הערה (היסטורית)

תורת החבורות נולדה מכך שגאוס השתעשע עם כל מיני דברים בתורת המספרים והיה סופוליס ששיחק עם כל מיני שאלות פיזיקליות והגיע לחבורות שהכפל שלהן אינו קומוטטיבי והיה את ידידינו פרסט גלואה אשר במהלך מהומות בצרפת כשהיה צעיר, משוגע ומאוהב, הוא נכלא לאור המהומות ואז בכלא הוא ניסח הרבה ממה שאנחנו מתעסקים איתו בתורת החבורות. הכיוון שלו היה משוואות פולינומיות.
לאחר שהוא שוחרר מהכלא והמציא את כל הקורס בערך הוא מת בדו קרב. (היסטוריונים לא בטוחים אם זה היה אויב פוליטי או שהאויב שלו ניסה לעשות מעשים עם החברה שלו)
אגב, גלואה מאוד לא אהב את המוסד האקדמי וזרק משהו על מישהו (ליטרלי, לרגע איבדתי אותה אז אין לי מושג למי)

הגדרה 1 (חבורה)

קבוצה $G$ עם פעולה בינארית $*$ בין איבריה ותקרא חבורה ותסומן $(G,*)$ אם היא מקיימת את התכונות:

סגירות: לכל $a,b \in G$ מתקיים $a*b\in G$ .
אסוציאטיביות: לכל $a,b,c \in G$ מתקיים $a*(b*c)=(a*b)*c$ .
קיים איבר אדיש (יחידה/ניטרלי) לפעולה: קיים $e \in G$ כך שלכל $a \in G$ מתקיים $a* e=e*a=a$ .
קיום הופכי: לכל $a \in G$ קיים הופכי שנסמנו $a^{-1}\in G$ כך ש- $a^{-1}*a=a*a^{-1}=e$ .

תכונות של חבורות ואיברים

הגדרה 2 (חבורה קומוטטיבית)

תהי $(G,*)$ חבורה.
אם לכל $a,b \in G$ מתקיים $a*b=b*a$ אזי $G$ נקראת אבלית או קומוטטיבית

הגדרה 3 (סדר החבורה)

תהי $(G,*)$ חבורה.
נסמן ב- $|G|$ את מספר האיברים ב- $G$ ונקרא לזה סדר החבורה

הערה

בעוד שבוע יהיה לנו גם סדר בין האיברים אך זה אינו סדר החבורה.

הגדרה 4 (חבורה סופית ואינסופית)

אם $|G|$ סופי, $G$ תקרא חבורה סופית. אחרת, תקרא חבורה אינסופית.

דוגמה (דוגמות ולא דוגמות)

\begin{array}{|ccc|cc|} \hline ?|G|\R{\text{מהו }} & \R{\text{האם אבלית?}} & \R{\text{האם חבורה?}} & \R{\text{פעולה}} & \R{\text{קבוצה}} \\ \hline \infty & {\color{green}\checkmark} & \begin{matrix} e=0 & \R{\text{האדיש:}} \\ -a\R{\text{הנגדי }} & \R{\text{ההופכי:}} \end{matrix}\R{\text{כן: }} & +\;\;\R{\text{חיבור שלמים}} & \mathbb{Z} \\ \hline - & - & \R{\text{לא, כי אין הופכי}} & \cdot\R{\text{כפל שלמים }} & \mathbb{Z} \\ \hline - & - & \begin{matrix} \R{\text{לא, כי אסוציאטיביות לא מתקיימת}} \\ (2-5)-3\neq 2-(5-3) \end{matrix} & -\R{\text{חיסור שלמים }} & \mathbb{Z} \\ \hline |\mathbb{F}|\R{\text{לפי }} & {\color{green}\checkmark} & \begin{matrix} \R{\text{ וההפכי של }}0_{\mathbb{F}}\R{\text{כן, האדיש הוא }} \\ -a\;\R{\text{ הוא הנגדי}}a \in \mathbb{F} \end{matrix} & + \R{\text{חיבור באותו שדה }} & \mathbb{F}=\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C} \\ \hline |\mathbb{F}|-1 & {\color{green}\checkmark} & \begin{matrix} e=1_{\mathbb{F}}\R{\text{כן, האדיש הוא }} \\ a^{-1}\R{\text{ הוא }}a \in \mathbb{F}\R{\text{ההופכי של }} \end{matrix} & \R{\text{ של השדה}}\cdot & \mathbb{F}\setminus \left\{ 0 \right\} \\ \hline 2 & {\color{green}\checkmark} & \begin{matrix} \R{\text{כן, האדיש הוא 1}} \\ \R{\text{(ההופכי - תרגיל)}} \end{matrix} & \R{\text{כפל}}\;\cdot & \mu_{2}=\left\{ \pm1 \right\} \\ \hline n & {\color{green}\checkmark} & \R{\text{כן, האדיש הוא 1}} & \R{\text{כפל מרוכבים}} & \mu_{n}=\left\{ z \in \mathbb{C}\mid z^n=1 \right\} \\ \hline n & {\color{green}\checkmark} & \begin{matrix} \R{\text{כן, האדיש: 0, ההופכי של}} \\ (n-a)\pmod{n}\R{\text{ הוא }}a \in \mathbb{Z}_{n} \end{matrix} & +\pmod{n} & \mathbb{Z}_{n}=\left\{ 0,1,\dots,n-1 \right\} \\ \hline ? & {\color{red}\textup{X}} & {\color{green}\checkmark} & \!\!\!\!\!\R{\text{כפל מטריצות}} & \begin{matrix} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\texttt{GL}_{n}(\mathbb{F})=\left\{ A \in \mathbb{F}^{n\times n}\mid |A|\neq 0 \right\} \\ \R{\text{חבורת המטריצות ההפיכות}} \end{matrix} \\ \hline \end{array}

הערה

באופן כללי, מ"ו עם חיבור וקטורים $(V,+)$ הוא חבורה קומוטטיבית כאשר האדיש הוא וקטור האפס.
בפרט, $\mathbb{F}^{m\times n}$ עם חיבור מטריצות הוא חבורה אבלית.

דוגמה (מיוחדת)

U_{n}=\mathbb{Z}_{n}^\star=\left\{ a \in \mathbb{Z}_{n}\mid (a,n)=1 \right\}

נשים לב כי $(U_{n},{\LARGE\cdot} \pmod{n})$ היא תמיד חבורה ונקראת חבורת אויילר.

דוגמה (מקרה פרטי)

U_{8}=\left\{ 1,3,5,7 \right\}

הוכחה:
סגירות: אם $a,b$ זרים ל- $n$ אז $a\cdot b$ זר ל- $n$ .
אסוציאטיביות: קיימת, לא נוכיח כרגע
אדיש: $1$ תמיד מקיים $(1,n)=1$ ולכן $a\cdot 1=1\cdot a=a$ .
ההופכי של $\mathit{a \in U_{n}}$ : ראינו קודם שאם $(a,n)=1$ אז קיים פתרון $x \in U_{n}$ למשוואה $ax\equiv_{n}1$ . כלומר, $a^{-1}=x$ .
∎

נרצה כעת לשאול מהו הסדר של $U_{n}$ ? בתרגול נראה בדיוק מהו ונוכיח אותו, אך כעת רק ניתן לו סימון:

|U_{n}|=\left| \left\{ a \in \mathbb{Z}_{n}\mid (a,n)=1 \right\} \right|=n\R{\text{מספר האיברים שזרים ל-}}=\varphi(n)

ל- $\varphi(n)$ קוראים פונקציית אויילר.

למשל, ראינו כי $\varphi(8)=4,\varphi(7)=6$ ו- $\varphi(p)=p-1$ כאשר $p$ ראשוני.

דוגמה (חבורות סימטריות)

תהי $X$ קבוצה ונביט על $S_{x}=\left\{ \R{\text{פונקציה}}\; f:X\to X \mid \R{\text{ חח"ע ועל}}f \right\}$ .
הקבוצה $S_{x}$ עם הרכבת פונקציות, היא חבורה לא אבלית (האדיש: פונקציית הזהות $id$ )
⟸ בהמשך נדבר עליה יותר

הערה

זו החבורה שגלואה התעסק איתה לפני שבכלל היה מושג החבורות.

משפט (תכונות של חבורות)

תהי $(G,*)$ חבורה ונסמן $a^n=\underbrace{a*\dots*a}_{\R{\text{ פעמים}}n}$ אזי:

האיבר האדיש $e$ הוא יחיד.
ההופכי $a^{-1}$ של $a \in G$ יחיד.
יהיו $a,b \in G$ אזי: $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$
יהי $a \in G$ . אזי $(a^{-1})^{-1}=a$ .
יהי $a \in G$ ו- $n \in \mathbb{N}$ . אזי, $a^{-n}=(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}$ כאשר $a^0=e$ .
יהי $a \in G$ ויהיו $n,m \in \mathbb{Z}$ . אזי: $a^{n+m}=a^na^m$ וגם $(a^n)^m=a^{nm}$ .
חוק הצמצום: אם $a*b=a*c$ או $b*a=c*a$ אזי $b=c$ .

הוכחה (1):
נניח כי קיימים $e,g \in G$ כך ש- $e \neq g$ ושניהם האיבר האדיש. אזי: $g=e*g=e$ ולכן $g=e$ .
∎

הוכחה (3):

(a*b)^{-1}*(b^{-1}*a^{-1}) \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{אסוציאטיביות}} \end{matrix}}{=}a*(b*b^{-1})*a^{-1} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{אסוצ'}} \end{matrix}}{=} a*e*a^{-1}=a*a^{-1}=e

בדומה עבור $b^{-1}a^{-1}(ab)^{-1}=e$ ולכן, לפי הגדרה, $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ .
∎

הוכחה של (7) תהיה ע"י הכפלה בהופכי של $a$ .

הגדרה 5 (לוח הכפל)

עבור חבורה $(G,*)$ ניתן לכתוב "לוח כפל" (לוח $*$ ) של החבורה שמתאר את פעולת ה- $*$ בין איבריה.

\begin{array}{cc} & \begin{array}{cccc} e & g_{1} & g_{2} & \dots \end{array} \\ \begin{array}{c} e \\ g_{1} \\ g_{2} \\ \vdots \end{array} & \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\ \hline \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\ \hline \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\ \hline \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\ \hline \end{array} \end{array}

הערה

אם $G$ אינסופית אז הטבלה אינסופית
אם $G$ אבלית אז הטבלה סימטרית.

דוגמה

עבור $\mu_{2}=\left\{ \pm 1 \right\}$ וכפל מתקיים:

\begin{array}{cc} \cdot & \begin{array}{cccc} 1 & -1 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} & \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & -1 \\ \hline -1 & 1 \\ \hline \end{array} \end{array}

עבור $\mathbb{Z}_{2}=\left\{ 0,1 \right\}$ וחיבור מודולו 2:

\begin{array}{cc} +& \begin{array}{cccc} 0 & 1 \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} & \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 \\ \hline \end{array} \end{array}

נשים לב כי זה בעצם אותו הלוח רק עם סימנים שונים, בעתיד נקרא לדברים אלו איזומורפים.

מסקנה (חוק הסודוקי)

אם $(G,*)$ חבורה, אז בלוח הכפל שלה, בכל שורה ובכל עמודה, כל איבר מופיע בדיוק פעם אחת.

הוכחה:
נביט על שורה מסויימת של איבר $g \in G$ . יהי $a \in G$ ונראה כי $a$ מתקבל בשורה של $g$ .
נסמן $h=g^{-1}*a\in G$ מהגדרת חבורה ואז:

g*h=g*(g^{-1}*a)\underset{\begin{matrix}\downarrow \\ \R{\text{אסוצ'}}\end{matrix}}{=}(g*g^{-1})*a=e*a=a

כעת נראה כי כל איבר מתקבל בדיוק פעם אחת בשורה של $g$ : נניח ש- $a \in G$ התקבל פעמיים, כלומר יש $b \neq c \in G$ כך ש:

g*b=a=g*c

לכן, לפי חוק הצמצום, $b=c$ בסתירה לכך ש- $b\neq c$ . לכן, כל $a \in G$ מתקבל פעם אחת בדיוק בשורה של $g$ לכל $g \in G$ .

באופן דומה עבור עמודה.
∎

דוגמה

נרצה למצוא מהן כל החבורות מסדר 3. (עד כדי שינוי שמות האיברים)
לשם כך, נבדוק כמה לוחות כפל שונים ניתן לבנות. נסמן: $G=\left\{ e,a,b \right\}$ כאשר $e$ האיבר האדיש.

\begin{array}{cc} * & \begin{array}{cccc} e & a & b \end{array} \\ \begin{array}{c} e \\ a \\ b \end{array} & \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline e & a & b \\ \hline a & b & e \\ \hline b & e & a \\ \hline \end{array} \end{array}

קיבלנו בעצם כי מסדר שלוש יש רק לוח אפשרי אחד ובעצם $G=\left\{ e,a,a*a \right\}$ ומתקיים $a^3=e$ .
נשים לב כי גם כל חבורה מסדר 3 היא קומוטטיבית (אבלית) כי הטבלה סימטרית.

מימושים של לוח הכפל הזה יכולים להיות $(\mathbb{Z}_{3},+\mod{3})$ או $\mu_{3}=\left\{ 1,\omega,\omega^2 \right\}$ .

סדרים של איברים

הגדרה 6 (סדר איבר בחבורה)

תהי $(G,*)$ חבורה ויהי $a \in G$ .
הסדר של $a$ שנסמנו ${o(a)}$ הוא המספר השלם, החיובי, הקטן ביותר $n$ כך ש- $a^n=\underbrace{a*a*\dots*a}_{\R{\text{ פעמים}}n}=e$ .
אם לא קיים כזה, נאמר שהסדר של $a$ הוא $\infty$ .

דוגמה

בכל חבורה $G$ מתקיים $o(e)=1$ שכן $e^1=e$ וכי $1$ מינימלי ובפרט, ב- $(\mathbb{Z},+)$ מתקיים $o(0)=1$ .
יתר על כן, האדיש הוא היחיד מסדר 1 בחבורה.
החבורה $(\mathbb{Z},+)$ הינה חבורה אינסופית בה כל איבריה פרט לאדיש הם מסדר $\infty$ -י: אם $0 \neq a \in \mathbb{Z}$ אז: $a^k=a+a+\dots+a\neq 0\;\;\forall k$ ולכן $o(a)=\infty$ .
עבור $(\mathbb{C}^x,\R{\text{כפל מרוכבים}})$ חבורה אינסופית (נשים לב כי $\mathbb{C}^x=\mathbb{C} \setminus \left\{ 0 \right\}$ ) בה יש איברים (פרט לאדיש $e=1$ ) מסדר סופי ויש מסדר אינסופי. לדוגמה: $o=(i)=4$ שכן $i^1\neq 1,i^2=-1\neq 1,i^3=-i\neq1,i^4=1$ ו- $o(-1)=2$ שכן $(-1)^1=-1,(-1)^2=1$ ו- $o(2)=\infty$ כי $2^k\neq 1$ לכל $k \in \mathbb{N}$ .

תרגיל (מבחינה)

האם יש חבורה $\infty$ -ית כך שכל האיברים שלה הם מסדר סופי?

בהחלט קיימת חבורה שכזאתי. נסמן $\mu$ חבורת שורשי יחידה והיא מוגדרת כך: $\displaystyle \mu=\left\{ z\in \mathbb{C}\smid \exists n\in \mathbb{N}^+:\;z^n=1 \right\}$ או במילים אחרות: $\displaystyle\mu=\bigcup_{n=1}^\infty \mu_{n}$ . אזי $|\mu|=\infty$ וכל איבר בה הוא מסדר סופי.

דוגמה

נסתכל על החבורה $\left(\mathbb{Z}_{6},+\mod{6}\right)$ .

1^1=1\neq 0,\; 1^2=1+1=2\neq 0,\; \dots\;, 1^6\equiv_{6}0 \implies o(1)=6

2^1=2\neq 0,\; 2^2=2+2=4\neq 0,\; 2^3=6\equiv_{6}0\implies o(2)=3

דוגמה (האם עבור שני איברים מסדר סופי

a,b \in G

מתקיים כי גם

o(ab)

סופי?)

נסתכל על $GL_{2}(\mathbb{R})$ (חבורת המטריצות $2\times2$ הפיכות עם כפל מטריצות) ונקח:

A=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \qquad B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

וודאו כי $o(B)=4$ וודאו כי $o(A)=3$ .

C=AB=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

נשים לב כי:

\forall k \in \mathbb{N}^+:\;\; C^k=\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\neq I \implies o(C)=\infty

אך לא להיות עצובים, שכן ההתנהגות המופרעת הזו לא תהיה בחבורות קומוטטיביות. (יהיה את זה גם בתרגיל בית)

טענה

תהי $(G,*)$ חבורה ויהי $g \in G$ . אזי:
א. $o(g^{-1})=o(g)$ .
ב. $o(g) \mid k\iff g^k=e$ .
ג. אם $o(g)=n$ אז $o(g^k)=\frac{n}{(k,n)}$ .
ד. אם $|G|=n\in \mathbb{N}$ אז לכל $g\in G$ מתקיים $o(g)\leq n$ .
ה. אם $a,b \in G$ בעלי סדר סופי ו- $ab=ba$ אז $o(ab)\mid o(a)\cdot o(b)$ ובפרט סופי.

תרגיל

הוכיחו את א ו-ה (ה יופיע גם בתרגיל בית)

הוכחת 2: נסמן $n=o(g)$ .
$:\implies$ נתון כי $n \mid k$ . כלומר, קיים $m \in \mathbb{Z}$ כך ש- $k=nm$ .

g^k=g^{nm}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חוקי חזקה בחבורה}} \end{matrix}}{=}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(g^n)^m\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ g^n=e \end{matrix}}{=}e^m \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{תכונות האדיש}} \end{matrix}}{=}e

$:\impliedby$ נתון ש- $g^k=e$ . נבצע חלוקה עם שארית $k=q\cdot n+r$ כאשר $q,r \in \mathbb{Z}$ ו- $0\leq r< n$ .

אם $r=0$ אז סיימנו.
אם $r\neq 0$ אז $0<r<n$ . נראה כי $g^r=e$ וזו תהיה סתירה למינימליות $n=o(g)$ .
$g^r=g^{k-qn} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חוקי חזקה}} \\ \R{\text{בחבורה}} \end{matrix}}{=}(g^k)(g^{n})^{-q}=ee^{-q}=ee=e$
הגענו לסתירה ולכן $r=0$ .

לכן, $k=qn+0=qn$ ולכן, לפי הגדרה, $n \mid k$ .
∎

הוכחת 3:
ראשית:

(g^k)^{\frac{n}{(n,k)}}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חוקי חזקה}} \end{matrix}}{=}(g^n)^{\frac{k}{(k,n)}}=e^{\frac{k}{(k,n)}}=e

שנית, נראה שאם $(g^k)^t=e$ אז $\frac{n}{(k,n)}\mid t$ (זה יוכיח ש- $\frac{n}{(n,k)}$ מינימלי עבור $*$ )
נתון $g^{kt}=e$ ולכן, לפי ב', $kt$ כפולה של $o(g)=n$ ולכן, קיים $m \in \mathbb{Z}$ כך ש- $kt=mn$ . נחלק את שני הצדדים ב- $(n,k)$ שהוא בטוח מחלק שכן הוא מחלק את $k$ ואת $n$ ואז: $\frac{k}{(k,n)}t=m \frac{n}{(k,n)}$ ובכך $\frac{n}{(k,n)}\mid \frac{k}{(k,n)} t$ .

תרגיל

וודאו פורמלית ש- $\left(\frac{k}{(k,n)}, \frac{n}{(k,n)}\right)=1$ וכן וודאו שאם $a \mid bc$ ו- $(a,b)=1$ אז $a \mid c$ . (ראו גליון 1 ותרגול 2)

נקבל אצלנו כי $\frac{n}{(k,n)} \mid t$ .
∎

הוכחת 5:
נתון כי $ab=ba$ ולכן, לכל $k \in \mathbb{N}^+$ מתקיים: $(ab)^k=abab\cdots ab=a\cdots ab\cdots b=a^kb^k$ .
נסמן $o(a)=n,o(b)=m$ . נתון כי $m,n \in \mathbb{\mathbb{N}}^+$ . לפי משפט, קיים $\ell \in \mathbb{Z}$ כך ש- $\ell=[m,n]$ . אזי:

(ab)^\ell \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{משפט}} \end{matrix}}{=}(ab)^{\frac{mn}{(m,n)}}=a^{\frac{mn}{(m,n)}}b^{\frac{mn}{(m,n)}} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חוקי חזקה}} \end{matrix}}{=}(a^n)^{\frac{m}{(n,m)}}(b^m)^{\frac{n}{(m,n)}} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{הגדרת אדיש}} \end{matrix}}{=}e^{\frac{m}{(n,m)}}e^{\frac{n}{(m,n)}}=e

לכן, לפי משפט, $o(ab)\mid \ell=[m,n]$ . לפי הגדרת כמק"ב $\ell \mid n=o(a)$ ו- $\ell \mid m=o(b)$ ולכן $o(ab)\mid o(a)$ וגם $o(ab)\mid o(b)$ .
לכן, לפי ליניאריות החלוקה $o(ab)\mid o(a)\cdot o(b)$ ובפרט $o(ab)$ סופי.
∎

דוגמה

ב- $(\mathbb{Z}_{n},+\mod{n})$ מתקיים ש- $o(1)=n$ (ההוכחה ב-brut force) מתוך זה אנחנו יכולים לדעת את הסדר של כל איבר.
יהי $0\neq k \in \mathbb{Z}_{n}$ .

o(k)=o(1^{k}) \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{ג}} \end{matrix}}{=} \frac{n}{(k,n)}

ולכן, הסדר יהיה בדיוק $n$ אם ורק אם $(k,n)=1$ . נזכיר כי יש בדיוק $\varphi(n)$ איברים שכאלו.

תת חבורות

הגדרה 7 (תת חבורה)

תהי $(G,*)$ חבורה ותהי $H \subseteq G$ תת קבוצה.
נאמר כי $(H,*)$ תת חבורה (ת"ח) ונסמן $H\leq G$ אם $H$ עם אותה פעולה היא חבורה בפני עצמה.

משפט

תהי $(G,*)$ חבורה ו- $H \subseteq G$ . אזי:

\begin{align*} H\neq \emptyset\;\;.1 & \iff \R{\text{ת"ח}}\;H \leq G \\ \forall a,b \in H:\; a*b \in H\;\R{\text{סגורה:}}\;\; .2 \\ \forall a \in H:\; a^{-1}\in H\;\R{\text{סגורה להופכי:}}\;\;.3 \end{align*}

ההוכחה בתת מרחב :)

הערה (היסטורית)

הגדרה 1 (חבורה)

קבוצה $G$ עם פעולה בינארית $*$ בין איבריה ותקרא חבורה ותסומן $(G,*)$ אם היא מקיימת את התכונות:

סגירות: לכל $a,b \in G$ מתקיים $a*b\in G$ .
אסוציאטיביות: לכל $a,b,c \in G$ מתקיים $a*(b*c)=(a*b)*c$ .
קיים איבר אדיש (יחידה/ניטרלי) לפעולה: קיים $e \in G$ כך שלכל $a \in G$ מתקיים $a* e=e*a=a$ .
קיום הופכי: לכל $a \in G$ קיים הופכי שנסמנו $a^{-1}\in G$ כך ש- $a^{-1}*a=a*a^{-1}=e$ .

תכונות של חבורות ואיברים

הגדרה 2 (חבורה קומוטטיבית)

תהי $(G,*)$ חבורה.
אם לכל $a,b \in G$ מתקיים $a*b=b*a$ אזי $G$ נקראת אבלית או קומוטטיבית

הגדרה 3 (סדר החבורה)

תהי $(G,*)$ חבורה.
נסמן ב- $|G|$ את מספר האיברים ב- $G$ ונקרא לזה סדר החבורה

הערה

בעוד שבוע יהיה לנו גם סדר בין האיברים אך זה אינו סדר החבורה.

הגדרה 4 (חבורה סופית ואינסופית)

אם $|G|$ סופי, $G$ תקרא חבורה סופית. אחרת, תקרא חבורה אינסופית.

דוגמה (דוגמות ולא דוגמות)

\begin{array}{|ccc|cc|} \hline ?|G|\R{\text{מהו }} & \R{\text{האם אבלית?}} & \R{\text{האם חבורה?}} & \R{\text{פעולה}} & \R{\text{קבוצה}} \\ \hline \infty & {\color{green}\checkmark} & \begin{matrix} e=0 & \R{\text{האדיש:}} \\ -a\R{\text{הנגדי }} & \R{\text{ההופכי:}} \end{matrix}\R{\text{כן: }} & +\;\;\R{\text{חיבור שלמים}} & \mathbb{Z} \\ \hline - & - & \R{\text{לא, כי אין הופכי}} & \cdot\R{\text{כפל שלמים }} & \mathbb{Z} \\ \hline - & - & \begin{matrix} \R{\text{לא, כי אסוציאטיביות לא מתקיימת}} \\ (2-5)-3\neq 2-(5-3) \end{matrix} & -\R{\text{חיסור שלמים }} & \mathbb{Z} \\ \hline |\mathbb{F}|\R{\text{לפי }} & {\color{green}\checkmark} & \begin{matrix} \R{\text{ וההפכי של }}0_{\mathbb{F}}\R{\text{כן, האדיש הוא }} \\ -a\;\R{\text{ הוא הנגדי}}a \in \mathbb{F} \end{matrix} & + \R{\text{חיבור באותו שדה }} & \mathbb{F}=\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C} \\ \hline |\mathbb{F}|-1 & {\color{green}\checkmark} & \begin{matrix} e=1_{\mathbb{F}}\R{\text{כן, האדיש הוא }} \\ a^{-1}\R{\text{ הוא }}a \in \mathbb{F}\R{\text{ההופכי של }} \end{matrix} & \R{\text{ של השדה}}\cdot & \mathbb{F}\setminus \left\{ 0 \right\} \\ \hline 2 & {\color{green}\checkmark} & \begin{matrix} \R{\text{כן, האדיש הוא 1}} \\ \R{\text{(ההופכי - תרגיל)}} \end{matrix} & \R{\text{כפל}}\;\cdot & \mu_{2}=\left\{ \pm1 \right\} \\ \hline n & {\color{green}\checkmark} & \R{\text{כן, האדיש הוא 1}} & \R{\text{כפל מרוכבים}} & \mu_{n}=\left\{ z \in \mathbb{C}\mid z^n=1 \right\} \\ \hline n & {\color{green}\checkmark} & \begin{matrix} \R{\text{כן, האדיש: 0, ההופכי של}} \\ (n-a)\pmod{n}\R{\text{ הוא }}a \in \mathbb{Z}_{n} \end{matrix} & +\pmod{n} & \mathbb{Z}_{n}=\left\{ 0,1,\dots,n-1 \right\} \\ \hline ? & {\color{red}\textup{X}} & {\color{green}\checkmark} & \!\!\!\!\!\R{\text{כפל מטריצות}} & \begin{matrix} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\texttt{GL}_{n}(\mathbb{F})=\left\{ A \in \mathbb{F}^{n\times n}\mid |A|\neq 0 \right\} \\ \R{\text{חבורת המטריצות ההפיכות}} \end{matrix} \\ \hline \end{array}

הערה

דוגמה (מיוחדת)

U_{n}=\mathbb{Z}_{n}^\star=\left\{ a \in \mathbb{Z}_{n}\mid (a,n)=1 \right\}

נשים לב כי $(U_{n},{\LARGE\cdot} \pmod{n})$ היא תמיד חבורה ונקראת חבורת אויילר.

דוגמה (מקרה פרטי)

U_{8}=\left\{ 1,3,5,7 \right\}

נרצה כעת לשאול מהו הסדר של $U_{n}$ ? בתרגול נראה בדיוק מהו ונוכיח אותו, אך כעת רק ניתן לו סימון:

|U_{n}|=\left| \left\{ a \in \mathbb{Z}_{n}\mid (a,n)=1 \right\} \right|=n\R{\text{מספר האיברים שזרים ל-}}=\varphi(n)

ל- $\varphi(n)$ קוראים פונקציית אויילר.

למשל, ראינו כי $\varphi(8)=4,\varphi(7)=6$ ו- $\varphi(p)=p-1$ כאשר $p$ ראשוני.

דוגמה (חבורות סימטריות)

הערה

זו החבורה שגלואה התעסק איתה לפני שבכלל היה מושג החבורות.

משפט (תכונות של חבורות)

תהי $(G,*)$ חבורה ונסמן $a^n=\underbrace{a*\dots*a}_{\R{\text{ פעמים}}n}$ אזי:

האיבר האדיש $e$ הוא יחיד.
ההופכי $a^{-1}$ של $a \in G$ יחיד.
יהיו $a,b \in G$ אזי: $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$
יהי $a \in G$ . אזי $(a^{-1})^{-1}=a$ .
יהי $a \in G$ ו- $n \in \mathbb{N}$ . אזי, $a^{-n}=(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}$ כאשר $a^0=e$ .
יהי $a \in G$ ויהיו $n,m \in \mathbb{Z}$ . אזי: $a^{n+m}=a^na^m$ וגם $(a^n)^m=a^{nm}$ .
חוק הצמצום: אם $a*b=a*c$ או $b*a=c*a$ אזי $b=c$ .

הוכחה (1):
נניח כי קיימים $e,g \in G$ כך ש- $e \neq g$ ושניהם האיבר האדיש. אזי: $g=e*g=e$ ולכן $g=e$ .
∎

הוכחה (3):

(a*b)^{-1}*(b^{-1}*a^{-1}) \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{אסוציאטיביות}} \end{matrix}}{=}a*(b*b^{-1})*a^{-1} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{אסוצ'}} \end{matrix}}{=} a*e*a^{-1}=a*a^{-1}=e

בדומה עבור $b^{-1}a^{-1}(ab)^{-1}=e$ ולכן, לפי הגדרה, $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ .
∎

הוכחה של (7) תהיה ע"י הכפלה בהופכי של $a$ .

הגדרה 5 (לוח הכפל)

עבור חבורה $(G,*)$ ניתן לכתוב "לוח כפל" (לוח $*$ ) של החבורה שמתאר את פעולת ה- $*$ בין איבריה.

\begin{array}{cc} & \begin{array}{cccc} e & g_{1} & g_{2} & \dots \end{array} \\ \begin{array}{c} e \\ g_{1} \\ g_{2} \\ \vdots \end{array} & \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\ \hline \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\ \hline \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\ \hline \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\ \hline \end{array} \end{array}

הערה

אם $G$ אינסופית אז הטבלה אינסופית
אם $G$ אבלית אז הטבלה סימטרית.

דוגמה

עבור $\mu_{2}=\left\{ \pm 1 \right\}$ וכפל מתקיים:

\begin{array}{cc} \cdot & \begin{array}{cccc} 1 & -1 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} & \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & -1 \\ \hline -1 & 1 \\ \hline \end{array} \end{array}

עבור $\mathbb{Z}_{2}=\left\{ 0,1 \right\}$ וחיבור מודולו 2:

\begin{array}{cc} +& \begin{array}{cccc} 0 & 1 \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} & \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 \\ \hline \end{array} \end{array}

נשים לב כי זה בעצם אותו הלוח רק עם סימנים שונים, בעתיד נקרא לדברים אלו איזומורפים.

מסקנה (חוק הסודוקי)

אם $(G,*)$ חבורה, אז בלוח הכפל שלה, בכל שורה ובכל עמודה, כל איבר מופיע בדיוק פעם אחת.

g*h=g*(g^{-1}*a)\underset{\begin{matrix}\downarrow \\ \R{\text{אסוצ'}}\end{matrix}}{=}(g*g^{-1})*a=e*a=a

כעת נראה כי כל איבר מתקבל בדיוק פעם אחת בשורה של $g$ : נניח ש- $a \in G$ התקבל פעמיים, כלומר יש $b \neq c \in G$ כך ש:

g*b=a=g*c

לכן, לפי חוק הצמצום, $b=c$ בסתירה לכך ש- $b\neq c$ . לכן, כל $a \in G$ מתקבל פעם אחת בדיוק בשורה של $g$ לכל $g \in G$ .

באופן דומה עבור עמודה.
∎

דוגמה

\begin{array}{cc} * & \begin{array}{cccc} e & a & b \end{array} \\ \begin{array}{c} e \\ a \\ b \end{array} & \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline e & a & b \\ \hline a & b & e \\ \hline b & e & a \\ \hline \end{array} \end{array}

מימושים של לוח הכפל הזה יכולים להיות $(\mathbb{Z}_{3},+\mod{3})$ או $\mu_{3}=\left\{ 1,\omega,\omega^2 \right\}$ .

סדרים של איברים

הגדרה 6 (סדר איבר בחבורה)

דוגמה

בכל חבורה $G$ מתקיים $o(e)=1$ שכן $e^1=e$ וכי $1$ מינימלי ובפרט, ב- $(\mathbb{Z},+)$ מתקיים $o(0)=1$ .
יתר על כן, האדיש הוא היחיד מסדר 1 בחבורה.
החבורה $(\mathbb{Z},+)$ הינה חבורה אינסופית בה כל איבריה פרט לאדיש הם מסדר $\infty$ -י: אם $0 \neq a \in \mathbb{Z}$ אז: $a^k=a+a+\dots+a\neq 0\;\;\forall k$ ולכן $o(a)=\infty$ .
עבור $(\mathbb{C}^x,\R{\text{כפל מרוכבים}})$ חבורה אינסופית (נשים לב כי $\mathbb{C}^x=\mathbb{C} \setminus \left\{ 0 \right\}$ ) בה יש איברים (פרט לאדיש $e=1$ ) מסדר סופי ויש מסדר אינסופי. לדוגמה: $o=(i)=4$ שכן $i^1\neq 1,i^2=-1\neq 1,i^3=-i\neq1,i^4=1$ ו- $o(-1)=2$ שכן $(-1)^1=-1,(-1)^2=1$ ו- $o(2)=\infty$ כי $2^k\neq 1$ לכל $k \in \mathbb{N}$ .

תרגיל (מבחינה)

האם יש חבורה $\infty$ -ית כך שכל האיברים שלה הם מסדר סופי?

דוגמה

נסתכל על החבורה $\left(\mathbb{Z}_{6},+\mod{6}\right)$ .

1^1=1\neq 0,\; 1^2=1+1=2\neq 0,\; \dots\;, 1^6\equiv_{6}0 \implies o(1)=6

2^1=2\neq 0,\; 2^2=2+2=4\neq 0,\; 2^3=6\equiv_{6}0\implies o(2)=3

דוגמה (האם עבור שני איברים מסדר סופי

a,b \in G

מתקיים כי גם

o(ab)

סופי?)

נסתכל על $GL_{2}(\mathbb{R})$ (חבורת המטריצות $2\times2$ הפיכות עם כפל מטריצות) ונקח:

A=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \qquad B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

וודאו כי $o(B)=4$ וודאו כי $o(A)=3$ .

C=AB=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

נשים לב כי:

\forall k \in \mathbb{N}^+:\;\; C^k=\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\neq I \implies o(C)=\infty

אך לא להיות עצובים, שכן ההתנהגות המופרעת הזו לא תהיה בחבורות קומוטטיביות. (יהיה את זה גם בתרגיל בית)

טענה

תרגיל

הוכיחו את א ו-ה (ה יופיע גם בתרגיל בית)

הוכחת 2: נסמן $n=o(g)$ .
$:\implies$ נתון כי $n \mid k$ . כלומר, קיים $m \in \mathbb{Z}$ כך ש- $k=nm$ .

g^k=g^{nm}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חוקי חזקה בחבורה}} \end{matrix}}{=}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(g^n)^m\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ g^n=e \end{matrix}}{=}e^m \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{תכונות האדיש}} \end{matrix}}{=}e

$:\impliedby$ נתון ש- $g^k=e$ . נבצע חלוקה עם שארית $k=q\cdot n+r$ כאשר $q,r \in \mathbb{Z}$ ו- $0\leq r< n$ .

אם $r=0$ אז סיימנו.
אם $r\neq 0$ אז $0<r<n$ . נראה כי $g^r=e$ וזו תהיה סתירה למינימליות $n=o(g)$ .
$g^r=g^{k-qn} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חוקי חזקה}} \\ \R{\text{בחבורה}} \end{matrix}}{=}(g^k)(g^{n})^{-q}=ee^{-q}=ee=e$
הגענו לסתירה ולכן $r=0$ .

לכן, $k=qn+0=qn$ ולכן, לפי הגדרה, $n \mid k$ .
∎

הוכחת 3:
ראשית:

(g^k)^{\frac{n}{(n,k)}}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חוקי חזקה}} \end{matrix}}{=}(g^n)^{\frac{k}{(k,n)}}=e^{\frac{k}{(k,n)}}=e

תרגיל

וודאו פורמלית ש- $\left(\frac{k}{(k,n)}, \frac{n}{(k,n)}\right)=1$ וכן וודאו שאם $a \mid bc$ ו- $(a,b)=1$ אז $a \mid c$ . (ראו גליון 1 ותרגול 2)

נקבל אצלנו כי $\frac{n}{(k,n)} \mid t$ .
∎

(ab)^\ell \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{משפט}} \end{matrix}}{=}(ab)^{\frac{mn}{(m,n)}}=a^{\frac{mn}{(m,n)}}b^{\frac{mn}{(m,n)}} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חוקי חזקה}} \end{matrix}}{=}(a^n)^{\frac{m}{(n,m)}}(b^m)^{\frac{n}{(m,n)}} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{הגדרת אדיש}} \end{matrix}}{=}e^{\frac{m}{(n,m)}}e^{\frac{n}{(m,n)}}=e

דוגמה

o(k)=o(1^{k}) \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{ג}} \end{matrix}}{=} \frac{n}{(k,n)}

ולכן, הסדר יהיה בדיוק $n$ אם ורק אם $(k,n)=1$ . נזכיר כי יש בדיוק $\varphi(n)$ איברים שכאלו.

תת חבורות

הגדרה 7 (תת חבורה)

משפט

תהי $(G,*)$ חבורה ו- $H \subseteq G$ . אזי:

\begin{align*} H\neq \emptyset\;\;.1 & \iff \R{\text{ת"ח}}\;H \leq G \\ \forall a,b \in H:\; a*b \in H\;\R{\text{סגורה:}}\;\; .2 \\ \forall a \in H:\; a^{-1}\in H\;\R{\text{סגורה להופכי:}}\;\;.3 \end{align*}

ההוכחה בתת מרחב :)

2 - תורת החבורות

אלגברה מודרנית ח'

תורת החבורות

2 - תורת החבורות

אלגברה מודרנית ח'

תורת החבורות

תכונות של חבורות ואיברים

סדרים של איברים

תת חבורות

תכונות של חבורות ואיברים

סדרים של איברים

תת חבורות