דרך קו תקשורת רוצים להעביר $5$ אותיות נתונות שונות ו-$20$ רווחים זהים שצריכים להפריד ביניהן. בין כל שתי אותיות חייב להפריד לפחות רווח אחד וכל הרווחים חייבים להמצא בין האותיות ולא בצדדים.
מהו מספר ההודעות החוקיות?

כמה פתרונות טבעיים יש למשוואות הבאות:

בגלל ש-$x_{i}$ יכול להיות רק $0$ או $1$ לא נוכל להשתמש ב-$\mathbb{C}$. למה? אולי רק ה' יודע מה המתרגל אמר.

לפחות באחד מהמועדים תהיה הוכחה קומבינטורית.

הוכיחו קומבינטורית(וללא פישוטים אלגבריים) כי מתקיים:

ענן המחשבות:
צד שמאל: בחירה של 2 שונים מתוך $2n$ ללא חשיבות לסדר.
צד ימין: החיבור מסמל הפרדה למקרים זרים.
במקרה הראשון, $2\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}$, זוהי בחירה בין ה-$n$ הראשונים של $n^2$ ואז בין $n$ האחרונים של $n^2$ ואז בחירה של $2$ מכל אחד מהם.
במקרה השני, $n^2$, יש לנו בחירה של 1 מתוך $n$ ואז עוד בחירה של 1 מתוך $n$.

הוכחה:
בעיה: בכמה דרכים ניתן לבחור 2 נציגים מתוך קבוצה בגודל של $2n$ המורכבת מ-$n$ בנים ו-$n$ בנות.
צד ימין: בחירה של 2 מתוך $2n$. כלומר, $\begin{pmatrix}2n\\ 2\end{pmatrix}$.
צד שמאל: נפריד למקרים: שני הנציגים מאותו המין או שלא.
במקרה הראשון, שני הנציגים מאותו המין ואז יש שני אפשרויות: בחירה ב-2 בנים ובחירה ב-2 בנות ולכן זה בדיוק $2\begin{pmatrix}n\\ 2\end{pmatrix}$.
במקרה השני, הנציגים ממינים שונים ואז זה $n^2$.
לכן, נקבל כי צד שמאל יהיה $2\begin{pmatrix}n\\ 2\end{pmatrix}+n^2$.

לכן, מתקיים $\begin{pmatrix}2n\\ 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}n\\ 2\end{pmatrix}+n^2$.
∎

אסור אף פעם בבחינה לפשט ביטויים אלגבריים - לא להפוך $2 \cdot 2$ ל-$4$ ולא להפוך $2n$ ל-$n2$.