נתון גליל אינסופי שרדיוסו R = 0.015 m R=0.015m R = 0.015 m ρ = 0.3 C m 3 \rho=0.3 \frac{C}{m^3} ρ = 0.3 m 3 C z ^ \hat{z} z ^ V ⃗ = 20 z ^ m sec \vec{V}=20\hat{z} \frac{m}{\sec} V = 20 z ^ s e c m מהו הזרם דרך מישור x y xy x y
לפי דף הנוסחאות אנו יודעים כי J ⃗ = ρ ⋅ v ⃗ \vec{J}=\rho\cdot \vec{v} J = ρ ⋅ v J ⃗ \vec{J} J
I = ∮ ∮ J ⃗ ⋅ d s ⃗ = ∮ ∮ J z ^ ⋅ d s z ^ = ∮ ∮ J d s = ∮ ∮ J r d r d φ = ρ V ∫ 0 R ∫ 0 2 π r d r d φ = ρ V R 2 2 ⋅ 2 π I=\oiint \vec{J}\cdot d\vec{s}=\oiint J\hat{z}\cdot ds\hat{z}=\oiint Jds=\oiint Jrdrd\varphi=\rho V\int_{0}^R \int_{0}^{2\pi} rdrd\varphi=\rho V \frac{R^2}{2}\cdot 2\pi I = ∮ ∮ J ⋅ d s = ∮ ∮ J z ^ ⋅ d s z ^ = ∮ ∮ Jd s = ∮ ∮ J r d r d φ = ρ V 0 ∫ R 0 ∫ 2 π r d r d φ = ρ V 2 R 2 ⋅ 2 π I = π ρ V R 2 = 4.24115 ⋅ 10 − 3 = 0.00424115 [ A ] I=\pi\rho VR^2=4.24115\cdot 10^{-3}=0.00424115\; [A] I = π ρ V R 2 = 4.24115 ⋅ 1 0 − 3 = 0.00424115 [ A ] זהו בדיוק הזרם דרך מישור x y xy x y
נתון המעגל החשמלי הבא, המורכב מארבעה נגדים זהים המחוברים כמתואר באיור וסוללה המספקת כא"מ ε \epsilon ε מהי ההתנגדות השקולה?
ישנה צומת במעגל, אך נשים לב כי שני הנגדים העליון והתחתון מחוברים בטור שכן עובר דרכם אותו הזרם ולכן:
R T ∗ = R + R = 2 R R_{T}^*=R+R=2R R T ∗ = R + R = 2 R כעת, נראה כי יש לנו את הנגד השקול החדש שלנו ואת הנגד השמאלי במעגל אשר מחובר אליו במקביל. לכן מתקיים:
1 R T ∗ ∗ = 1 R T ∗ + 1 R = 1 2 R + 1 R = 3 2 R ⟹ R T ∗ ∗ = 2 3 R \frac{1}{R_{T}^{**}}=\frac{1}{R_{T}^*}+\frac{1}{R}=\frac{1}{2R}+\frac{1}{R}=\frac{3}{2R} \implies R_{T}^{**}=\frac{2}{3}R R T ∗∗ 1 = R T ∗ 1 + R 1 = 2 R 1 + R 1 = 2 R 3 ⟹ R T ∗∗ = 3 2 R כעת, שני הנגדים שנותרו מחוברים בטור ולכן:
R T = R T ∗ ∗ + R = 2 3 R + 3 3 R = 5 3 R R_{T}=R_{T}^{**}+R=\frac{2}{3}R+\frac{3}{3}R=\frac{5}{3}R R T = R T ∗∗ + R = 3 2 R + 3 3 R = 3 5 R וזוהי התשובה.
על תיל בצורת גליל, בעל מוליכות סגולית אחידה σ \sigma σ L L L V V V a a a
ככל שהרדיוס יקטן כך תגדל צפיפות הזרם
ככל שהרדיוס יגדל כך תגדל צפיפות הזרם
מקסימום זרם מתקבל ב-a = 4 π L 2 a=\sqrt{ 4\pi L^2 } a = 4 π L 2
מקסימום זרם מתקבל ב-a = 4 L 2 π a=\sqrt{ \frac{4L^2}{\pi} } a = π 4 L 2
מקסימום זרם מתקבל ב-a = π L 2 a=\sqrt{ \pi L^2 } a = π L 2
לצפיפות הזרם אין תלות ברדיוס החוט
מקסימום זרם מתקבל ב-a = L 2 4 π a=\sqrt{ \frac{L^2}{4\pi} } a = 4 π L 2
מקסימום זרם מתקבל ב-a = L 2 π a=\sqrt{ \frac{L^2}{\pi} } a = π L 2
נשים לב כי צפיפות זרם הינה:
J = I A = V R A = V σ L J=\frac{I}{A}=\frac{V}{RA}=\frac{V\sigma}{L} J = A I = R A V = L Vσ כפי שנראה פה אין תלות כלל ב-a a a 6 .
נתון המעגל החשמלי הבא:
R 1 = 486 Ω R 2 = 200 Ω R 3 = 100 Ω R 4 = 200 Ω R 5 = 517 Ω R_{1}=486\;\Omega \quad R_{2}=200\;\Omega \quad R_{3}=100\;\Omega \quad R_{4}=200\;\Omega \quad R_{5}=517\; \Omega R 1 = 486 Ω R 2 = 200 Ω R 3 = 100 Ω R 4 = 200 Ω R 5 = 517 Ω מהי ההתנגדות הכוללת של המעגל המחובר לסוללה? ההתנגדות הפנימית של הסוללה זניחה.
נשים לב כי R 3 , R 4 R_{3},R_{4} R 3 , R 4
R 34 = R 3 + R 4 R_{34}=R_{3}+R_{4} R 34 = R 3 + R 4 כעת, הנגדים R 34 , R 2 R_{34},R_{2} R 34 , R 2
1 R 234 = 1 R 34 + 1 R 2 = R 2 + R 34 R 2 R 34 ⟹ R 234 = R 2 R 34 R 2 + R 34 \frac{1}{R_{234}}=\frac{1}{R_{34}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{R_{2}+R_{34}}{R_{2}R_{34}} \implies R_{234}=\frac{R_{2}R_{34}}{R_{2}+R_{34}} R 234 1 = R 34 1 + R 2 1 = R 2 R 34 R 2 + R 34 ⟹ R 234 = R 2 + R 34 R 2 R 34 כעת, קיבלנו שלושה נגדים R 1 , R 234 , R 5 R_{1},R_{234},R_{5} R 1 , R 234 , R 5
R T = R 1 + R 234 + R 5 = R 1 + R 2 R 34 R 2 + R 34 + R 5 = R 1 + R 2 ( R 3 + R 4 ) R 2 + R 3 + R 4 + R 5 R_{T}=R_{1}+R_{234}+R_{5}=R_{1}+\frac{R_{2}R_{34}}{R_{2}+R_{34}}+R_{5}=R_{1}+\frac{R_{2}(R_{3}+R_{4})}{R_{2}+R_{3}+R_{4}}+R_{5} R T = R 1 + R 234 + R 5 = R 1 + R 2 + R 34 R 2 R 34 + R 5 = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 R 2 ( R 3 + R 4 ) + R 5 לכן מתקבל:
R T = 1123 Ω R_{T}=1123\; \Omega R T = 1123 Ω וזוהי התשובה.
נתון מעגל חשמלי המורכב מסוללה המספקת מתח V 0 V_{0} V 0 מהו הזרם דרך הנגד שהתנגדותו 2 R 2R 2 R V 0 R \frac{V_{0}}{R} R V 0
נתחיל בלחשב את ההתנגדות הכוללת ואז את הזרם העובר דרך הנגדים השונים.
1 R 42 = 1 4 R + 1 2 R = 1 4 R + 2 4 R = 3 4 R ⟹ R 42 = 4 3 R \frac{1}{R_{42}}=\frac{1}{4R}+\frac{1}{2R}=\frac{1}{4R}+\frac{2}{4R}=\frac{3}{4R}\implies R_{42}=\frac{4}{3}R R 42 1 = 4 R 1 + 2 R 1 = 4 R 1 + 4 R 2 = 4 R 3 ⟹ R 42 = 3 4 R כעת, יש לנו שני נגדים המחוברים בטור:
R T = R + R 42 = 3 3 R + 4 3 R = 7 3 R R_{T}=R+R_{42}=\frac{3}{3}R+\frac{4}{3}R=\frac{7}{3}R R T = R + R 42 = 3 3 R + 3 4 R = 3 7 R כעת, לפי חוק אוהם V = R I V=RI V = R I
V 0 = R T I T ⟹ I T = V 0 7 3 R = 3 V 0 7 R V_{0}=R_{T}I_{T}\implies I_{T}=\frac{V_{0}}{\frac{7}{3}R}=\frac{3V_{0}}{7R} V 0 = R T I T ⟹ I T = 3 7 R V 0 = 7 R 3 V 0 לפי הגדרת חיבור בטור אנו יודעים של נגדים המחוברים בטור הזרם נשמר. לכן, נמצא את V 24 V_{24} V 24 R 42 R_{42} R 42
V 24 = R 42 I T = 4 3 R ⋅ 3 V 0 7 R = 4 7 V 0 V_{24}=R_{42}I_{T}=\frac{4}{3}R \cdot \frac{3V_{0}}{7R}=\frac{4}{7}V_{0} V 24 = R 42 I T = 3 4 R ⋅ 7 R 3 V 0 = 7 4 V 0 כעת, לפי הגדרת חיבור במקביל אנו יודעים שעל נגדים המחוברים במקביל המתח זהה ולכן:
V 24 = R 2 I 2 = 2 R I 2 = 4 7 V 0 ⟹ I 2 = 2 7 V 0 R = 0.2857142 V 0 R V_{24}=R_{2}I_{2}=2RI_{2}=\frac{4}{7}V_{0} \implies I_{2}=\frac{2}{7} \frac{V_{0}}{R}=0.2857142 \frac{V_{0}}{R} V 24 = R 2 I 2 = 2 R I 2 = 7 4 V 0 ⟹ I 2 = 7 2 R V 0 = 0.2857142 R V 0 וזוהי התשובה הסופית.
נתון נגד בצורת גליל בעל רדיוס a a a L L L ρ ( r ) = ρ 0 r a \rho(r)=\rho_{0} \frac{r}{a} ρ ( r ) = ρ 0 a r V V V מהו הזרם הזורם דרך הנגד?
נצייר סקיצה:d r dr d r d R dR d R d A = 2 π r d r dA=2\pi rdr d A = 2 π r d r
d R = ρ L d A = ρ 0 r a L 2 π r d r = ρ 0 L 2 π a d r dR=\frac{\rho L}{dA}=\rho_{0} \frac{r}{a} \frac{L}{2\pi rdr}=\frac{\rho_{0}L}{2\pi a\,dr} d R = d A ρ L = ρ 0 a r 2 π r d r L = 2 πa d r ρ 0 L הזרם עובר במקביל לחיתוך הזה ולכן הנגדים החדשים שלנו מחוברים במקביל.
1 R T = ∫ 0 a 1 d R = ∫ 0 a 1 ρ 0 L 2 π a d r = 2 π a ρ 0 L ∫ 0 a d r = 2 π a 2 ρ 0 L \frac{1}{R_{T}}=\int_{0}^a \frac{1}{dR}=\int_{0}^a \frac{1}{\frac{\rho_{0}L}{2\pi a\;dr}}=\frac{2\pi a}{\rho_{0}L}\int_{0}^a dr=\frac{2\pi a^2}{\rho_{0}L} R T 1 = 0 ∫ a d R 1 = 0 ∫ a 2 πa d r ρ 0 L 1 = ρ 0 L 2 πa 0 ∫ a d r = ρ 0 L 2 π a 2 ⟹ R T = ρ 0 L 2 π a 2 \implies R_{T}=\frac{\rho_{0}L}{2\pi a^2} ⟹ R T = 2 π a 2 ρ 0 L לפי חוק אוהם המאקרוסקופי נקבל V = R I V=RI V = R I
I = V R = 2 π a 2 V ρ 0 L I=\frac{V}{R}=\frac{2\pi a^2V}{\rho_{0}L} I = R V = ρ 0 L 2 π a 2 V
נתון מעגל חשמלי המורכב מסוללה המספקת מתח של V 0 V_{0} V 0 a a a אידיאלי (חסרי התנגדות כמו החוטים) כך שכל בסיס של הנגד נוגע כולו בחיבור החשמלי.ρ 0 \rho_{0} ρ 0 a a a ρ ( r ) = ρ 0 r a \rho(r)=\rho_{0} \frac{r}{a} ρ ( r ) = ρ 0 a r 2 a 2a 2 a מהו הזרם הזורם במעגל, I I I V 0 π a ρ 0 \frac{V_{0}\pi a}{\rho_{0}} ρ 0 V 0 πa
ראינו בשאלה קודמת את ההתנגדות דרך הנגד ρ ( r ) \rho(r) ρ ( r ) R 2 a = ρ 0 2 a 2 π a 2 = ρ 0 π a R_{2a}=\frac{\rho_{0}2a}{2\pi a^2}=\frac{\rho_{0}}{\pi a} R 2 a = 2 π a 2 ρ 0 2 a = πa ρ 0 R a = ρ 0 L A = ρ 0 a π a 2 = ρ 0 π a R_{a}=\rho_{0} \frac{L}{A}=\rho_{0} \frac{a}{\pi a^2}=\frac{\rho_{0}}{\pi a} R a = ρ 0 A L = ρ 0 π a 2 a = πa ρ 0
R T = ρ 0 π a + ρ 0 π a = 2 ρ 0 π a R_{T}=\frac{\rho_{0}}{\pi a}+\frac{\rho_{0}}{\pi a}=\frac{2\rho_{0}}{\pi a} R T = πa ρ 0 + πa ρ 0 = πa 2 ρ 0 לכן, נוכל לחשב כעת את הזרם הזורם במעגל:
V = I R ⟹ I = V R = V 0 2 ρ 0 π a = 1 2 V 0 π a ρ 0 V=IR \implies I=\frac{V}{R}=\frac{V_{0}}{2\frac{\rho_{0}}{\pi a}}=\frac{1}{2} \frac{V_{0}\pi a}{\rho_{0}} V = I R ⟹ I = R V = 2 πa ρ 0 V 0 = 2 1 ρ 0 V 0 πa וזוהי התשובה.
נתון נגד בצורת תיבה עם מקצועות a × 2 a × 3 a a \times2a\times 3a a × 2 a × 3 a ρ ( x ) = ρ 0 e − x a \rho(x)=\rho_{0}e^{-\frac{x}{a}} ρ ( x ) = ρ 0 e − a x x ^ \hat{x} x ^ R x R_{x} R x y ^ \hat{y} y ^ R y R_{y} R y R x R y \frac{R_{x}}{R_{y}} R y R x
נתחיל מהמצב בו הזרם זורם ב-x ^ \hat{x} x ^ x ^ \hat{x} x ^
d R = ρ ( x ) d L A = ρ 0 e − x a d x 6 a 2 dR=\rho(x) \frac{dL}{A}=\rho_{0}e^{-\frac{x}{a}} \frac{dx}{6a^2} d R = ρ ( x ) A d L = ρ 0 e − a x 6 a 2 d x ואז נקבל:
R x = ∫ 0 a d R = ρ 0 6 a 2 ∫ 0 a e − x a d x = ρ 0 6 a 2 ⋅ − a e − x a ∣ 0 a = ρ 0 6 a ( 1 − e − 1 ) = ρ 0 6 a ( 1 − 1 e ) R_{x}=\int_{0}^{a}dR=\frac{\rho_{0}}{6a^2}\int_{0}^{a} e^{-\frac{x}{a}}dx=\left.\frac{\rho_{0}}{6a^2}\cdot -ae^{-\frac{x}{a}}\right\vert_{0}^{a}=\frac{\rho_{0}}{6a}(1-e^{-1})=\frac{\rho_{0}}{6a}\left( 1-\frac{1}{e} \right) R x = 0 ∫ a d R = 6 a 2 ρ 0 0 ∫ a e − a x d x = 6 a 2 ρ 0 ⋅ − a e − a x 0 a = 6 a ρ 0 ( 1 − e − 1 ) = 6 a ρ 0 ( 1 − e 1 ) כעת, נעבור למצב בו הזרם זורם ב-y ^ \hat{y} y ^
d R = ρ ( x ) L d A = ρ 0 e − x a 2 a 3 a ⋅ d x = 2 3 ρ 0 e − x a ⋅ 1 d x dR=\rho(x) \frac{L}{dA}=\rho_{0}e^{-\frac{x}{a}} \frac{2a}{3a\cdot dx}=\frac{2}{3}\rho_{0}e^{-\frac{x}{a}} \cdot \frac{1}{dx} d R = ρ ( x ) d A L = ρ 0 e − a x 3 a ⋅ d x 2 a = 3 2 ρ 0 e − a x ⋅ d x 1 1 R y = ∫ 0 a 1 d R = 3 2 ρ 0 ∫ 0 a d x e − x a = 3 2 ρ 0 ∫ 0 a e x a d x = 3 2 ρ 0 ⋅ a e x a ∣ 0 a = 3 a 2 ρ 0 ( e − 1 ) \frac{1}{R_{y}}=\int_{0}^{a} \frac{1}{dR}=\frac{3}{2\rho_{0}}\int_{0}^a \frac{dx}{e^{-\frac{x}{a}}}=\frac{3}{2\rho_{0}}\int_{0}^a e^{\frac{x}{a}}dx=\left. \frac{3}{2\rho_{0}}\cdot ae^{\frac{x}{a}} \right\vert_{0}^a=\frac{3a}{2\rho_{0}}(e-1) R y 1 = 0 ∫ a d R 1 = 2 ρ 0 3 0 ∫ a e − a x d x = 2 ρ 0 3 0 ∫ a e a x d x = 2 ρ 0 3 ⋅ a e a x 0 a = 2 ρ 0 3 a ( e − 1 ) R y = 2 ρ 0 3 a ( e − 1 ) R_{y}=\frac{2\rho_{0}}{3a(e-1)} R y = 3 a ( e − 1 ) 2 ρ 0 לכן מתקיים:
R x R y = ρ 0 6 a ( 1 − 1 e ) ⋅ 3 a ( e − 1 ) 2 ρ 0 = e − 1 4 ( 1 − 1 e ) = e − 1 4 ( e − 1 e ) = ( e − 1 ) 2 4 e \frac{R_{x}}{R_{y}}=\frac{\rho_{0}}{6a}\left( 1-\frac{1}{e} \right)\cdot \frac{3a(e-1)}{2\rho_{0}}=\frac{e-1}{4}\left( 1-\frac{1}{e} \right)=\frac{e-1}{4}\left( \frac{e-1}{e} \right)=\frac{(e-1)^2}{4e} R y R x = 6 a ρ 0 ( 1 − e 1 ) ⋅ 2 ρ 0 3 a ( e − 1 ) = 4 e − 1 ( 1 − e 1 ) = 4 e − 1 ( e e − 1 ) = 4 e ( e − 1 ) 2 R x R y = e 2 − 2 e + 1 4 e = 1 4 ( e − 2 + 1 e ) \frac{R_{x}}{R_{y}}=\frac{e^2-2e+1}{4e}=\frac{1}{4}\left( e-2+\frac{1}{e} \right) R y R x = 4 e e 2 − 2 e + 1 = 4 1 ( e − 2 + e 1 ) וזוהי התשובה.
נתון המעגל החשמלי המתואר באיור. דרך הנגד R 4 R_{4} R 4 3 A 3A 3 A הסוללות אידיאליות
נשתמש פה בחוקי קירכהוף.
ישנה צומת אחת ולכן נדרש ל-0 0 0
ישנם 3 3 3
[סליחה שלא פתרתי את זה במלואו]
V 2 = 9 V V_{2}=9V V 2 = 9 V
נתון מעגל חשמלי בו 5 5 5 ε = 12 V \epsilon=12V ε = 12 V r = 5 Ω r=5\Omega r = 5Ω
נקבע את הזרמים שלנו:
1. I 1 = I 2 + I 3 2. I 2 = I 4 + I 5 3. I 1 = I 5 + I 6 4. I 6 = I 3 + I 4 5. I 3 R 2 + I 6 R 1 + I 1 r − ε = 0 6. I 2 R 1 + I 5 R 2 + I 1 r − ε = 0 7. I 2 R 1 + I 4 R 3 + I 6 R 1 + I 1 r − ε = 0 \begin{align*}
1.\; & I_{1}=I_{2}+I_{3} \\
2.\; & I_{2}=I_{4}+I_{5} \\
3.\; & I_{1}=I_{5}+I_{6} \\
4.\; & I_{6}=I_{3}+I_{4} \\
5.\; & I_{3}R_{2}+I_{6}R_{1}+I_{1}r-\epsilon=0 \\
6.\; & I_{2}R_{1}+I_{5}R_{2}+I_{1}r-\epsilon=0 \\
7.\; & I_{2}R_{1}+I_{4}R_{3}+I_{6}R_{1}+I_{1}r-\epsilon=0
\end{align*} 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. I 1 = I 2 + I 3 I 2 = I 4 + I 5 I 1 = I 5 + I 6 I 6 = I 3 + I 4 I 3 R 2 + I 6 R 1 + I 1 r − ε = 0 I 2 R 1 + I 5 R 2 + I 1 r − ε = 0 I 2 R 1 + I 4 R 3 + I 6 R 1 + I 1 r − ε = 0 קיבלנו פה שבעה משוואות אשר בשבילן יש לנו שבעה משתנים.
( 5 ) − ( 6 ) : 0 = I 3 R 2 + I 6 R 1 − I 2 R 1 − I 5 R 2 ⟹ I 3 R 2 + I 6 R 1 = I 2 R 1 + I 5 R 2 (5)-(6):\quad 0=I_{3}R_{2}+I_{6}R_{1}-I_{2}R_{1}-I_{5}R_{2}\implies I_{3}R_{2}+I_{6}R_{1}=I_{2}R_{1}+I_{5}R_{2} ( 5 ) − ( 6 ) : 0 = I 3 R 2 + I 6 R 1 − I 2 R 1 − I 5 R 2 ⟹ I 3 R 2 + I 6 R 1 = I 2 R 1 + I 5 R 2 I 3 R 2 + I 3 R 1 + I 4 R 1 = I 4 R 1 + I 5 R 1 + I 5 R 2 I_{3}R_{2}+I_{3}R_{1}+I_{4}R_{1}=I_{4}R_{1}+I_{5}R_{1}+I_{5}R_{2} I 3 R 2 + I 3 R 1 + I 4 R 1 = I 4 R 1 + I 5 R 1 + I 5 R 2 I 3 ( R 2 + R 1 ) = I 5 ( R 1 + R 2 ) ⟹ I 3 = I 5 I_{3}(R_{2}+R_{1})=I_{5}(R_{1}+R_{2}) \implies I_{3}=I_{5} I 3 ( R 2 + R 1 ) = I 5 ( R 1 + R 2 ) ⟹ I 3 = I 5 I 1 = I 2 + I 3 = I 5 + I 6 ⟹ I 2 + I 3 = I 3 + I 6 ⟹ I 2 = I 6 I_{1}=I_{2}+I_{3}=I_{5}+I_{6}\implies I_{2}+I_{3}=I_{3}+I_{6}\implies I_{2}=I_{6} I 1 = I 2 + I 3 = I 5 + I 6 ⟹ I 2 + I 3 = I 3 + I 6 ⟹ I 2 = I 6 I 2 = I 4 + I 5 = I 4 + I 3 ⟹ I 4 = I 2 − I 3 I_{2}=I_{4}+I_{5}=I_{4}+I_{3}\implies I_{4}=I_{2}-I_{3} I 2 = I 4 + I 5 = I 4 + I 3 ⟹ I 4 = I 2 − I 3 נשווה:
− I 3 R 2 = I 3 R 3 − I 2 R 1 − I 2 R 3 ⟹ I 3 ( R 3 + R 2 ) = I 2 ( R 1 + R 3 ) ⟹ I 3 = R 1 + R 3 R 2 + R 3 I 2 -I_{3}R_{2}=I_{3}R_{3}-I_{2}R_{1}-I_{2}R_{3}\implies I_{3}(R_{3}+R_{2})=I_{2}(R_{1}+R_{3}) \implies I_{3}=\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}I_{2} − I 3 R 2 = I 3 R 3 − I 2 R 1 − I 2 R 3 ⟹ I 3 ( R 3 + R 2 ) = I 2 ( R 1 + R 3 ) ⟹ I 3 = R 2 + R 3 R 1 + R 3 I 2 I 3 R 2 + I 2 R 1 + I 2 r + I 3 r − ε = I 3 ( R 2 + r ) + I 2 ( R 1 + r ) − ε = 0 I_{3}R_{2}+I_{2}R_{1}+I_{2}r+I_{3}r-\epsilon=I_{3}(R_{2}+r)+I_{2}(R_{1}+r)-\epsilon=0 I 3 R 2 + I 2 R 1 + I 2 r + I 3 r − ε = I 3 ( R 2 + r ) + I 2 ( R 1 + r ) − ε = 0 ε = R 1 + R 3 R 2 + R 3 I 2 ( R 2 + r ) + I 2 ( R 1 + r ) \epsilon=\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}I_{2}(R_{2}+r)+I_{2}(R_{1}+r) ε = R 2 + R 3 R 1 + R 3 I 2 ( R 2 + r ) + I 2 ( R 1 + r ) I 2 = ε R 1 + R 3 R 2 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r I_{2}=\frac{\epsilon}{\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}(R_{2}+r)+R_{1}+r} I 2 = R 2 + R 3 R 1 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r ε ולכן נקבל:
I 3 = R 1 + R 3 R 2 + R 3 ⋅ ε R 1 + R 3 R 2 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r I_{3}=\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}\cdot\frac{\epsilon}{\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}(R_{2}+r)+R_{1}+r} I 3 = R 2 + R 3 R 1 + R 3 ⋅ R 2 + R 3 R 1 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r ε I 1 = I 2 + I 3 = ε R 1 + R 3 R 2 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r + R 1 + R 3 R 2 + R 3 ⋅ ε R 1 + R 3 R 2 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r I_{1}=I_{2}+I_{3}=\frac{\epsilon}{\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}(R_{2}+r)+R_{1}+r}+\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}\cdot\frac{\epsilon}{\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}(R_{2}+r)+R_{1}+r} I 1 = I 2 + I 3 = R 2 + R 3 R 1 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r ε + R 2 + R 3 R 1 + R 3 ⋅ R 2 + R 3 R 1 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r ε I 1 = ε R 1 + R 3 R 2 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r ( R 1 + R 3 R 2 + R 3 + 1 ) = ε R 1 + R 3 R 2 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r R 1 + R 2 + 2 R 3 R 2 + R 3 I_{1}=\frac{\epsilon}{\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}(R_{2}+r)+R_{1}+r}\left(\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}+1\right)=\frac{\epsilon}{\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{2}+R_{3}}(R_{2}+r)+R_{1}+r} \frac{R_{1}+R_{2}+2R_{3}}{R_{2}+R_{3}} I 1 = R 2 + R 3 R 1 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r ε ( R 2 + R 3 R 1 + R 3 + 1 ) = R 2 + R 3 R 1 + R 3 ( R 2 + r ) + R 1 + r ε R 2 + R 3 R 1 + R 2 + 2 R 3 I 1 = ε ( R 1 + R 2 + 2 R 3 ) ( R 1 + R 3 ) ( R 2 + r ) + ( R 1 + r ) ( R 2 + R 3 ) I_{1}=\frac{\epsilon(R_{1}+R_{2}+2R_{3})}{(R_{1}+R_{3})(R_{2}+r)+(R_{1}+r)(R_{2}+R_{3})} I 1 = ( R 1 + R 3 ) ( R 2 + r ) + ( R 1 + r ) ( R 2 + R 3 ) ε ( R 1 + R 2 + 2 R 3 ) נחשב ונקבל:
I 1 = 0.2 A I_{1}=0.2A I 1 = 0.2 A 
