4(זאב) - פוטנציאל חשמלי — פיזיקה 2

פוטנציאל חשמלי הוא הדבר הכי מופשט שנגע בו בקורס לפי זאב. צריך להתעמק בזה כדי להבין את זה.
בקורס, התחלנו מחוק קולון שהוא כוח ואז ראינו שדה חשמלי והחלפנו את נקודת המבט שלנו מלהסתכל על כוח שמופעל בין שני מטענים להשפעה של מטענים על המרחב. כיום אנו כיוויכול עושים את הקפיצה האחרונה מבחינת הבניה שלנו ואנו נראה את הפוטנציאל.
4(זאב) - פוטנציאל חשמלי 2026-05-27 08.31.41.excalidraw.svg
מה הפוטנציאל אומר? כמה אנרגיה יכולה להיות אגורה בין המטענים במרחב למטען בוחן שנוסיף אליו. זה מתבטא גם כן בקשר בין אנרגיה פוטנציאלית לפוטנציאל חשמלי:

\Delta U=q(\varphi_{2}-\varphi_{1})=qV

נשים לב כי השדה והפוטנציאל הם סוג של בנייה מתמטית לתיאור המרחב ולא "יצור אמיתי".
ניתן את האנלוגיה של כבידה: $U=mgh$ - צריך שתי נקודות עם גובה שונה כדי שתהיה אנרגיה פוטנציאלית, כדי שתהיה פיזיקה. כך גם בפוטנציאל - צריך שתי נקודות פוטנציאל כדי לתאר אנרגיה פוטנציאלית.
מה כיף בפוטנציאל? הוא סקלר ולא וקטור. פוטנציאל הוא שדה סקלרי, כלומר, בכל נקודה במרחב יש מספר.
לכן, הרבה יותר קל לעבוד עם פוטנציאל מאשר עם שדה שכן סקלר זה יצור חביב.

מה הקשר בין כוח לאנרגיה פוטנציאלית? עבודה כנגד כוח. לכן, נשים לב כי גם השדה והפרש הפוטנציאלים יהיו אנלוגים. ממש אפשר לראות זאת בנוסחה.

\varphi(\vec{r})=\int_{r_{ref}}^{\vec{r}} \vec{E}(\vec{\tilde{r}})d\vec{\tilde{r}}

מה חשוב בנקודת $ref$ ? שבה הפוטנציאל הוא 0(כלומר, $\varphi(r_{ref})=0$ ). זוהי ההגדרה של נקודת הרפרנס. זה אנלוגי לגובה 0 בכבידה :)
4(זאב) - פוטנציאל חשמלי 2026-05-27 08.39.07.excalidraw.svg
ישנן נקודות בהן נפוץ לשים את נק' הרפרנס:

באינסוף: $\varphi(r_{ref}) \underset{r_{ref}\to \infty}{\longrightarrow}0$ .
אם השדה לא מתאפס באינסוף מדי פעם גם לוקחים $r_{ref}=0$ .

הגדרה 1 (מתח)

Voltage=\Delta\varphi =\varphi\left(\begin{matrix} \R{\text{מצב}} \\ \R{\text{סוף}} \end{matrix}\right)-\varphi\left(\begin{matrix} \R{\text{מצב}} \\ \R{\text{התחלה}} \end{matrix}\right)

נניח ואנו רוצים לכתוב כעת את זה כאינטגרל עם ההגדרה. נכתוב כך:

V=-\int_{r_{ref}}^{r_{2}} \vec{E}\cdot d\vec{r}-\left( -\int_{r_{ref}}^{r_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r} \right)=-\int_{r_{2}}^{r_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}

למה זה מבלבל? כי מתח הוא אינטגרל על השדה בין שתי נקודות ופוטנציאל הוא אינטגרל בין נקודה לרפרנס.
נשים לב שמתח אינו תלוי בנקודת הרפרנס בעוד שפוטנציאל רגיל תלוי בנקודת הרפרנס.

פוטנציאל גם כן מקיים סופרפוזיציה וכאשר יש לנו מלא מטענים רציפים נוכל להשתמש באינטגרל הבא לחישובו:

\varphi(\vec{r})=-\int \frac{kdq}{r}

פה אנחנו מניחים שהרפרנס ב- $\infty$ .

הקשר ההפוך בין שדה לפוטנציאל:

\vec{E}=-grad\varphi = -\vec{\nabla} \varphi

("אני לא אוהב את המשולש" - זאב)

הערה

הגרדיאנט מקבל סקלר ומוציא וקטור: $\vec{\nabla}\varphi$
הדיברגצנ' מקבל וקטור ומוציא סקלר: $\vec{\nabla}\cdot \vec{V}$
הרוטור מקבל וקטור ומוציא וקטור: $\vec{\nabla}\times \vec{V}$

השדה החשמלי $\vec{E}$ משמר וזה, במילים מתמטיות אומר $\vec{\nabla}\times \vec{E}=0$ .

תרגיל

ישנה טבלה באורך $d$ שמרכזה בראשית הצירים.
השדה במרחב מוגדר ע"י הפונקציה הבאה:

\vec{E}=\begin{cases} \frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\hat{x} & x> \frac{d}{2} \\ \frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}x\hat{x} & |x|< \frac{d}{2} \\ -\frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\hat{x} & x<-\frac{d}{2} \end{cases}

מצאו את הפוטנציאל בכל המרחב

נשים לב כי יש שיקוף בציר ה- $xy$ , כאילו יש מראה במרחב. לאור השיקוף מתקיים $\varphi(x)=\varphi(-x)$ .
לאור הסימטריה נוכל לבחור שתי נקודות ואז, אחרי שמצאנו את הפוטנציאל בהן לבצע את השיקוף ולמצוא כך את הפוטנציאל בכל המרחב.
השדה לא מתאפס ב- $\infty$ ולכן, נבחר את הרפרנס שלנו ב- $x=0$ .
נעבוד לפי הגדרה בתחום $x> \frac{d}{2}$ :

\varphi(x)=-\int_{0}^{x} \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{0}^{\frac{d}{2}} \frac{\rho_{0}x'}{\epsilon_{0}}\hat{x}\cdot dx' \hat{x}-\int_{\frac{d}{2}}^{x} \frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\hat{x}dx' \hat{x}

=-\left( \frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}} \frac{1}{2}\left( \frac{d^2}{4}-0 \right)+\frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\left( x-\frac{d}{2} \right) \right)= -\frac{\rho d}{2\epsilon_{0}}\left( \frac{d^2}{4}-x \right)

בתחום $0<x< \frac{d}{2}$ :

\varphi(x)=-\int_{0}^x \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{0}^x \frac{\rho_{0}x'}{\epsilon_{0}}dx'=-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}} \frac{x^2}{2}

סך הכל קיבלנו:

\varphi(x)=\begin{cases} \frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\left( \frac{d^2}{4}-x \right) & x> \frac{d}{2} \\ -\frac{\rho_{0}x^2}{2\epsilon_{0}} & -\frac{d}{2}<x< \frac{d}{2} \\ \frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\left( \frac{d^2}{4}+x \right) & x< -\frac{d}{2} \end{cases}

את התחתון והחצי השני של האמצעי קיבלנו מסימטריה.

תרגיל

יש שתי טבעות בעלות אותו הציר אשר הגובה ביניהן $h$ .
הרדיוס של התחתונה $R_{2}$ והיא טעונה בצפיפות מטען אורכית $\lambda_{2}$ .
הרדיוס של העליונה $R_{1}$ והיא טעונה בצפיפות מטען אורכית $\lambda_{1}$ .

לקחנו מטען $Q$ ממרכז הטבעת העליונה למרכז הטבעת התחתונה.
מהי העבודה שביצענו?

איך נוכל להגדיר עבודה? $W=qV=q(\varphi_{2}-\varphi_{1})$ .
נסמן את נקודות המרכז של הטבעות $O_{1},O_{2}$ ואת הפוטנציאל שהן מפעילות $\varphi_{1},\varphi_{2}$ בהתאמה ואז:

W=Q(\varphi_{2}(O_{2})+\varphi_{1}(O_{2})-\varphi_{2}(O_{1})-\varphi_{1}(O_{1}))

נשתמש בנוסחה הנתונה: $\varphi(z)=\frac{2\pi k\lambda R}{\sqrt{ R^2+z^2 }}$ כאשר $z$ הוא גובה מעל המרכז.
כעת ניתן להציב:

\varphi(O_{2})=\frac{2\pi k\lambda_{2}R_{2}}{R_{2}}=2\pi k\lambda_{2}

\varphi_{1}(O_{2})=\frac{2\pi k\lambda_{1}R_{1}}{\sqrt{ R_{1}^22+(-h)^2 }}

באותה צורה נמצא את שאר היצורים ונציב:

W=QV=Q()

\Delta U=q(\varphi_{2}-\varphi_{1})=qV

\varphi(\vec{r})=\int_{r_{ref}}^{\vec{r}} \vec{E}(\vec{\tilde{r}})d\vec{\tilde{r}}

באינסוף: $\varphi(r_{ref}) \underset{r_{ref}\to \infty}{\longrightarrow}0$ .
אם השדה לא מתאפס באינסוף מדי פעם גם לוקחים $r_{ref}=0$ .

הגדרה 1 (מתח)

Voltage=\Delta\varphi =\varphi\left(\begin{matrix} \R{\text{מצב}} \\ \R{\text{סוף}} \end{matrix}\right)-\varphi\left(\begin{matrix} \R{\text{מצב}} \\ \R{\text{התחלה}} \end{matrix}\right)

נניח ואנו רוצים לכתוב כעת את זה כאינטגרל עם ההגדרה. נכתוב כך:

V=-\int_{r_{ref}}^{r_{2}} \vec{E}\cdot d\vec{r}-\left( -\int_{r_{ref}}^{r_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r} \right)=-\int_{r_{2}}^{r_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}

פוטנציאל גם כן מקיים סופרפוזיציה וכאשר יש לנו מלא מטענים רציפים נוכל להשתמש באינטגרל הבא לחישובו:

\varphi(\vec{r})=-\int \frac{kdq}{r}

פה אנחנו מניחים שהרפרנס ב- $\infty$ .

הקשר ההפוך בין שדה לפוטנציאל:

\vec{E}=-grad\varphi = -\vec{\nabla} \varphi

("אני לא אוהב את המשולש" - זאב)

הערה

השדה החשמלי $\vec{E}$ משמר וזה, במילים מתמטיות אומר $\vec{\nabla}\times \vec{E}=0$ .

תרגיל

ישנה טבלה באורך $d$ שמרכזה בראשית הצירים.
השדה במרחב מוגדר ע"י הפונקציה הבאה:

\vec{E}=\begin{cases} \frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\hat{x} & x> \frac{d}{2} \\ \frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}x\hat{x} & |x|< \frac{d}{2} \\ -\frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\hat{x} & x<-\frac{d}{2} \end{cases}

מצאו את הפוטנציאל בכל המרחב

\varphi(x)=-\int_{0}^{x} \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{0}^{\frac{d}{2}} \frac{\rho_{0}x'}{\epsilon_{0}}\hat{x}\cdot dx' \hat{x}-\int_{\frac{d}{2}}^{x} \frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\hat{x}dx' \hat{x}

=-\left( \frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}} \frac{1}{2}\left( \frac{d^2}{4}-0 \right)+\frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\left( x-\frac{d}{2} \right) \right)= -\frac{\rho d}{2\epsilon_{0}}\left( \frac{d^2}{4}-x \right)

בתחום $0<x< \frac{d}{2}$ :

\varphi(x)=-\int_{0}^x \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{0}^x \frac{\rho_{0}x'}{\epsilon_{0}}dx'=-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}} \frac{x^2}{2}

סך הכל קיבלנו:

\varphi(x)=\begin{cases} \frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\left( \frac{d^2}{4}-x \right) & x> \frac{d}{2} \\ -\frac{\rho_{0}x^2}{2\epsilon_{0}} & -\frac{d}{2}<x< \frac{d}{2} \\ \frac{\rho_{0}d}{2\epsilon_{0}}\left( \frac{d^2}{4}+x \right) & x< -\frac{d}{2} \end{cases}

את התחתון והחצי השני של האמצעי קיבלנו מסימטריה.

תרגיל

לקחנו מטען $Q$ ממרכז הטבעת העליונה למרכז הטבעת התחתונה.
מהי העבודה שביצענו?

W=Q(\varphi_{2}(O_{2})+\varphi_{1}(O_{2})-\varphi_{2}(O_{1})-\varphi_{1}(O_{1}))

נשתמש בנוסחה הנתונה: $\varphi(z)=\frac{2\pi k\lambda R}{\sqrt{ R^2+z^2 }}$ כאשר $z$ הוא גובה מעל המרכז.
כעת ניתן להציב:

\varphi(O_{2})=\frac{2\pi k\lambda_{2}R_{2}}{R_{2}}=2\pi k\lambda_{2}

\varphi_{1}(O_{2})=\frac{2\pi k\lambda_{1}R_{1}}{\sqrt{ R_{1}^22+(-h)^2 }}

באותה צורה נמצא את שאר היצורים ונציב:

W=QV=Q()