הוכחה:
נסמן את הצמתים מדרגה אי זוגית: $v_{1},v_{2},\dots,v_{2k}\in V$.
נוסיף את הקשתות הבאות: $v_{1}\edge{}v_{2},\;v_{3}\edge{}v_{4},\;\dots,\;v_{2k-1}\edge{}v_{2k}$. ⟸ הוספנו סה"כ $k$ קשתות.
נסמן את הגרף החדש ב-$G'$.

1. הגרף קשיר.
2. לכל $v \in V$ מתקיים ש-$d(v)$ זוגית ולכן, לפי משפט, ב-$G'$ קיים מעגל אויילר.

יהי המעגל האוילרי, בכל צומת נוגעת לכל היותר קשת חדשה אחת ולכן, נקבל $k$ קטעים חדשים.
לכל קשת חדשה נתאים את המסלול הישן שמגיע אחריה ובסה"כ נקבל $k$ מסלולים ישנים.
קיבלנו $k$ מסלולים זרים כך שכל קשת בגרף מופיעה בדיוק פעם אחת שכן זהו גרף אוילרי.
∎

בגרף מכוון קיים מעגל אויילרי אם:

1. לכל $v \in V$ מתקיים $d_{in}(v)=d_{out}(v)$.
2. גרף התשתית קשיר