חזור לתיקייה: תרגול

1(זאב) - חישובי אורך, שטח ונפח במערכות צירים שונות

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • מערכות צירים
  • חד מימד
  • מערכת צירים קרטזית - קו ישר
  • קו עקום - חלק ממעגל
  • דו מימד
  • מערכת צירים קרטזית
  • מערכת צירים פולרית
  • תלת מימד
  • קליפה כדורית
  • שטח
  • נפח הכדור
  • גליל
  • מטען חשמלי
  • צפיפות מטען

1(זאב) - חישובי אורך, שטח ונפח במערכות צירים שונות

01140052

פיזיקה 2

רשימות תרגול לקריאה בשבת

1(זאב) - חישובי אורך, שטח ונפח במערכות צירים שונות

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

מערכות צירים

במקרה החד מימדי יש לנו את אלמנט האורך dℓd\elldℓ. לכן, כל האורך הינו סכום של כל ה-dℓd \elldℓ-ים ולכן ∑ℓi  ⟹  ∫dℓ\sum \ell_{i}\implies \int d \ell∑ℓi​⟹∫dℓ.
מי זה dℓd \elldℓ? (אלמנט האורך) הוא תלוי במערכת הצירים.
כשיש לנו את האינטגרל הכללי עדיין לא נוכל לחשב כלום, נדרש לשים את הכל במערכת צירים כדי שנוכל לבצע את האינטגרל.

חד מימד

1. מערכת צירים קרטזית - קו ישר

​1 - חישובי אורך, שטח ונפח במערכות צירים שונות 2026-04-15 08.41.23.excalidraw.svg
ואז נקבל:

L=∫dℓ=∫0Ldx=x∣0L=LL=\int d \ell=\int_{0}^Ldx=\left.x\right \vert_{0}^L=LL=∫dℓ=0∫L​dx=x∣0L​=L

2. קו עקום - חלק ממעגל

​1 - חישובי אורך, שטח ונפח במערכות צירים שונות 2026-04-15 08.43.01.excalidraw.svg
נעבוד פה במערכת צירים פולרית(r,θr,\thetar,θ):

dℓ=Rdθd\ell=Rd\thetadℓ=Rdθ

אם יש לנו היקף של מעגל:

∫dℓ=∫02πRdθ=R⋅2π\int d \ell=\int_{0}^{2\pi}Rd\theta=R\cdot 2\pi∫dℓ=0∫2π​Rdθ=R⋅2π

דו מימד

​1 - חישובי אורך, שטח ונפח במערכות צירים שונות 2026-04-15 08.45.48.excalidraw.svg

A=∬dAA=\iint dAA=∬dA

1. מערכת צירים קרטזית

נקח חלק קטן dx×dydx\times dydx×dy מהקטע שלנו. ואז: dA=dxdydA=dxdydA=dxdy.
בשטח מלבן יהיה לנו:

A=∬dA=∫0a∫0bdxdy=∫0adx∫0bdy=abA=\iint dA=\int_{0}^a\int_{0}^b dxdy=\int_{0}^adx \int_{0}^bdy=abA=∬dA=0∫a​0∫b​dxdy=0∫a​dx0∫b​dy=ab
הערה

לפעמים מסמנים S,dSS,dSS,dS.

2. מערכת צירים פולרית

בעבור דסקה עם R,θR,\thetaR,θ.
​1 - חישובי אורך, שטח ונפח במערכות צירים שונות 2026-04-15 08.50.29.excalidraw.svg

dA=RdrdθdA=Rdrd\thetadA=Rdrdθ

כאשר ה-RdθRd\thetaRdθ מגיע מהקשת ו-drdrdr מגיע מהרדיוס.

דוגמה

שטח רבע מעגל ברדיוס RRR הינו

A=∬dA=∫0R∫0π2rdrdθ=∫0Rrdr∫0π2dθ=R22⋅π2=πR24A=\iint dA=\int_{0}^R\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}rdrd\theta=\int_{0}^R rdr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta=\frac{R^2}{2}\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi R^2}{4}A=∬dA=0∫R​0∫2π​​rdrdθ=0∫R​rdr0∫2π​​dθ=2R2​⋅2π​=4πR2​

תלת מימד

קליפה כדורית

שטח

נסתכל על קליפה כדורית עם R,θ,φR,\theta,\varphiR,θ,φ כאשר:
​1 - חישובי אורך, שטח ונפח במערכות צירים שונות 2026-04-15 08.57.13.excalidraw.svg
מתקיים כי:

θ∈[0,π]φ∈[0,2π]\theta \in[0,\pi] \qquad \qquad \varphi \in[0,2\pi]θ∈[0,π]φ∈[0,2π] dA=R2sin⁡θdθdφdA=R^2\sin\theta d\theta d\varphidA=R2sinθdθdφ
דוגמה (שטח חצי כדור עליון)

A=∬dA=∫02π∫0π2R2sin⁡θdθdφ=R2↓R22π↓φ⋅1↓θ=2πR2A=\iint dA=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^2\sin\theta d\theta d\varphi=\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R^2 \end{matrix}}{R^2} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \varphi \end{matrix}}{2\pi} \cdot \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \theta \end{matrix}}{1}=2\pi R^2A=∬dA=0∫2π​0∫2π​​R2sinθdθdφ=↓R2​R2​↓φ​2π​⋅↓θ​1​=2πR2
נפח הכדור

אנחנו נרצה למצוא את הנפח. באופן כללי, הנפח יהיה V=∭dVV=\iiint dVV=∭dV.
מי זה dVdVdV? תלוי במערכת צירים כמובן.
זה כמו במקרה התלת מימדי של הקליפה הכדורית אבל עם תוספת drdrdr כך:

dV=r2sin⁡θdrdθdφdV=r^2\sin\theta drd\theta d\varphidV=r2sinθdrdθdφ

נפח כדור: V=4πr33V=\frac{4\pi r^3}{3}V=34πr3​.

גליל

עבור שטח הגליל: dA=RdθdzdA=Rd\theta dzdA=Rdθdz
עבור נפח הגליל: dV=r2sin⁡θdrdθdzdV=r^2\sin\theta drd\theta dzdV=r2sinθdrdθdz.

מטען חשמלי

צפיפות מטען

אם יש לנו גוף רציף עם מטען QQQ איך נוכל לדעת מה המטען?

Q=∫dqQ=\int dqQ=∫dq

כעת, נרצה לדעת מי זה dqdqdq? ובכן, זה תלוי.

  • אם חד מימד: dq=λdℓdq=\lambda d \elldq=λdℓ כש-λ\lambdaλ היא צפיפות מטען אורכית.
  • אם דו מימדי: dq=σdAdq=\sigma dAdq=σdA כש-σ\sigmaσ היא צפיפות מטען משטחית.
  • אם תלת מימד: dq=ρdVdq=\rho dVdq=ρdV כש-ρ\rhoρ היא צפיפות מטען נפחית.
תרגיל

נתון חוט ישר המונח לאורך ציר ה-xxx כך שקצהו האחד ב-x=0x=0x=0 וקצהו השני ב-x=Lx=Lx=L. החוט טעון בצפיפות מטען λ(x)=λ0xL\lambda(x)=\lambda_{0} \frac{x}{L}λ(x)=λ0​Lx​. מהוא המטען הכולל של החוט?

פתרון:

Q=∫dQ=∫λdℓ=∫0Lλ0xLdx=λ0L⋅L22=λ0L2Q=\int dQ=\int\lambda d \ell=\int_{0}^L \lambda_{0} \frac{x}{L}dx=\frac{\lambda_{0}}{L} \cdot \frac{L^2}{2}=\frac{\lambda_{0} L}{2}Q=∫dQ=∫λdℓ=0∫L​λ0​Lx​dx=Lλ0​​⋅2L2​=2λ0​L​
תרגיל

נתונה רבע דסקה בעלת רדיוס RRR עם צפיפות מטען משטחית σ(r)=σ0r2R2\sigma(r)=\sigma_{0} \frac{r^2}{R^2}σ(r)=σ0​R2r2​. מהו המטען הכולל?

פתרון:

Q=∫dq=∬σdA=∫0R∫0π2σ0r2R2rdrdθ=σ0R2∫0Rr3dr∫0π2dθ=σ0R2⋅R44⋅π2=πσ0R28Q=\int dq=\iint \sigma dA=\int_{0}^R\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sigma_{0} \frac{r^2}{R^2}rdrd\theta=\frac{\sigma_{0}}{R^2}\int_{0}^Rr^3dr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta=\frac{\sigma_{0}}{R^2}\cdot \frac{R^4}{4}\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi\sigma_{0}R^2}{8}Q=∫dq=∬σdA=0∫R​0∫2π​​σ0​R2r2​rdrdθ=R2σ0​​0∫R​r3dr0∫2π​​dθ=R2σ0​​⋅4R4​⋅2π​=8πσ0​R2​
תרגיל

כדור ברדיוס RRR טעון בצפיפות מטען אחידה. מהו המטען בכדור?

Q=∫dq=∭ρdV=∭ρr2sin⁡θdrdθdφ=ρ∭dV=ρ4πR33Q=\int dq=\iiint \rho dV=\iiint \rho r^2\sin\theta drd\theta d\varphi=\rho \iiint dV=\rho \frac{4\pi R^3}{3}Q=∫dq=∭ρdV=∭ρr2sinθdrdθdφ=ρ∭dV=ρ34πR3​

אם שוכחים נפח כדור:

∫0R∫02π∫0πr2sin⁡θdrdθdφ=R33(−cos⁡θ)∣0π⋅2π=4πR33\int_{0}^R\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^\pi r^2\sin\theta drd\theta d\varphi=\left.\frac{R^3}{3}(-\cos\theta)\right\vert_{0}^{\pi}\cdot 2\pi=\frac{4\pi R^3}{3}0∫R​0∫2π​0∫π​r2sinθdrdθdφ=3R3​(−cosθ)​0π​⋅2π=34πR3​