2(עילי) - חוק קולון ושדה חשמלי — פיזיקה 2

הכוח החשמלי

משפט (חוק קולון)

הכוח החשמלי הפועל בין שני מטענים $q_{1},q_{2}$ הנמצאים במרחק $r$ הינו:

\vec{F}_{12}=k \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}\hat{r}

כאשר $k$ הינו קבוע קולון.

כדי לחשב את $r$ נוכל לבצע את הדבר הבא:
2 - חוק קולון ושדה חשמלי 2026-05-09 15.00.47.excalidraw.svg

\vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}

הערה

k=9\cdot 10^9\; \frac{N\cdot m^2}{C^2}

סופרפוזיציה

כוח חשמלי של כמה מטענים שונים יכול להיסכם.
בכך, הכוח הפועל על מטען $q_{0}$ הממוקם ב- $\vec{r}_{0}$ ע"י $n$ מטענים: $q_{i}$ הממוקמים ב- $\vec{r}_{i}$ הוא:

\vec{F}=\sum_{i=1}^n k \frac{q_{i}q_{0}}{|\vec{r}_{0}-\vec{r}_{i}|^3}(\vec{r}_{0}-\vec{r}_{i})

במידה ויש צפיפות מטען מסויימת, נוכל להשתמש באינטגרל כך:

dQ=\sigma(x,y)ds

d\vec{F}=k \frac{q_{0}dQ}{r^2}\hat{r} \implies \vec{F}=\iint d\vec{F}

נשים לב כי נדרש לפרק את $r$ ל- $x,y$ שכן גם הוא מסמל מרחק וגם הצפיפות עצמה תלויה במיקום, כפי שראינו בנוסחה ממקודם.

תרגול כוח חשמלי

תרגיל

נתונים שלושה מטענים ומיקומם:

q_{1}=q,\;q_{2}=-2q,\; q_{3}=3q

\vec{r}_{1}=\hat{x}-\hat{y},\;\vec{r}_{2}=-\hat{x}-\hat{y},\; \vec{r}_{3}=0

מהו הכוח הפועל על $q_{3}$ ?

נתחיל בלצייר את הבעיה על מנת להבין אותה יותר בקלות:
2 - חוק קולון ושדה חשמלי 2026-05-09 18.10.02.excalidraw.svg
כעת, נחשב את הכוח השקול לפי מה שהסקנו מהציור ומהנתונים באמצעות עקרון הסופרפוזיציה:

\begin{align*} \vec{F}&=\vec{F}_{13}+\vec{F}_{23}=k \frac{q_{1}q_{3}}{|\vec{r}_{3}-\vec{r}_{1}|^3}(\vec{r}_{3}-\vec{r}_{1})+k \frac{q_{2}q_{3}}{|\vec{r}_{3}-\vec{r}_{2}|}(\vec{r}_{3}-\vec{r}_{2}) \\ &=k \frac{3q^2}{2\sqrt{ 2 }}(-\hat{x}+\hat{y})-k \frac{6q^2}{2\sqrt{ 2 }}(\hat{x}+\hat{y}) \\ &=-\frac{9kq^2}{2\sqrt{ 2 }}\hat{x}-\frac{3kq^2}{2\sqrt{ 2 }}\hat{y} \end{align*}

השדה החשמלי

שדה חשמלי מייצג כוח ליחידת מטען. נסמנו ב- $E$ .

\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_{0}}\;\; \left[ \frac{N}{C} \right]

נניח נקח מערכת של מטענים ונסתכל על נקודה מסויימת, נוכל באמצעות שדה חשמלי לגלות את הכוח שיופעל על מטען שנניח בנקודה. (כאשר $q_{0}$ הוא מטען הבוחן - המטען שנשים במקום מסויים כדי לגלות מה הכוח הפועל עליו)
אם יש לנו שדה ונרצה להכניס מטען $q_{0}$ במיקום $\vec{r}_{0}$ נקבל את הכוח שיופעל עליו ע"י הנוסחה הבאה: $\vec{F}=q_{0}\cdot\vec{E}(\vec{r}_{0})$ .

מטען נקודתי $Q$ הממוקם ב- $\vec{r}_{0}$ מייצר שדה חשמלי. את שדה זה(של מטען נקודתי), נוכל לחשב באמצעות הנוסחה: $\vec{E}(\vec{r})=k \frac{Q}{\vec{r}^2}\hat{r}$ .

הערה

גם השדה החשמלי מקיים את עקרון הסופרפוזיציה.
כלומר, אם יש אוסף של מטענים, נוכל לקחת מכל מטען את השדה שהוא מייצר ואז להשתמש בעקרון.

התפלגות רציפה של שדה

נוכל לפרק את הגוף להרבה אלמנטים קטנים, נקח את התרומה של אלמנט מטען קטן וכדי אז נוכל להשתמש באינטגרל.
נסמן אלמנט מטען קטן ב- $dQ$ ואת מיקומו ב- $\vec{r}'$ . נרצה לחשב את השדה החשמלי ב- $\vec{r}_{0}$ וכדי לעשות זאת, נרצה לגלות מהי התמורה שלו:

d\vec{E}(\vec{r})=\frac{kdQ}{\vec{r}^2}\hat{r}

כאשר $\vec{r}=\vec{r}_{0}-\vec{r}'$ .
כעת, נוכל לבצע אינטגרל כדי למצוא את השדה הכולל הבוקע מהגוף.

הערה (תזכורת מהתרגול הקודם)

צפיפות מטען אורכית: $\lambda=\frac{dQ}{d\ell}\implies dQ=\lambda d \ell$ .
צפיפות מטען משטחית: $\sigma=\frac{dQ}{ds}\implies dQ=\sigma ds$ .
צפיפות מטען נפחית: $\rho=\frac{dQ}{dV}\implies dQ=\rho dV$ .

תרגול שדה

תרגיל

נתונה דסקה ברדיוס $R$ עם צפיפות מטען משטחית: $\sigma(r)=Ar^2$ כאשר $A>0$ קבוע.
חשבו את השדה החשמלי בנקודה $p$ הנמצאת בגובה $h$ מעל מרכז הדסקה.

נתחיל בלצייר את הבעיה שלנו:
2 - חוק קולון ושדה חשמלי 2026-05-09 18.54.14.excalidraw.svg
נתחיל בלהסתכל על אלמנט שטח קטן על הדסקה שלנו ונראה מהו השדה המופץ מאלמנט זה.
נשים לב כי בבעיה שלנו יש סימטריות ולכן, הרכיב האופקי של השדה יתבטל ונשאר רק עם רכיב השדה האנכי כלפי מעלה. לכן, נחשב רק את הרכיב האנכי.

dQ=\sigma ds=Ar^2\cdot rd\theta dr=Ar^3d\theta dr

r=\sqrt{ r_{xy}^2+h^2 }

\sin\alpha=\frac{h}{\sqrt{ r_{xy}^2+h^2 }}

כעת, נוכל לחשב את אלמנט השדה שלנו:

dE_{z}=k \frac{dQ}{r^2}\sin\alpha=k \frac{Ahr^3}{(h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}drd\theta

כעת, נוכל לחשב את האינטגרל:

E_{z}=\int dE_{z}= kAh\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^R \frac{r^3}{(h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}drd\theta=kAh\cdot 2\pi\cdot \left( \frac{2h^2+R^2}{R^2+h^2}-\frac{2h^2}{\sqrt{ h^2 }} \right)=2\pi kAh \left( \frac{2h^2+R^2}{R^2+h^2}-2h \right)

\vec{E}= 2\pi kAh\left( \frac{2h^2+R^2}{R^2+h^2}-2h \right)\hat{z}

תרגיל

נתונה דסקה דקה ברדיוס $R$ ובמרכזה חור מעגלי ברדיוס $\frac{R}{2}$ . הדסקה טעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה $\sigma$ .
חשבו את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של הטבעת, בגובה $h$ מעל מרכזה.

נתחיל בלצייר שרטוט:
2 - חוק קולון ושדה חשמלי 2026-05-09 19.12.32.excalidraw.svg
נשים לב כי גם בתרגיל זה נוכל להשתמש בסימטריה ולדעת כי השדה יפעל רק בכיוון מעלה.

נוכל לפתור את תרגיל זה בשתי דרכים:

בדומה לתרגיל הקודם, רק כאשר הגבולות ב- $R$ ו- $\frac{R}{2}$ במקום $R$ ו- $0$ .
נוכל לפתור גם כן באמצעות עקרון הסופרפוזיציה ושימוש בתוצאה ידועה מההרצאות של שדה על ציר סימטריה של דסקה דקה בצפיפות מטען משטחית אחידה.

נשתמש בדרך 2 כדי לראות מצב שונה:
הגוף ניתן לתיאור כסופרפוזיציה של דסקה מלאה ברדיוס $R$ טעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה $+\sigma$ ודסקה מלאה ברדיוס $\frac{R}{2}$ בצפיפות מטען משטחית אחידה $-\sigma$ .
נזכר מנוסחה מההרצאה על השדה החשמלי במרחק $z$ מעל מרכז דסקה ברדיוס $R$ הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה $\sigma$ :

\vec{E}=2\pi k\sigma\left( 1-\frac{z}{\sqrt{ z^2+R^2 }} \right)\hat{z}

נשתמש בתוצאה זו ונחשב עבור שתי הדסקות שבנינו:

\begin{align*} \vec{E}&=\vec{E}_{+}-\vec{E}_{-}=2\pi k\sigma\left( 1-\frac{h}{\sqrt{ h^2+R^2 }} \right)\hat{z}+2\pi k(-\sigma)\left( 1-\frac{h}{\sqrt{ h^2+\left( \frac{R}{2} \right)^2 }} \right)\hat{z} \end{align*}

\vec{E}=2\pi k\sigma h\left( \frac{1}{\sqrt{ h^2+\left( \frac{R}{2} \right)^2 }}-\frac{1}{\sqrt{ h^2+R^2 }} \right)\hat{z}

הכוח החשמלי

משפט (חוק קולון)

הכוח החשמלי הפועל בין שני מטענים $q_{1},q_{2}$ הנמצאים במרחק $r$ הינו:

\vec{F}_{12}=k \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}\hat{r}

כאשר $k$ הינו קבוע קולון.

כדי לחשב את $r$ נוכל לבצע את הדבר הבא:
2 - חוק קולון ושדה חשמלי 2026-05-09 15.00.47.excalidraw.svg

\vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}

הערה

k=9\cdot 10^9\; \frac{N\cdot m^2}{C^2}

סופרפוזיציה

\vec{F}=\sum_{i=1}^n k \frac{q_{i}q_{0}}{|\vec{r}_{0}-\vec{r}_{i}|^3}(\vec{r}_{0}-\vec{r}_{i})

במידה ויש צפיפות מטען מסויימת, נוכל להשתמש באינטגרל כך:

dQ=\sigma(x,y)ds

d\vec{F}=k \frac{q_{0}dQ}{r^2}\hat{r} \implies \vec{F}=\iint d\vec{F}

נשים לב כי נדרש לפרק את $r$ ל- $x,y$ שכן גם הוא מסמל מרחק וגם הצפיפות עצמה תלויה במיקום, כפי שראינו בנוסחה ממקודם.

תרגול כוח חשמלי

תרגיל

נתונים שלושה מטענים ומיקומם:

q_{1}=q,\;q_{2}=-2q,\; q_{3}=3q

\vec{r}_{1}=\hat{x}-\hat{y},\;\vec{r}_{2}=-\hat{x}-\hat{y},\; \vec{r}_{3}=0

מהו הכוח הפועל על $q_{3}$ ?

\begin{align*} \vec{F}&=\vec{F}_{13}+\vec{F}_{23}=k \frac{q_{1}q_{3}}{|\vec{r}_{3}-\vec{r}_{1}|^3}(\vec{r}_{3}-\vec{r}_{1})+k \frac{q_{2}q_{3}}{|\vec{r}_{3}-\vec{r}_{2}|}(\vec{r}_{3}-\vec{r}_{2}) \\ &=k \frac{3q^2}{2\sqrt{ 2 }}(-\hat{x}+\hat{y})-k \frac{6q^2}{2\sqrt{ 2 }}(\hat{x}+\hat{y}) \\ &=-\frac{9kq^2}{2\sqrt{ 2 }}\hat{x}-\frac{3kq^2}{2\sqrt{ 2 }}\hat{y} \end{align*}

השדה החשמלי

שדה חשמלי מייצג כוח ליחידת מטען. נסמנו ב- $E$ .

\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_{0}}\;\; \left[ \frac{N}{C} \right]

הערה

התפלגות רציפה של שדה

d\vec{E}(\vec{r})=\frac{kdQ}{\vec{r}^2}\hat{r}

כאשר $\vec{r}=\vec{r}_{0}-\vec{r}'$ .
כעת, נוכל לבצע אינטגרל כדי למצוא את השדה הכולל הבוקע מהגוף.

הערה (תזכורת מהתרגול הקודם)

תרגול שדה

תרגיל

dQ=\sigma ds=Ar^2\cdot rd\theta dr=Ar^3d\theta dr

r=\sqrt{ r_{xy}^2+h^2 }

\sin\alpha=\frac{h}{\sqrt{ r_{xy}^2+h^2 }}

כעת, נוכל לחשב את אלמנט השדה שלנו:

dE_{z}=k \frac{dQ}{r^2}\sin\alpha=k \frac{Ahr^3}{(h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}drd\theta

כעת, נוכל לחשב את האינטגרל:

E_{z}=\int dE_{z}= kAh\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^R \frac{r^3}{(h^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}drd\theta=kAh\cdot 2\pi\cdot \left( \frac{2h^2+R^2}{R^2+h^2}-\frac{2h^2}{\sqrt{ h^2 }} \right)=2\pi kAh \left( \frac{2h^2+R^2}{R^2+h^2}-2h \right)

\vec{E}= 2\pi kAh\left( \frac{2h^2+R^2}{R^2+h^2}-2h \right)\hat{z}

תרגיל

נוכל לפתור את תרגיל זה בשתי דרכים:

בדומה לתרגיל הקודם, רק כאשר הגבולות ב- $R$ ו- $\frac{R}{2}$ במקום $R$ ו- $0$ .
נוכל לפתור גם כן באמצעות עקרון הסופרפוזיציה ושימוש בתוצאה ידועה מההרצאות של שדה על ציר סימטריה של דסקה דקה בצפיפות מטען משטחית אחידה.

\vec{E}=2\pi k\sigma\left( 1-\frac{z}{\sqrt{ z^2+R^2 }} \right)\hat{z}

נשתמש בתוצאה זו ונחשב עבור שתי הדסקות שבנינו:

\begin{align*} \vec{E}&=\vec{E}_{+}-\vec{E}_{-}=2\pi k\sigma\left( 1-\frac{h}{\sqrt{ h^2+R^2 }} \right)\hat{z}+2\pi k(-\sigma)\left( 1-\frac{h}{\sqrt{ h^2+\left( \frac{R}{2} \right)^2 }} \right)\hat{z} \end{align*}

\vec{E}=2\pi k\sigma h\left( \frac{1}{\sqrt{ h^2+\left( \frac{R}{2} \right)^2 }}-\frac{1}{\sqrt{ h^2+R^2 }} \right)\hat{z}