2}\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
* \\
\vdots \\
*
\end{pmatrix}+\dots+y_{k}\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
* \\
\vdots \\
*
\end{pmatrix} y 1 y 2 ⋮ y k α 11 y 1 + α 12 y 2 + ⋯ + α 1 k y k ⋮ α n − k , 1 y 1 + α n − k , 2 y 2 + ⋯ + α n − k , k y k = y 1 1 0 0 ⋮ 0 ∗ ⋮ ∗ + y 2 0 1 0 ⋮ 0 ∗ ⋮ ∗ + ⋯ + y k 0 0 ⋮ 0 1 ∗ ⋮ ∗ ("ועוד לילילירקרקרק" - יוסי){ v ‾ 1 , v ‾ 2 , … , v ‾ k } \left\{ \underline{v}_{1},\underline{v}_{2},\dots,\underline{v}_{k} \right\} { v 1 , v 2 , … , v k } P ( A ) P(A) P ( A )
( 1 0 0 … 0 ∗ … ∗ 0 1 0 … 0 ∗ … ∗ ⋮ 0 0 0 … 1 ∗ … ∗ ) → המטריצה מדורגת ולכן הווקטורים בת"ל \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & * & \dots & * \\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & * & \dots & * \\
& \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & * & \dots & *
\end{pmatrix} \to \begin{matrix}
\R{\text{המטריצה מדורגת}} \\
\R{\text{ולכן הווקטורים בת"ל}}
\end{matrix} 1 0 0 0 1 ⋮ 0 0 0 0 … … … 0 0 1 ∗ ∗ ∗ … … … ∗ ∗ ∗ → המטריצה מדורגת ולכן הווקטורים בת"ל לכן, זהו בסיס ולכן dim P ( A ) = n − r ( A ) \dim P(A)=n-r(A) dim P ( A ) = n − r ( A ) ∎
תהא A ∈ F m × n A \in \mathbb{F}^{m\times n} A ∈ F m × n A v ‾ = 0 ‾ A\underline{v}=\underline{0} A v = 0 v ‾ ∈ F n \underline{v} \in \mathbb{F}^n v ∈ F n A = 0 A=0 A = 0
הוכחה:
ברור \R{ברור} ברור אם כל v ‾ ∈ F n \underline{v}\in \mathbb{F}^n v ∈ F n A x ‾ = 0 ‾ A\underline{x}=\underline{0} A x = 0 F n \mathbb{F}^n F n n n n n − r ( A ) = n n-r(A)=n n − r ( A ) = n r ( A ) = 0 r(A)=0 r ( A ) = 0 A = 0 A=0 A = 0 ∎
יהיו A , B ∈ F m × n A,B \in \mathbb{F}^{m\times n} A , B ∈ F m × n A v ‾ = B v ‾ A\underline{v}=B\underline{v} A v = B v v ‾ ∈ F n \underline{v} \in \mathbb{F}^n v ∈ F n A = B A=B A = B
הוכחה:
ברור \R{ברור} ברור על פי המסקנה הקודמת, כיוון ש-A v ‾ = B v ‾ A\underline{v}=B\underline{v} A v = B v ( A − B ) v ‾ = 0 ‾ (A-B)\underline{v}=\underline{0} ( A − B ) v = 0 v ‾ ∈ F n \underline{v} \in \mathbb{F}^n v ∈ F n A − B = 0 A-B=0 A − B = 0 A = B A=B A = B ∎