3(אייל) - חוק גאוס — פיזיקה 2

\phi_{_{E}}=\oint\!\!\!\!\!\oint \vec{E}d\vec{s}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}

כאשר $\epsilon_{0}=\frac{1}{4\pi k}$ .

תרגיל

נתונה טבלה $\infty$ -ית במישור $yz$ ובעובי $d$ בכיוון $x$ . מרכז הטבלה ב- $x=0$ . הטבלה טעונה בצפיפות מטען נפחית $\rho(x)=\rho_{0} \frac{x^2}{d^2}$ .
3 - חוק גאוס 2026-05-14 13.35.45.excalidraw.svg
חשבו את השדה החשמלי בתוך ומחוץ לטבלה.

הטבלה אינסופית בציר $y$ ובציר $z$ , בנוסף, צפיפות המטען לא מושפעת מהתנועה במישור $yz$ . לכן, השדה תלוי אך ורק בציר ה- $x$ (או לא תלוי בכלום)
נשים לב כי בנוסף בציר $x$ יש שיקוף, השדה יהיה זהה בין אם נהיה ב- $-x$ ובין אם נהיה ב- $x$ (כל עוד $|-x|=|x|$ כמובן)
נשים כי אם נסובב את השדה במישור $yz$ השדה עדיין ישמר רק בציר ה- $\hat{x}$ ולכן, השדה מאונך לציר ה- $\hat{x}$ .

נצור מעטפת גאוסית שהינה תיבה שהפאות שלה בעלות שטח $A$ ואורכה $2x$ בציר ה- $\hat{x}$ . (ערך ה- $\hat{y}$ שלה לא משנה)
נקח נקודה כלשהי על אחת הפאות שמאונכות לציר ה- $\hat{x}$ ואז נוכל להשתמש בחוק גאוס:

\oint\!\!\!\!\! \oint \vec{E}d\vec{s}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}

הפאות הצדדיות, אלו שמאונכות לציר $\hat{y}$ או לציר $\hat{z}$ , לא מפיצות שדה בכיוון שמעניין אותנו ולכן נוכל להתעלם מהן.

\phi_{_{E}}=2E(x)\cdot A

נמצא כעת את המטען הכולל:

\begin{align*} Q_{in}&=\int_{\tiny V\; in\; S} \rho dV=\iiint \rho_{0} \frac{x^2}{d^2} dxdydz=\rho_{0} \frac{1}{d^2}\int_{z}\int_{y}dzdy\int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}} x^2dx= \rho_{0} \frac{A}{d^2} \left. \frac{1}{3}x^3 \right\vert_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}} \\ &=\rho_{0} A \frac{d}{12} \end{align*}

ואז מתקיים:

2E(x)A=\frac{\rho_{0}Ad}{12\epsilon_{0}}\implies E(x)=\frac{\rho_{0}d}{24\epsilon_{0}}

הערה

נשים לב כי השדה אינו תלוי ב- $\hat{x}$ . לכן, השדה אינו תלוי במיקום כלל וכלל.

\vec{E}=\begin{cases} \frac{\rho_{0}d}{24\epsilon_{0}} & x> \frac{d}{2} \\ -\frac{p_{0}d}{24\epsilon_{0}} & x< -\frac{d}{2} \end{cases}

כעת נרצה למצוא את השדה בתוך הטבלה. לשם כך שוב נבנה תיבה גאוסית רק שהפעם היא תהיה בתוך התיבה. נקבל:

\phi_{_{E}}=2E(x)A

\begin{align*} Q_{in}&=\iiint \rho dV=\int_{z}dz\int_{y}dy\int_{-x}^{x} \rho_{0} \frac{x'^2}{d^2}dx'dydz= \frac{\rho_{0}}{d^2} A \int_{-x}^x x'^2dx'=\left.\frac{\rho_{0}A}{d^2}\cdot \frac{x^3}{3} \right\vert_{-x}^x \\ &= \frac{\rho_{0}A}{d^2}\left( \frac{x^3}{3}+\frac{x^3}{3} \right)=\frac{2A\rho_{0} x^3}{3d^2} \end{align*}

ואז נקבל:

E(x)=\frac{\rho_{0}x^3}{3d^2\epsilon_{0}}

כאן, בתוך הטבלה, נשים לב כי השדה כן תלוי ב- $\hat{x}$ . אינטואיטיבית זה לאור העובדה שככל שאנו מתרחקים מהמרכז כך יש יותר מטען שאנו תופסים, אך כאשר אנו כבר יוצאים מהטבלה כמות המטען שאנו תופסים זהה שכן אין מטען נוסף מחוץ לטבלה בבעיה זו.

תרגיל (2)

נתונה קליפה גלילית $\infty$ -ית עבה בעלת רדיוס פנימי $a$ ורדיוס חיצוני $b$ .
הקליפה טעונה בצפיפיות מטען נפחית קבועה $\rho_{0}$ .
3 - חוק גאוס 2026-05-14 14.01.44.excalidraw.svg
חשבו את השדה החשמלי ב- $b<r$ ב- $a<r<b$ וב- $r<a$ .

הגליל הינו $\infty$ ולכן נוכל להזיז אותו קדימה ואחורה. לכן, יש סימטריה בציר ה- $\hat{z}$ והוא לא משפיע.
בנוסף, נוכל לסובב את הגליל והשדה לא ישתנה ובכך $\theta$ לא משפיעה על השדה.

נצור מטעפת גאוסית של גליל עם רדיוס גדול יותר מהגליל. לגליל שלנו יהיה קצוות אך הם לא משנים לנו שכן השדה מהם יוצא לכיוון $\hat{z}$ ולכן לא משפיע על השדה שלנו.
נסמן את אורך הגליל ב- $L$ ואת רדיוס הגליל ב- $r$ .

\begin{align*} \phi_{_{E}}&=\oint\!\!\!\!\!\oint \vec{E}d\vec{s}=\oint\!\!\!\!\!\oint_{\R{\text{מעטפת}}} \vec{E}d\vec{s}+\oint\!\!\!\!\!\oint_{\R{\text{בסיסים}}} \vec{E}d\vec{s}=\oint\!\!\!\!\!\oint_{\R{\text{מעטפת}}}\vec{E}d\vec{s}=\int_{z}\int_{\theta}\vec{E}(r)d\vec{s}=E(r)\int_{z}\int_{\theta}\hat{E}d\vec{s}=E(r)2\pi r\cdot L \end{align*}

Q_{in}=V \rho_{0}=\rho_{0}(\pi b^2-\pi a^2)L=\pi \rho_{0}L(b^2-a^2)

\Downarrow

E(r)2\pi rL= \frac{\pi\rho_{0}L(b^2-a^2)}{\epsilon_{0}} \implies \vec{E}(r)=\frac{\rho_{0}}{2r\epsilon_{0}}(b^2-a^2)\hat{r}

זהו השדה לכל נקודה בה $r>b$ .
באותו האופן נבצע עכשיו עבור $a<r<b$ ו- $r<a$ . זה מאוד דומה אז המתרגל אמר שאין הוא יעשה זאת ולהשלים מדפי התרגול.
בתוך הגליל השדה הוא 0.

תרגיל

נתונה מערכת אלקטרוסטטית. מטען נקודתי $q$ נמצא במרחק $a$ מחוץ לשפה של קליפה כדורית דקה בעלת רדיוס $R$ שטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה $\sigma_{0}$ .
סטודנט טוען שבכל נקודה בתוך הקליפה השדה שווה לאפס. האם הטענה שלו נכונה או לא? ולמה?
הטענה: "נגדיר מעטפת גאוסית כדורית ברדיוס $r<R$ שמרכזה מתלכד עם מרכז המעטפת. שטף דרך המעטפת הוא $\phi_{_{E}}=4\pi r^2E$ כאשר $E$ בכיוון הרדיאלי. לפי חוק גאוס $\phi_{_{E}}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}$ . במקרה שלנו $Q_{in}=0$ ולכן $E=0$ "

הדיפרנציאל של חוק גאוס

\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}

\phi_{_{E}}=\oint\!\!\!\!\!\oint \vec{E}d\vec{s}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}

כאשר $\epsilon_{0}=\frac{1}{4\pi k}$ .

תרגיל

\oint\!\!\!\!\! \oint \vec{E}d\vec{s}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}

הפאות הצדדיות, אלו שמאונכות לציר $\hat{y}$ או לציר $\hat{z}$ , לא מפיצות שדה בכיוון שמעניין אותנו ולכן נוכל להתעלם מהן.

\phi_{_{E}}=2E(x)\cdot A

נמצא כעת את המטען הכולל:

\begin{align*} Q_{in}&=\int_{\tiny V\; in\; S} \rho dV=\iiint \rho_{0} \frac{x^2}{d^2} dxdydz=\rho_{0} \frac{1}{d^2}\int_{z}\int_{y}dzdy\int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}} x^2dx= \rho_{0} \frac{A}{d^2} \left. \frac{1}{3}x^3 \right\vert_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}} \\ &=\rho_{0} A \frac{d}{12} \end{align*}

ואז מתקיים:

2E(x)A=\frac{\rho_{0}Ad}{12\epsilon_{0}}\implies E(x)=\frac{\rho_{0}d}{24\epsilon_{0}}

הערה

נשים לב כי השדה אינו תלוי ב- $\hat{x}$ . לכן, השדה אינו תלוי במיקום כלל וכלל.

\vec{E}=\begin{cases} \frac{\rho_{0}d}{24\epsilon_{0}} & x> \frac{d}{2} \\ -\frac{p_{0}d}{24\epsilon_{0}} & x< -\frac{d}{2} \end{cases}

כעת נרצה למצוא את השדה בתוך הטבלה. לשם כך שוב נבנה תיבה גאוסית רק שהפעם היא תהיה בתוך התיבה. נקבל:

\phi_{_{E}}=2E(x)A

\begin{align*} Q_{in}&=\iiint \rho dV=\int_{z}dz\int_{y}dy\int_{-x}^{x} \rho_{0} \frac{x'^2}{d^2}dx'dydz= \frac{\rho_{0}}{d^2} A \int_{-x}^x x'^2dx'=\left.\frac{\rho_{0}A}{d^2}\cdot \frac{x^3}{3} \right\vert_{-x}^x \\ &= \frac{\rho_{0}A}{d^2}\left( \frac{x^3}{3}+\frac{x^3}{3} \right)=\frac{2A\rho_{0} x^3}{3d^2} \end{align*}

ואז נקבל:

E(x)=\frac{\rho_{0}x^3}{3d^2\epsilon_{0}}

תרגיל (2)

\begin{align*} \phi_{_{E}}&=\oint\!\!\!\!\!\oint \vec{E}d\vec{s}=\oint\!\!\!\!\!\oint_{\R{\text{מעטפת}}} \vec{E}d\vec{s}+\oint\!\!\!\!\!\oint_{\R{\text{בסיסים}}} \vec{E}d\vec{s}=\oint\!\!\!\!\!\oint_{\R{\text{מעטפת}}}\vec{E}d\vec{s}=\int_{z}\int_{\theta}\vec{E}(r)d\vec{s}=E(r)\int_{z}\int_{\theta}\hat{E}d\vec{s}=E(r)2\pi r\cdot L \end{align*}

Q_{in}=V \rho_{0}=\rho_{0}(\pi b^2-\pi a^2)L=\pi \rho_{0}L(b^2-a^2)

\Downarrow

E(r)2\pi rL= \frac{\pi\rho_{0}L(b^2-a^2)}{\epsilon_{0}} \implies \vec{E}(r)=\frac{\rho_{0}}{2r\epsilon_{0}}(b^2-a^2)\hat{r}

תרגיל

הדיפרנציאל של חוק גאוס

\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}