• בהטלת קוביה הוגנת אפשר לבחור $\Omega=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$. להגיד שהקוביה הוגנת אומר שלכל אחת מהאפשרויות יש את אותו הסיכוי. (אם נותנים קוביה לא הוגנת צריך להגיד מהי ההסתברות של כל אחת מהתוצאות)
  שאלות שניתן לשאול:
  • בהטלת קוביה הוגנת, מהי ההסתברות שיצא $3$? היא $P(\left\{ 3 \right\})=\frac{1}{6}=\frac{|\left\{ 3 \right\}|}{|\Omega|}$.
  • מהי ההסתברות שיצא מספר ראשוני? $P(\left\{ 2,3,5 \right\})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
• בהטלת שתי קוביות הוגנות אחת אחרי השנייה נקבל $\Omega=\left\{ (a_{1},a_{2}) \mid a_{1},a_{2}\in \left\{ 1,\dots,6 \right\} \right\}$. מכיוון שזה בסדר מסויים זה זוג סדור. (הערה: אם זה לא משנה הסדר ההסתברות עבור חלק מהאפשרויות משתנה כי אפשר לקבל אותם בסדר הפוך)
  שאלות שניתן לשאול:
  • מהי ההסתברות שסכום הערכים יהיה 4?

• בחירת מספר באקראי בקטע $[0,1]$ יהיה $\Omega=\left\{ x \in \mathbb{R} \mid 0\leq x\leq 1 \right\}=[0,1]$. נשים לב כי לא רק שהמרחב הזה לא סופי, המרחב הזה גם לא בן מנייה ונראה דוגמות בהמשך לכך.
  שאלות שניתן לשאול:
  • בבחירת מספר ממשי בקטע $[0,1]$ מהו הסיכוי שיצא $0.137521$? נגלה בהמשך כי הסיכוי לכל מספר שכזה הוא $0$.

לפעמים יהיה נוח יותר שהמרחב יהיה שווה הסתברות, כך עבור מקרים בהם אין סדר לפעמים נגדיר מרחב עם סדר ואז נוריד אותו.

תהא $\Omega\neq \varnothing$. תת קבוצה $\mathcal{F}\subseteq \mathbb{P}(\Omega)$ (כאשר $p(\Omega)$ היא קבוצת החזקה) נקראת $\sigma$-אלגברה על $\Omega$ אם מתקיים:
א. $\varnothing \in \mathcal{F}$.
ב. אם $A \in \mathcal{F}$ אזי $\overline{A}\in \mathcal{F}$.
ג. אם $\left\{ A_{n} \right\}_{n=1}^\infty \in \mathcal{F}$ אזי $\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_{n}\in \mathcal{F}$.

לא לכל קבוצה נוכל לחשב הסתברות. עבור כל קבוצה בת מנייה כן, אך לקבוצות אינסופיות אחרות לא. עבור $\sigma$-אלגברה נדע לחשב הסתברות.

לכל קבוצה סופית או בת מנייה $A$ מתקיים כי $p(A)$ היא $\sigma$-אלגברה.

עבור $\mathcal{F}=\left\{ A \subseteq \mathbb{R} \mid \R{\text{ בת מנייה}}\overline{A}\R{\text{ בת מנייה או }}A \right\}$ הוכיחו בבית כי היא $\sigma$-אלגברה על $\mathbb{R}$.

בקורס זה מתקיים כי $\mathbb{N}=\left\{ 0,1,2,\dots \right\}$. כלומר, כולל אפס.

1. מתקיים $\Omega \in \mathcal{F}$.
2. לכל $A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\in \mathcal{F}$ מתקיים $\bigcup\limits_{i=1}^n A_{i}\in \mathcal{F}$.
3. עבור $\left\{ A_{i} \right\}_{i=1}^N \in \mathcal{F}$ כאשר $N$ סופי או בן מנייה מתקיים $\bigcap\limits_{i=1}^NA_{i}\in \mathcal{F}$.
4. לכל $A,B \in \mathcal{F}$ מתקיים $A \setminus B \in \mathcal{F}$.

תהי $\Omega \neq \emptyset$ ותהא $S \subseteq p(\Omega)$
אזי קיימת $\sigma$-אלגברה יחידה $\mathcal{F}_{s}$ המקיימת:
א. $S \subseteq \mathcal{F}_{s}$.
ב. לכל $\sigma$-אלגברה $\mathcal{F}$ שמכילה את $S$ מתקיים $\mathcal{F}_{s}\subseteq \mathcal{F}$.

$\mathcal{F}_{s}$ היא ה-$\sigma$-אלגברה המינימלית הנוצרת מ-$S$ והיא המינימלית במובן שהיא מוכלת בכל $\sigma$-אלגברה אחרת המכילה את $S$.

נגדיר $\sigma$-אלגברה מעל הקטע $[0,1]$. (כלומר, $\Omega=[0,1]$)
נגדיר $S=\left\{ [a,b] \mid 0\leq a< b\leq1 \right\}$. לפי המשפט, קיימת $\sigma$-אלגברה המכילה את כל הקטעים הללו.
נגדיר $\mathcal{F}_{s}$ כ-$\sigma$-אלגברה המתאימה למשפט ונראה כי היא מכילה את כל היחידונים. (כלומר, $\left\{x \mid x \in[0,1] \right\}\subseteq \mathcal{F}_{s}$)

הוכחה:
נסתכל על $x \in[0,1)$ ונראה כי $x \in \mathcal{F}_{s}$. נעשה זאת כך:

מכיוון ש-$\left[ x,x+\frac{1}{n} \right]\in {S}$ ולפי המשפט ממקודם נקבל כי $\left\{ x \right\}\in \mathcal{F}_{s}$.

עבור, $x=1$ נקבל:

∎

נאמר כי ה-$\sigma$-אלגברה של בורל על $\Omega=\mathbb{R}^n$ כ-$\beta_{n}=\beta(\mathbb{R}^n)=\mathcal{F}_{s}$ כאשר:

בהגדרה זו לא נשתמש יותר בקורס, אבל בקורסים עתידיים נראה אותה.

נאמר כי סדרה $A_{1},\dots,A_{n}$ היא זרה בזוגות אם לכל $i\neq j$ מתקיים $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$.

תהא $\sigma\;\;\mathcal{F}$-אלגברה מעל $\Omega$.
פונקציה $P:\mathcal{F}\to[0,1]$ נקראת מידת הסתברות אם:
א. $P(\emptyset)=0$
ב. לכל $A \in \mathcal{F}$ מתקיים: $P(\overline{A})=1-P(A)$.
ג. $\sigma$-אדיטיביות: לכל סדרה של מאורעות $\left\{ A_{i} \right\}_{i=1}^n$ שזרים בזוגות מתקיים:

1. הקבוצה $\Omega$ נקראת מרחב המדגם.
2. כל איבר ב-$\mathcal{F}$ נקרא מאורע.
3. ברמה האינטואיטיבית היינו מצפים כי כל חיתוך של מאורעות הוא מאורע וכך גם המשלים והאיחוד. התכונות האלו נובעות מההגדרה של $\sigma$-אלגברה.
4. מההגדרה נובע כי $P(\Omega)=1-P(\overline{\Omega})=1-P(\emptyset)=1-0=1$.
5. התכונה $\sigma$-אדיטיביות נכונה גם באיחוד סופי של מאורעות. (אפשר למשל לבחור את יתר המאורעות להיות הקבוצה הריקה)
6. כזכור, קבוצה בת מנייה היא קבוצה סופית או קבוצה אינסופית השקולה לטבעיים. (כלומר, יש פונקציה חח"ע בינה לבין הטבעיים)
   כאשר $\Omega$ בת מניה נהוג לקחת את $\mathcal{F}=p(\Omega)$.
7. במרחב בן מנייה נהוג לקבוע את ההסתברות של היחידונים. (ואז נקבעת ההסתברות של כל $\mathcal{F}$)
8. במרחב שהוא לא בן מנייה, לא מספיק להגדיר את ההסתברות של היחידונים ומייד נראה דוגמה נגדית.

נאמר שמאורע $A$ מתקיים כמעט בטוח אם $P(\overline{A})=0$. (או $P(A)=1$)
(כי להגיד שההסתברות שמשהו יקרה היא 1 זה לא אומר שהמאורע קרה)

שלשה $(\Omega,\mathcal{F},P)$ נקרא מרחב הסתברות אם מתקיימים:
א. $\Omega\neq \emptyset$ היא מרחב המדגם.
ב. $\mathcal{F} \subseteq p(\Omega)$ היא $\sigma$-אלגברה על $\Omega$.
ג. $P:\mathcal{F}\to[0,1]$ היא מידת ההסתברות.

מרחב שווה הסתברות או מרחב סימטרי הוא מרחב הסתברות בו $\Omega$ סופית וההסתברות של כל יחידון זהה.

במרחב שווה הסתברות מתקיים $P(\left\{ \omega \right\})=\frac{1}{|\Omega|}$ ו-$P(A)=P\left( \biguplus\limits_{\omega \in A}\left\{ \omega \right\} \right)=\sum\limits_{\omega \in A}P(\left\{ \omega \right\})=\frac{|A|}{|\Omega|}$.

מטילים שתי קוביות הוגנות.
א. מהי ההסתברות שסכום הקוביות הוא $8$?
נגדיר $\Omega=\left\{ 2,3,\dots,12 \right\}$. נשים לב כי $\Omega$ לא סימטרי, שכן $P(\left\{ 2 \right\})=P(\left\{ (1,1) \right\})=\frac{1}{36}$ ו-$P(\left\{ 5 \right\})=P(\left\{ (1,4),(4,1),(2,3),(3,2) \right\})=\frac{4}{36}$ ואז:

בדרך אחרת נוכל להגדיר $\Omega=\left\{ (a_{1},a_{2})\mid a_{1},a_{2}\in \left\{ 1,2,\dots,6 \right\} \right\}$. המרחב הזה הוא סימטרי.
נגדיר $A=\left\{ (a_{1},a_{2})\in\Omega \mid a_{1}+a_{2}=8 \right\}=\left\{ (2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4) \right\}$ ואז לפי תכונות המרחב הסימטרי:

ב. מהי ההסתברות ששתי הקוביות הציגו מספר זוגי?
נגדיר $B$ כקבוצת כל האפשרויות ששתי הקוביות הציגו מספר זוגי. כלומר, $B=\left\{ (a_{1},a_{2})\in\Omega \mid a_{1},a_{2}\in \left\{ 2,4,6 \right\} \right\}$.
נשתמש בדרך השנייה מסעיף א' ונזכר שהמרחב שהגדרנו זוגי ולכן:

ראינו פה כי תמיד כדאי להגדיר מרחב מדגם כללי, ואם הוא סימטרי - אדרבה.

רוצים לבחור מספר טבעי חיובי ולשם כך מגדירים $\Omega=\mathbb{N}\setminus \left\{ 0 \right\}$. זוהי קבוצה בת מנייה ולכן $\mathcal{F}=p(\Omega)$ ואז נגדיר:

תחילה נוודא כי $P(\Omega)=1$. כלומר:

נשאל מהי ההסתברות שנבחר מספר זוגי?
נגדיר $A$ - נבחר מספר טבעי זוגי. כלומר $A=\left\{ \left\{ x \right\}\in\Omega \mid x =2k,\;k\in \mathbb{N}\setminus \left\{ 0 \right\} \right\}$ ואז:

האם יכולנו להגדיר על $\Omega=\left\{ 1,2,\dots \right\}$ הסתברות כך שלכל יחידות ההסתברות תהיה שווה? (לא סימטרי כי זה לא סופי)
התשובה היא לא. כי אם נגדיר שההסתברות של כל יחידות היא $\alpha$ אז נקבל כי $P(\Omega)=\sum_{i=1}^\infty P(\left\{ n \right\})=\sum_{n=1}^\infty \alpha=\infty\neq 1$ ואם נגדיר כי ההסתברות תהיה $0$ אז נקבל כי $P(\Omega)=0$ וכפי שצנזור נהג להגיד "ל-1 יש את התכונה היפה הזאת שלו שהוא לא שווה ל-0".

נניח ורוצים לבחור באופן אקראי אחיד מספר ממשי בקטע $[0,1]$. חייבים להגדיר: $P(\left\{ x \right\})=0$ לכל $x \in[0,1]$. (לא יכולים להגיד משהו אחר מאותה סיבה מההערה הנ"ל, בנוסף, זה יכול להיות $0$ כי איחוד היחידונים הוא לא איחוד בן מנייה)

יהי $(\Omega,\mathcal{F},P)$ מרחב הסתברות. אזי מתקיים:

1. מונוטוניות: אם $A,B \in \mathcal{F}$ ו-$A \subseteq B$ אזי $P(A)\leq P(B)$.
2. הכלה והפרדה: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.
3. תת אדיטיביות: $P\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_{n} \right)\leq \sum_{n=1}^\infty P(A_{k})$.

1. מכלילים את נוסחת הכלה והפרדה למספר סופי של קבוצות. זה זהה לנוסחה שרואים בקומבינטוריקה.
2. בהוכחת המונוטוניות נסיק את הזהות $P(B \setminus A)=P(B)-P(B \cap A)$.

ליטל מטיילת בחבל אלזס בצרפת והיא סימנה על המפה $4$ יקבים שהיא רוצה לבקר בהם ורק בהם.
כל יום היא בוחרת באופן אקראי בלתי תלוי יקב לבקר בו. ליטל תעזוב את האיזור מיד לאחר שתבקר בכל ארבעת היקבים.
חשבו את ההסתברות שליטל תעזוב את האיזור תוך $15$ ימים לכל היותר.