חבורות

הגדרה 1 (חבורה)

פעולה בינארית היא $f:G \times G\to G$ .
חבורה היא קבוצה $G$ עם פעולה בינארית $\cdot$ כך שמתקיים כך:

סגירות: לכל $a,b \in G$ מתקיים $a \cdot b \in G$
קיבוץ(אסוציאטיביות): לכל $a,b,c \in G$ מתקיים $(a \cdot b) c = a(b \cdot c)$
קיום איבר היחידה: קיים $e \in G$ כך שלכל $a \in G$ מתקיים $a \cdot e = e \cdot a = a$
קיום איבר הופכי: לכל $a \in G$ קיים $b \in G$ כך ש- $a \cdot b = b \cdot a = e$

דוגמה (כמה דוגמות)

א. $G=(\mathbb{N}, +)$
זוהי אינה חבורה שכן אין את איבר האפס(איבר נגדי)

ב. $G=(\mathbb{Z}, \cdot)$
זוהי אינה חבורה שכן אין איבר הופכי

ג. $G=(\mathbb{Z},+)$
זוהי כן חבורה.

ד. $G=(\mathbb{Q},+)$
זוהי כן חבורה

ה. $G=(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$
זוהי אכן חבורה, אך $(\mathbb{Q}, \cdot)$ אינה חבורה.

ו. $G=(\mathbb{R},+)$
זוהי חבורה.

ז. $G=(\mathbb{R}^*,\cdot)$ כאשר $\mathbb{R}^*=\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$
זוהי חבורה.

ח. $G=(\mathbb{C},+)$
זוהי חבורה.

ט. $G=(\mathbb{C}^*,\cdot)$
זוהי חבורה.

הגדרה 2 (חבורה קומוטטיבית)

חבורה G נקראת קומוטטיבית אם לכל $a,b \in G$ מתקיים $a \cdot b=b \cdot a$

דוגמה

נראה כי ג,ד,ה,ו,ז,ח,ט הן חבורות קומוטטיביות

הערה

לרחבה על נושא תורת החבורות מוזמנים ללכת לקרוא בקורס אלגברה מודרנית ח' בשנה ב', סמסטר חורף.

שדות

הגדרה 3 (שדה)

קבוצה $\mathbb{F}$ עם שתי פעולות בינאריות $+$ ו-' $\cdot$ ' נקראת שדה אם:

מתקיים $(\mathbb{F},+)$ חבורה קומוטטיבית
מתקיים $(\mathbb{F},\cdot)$ חבורה קומוטטיבית
מתקיים לכל $a,b,c \in \mathbb{F}$ : $a(b*c)=(a*b)c$
מתקיים כי איבר היחידה הכיפלי שונה מאיבר היחידה החיבורי ( $1\neq 0$ )

דוגמה (דוגמות לשדות)

\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}

תכונות של שדות

משפט

יהא $\mathbb{F}$ שדה. אזי

איבר ה-0 הוא יחיד ואיבר ה-1 הוא יחיד
יהא $a \in \mathbb{F}$ אזי האיבר הנגדי $(-a)$ הוא יחיד וההופכי $(a^{-1})$ הוא יחיד(בעבור $a\neq 0$ )
לכל $a \in \mathbb{F}$ , $a \cdot 0= 0$
לכל $a,b \in \mathbb{F}$ , $a \cdot b = 0$ ⇐ $a=0$ או $b=0$ . (בשדה אין מחלקי אפס)
לכל $a \in \mathbb{F}$ , $(-1)a=-a$
לכל $a,b,c \in \mathbb{F}$ :

a+b=a+c \iff b=c

לכל $a \in \mathbb{F}^*$ ו- $b,c \in \mathbb{F}$ מתקיים:

a \cdot b = a \cdot c \iff b=c

הערה

אפס( $0$ ) נקרא אדיש חיבורי
אחד( $1$ ) נקרא אדיש כפלי
לכלל 6 וכלל 7 נקרא חוק הצמצום

הוכחה:
א. נניח כי ב- $\mathbb{F}$ יש שני אברי '0': $0$ ו- $\hat{0}$ .
מכיוון שגם 0 וגם $\hat{0}$ אדישים לחיבור

0=\hat{0}+0=\hat{0}

וכך קיבלנו כי $\hat{0}=0$ ולכן יש רק איבר '0' אחד.
‎∎

תרגיל (שיעורי הבית - להוכיח כי יש רק אדיש כפלי אחד)

1=\hat{1}=1=\hat{1}

1=\hat{1}

הוכחה:
ב. נניח כי ל- $a \in \mathbb{F}$ יש שני נגדיים: $a_{1}$ ו- $a_{1}$ .
נכתוב:

a_{1}+(\underbrace{a+a_{2}}_{0})=a_{1}

a_{2}=(\underbrace{a_{1}+a}_{0})+a_{2}

a_{1}=a_{2}

‎∎

תרגיל (שיעורי בית - להוכיח כי יש הופכי יחיד)

a_{1}\cdot(a \cdot a_{2})=a_{1}

a_{2}\cdot(a \cdot a_{1})=a_{2}

a_{1}=a_{2}

הוכחה:
ג.

a \cdot 0=a \cdot(0+0)=a \cdot 0 + a \cdot 0

נוסיף את $-a \cdot 0$ בכל אחד מהאגפים.

-(a \cdot 0)+ a \cdot 0=-(a \cdot 0)+a \cdot 0 + a \cdot 0

\underbrace{-(a \cdot 0) + a \cdot 0}_{=\ x-x=0}=(\underbrace{-(a \cdot 0) + a \cdot 0}_{=\ x-x=0}) + a \cdot 0

0=0+a \cdot 0 \implies a \cdot 0 = 0

‎∎

הוכחה:
ד.

a \cdot b = 0

אם $a=0$ לפי סעיף קודם, $a \cdot b = 0$ .
אם $a \neq 0$ נכפול ב- $a^{-1}$ את $a \cdot b$ ונקבל $(a^{-1}\cdot a)\cdot b=0$

\implies 1 \cdot b = 0 \implies b=0

‎∎

הוכחה:
ה.

(-1)a+a=(-1 + 1)a=0\cdot a=0

(-1)a=a

‎∎

חשבון מודולארי

השדה $\mathbb{Z}_{n}$ (שדה בעל $n$ איברים)

הגדרה 4

עבור $a \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$
נכתוב

a(mod\ n)=r

אם $0\leq r<n$ וקיים $q \in \mathbb{Z}$ כל ש- $a=q \cdot n+r$ .
נקרא ל- $r$ השארית של $a$ בחילוק ב- $n$ .

דוגמה

35=11*3+2

-35=-12*3+1

35(mod\ 3)=2\qquad \qquad -35(mod\ 3)=1

כפל וחיבור בחשבון מודולארי

נניח כי אני רוצה לעשות

2134+5097\ (mod\ 5)

2134*5097\ (mod\ 5)

לכאורה צריך לחבר/לכפול אותם ואז לעשות מודולו 5 להכל.
אבל במקום זה אפשר לעשות מודולו 5 לכל אחד מהם ואז לחסר/לכפול

2134+5097\ (mod\ 5)\equiv 2134(mod\ 5)+5097(mod\ 5)\equiv 4+2\equiv 1\ (mod\ 5)

2134*5097\ (mod\ 5)\equiv 4*2\equiv 8\equiv 3 (mod\ 5)

משפט

יהיו $a,b \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$ אזי מתקיים:
1.

(a+b)(mod\ n)\equiv(a(mod\ n)+b(mod\ n))(mod\ n)

(a*b)(mod\ n)\equiv(a(mod\ n)*b(mod\ n))(mod\ n)

תרגיל

מהי ספרת האחדות של המספר: $3^{100}$

3^{100}(mod\ 10)=(3^4)^{25}(mod\ 10)\equiv 1^{25}\equiv 1

תרגיל

17*13+4^{35}\ (mod\ 3)

\equiv (2*1)+1\equiv 0(mod\ 3)

הגדרה

נגדיר את הקבוצה

Z_{n}=\{ 0,1,2,\dots,n-1 \}

ופעולות $+$ ו- $*$ על הקבוצה.
לכל $a,b \in Z_{n}$

a+b=a+b(mod\ n)

a*b=a*b(mod\ n)

שאלה: האם $Z_{n}$ שדה?
נקח את $Z_{4}$ כדי לראות:

$*$	1	2	3
1	1	2	3
2	2	0	2
3	3	2	1

ניתן לראות כי אין הופכי ל-2 ולכן $Z_{4}$ אינו שדה.
בנוסף, ניתן לראות כי יש מחלקי אפס( $2*2=0$ )

נראה כי $Z_{n}$ חבורה קומוטטיבית לגבי פעולת החיבור:

סגירות: $a+b=(a+b)mod\ n \in Z_{n}$
אסוציאטיביות: $a+(b+c)=(a+b)+c$ נוכיח כעת
$(a+(b+c))(mod\ n)=(a+(b+c)(mod\ n))(mod\ n)=$
$(a(mod\ n)+(b+c)(mod\ n))(mod\ n)=(a+(b+c))(mod\ n)$
מכיוון ש- $a,b,c$ הינם ב- $\mathbb{Z}$ שבה יש אסוציאטיביות, נוכל לסדר אותם מחדש כך:
$(a+(b+c))(mod\ n)=((a+b)+c)(mod\ n)=((a+b)(mod\ n)+c(mod\ n))(mod\ n)$
$=((a+b)+c)$
אדיש לחיבור: $0$
נגדי של $a\neq 0$ : $(n-a)$ .
קומוטטיביות:
$a+b=(a+b)(mod\ n)=(b+a)(mod\ n)$
לכן, $Z_{n}$ הינה חבורה קומוטטיבית כלפי פעולת החיבור.

נראה אם $Z_{n}$ חבורה קומוטטיבית לגבי פעולת הכפל:

סגירות: $a\cdot b(mod\ p) \in Z_{p}$
אסוציאטיביות: עצמאות כמו בחיבור
אדיש לכפל: 1
הופכי? ("משבר הומאניטארי" - יוסי)
נראה כי אם $n=p$ כאשר $p$ ראשוני, אזי $Z_{p}$ שדה.
הוכחה:
נקח $a \in Z_{p}$ ונראה כי יש לו הופכי.
נכפול אותו בכל אחד מהאיברים של $Z_{p}^*$ :

(*)\begin{cases} a\cdot a_{1} \\ a\cdot a_{2} \\ \vdots \\ a\cdot a_{p-1} \end{cases}

נניח כי קיימים בקבוצת המכפלות שני איברים זהים:

a\cdot a_{i}=a\cdot a_{j}

a\cdot a_{i}=a\cdot a_{j}\; (mod\ p)

הערה

זה מודולו על כל המשוואה

a\cdot a_{i}-a\cdot a_{j}=0\ (mod\ p)

a(a_{i}-a_{j})= 0 (mod\ p)

אנו יודעים כי מכיוון שהתוצאה היא $0(mod\ p)$ אזי $p$ מחלק את $a(a_{i}-a_{j})$ .
אנו יודעים כי $p$ לא מחלק את $a$ מכיוון ש- $a \in Z_{p}^*$ ולכן $p$ מחלק את $a_{i}-a_{j}$ ולכן $a_{i}-a_{j}=0(mod\ p)$ ולכן $a_{i}\equiv a_{j}(mod\ p)$ .
זאת אומרת, בקבוצה ( $*$ ) בעלת $p$ איברים, כל האיברים שונים.
ולכן, בהכרח קיים $a_{k}\in Z_{p}^*$ כך ש-

a\cdot a_{k}=1

או כי:

a\cdot a_{k}\equiv1(mod\ p)

ולכן, במידה ו- $p$ ראשוני, הוא שדה.

נניח כעת כי $n$ פריק ונסתכל על $Z_{n}$ אזי קיימים $1<a,b<n$ כך ש-

n=a\cdot b \implies a\cdot b=0 (mod\ n)

a,b \neq 0,\qquad a\cdot b=0

כלומר, קיבלנו מחלקי 0 ולכן $Z_{n}$ איננו שדה.
‎∎
5. קומוטטיביות: $a\cdot b(mod\ n)=b\cdot a(mod\ n)$ (כמו שהוכחנו בחיבור)

הערה

דיסטריבוטיביות: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ נדרש להוכיח!

הגדרה 5 (מחלקי אפס)

האיברים $a,b$ נקראים מחלקי אפס בקבוצה $F$ עם פעולת הכפל $\cdot$
אם $a\cdot b=0$ ו- $a,b\neq 0$ .

מציאת הופכים ב- $Z_{7}$ :

1^{-1}=1

2^{-1}=4

3^{-1}=5

4^{-1}=2

5^{-1}=3

6^{-1}=6

פתרון משוואות ב- $Z_{p}$

משוואה 1:

5x+5=19\ (mod\ 13)

5x=1 (mod\ 13)

כעת אנו צריכים למצוא את ההופכי של $5$ .
נכפול ב-8:

x=8 (mod\ 13)

משוואה 2:

p(x)=x^2+x+1=0 (mod\ 11)

יש שתי דרכים:

מכיוון שזה שדה סופי, אנו יכולים להציב.
$p(0)=1,p(1)=3,p(2)=7,p(3)=2,p(4)=10,p(5)=9,$
$p(6)=10,p(7)=2,p(8)=7,p(9)=3,p(10)=1$
אין פתרון למשוואה.
נבצע את הדרך השנייה על $mod\ 7$

p(x)=x^2+x+1 (mod\ 7)

x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{ 1-4 }}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{ 4 }}{2}=\frac{-1\pm2}{2}=(-1\pm 2)\cdot 4=\cases{4\\\\2}

חבורות

הגדרה 1 (חבורה)

פעולה בינארית היא $f:G \times G\to G$ .
חבורה היא קבוצה $G$ עם פעולה בינארית $\cdot$ כך שמתקיים כך:

סגירות: לכל $a,b \in G$ מתקיים $a \cdot b \in G$
קיבוץ(אסוציאטיביות): לכל $a,b,c \in G$ מתקיים $(a \cdot b) c = a(b \cdot c)$
קיום איבר היחידה: קיים $e \in G$ כך שלכל $a \in G$ מתקיים $a \cdot e = e \cdot a = a$
קיום איבר הופכי: לכל $a \in G$ קיים $b \in G$ כך ש- $a \cdot b = b \cdot a = e$

דוגמה (כמה דוגמות)

א. $G=(\mathbb{N}, +)$
זוהי אינה חבורה שכן אין את איבר האפס(איבר נגדי)

ב. $G=(\mathbb{Z}, \cdot)$
זוהי אינה חבורה שכן אין איבר הופכי

ג. $G=(\mathbb{Z},+)$
זוהי כן חבורה.

ד. $G=(\mathbb{Q},+)$
זוהי כן חבורה

ה. $G=(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$
זוהי אכן חבורה, אך $(\mathbb{Q}, \cdot)$ אינה חבורה.

ו. $G=(\mathbb{R},+)$
זוהי חבורה.

ז. $G=(\mathbb{R}^*,\cdot)$ כאשר $\mathbb{R}^*=\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$
זוהי חבורה.

ח. $G=(\mathbb{C},+)$
זוהי חבורה.

ט. $G=(\mathbb{C}^*,\cdot)$
זוהי חבורה.

הגדרה 2 (חבורה קומוטטיבית)

חבורה G נקראת קומוטטיבית אם לכל $a,b \in G$ מתקיים $a \cdot b=b \cdot a$

דוגמה

נראה כי ג,ד,ה,ו,ז,ח,ט הן חבורות קומוטטיביות

הערה

לרחבה על נושא תורת החבורות מוזמנים ללכת לקרוא בקורס אלגברה מודרנית ח' בשנה ב', סמסטר חורף.

שדות

הגדרה 3 (שדה)

קבוצה $\mathbb{F}$ עם שתי פעולות בינאריות $+$ ו-' $\cdot$ ' נקראת שדה אם:

מתקיים $(\mathbb{F},+)$ חבורה קומוטטיבית
מתקיים $(\mathbb{F},\cdot)$ חבורה קומוטטיבית
מתקיים לכל $a,b,c \in \mathbb{F}$ : $a(b*c)=(a*b)c$
מתקיים כי איבר היחידה הכיפלי שונה מאיבר היחידה החיבורי ( $1\neq 0$ )

דוגמה (דוגמות לשדות)

\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}

תכונות של שדות

משפט

יהא $\mathbb{F}$ שדה. אזי

איבר ה-0 הוא יחיד ואיבר ה-1 הוא יחיד
יהא $a \in \mathbb{F}$ אזי האיבר הנגדי $(-a)$ הוא יחיד וההופכי $(a^{-1})$ הוא יחיד(בעבור $a\neq 0$ )
לכל $a \in \mathbb{F}$ , $a \cdot 0= 0$
לכל $a,b \in \mathbb{F}$ , $a \cdot b = 0$ ⇐ $a=0$ או $b=0$ . (בשדה אין מחלקי אפס)
לכל $a \in \mathbb{F}$ , $(-1)a=-a$
לכל $a,b,c \in \mathbb{F}$ :

a+b=a+c \iff b=c

לכל $a \in \mathbb{F}^*$ ו- $b,c \in \mathbb{F}$ מתקיים:

a \cdot b = a \cdot c \iff b=c

הערה

אפס( $0$ ) נקרא אדיש חיבורי
אחד( $1$ ) נקרא אדיש כפלי
לכלל 6 וכלל 7 נקרא חוק הצמצום

הוכחה:
א. נניח כי ב- $\mathbb{F}$ יש שני אברי '0': $0$ ו- $\hat{0}$ .
מכיוון שגם 0 וגם $\hat{0}$ אדישים לחיבור

0=\hat{0}+0=\hat{0}

וכך קיבלנו כי $\hat{0}=0$ ולכן יש רק איבר '0' אחד.
‎∎

תרגיל (שיעורי הבית - להוכיח כי יש רק אדיש כפלי אחד)

1=\hat{1}=1=\hat{1}

1=\hat{1}

הוכחה:
ב. נניח כי ל- $a \in \mathbb{F}$ יש שני נגדיים: $a_{1}$ ו- $a_{1}$ .
נכתוב:

a_{1}+(\underbrace{a+a_{2}}_{0})=a_{1}

a_{2}=(\underbrace{a_{1}+a}_{0})+a_{2}

a_{1}=a_{2}

‎∎

תרגיל (שיעורי בית - להוכיח כי יש הופכי יחיד)

a_{1}\cdot(a \cdot a_{2})=a_{1}

a_{2}\cdot(a \cdot a_{1})=a_{2}

a_{1}=a_{2}

הוכחה:
ג.

a \cdot 0=a \cdot(0+0)=a \cdot 0 + a \cdot 0

נוסיף את $-a \cdot 0$ בכל אחד מהאגפים.

-(a \cdot 0)+ a \cdot 0=-(a \cdot 0)+a \cdot 0 + a \cdot 0

\underbrace{-(a \cdot 0) + a \cdot 0}_{=\ x-x=0}=(\underbrace{-(a \cdot 0) + a \cdot 0}_{=\ x-x=0}) + a \cdot 0

0=0+a \cdot 0 \implies a \cdot 0 = 0

‎∎

הוכחה:
ד.

a \cdot b = 0

אם $a=0$ לפי סעיף קודם, $a \cdot b = 0$ .
אם $a \neq 0$ נכפול ב- $a^{-1}$ את $a \cdot b$ ונקבל $(a^{-1}\cdot a)\cdot b=0$

\implies 1 \cdot b = 0 \implies b=0

‎∎

הוכחה:
ה.

(-1)a+a=(-1 + 1)a=0\cdot a=0

(-1)a=a

‎∎

חשבון מודולארי

השדה $\mathbb{Z}_{n}$ (שדה בעל $n$ איברים)

הגדרה 4

עבור $a \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$
נכתוב

a(mod\ n)=r

אם $0\leq r<n$ וקיים $q \in \mathbb{Z}$ כל ש- $a=q \cdot n+r$ .
נקרא ל- $r$ השארית של $a$ בחילוק ב- $n$ .

דוגמה

35=11*3+2

-35=-12*3+1

35(mod\ 3)=2\qquad \qquad -35(mod\ 3)=1

כפל וחיבור בחשבון מודולארי

נניח כי אני רוצה לעשות

2134+5097\ (mod\ 5)

2134*5097\ (mod\ 5)

לכאורה צריך לחבר/לכפול אותם ואז לעשות מודולו 5 להכל.
אבל במקום זה אפשר לעשות מודולו 5 לכל אחד מהם ואז לחסר/לכפול

2134+5097\ (mod\ 5)\equiv 2134(mod\ 5)+5097(mod\ 5)\equiv 4+2\equiv 1\ (mod\ 5)

2134*5097\ (mod\ 5)\equiv 4*2\equiv 8\equiv 3 (mod\ 5)

משפט

יהיו $a,b \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$ אזי מתקיים:
1.

(a+b)(mod\ n)\equiv(a(mod\ n)+b(mod\ n))(mod\ n)

(a*b)(mod\ n)\equiv(a(mod\ n)*b(mod\ n))(mod\ n)

תרגיל

מהי ספרת האחדות של המספר: $3^{100}$

3^{100}(mod\ 10)=(3^4)^{25}(mod\ 10)\equiv 1^{25}\equiv 1

תרגיל

17*13+4^{35}\ (mod\ 3)

\equiv (2*1)+1\equiv 0(mod\ 3)

הגדרה

נגדיר את הקבוצה

Z_{n}=\{ 0,1,2,\dots,n-1 \}

ופעולות $+$ ו- $*$ על הקבוצה.
לכל $a,b \in Z_{n}$

a+b=a+b(mod\ n)

a*b=a*b(mod\ n)

שאלה: האם $Z_{n}$ שדה?
נקח את $Z_{4}$ כדי לראות:

$*$	1	2	3
1	1	2	3
2	2	0	2
3	3	2	1

ניתן לראות כי אין הופכי ל-2 ולכן $Z_{4}$ אינו שדה.
בנוסף, ניתן לראות כי יש מחלקי אפס( $2*2=0$ )

נראה כי $Z_{n}$ חבורה קומוטטיבית לגבי פעולת החיבור:

סגירות: $a+b=(a+b)mod\ n \in Z_{n}$
אסוציאטיביות: $a+(b+c)=(a+b)+c$ נוכיח כעת
$(a+(b+c))(mod\ n)=(a+(b+c)(mod\ n))(mod\ n)=$
$(a(mod\ n)+(b+c)(mod\ n))(mod\ n)=(a+(b+c))(mod\ n)$
מכיוון ש- $a,b,c$ הינם ב- $\mathbb{Z}$ שבה יש אסוציאטיביות, נוכל לסדר אותם מחדש כך:
$(a+(b+c))(mod\ n)=((a+b)+c)(mod\ n)=((a+b)(mod\ n)+c(mod\ n))(mod\ n)$
$=((a+b)+c)$
אדיש לחיבור: $0$
נגדי של $a\neq 0$ : $(n-a)$ .
קומוטטיביות:
$a+b=(a+b)(mod\ n)=(b+a)(mod\ n)$
לכן, $Z_{n}$ הינה חבורה קומוטטיבית כלפי פעולת החיבור.

נראה אם $Z_{n}$ חבורה קומוטטיבית לגבי פעולת הכפל:

סגירות: $a\cdot b(mod\ p) \in Z_{p}$
אסוציאטיביות: עצמאות כמו בחיבור
אדיש לכפל: 1
הופכי? ("משבר הומאניטארי" - יוסי)
נראה כי אם $n=p$ כאשר $p$ ראשוני, אזי $Z_{p}$ שדה.
הוכחה:
נקח $a \in Z_{p}$ ונראה כי יש לו הופכי.
נכפול אותו בכל אחד מהאיברים של $Z_{p}^*$ :

(*)\begin{cases} a\cdot a_{1} \\ a\cdot a_{2} \\ \vdots \\ a\cdot a_{p-1} \end{cases}

נניח כי קיימים בקבוצת המכפלות שני איברים זהים:

a\cdot a_{i}=a\cdot a_{j}

a\cdot a_{i}=a\cdot a_{j}\; (mod\ p)

הערה

זה מודולו על כל המשוואה

a\cdot a_{i}-a\cdot a_{j}=0\ (mod\ p)

a(a_{i}-a_{j})= 0 (mod\ p)

a\cdot a_{k}=1

או כי:

a\cdot a_{k}\equiv1(mod\ p)

ולכן, במידה ו- $p$ ראשוני, הוא שדה.

נניח כעת כי $n$ פריק ונסתכל על $Z_{n}$ אזי קיימים $1<a,b<n$ כך ש-

n=a\cdot b \implies a\cdot b=0 (mod\ n)

a,b \neq 0,\qquad a\cdot b=0

כלומר, קיבלנו מחלקי 0 ולכן $Z_{n}$ איננו שדה.
‎∎
5. קומוטטיביות: $a\cdot b(mod\ n)=b\cdot a(mod\ n)$ (כמו שהוכחנו בחיבור)

הערה

דיסטריבוטיביות: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ נדרש להוכיח!

הגדרה 5 (מחלקי אפס)

האיברים $a,b$ נקראים מחלקי אפס בקבוצה $F$ עם פעולת הכפל $\cdot$
אם $a\cdot b=0$ ו- $a,b\neq 0$ .

מציאת הופכים ב- $Z_{7}$ :

1^{-1}=1

2^{-1}=4

3^{-1}=5

4^{-1}=2

5^{-1}=3

6^{-1}=6

פתרון משוואות ב- $Z_{p}$

משוואה 1:

5x+5=19\ (mod\ 13)

5x=1 (mod\ 13)

כעת אנו צריכים למצוא את ההופכי של $5$ .
נכפול ב-8:

x=8 (mod\ 13)

משוואה 2:

p(x)=x^2+x+1=0 (mod\ 11)

יש שתי דרכים:

מכיוון שזה שדה סופי, אנו יכולים להציב.
$p(0)=1,p(1)=3,p(2)=7,p(3)=2,p(4)=10,p(5)=9,$
$p(6)=10,p(7)=2,p(8)=7,p(9)=3,p(10)=1$
אין פתרון למשוואה.
נבצע את הדרך השנייה על $mod\ 7$

p(x)=x^2+x+1 (mod\ 7)

x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{ 1-4 }}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{ 4 }}{2}=\frac{-1\pm2}{2}=(-1\pm 2)\cdot 4=\cases{4\\\\2}

1 - שדות

אלגברה אמ

שדות

1 - שדות

אלגברה אמ

שדות

חבורות

שדות

תכונות של שדות

חשבון מודולארי

כפל וחיבור בחשבון מודולארי

פתרון משוואות ב- $Z_{p}$

חבורות

שדות

תכונות של שדות

חשבון מודולארי

כפל וחיבור בחשבון מודולארי

פתרון משוואות ב- $Z_{p}$

אלגברה אמ

שדות

אלגברה אמ

שדות

חבורות

שדות

תכונות של שדות

חשבון מודולארי

כפל וחיבור בחשבון מודולארי

פתרון משוואות ב-ZpZ_{p}Zp​

חבורות

שדות

תכונות של שדות

חשבון מודולארי

כפל וחיבור בחשבון מודולארי

פתרון משוואות ב-ZpZ_{p}Zp​

פתרון משוואות ב- $Z_{p}$

פתרון משוואות ב- $Z_{p}$