תרגיל 1

נתחיל בלמצוא את השורה הראשונה של המטריצה $U$.

כעת, נמצא את העמודה הראשונה של $L$.

כעת, נחלק את המטריצה שלנו ונסתכל על חלק קטן יותר במטריצה:
נסמן: $A_{2}=\begin{pmatrix}-4&-3&1\\4&1&3\\2&2&2\end{pmatrix},L_{2}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ \ell_{32}&1&0\\\ell_{42}&\ell_{43}&1\end{pmatrix},U_{2}=\begin{pmatrix}u_{22}&u_{23}&u_{24}\\0&u_{33}&u_{34}\\0&0&u_{44}\end{pmatrix}$. במקרה זה נקבל:

ואז נוכל לחזור להתחלה ולבצע את אותו הדבר. מפה לא יהיו הסברים שכן זה פשוט אותו אלגוריתם רקורסיבי.

נסמן: $A_{3}=\begin{pmatrix}3& \frac{5}{2}\\0& \frac{5}{2}\end{pmatrix},L_{3}=\begin{pmatrix}1&0\\ \ell_{43}&1\end{pmatrix},U_{3}=\begin{pmatrix}u_{33}&u_{34}\\0&u_{44}\end{pmatrix}$ ואז: $L_{3}U_{3}=A_{3}-\underline{\ell}_{2}\underline{u}_{2}=\begin{pmatrix}-2& 4\\0& \frac{5}{2}\end{pmatrix}$.

נסמן: $A_{4}=\begin{pmatrix} \frac{5}{2}\end{pmatrix},L_{4}=\begin{pmatrix}1\end{pmatrix},U_{4}=\begin{pmatrix}u_{44}\end{pmatrix}$ ואז: $L_{4}U_{4}=A_{4}-\underline{\ell}_{3}\underline{u}_{3}=\begin{pmatrix} \frac{5}{2}\end{pmatrix}$.

קיבלנו כי:

לפי משפט מאלגברה אמ', $|A|=|LU|=|L||U|$. לפי משפט אחר מאלגברה אמ', הדטרמיננטה של מטריצה משולשת היא כפולת איברי האלכסון ולכן: $|A|=|U|=\prod_{i=1}^4 u_{ii}$ ולכן:

הדטרמיננטה של $A$ שונה מאפס ולכן לפי משפט מאלגברה אמ', לכל $\underline{b}\in \mathbb{R}$ למשוואה $A\underline{x}=\underline{b}$ יש פתרון אחד. נמצא אותו:

נתחיל בלבצע החלפה קדמית:

כעת, נבצע החלפה אחורית:

לכן הפתרון היחיד הינו:

המטריצה $A$ הפיכה ולכן, לפי משפט, קיים לה פירוק $PA=LDV$ - מכיוון שגם בפירוק המקורי לא נדרשנו לפרמוטציות, אנו יודעים כי $A=LDV$ כאשר $L$ זהה ל-$L$ בסעיף $א$ ו-$U$ תתפרק ל-$D,V$.
תחילה, נפרק את איברי האלכסון מ-$U$ כך:

כעת, מכיוון ש-$|D|\neq0$, היא הפיכה ולכן נוכל לבצע:

ואז נקבל:

ולכן מתקיים:

תרגיל 2

הוכחה:
תהי $A$ מטריצה המקיימת $A=LDL^t$ כאשר $L$ משולשת תחתונה בסיסית ו-$D$ מטריצה אלכסונית.
נתחיל בלהראות כי $A=LDL^t$ סימטרית.

לכן, לפי הגדרה, $A$ היא מטריצה סימטרית.
יהי $\underline{x}\neq 0$.

נסמן $\underline{y}=L^t\underline{x}$ ואז: $\underline{y}^t=(L^t\underline{x})^t=\underline{x}^tL$ ולכן:

נסמן: $D=\begin{pmatrix}d_{1} & 0 & \dots & 0\\0 & d_{2} & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & d_{n}\end{pmatrix}$ ו-$\underline{y}=\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\end{pmatrix}$ ואז:

לכל $d_{i}$ מתקיים $d_{i}>0$ ובנוסף, קיים $1\leq i\leq n$ כך ש-$y_{i}\neq 0$ שכן נתון ש-$\underline{x}\neq 0$ ולכן, בהכרח $\underline{y}\neq 0$. לכן:

לכן, לפי הגדרה $A$ הינה חיובית מוגדרת.
∎

הוכחה:
תהי $K$ מטריצה חיובית מוגדרת וסימטרית. אזי לכל $\underline{x}\neq0$ מתקיים $\underline{x}^tK\underline{x}>0$. בפרט, זה מתקיים עבור וקטור $\underline{x}$ שכולו אפסים למעט 1 במקום ה-$i$ לכל $1\leq i\leq n$. עבור וקטור כזה יתקיים:

נתון כי $\underline{x}^tK\underline{x}>0$ ולכן, $k_{ii}>0$. מכיוון שזה מתרחש לכל $1\leq i\leq n$ אזי כל איברי האלכסון של $K$ חיוביים בהכרח.
בפרט, זה מתקיים עבור $i=1$ ואז:

∎

הוכחה:
נגדיר תחילה את המטריצות הללו:

כעת, נכתוב את $B$ ונראה כי היא חיובית מוגדרת וסימטרית:

נשים לב כי המטריצה $B$ הינה סימטרית(אני רוצה לכתוב ברור אבל אני אתעצבן על עצמי אחר כך על זה)
יהי $\underline{x}\neq 0$. נתון כי $K \succ 0$ ולכן לכל $\underline{y}\neq 0$ מתקיים $\underline{y}^tK\underline{y}>0$ ובפרט, עבור $\underline{y}=\begin{pmatrix}a\\\underline{x}\end{pmatrix}$ כאשר $a \in \mathbb{R}$ ואז יתקיים:

מסעיף קודם קיבלנו כי $k_{11}>0$ בהכרח, בנוסף $a^2\geq 0$ בהכרח. $K$ סימטרית ולכן מתקיים $k_{11}\underline{\ell}_{1}=\underline{u}_{1}$. בנוסף, נסמן $\underline{x}^t\underline{u}_{1}=\underline{u}_{1}^t\underline{x}=\alpha$ ואז:

זה מתקיים בפרט עבור $a=0$ ואז $\underline{x}^tK_{2}\underline{x}>0$ ולכן $K \succ0$ ובנוסף עבור $a=-\frac{\alpha}{k_{11}}$ ואז

ולכן:

ולכן, לפי הגדרה $B \succ 0$.
∎

הוכחה:
נוכיח באינוקציה על גודל $K$ החיובית מוגדרת את נכונות הטענה.
בסיס: $n=1$ ולכן נקבל $K=\begin{pmatrix}k_{11}\end{pmatrix}$ שהיא סימטרית וחיובית מוגדרת ע"פ הנתון. לפי סעיף ב', $k_{11}>0$. נוכל לבצע פירוק $LDL^t$ פשוט:

לכן, קיים פירוק $LDL^t$ עבורו המטריצה $D$ מורכבת מאיברי אלכסון חיוביים בלבד.

צעד: נניח כי עבור מטריצה בגודל $n\times n$ סימטרית וחיובית מוגדרת קיים פירוק $LDL^t$ ללא פרמוטציה עם מטריצה $D$ אלכסונית בה כל איברי האלכסון חיוביים ונוכיח עבור מטריצה בגודל $(n+1)\times(n+1)$ - נסמנה $K$.
נפרק את $K$ באופן דומה לסעיף קודם ולאלגוריתם הפירוק מהתרגול:

נסמן: $B=K_{2}-\underline{\ell}_{1}\underline{u}_{1}^t$. לפי סעיף ג', אנו יודעים כי המטריצה $B$ גם היא חיובית מוגדרת וסימטרית ולכן, לפי הנחת האינוקציה קיים לה פירוק $L_{B}D_{B}L_{B}^t$ בו המטריצה $D_{B}$ מורכבת מאיברי אלכסון חיוביים בלבד.
נפרק את הפירוק:

לכן, קיים פירוק $LDL^t$ כך שבו כל איברי האלכסון של $D$ מקימים שהינם מגיעים מהפירוק של $B$ ולכן חיוביים או שהם $k_{11}$ שלפי סעיף ב', הינו חיובי.

לכן, כל מטריצה $K$ סימטרית וחיובית מוגדרת ניתנת לפירוק $LDL^t$ בו כל איברי האלכסון של $D$ חיוביים.
∎

תרגיל 3

לפי משפט, אם מטריצה היא סימטרית וחיובית מוגדרת אזי יש לה פירוק צ'ולסקי. המטריצה הנ"ל סימטרית - נדרש כעת להוכיח שהיא חיובית מוגדרת. לשום כך נדרש להוכיח כי עבור כל $\underline{x}\neq 0$ מתקיים $\underline{x}^tA\underline{x} >0$. יהי $\underline{x}\neq 0$.

נניח בשלילה כי $\underline{x}^tA\underline{x}=0$ ואז נקבל:

בסתירה לכך ש-$\underline{x}\neq0$ ולכן $A$ היא מטריצה סימטרית וחיובית מוגדרת ולכן, לפי משפט, קיים לה פירוק צ'ולסקי.

דרך א': חישוב דרך פירוק $LU$.
נמצא תחילה פירוק $UL$ למטריצה הנ"ל בעזרת אותו האלגוריטם משאלה 1. לפי המשפט הנ"ל מובטח לנו שאין צורך בפרמוטציות.

נסמן: $A_{2}=\begin{pmatrix}8&4\\4&91\end{pmatrix},L_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ \ell_{32} & 1\end{pmatrix},U_{2}=\begin{pmatrix}u_{22}& u_{23}\\0& u_{33}\end{pmatrix}$ ואז $A_{2}-\underline{\ell}_{1}\underline{u}_{1}=\begin{pmatrix}4&6\\6&90\end{pmatrix}$:

נסמן: $A_{3}=\begin{pmatrix}90\end{pmatrix},L_{3}=\begin{pmatrix}1\end{pmatrix},U_{3}=\begin{pmatrix}u_{33}\end{pmatrix}$ ואז: $A_{3}-\underline{\ell}_{2}\underline{u}_{2}=\begin{pmatrix}81\end{pmatrix}$ ואז: