גליון 5 — פיזיקה 2 | תיקיית הסיכומים

תרגיל (1)

בחרו את ההיגד הנכון לגבי מוליכים במצב אלקטרוסטטי:

במצב אלקטרוסטטי, לא ניתן לדעת מה השדה בתוך מוליך. השדה בתוך המוליך יכול להיות שונה מ-0 אם יש מטענים על פני שפת המוליך.
לא ייתכן מצב אלקטרוסטטי שבו השדה החשמלי בתוך מוליך שונה מ-0, כי שדה שונה מ-0 היה מייצר תנועה של מטענים (זרם).
במצב אלקטרוסטטי, השדה החשמלי בתוך מוליך נייטרלי שווה ל-0, ובתוך מוליך לא נייטרלי השדה החשמלי שונה מ-0.
במצב אלקטרוסטטי, השדה החשמלי בתוך מוליכים ומבודדים שווה ל-0, כי שדה חשמלי לא יכול לחדור לתוך חומר.

השדה בתוך המוליך בהכרח שווה לאפס שכן אם הוא אינו היה אפס הייתה תנועת מטענים ותנועת מטענים היא אינה אלקטרוסטטית.
לכן, תשובה 2 נכונה.

תרגיל (2)

קליפה כדורית מוליכה ברדיוס $R_{1}$ טעונה במטען $Q$ .
קליפה כדורית לא מוליכה לא טעונה ברדיוס $R_{2}$ נמצאת במרחק $d$ מהקליפה הראשונה כאשר נתון $d\gg R_{1},R_{2}$ .
מחברים את שתי הקליפות בחוט מוליך דק.
נתון כי $Q=1nC,R_{1}=7m,R_{2}=3m$ .

חשבו את הפוטנציאל(אחרי החיבור) על הקליפה $R_{2}$ .

נצייר סקיצה:
גליון 5 2026-06-02 13.06.10.excalidraw.svg
הנתון של $d\gg R_{1},R_{2}$ אומר לנו כי אין השפעה של הקליפות אחת על השנייה.
ישנן שתי משוואות חזקות איתן נעבוד: $Q_{1}+Q_{2}=Q_{1}^*+Q_{2}^*$ ו- $\varphi_{1}^*=\varphi_{2}^*$ .

Q+0=Q_{1}^*+Q_{2}^*

k \frac{Q_{1}^*}{R_{1}}=k \frac{Q_{2}^*}{R_{2}} \implies Q_{2}^*=\frac{R_{2}}{R_{1}}Q_{1}^*

Q_{2}^*=\frac{R_{2}}{R_{1}}(Q-Q_{2}^*) \implies \left( \frac{R_{2}}{R_{1}}+1 \right)Q_{2}^*=\frac{R_{2}}{R_{1}}Q\implies Q_{2}^*=\frac{\frac{R_{2}}{R_{1}}Q}{\frac{R_{2}+R_{1}}{R_{1}}}=\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{1}}Q

כעת נוכל לחשב את הפוטנציאל:

\varphi_{2}^*=k \frac{Q_{2}^*}{R_{2}}=k \frac{Q}{R_{2}+R_{1}} \cdot \frac{R_{2}}{R_{2}}

כעת נציב את הנתונים ונחשב:

\varphi_{2}^*=0.9 \;\; V

תרגיל (3)

נתונות 3 קליפות כדוריות מוליכות קונצנטריות.
לקליפה הפנימית רדיוס $R_{1}=R$ ועליה מטען $Q_{1}=Q$ .
לקליפה האמצעית רדיוס $R_{2}=2R$ ועליה מטען $Q_{2}=2Q$ .
לקליפה החיצונית רדיוס $R_{3}=3R$ ועליה מטען $Q_{3}=3Q$ .
מאריכים את הקליפה האמצעית. מה יהיה המטען על הקליפה האמצעית לאחר שהמערכת תתייצב למצב אלקטרוסטטי?
תנו את תשובתכם ביחידות $Q$ . (כלומר, אם התשובה היא $1.5Q$ התשובה היא $1.5$ )

נצייר סקיצה:
גליון 5 2026-06-02 13.19.48.excalidraw.svg
אם מאריכים מוליך, הפוטנציאל עליו הופך לאפס לפי הגדרת הארכה. לעזר בכך על מנת למצוא את המטען.
נשים לב כי כאשר יש לנו קליפות נוכל להתייחס אליהן כמטענים נקודתיים אם אנו מחוצה להם או על השפה שלהם. לגבי הקליפה שאנו בתוכה, נזכור כי הפוטנציאל בתוך הקליפה זהה לפוטנציאל על השפה שלה ולכן, לפי עקרון הסופרפוזיציה נקבל:

\varphi_{m}=k \frac{Q}{2R}+k \frac{Q^*}{2R}+k \frac{3Q}{3R}

ולכן:

0=\varphi_{m} \iff 0=\frac{k}{2R}(Q+Q^*)+\frac{k}{3R} 3Q \iff 0=\frac{Q}{2}+\frac{Q^*}{2}+Q

Q^*=-3Q

וזוהי התשובה.

תרגיל (4)

נתונה מערכת המורכבת משני מוליכים בעלי מרכז משותף: כדור מוליך מלא בעל רדיוס $a$ וקליפה כדורית מוליכה עבה בעלת רדיוס פנימי $b$ ורדיוס חיצוני $c$ .
ברגע מסוים, הכדור נושא מטען כולל $Q$ ואילו הקליפה נושאת מטען כולל $2Q$ . לאחר מכן, מחברים את הקליפה העבה מהדופן הפנימית להארקה.
מהו המטען הכולל על כל אחת מדפנות הקליפה(הפנימית - $q_{b}$ והחיצונית - $q_{c}$ ) לאחר שהמערכת הגיעה לשיווי משקל אלקטרוסטטי?

נצייר סקיצה:
גליון 5 2026-06-02 14.24.11.excalidraw.svg
אנו מחברים את הקליפה העבה להארכה אנו בעצם מכריחים את הפוטנציאל על כל הקליפה להיות $0$ .
נוכל להסתכל על הפוטנציאל של כל שפה בנפרד אך מכיוון שהם גוף יחיד, הפוטנציאל שלהם יהיה זהה במצב האלקטרוסטטי.

\varphi_{c}=\varphi_{b}=0

הפוטנציאל על $c$ הוא הפוטנציאל היוצא מהכדור המרכזי, והפוטנציאל היוצא משאר הקליפה העבה.
הפוטנציאל על $b$ הוא הפוטנציאל היוצא מהכדור המרכזי והפוטנציאל היוצא משאר הקליפה העבה גם כן.
נשים לב כי יש לנו כמה נתונים חשובים. אנו יודעים כי מתקיים:

\varphi_{tot}(r=b)=\varphi_{a}(r=b)+\varphi_{b}(r=b)+\varphi_{c}(r=b)=0

\varphi_{tot}(r=c)=\varphi_{a}(r=c)+\varphi_{b}(r=c)+\varphi_{c}(r=c)=0

לכל שפה על הקליפה נוכל להשתמש בנוסחה לפוטנציאל על קליפה אשר נמצאת בדף הנוסחאות: $\varphi(r)=\begin{cases} \frac{kQ}{R} & r<R \\ \frac{kQ}{r} & r>R\end{cases}$ .
מכיוון שבכדור מוליך, במצב אלקטרוסטטי השדה הוא $0$ ומתקיים כי כל המטענים נמצאים על השפה, נוכל להשתמש באותה נוסחה גם עבור הכדור המוליך.
לכן מתקיים:

\varphi_{tot}(r=b)= \frac{kQ}{b}+ \frac{kq_{b}}{b}+\frac{kq_{c}}{c}=0 \implies kQ+kq_{b}+\frac{bkq_{c}}{c}=0\implies Q+q_{b}+\frac{b}{c}q_{c}=0

\varphi_{tot}(r=c)=\frac{kQ}{c}+\frac{kq_{b}}{c}+\frac{kq_{c}}{c}=0 \implies kQ+kq_{b}+kq_{c}=0 \implies Q+q_{b}+q_{c}=0

מתוך שתי המשוואות האלו נוכל למצוא את $q_{b},q_{c}$ כך:

q_{b}=-Q-\frac{b}{c}q_{c}

Q-Q-\frac{b}{c}q_{c}+q_{c}=0 \implies q_{c}\left( 1-\frac{b}{c} \right)=0 \implies q_{c}=0

\implies q_{b}=-Q

וזוהי התשובה.

תרגיל (5)

נתונים שני מישורים אינסופיים מקבילים, כאשר המישור העליון טעון בצפיפות מטען משטחית אחידה $+\sigma$ והמישור התחתון טעון בצפיפות משטחית אחידה $-\sigma$ .
מכניסים בין המישורים טבלה אינסופית מוליכה, בעלת עובי $d$ , המקבילה לשני המישורים. מטען הטבלה אינו טעון.
אחרי שהמערכת מתייצבת נמדדת צפיפות מטען משטחית של $-2\sigma$ על השפה העליונה של הטבלה המוליכה.

מהי צפיפות המטען המשטחית על השפה התחתונה?

נצייר סקיצה:
גליון 5 2026-06-03 10.09.37.excalidraw.svg
השדה בתוך מוליך במצב אלקטרוסטטי הינו $0$ . מכיוון שהשדה במוליך אנו יודעים כי הפוטנציאל על שתי השפות של הטבלה זהה.
השדה החיצוני הולך מלמעלה למטה ועוצמתו $E=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}+\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ .
כדי שהשדה בתוך המוליך יהיה אפס, נדרש כי השדה אשר המוליך יצור יהיה בדיוק $E=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ לכיוון מעלה.
לשם כך נסתכל על המטענים:

אנו יודעים כי השפה העליונה טעונה ב- $-2\sigma$ ולכן מייצרת שדה של $E=\frac{2\sigma}{2\epsilon}=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ כלפי מעלה.

קיבנו פה שהשדה בתוך הטבלה הינו בעצם:

E=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}-\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}=0

מבלי שיש כלל מטען בשפה התחתונה של הטבלה.
לכן, על מנת שמצב זה ישמר בהכרח מתקיים $\sigma^*=0$ .

תרגיל (6)

כל הנפח של כדור העשוי מחומר מבודד בעל רדיוס $R_{1}$ טעון בצפיפות מטען נפחית אחידה, כך שהמטען הכולל בכדור הוא $Q_{1}>0$ .
מסביב לכדור זה נמצאת קליפה כדורית מוליכה עבה בעלת רדיוס פנימי $R_{1}$ ורדיוס חיצוני $R_{2}$ . מרכז הקליפה מתלכד עם מרכז הכדור והיא טעונה במטען $Q_{1}\neq Q_{2}>0$ .
הכדור והקליפה העבה נמצאים בתוך קליפה כדורית דקה מוארקת בעלת רדיוס $R_{3}$ שמרכזה גם הוא מתלכד עם מרכז הכדור.

אילו מן הגרפים הבאים מייצג באופן איכותי את הפוטנציאל החשמלי של המערכת כפונקציה של המרחק מהראשית? (הניחו כי הפוטנציאל ב- $\infty$ הוא $0$ )

נצייר סקיצה:
גליון 5 2026-06-03 13.45.41.excalidraw.svg
אנו נדרש לחשב את הפוטנציאל בכל אחד מהתחומים אך נוכל לקבוע כמה דברים תחילה:

מחוץ לקליפה $R_{3}$ הפוטנציאל ישאף ל- $0$ שכן הוא הולך ל- $\infty$
על הקליפה $R_{3}$ הפוטנציאל הוא $0$ שכן זוהי ההגדרה של הארקה. ⇐ הפוטנציאל מחוץ ועל הקליפה $R_{3}$ הוא אפס.
הפוטנציאל בקליפה המוליכה יהיה קבוע שכן שם השדה הינו $0$ .
גם $Q_{1}$ וגם $Q_{2}$ הינם חיוביים ולכן, הפוטנציאל בהכרח תמיד יהיה חיובי(מה שפוסל לנו את גרפים $C,E,D$ )

נוכל למצוא את הפוטנציאל לפי הגדרה ולשם כך נדרש למצוא את השדה במרחב. לשם כך נשתמש בחוק גאוס.
עבור $r<R_{1}$ מתקיים:

\oiint \vec{E}\cdot d\vec{r}=E(r)r^2\iint \sin\theta d\theta d\varphi=4\pi E(r)r^2=\frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\frac{3Q}{4\pi R^3}dV=\frac{3Q}{4\pi R^3\epsilon_{0}}\iiint r^2 \sin\theta\,drd\theta d \varphi=

=\frac{3Q}{4\pi R^3\epsilon_{0}} \frac{r^3}{3} 4\pi=\frac{Q}{R^3\epsilon_{0}}r^3

לכן מתקיים:

4\pi E(r)r^2=\frac{Q}{\frac{R^3}{4\pi k}}r^3 \implies \vec{E}(r)= k \frac{Q_{1}}{R_{1}^3} r \hat{r}

עבור $R_{1}<r<R_{2}$ מתקיים $E=0$ לפי הנ"ל.
עבור $R_{2}<r<R_{3}$ הקליפה טעונה ולכן גם היא מפיצה מטען. לכן מתקיים:

4\pi r^2 E(r)=\frac{1}{\epsilon_{0}}Q_{in}=\frac{Q_{1}+Q_{2}}{\epsilon_{0}}

\vec{E}(r)=k \frac{Q_{1}+Q_{2}}{r^2}\hat{r}

נחשב כעת את הפונטנציאל:
עבור $r<R_{1}$ :

\varphi(r)=-\int_{\infty}^{r} \left( k \frac{Q_{1}}{R_{1}^3}r+k \frac{Q_{1}+Q_{2}}{r^2} \right)dr=-k \frac{Q_{1}}{R_{1}^3}\int_{\infty}^rrdr-k (Q_{1}+Q_{2})\int_{\infty}^r \frac{1}{r^2}dr=-k \frac{Q_{1}}{R_{1}^3} \frac{r^2}{2}+\frac{k(Q_{1}+Q_{2})}{r}

כלומר קיבלנו פרבולה מעט מעוקלת לאור ה- $\frac{1}{r}$ עם נקודת מקסימום עבור $r<R_{1}$ .
עבור $R_{1}<r<R_{2}$ אנו מקבלים ערך קבוע.
עבור $R_{2}<r<R_{3}$ אנו מקבלים:

\varphi(r)=-k(Q_{1}+Q_{2})\int_{\infty}^r \frac{1}{r^2}dr=\frac{k(Q_{1}+Q_{2})}{r}

זהו גרף שאינו קבוע ולכן איור $B$ לא מתאים ולכן איור $A$ הוא המתאים ביותר.

תרגיל (7)

כדור מוליך שרדיוסו $R$ טעון במטען $Q$ . סביב הכדור מחוזקת קליפה כדורית מוליכה עבה בעלת רדיוס פנימי $3R$ ורדיוס חיצוני $5R$ . הקליפה העבה טעונה במטען כולל $-Q$ .
מהי האנרגיה החשמלית האצורה במערכת זו?

נצייר סקיצה:
גליון 5 2026-06-03 15.25.17.excalidraw.svg
על פי נוסחה מההרצאה מתקיים: $\displaystyle U=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N \varphi_{i}q_{i}$ כאשר מספר המטענים הינו $N$ .
הכדור הינו מוליך ולכן, השדה בתוכו שווה ל- $0$ . בתוך כך, כל המטען נמצא על שפתו. לכן, הפוטנציאל קבוע בו. זוהי בעיה פתורה והיא נמצאת בדף הנוסחאות ולכן: $\varphi(r)=\begin{cases}k \frac{Q}{R} & r<R\\ k \frac{Q}{r} & r\geq R\end{cases}$ .

נמצא לפי חוק גאוס את המטען על כל שפה של הקליפה העבה.
תחילה, נבדוק מה קורה על השפה הפנימית:

0=\frac{Q+4\pi (3R)^2 \sigma_{in}}{\epsilon_{0}}\implies -Q=36\pi R^2\sigma_{in}\implies \sigma_{in}= -\frac{Q}{36\pi R^2}

Q_{in}=\sigma_{in}4\pi(3R^2)=-Q

כעת נבדוק מה קורה על השפה החיצונית:

0=Q-Q+4\pi(5R)^2\sigma_{out}\implies \sigma_{out}=0 \implies Q_{out}=0

הקליפה העבה היא גם כן מוליכה ולכן המטען מצטבר בשפות, במקרה הזה רק בשפה הפנימית. לכן, נמצא את הפוטנציאל על השפה הפנימית של הקליפה:

\varphi(3R)=\underbracket{k \frac{Q}{3R}}_{\R{\text{כדור מוליך}}}-\underbracket{k \frac{Q}{3R}}_{\R{\text{שפה פנימית}}}=0

הערה

דרך לחשוב פה היא שסכום המטען במערכת כולה הוא $Q_{tot}=Q-Q=0$ ולכן, לפי גאוס, השדה מחוץ לקליפה שווה לאפס ולכן, אנו יודעים כי על מנת להביא פוטנציאל מה- $\infty$ לשפה הפנימית לא נדרש לעשות עבודה.

ועבור הכדור המוליך:

\varphi(R)=k \frac{Q}{R}-k \frac{Q}{3R}=\frac{kQ}{R}\left( 1-\frac{1}{3} \right)=\frac{2kQ}{3R}

כעת, נוכל לחשב את האנרגיה לפי הנוסחה:

U=\frac{1}{2}\left( Q\left( \frac{2kQ}{3R} \right) \right)=\frac{1}{2}\left( 2 \frac{kQ^2}{3R} \right)=\frac{1}{3} \frac{kQ^2}{R}

וזוהי התשובה.

תרגיל (8)

נתון כדור בעל רדיוס $R$ הטעון בצפיפות מטען נפחית התלויה במרחק ממרכזו, $\rho(r)=Ar^2$ .
החומר ממנו עשוי הכדור הופך למוליך כאשר מחממים את הכדור.
מחממים את הכדור והוא הופך למוליך. ממתינים מספיק זמן עד שהכדור מגיע למצב אלקטרוסטטי.
כמה אנרגיה חשמלית השתחררה בתהליך הפיכת הכדור ממבודד למוליך?

אין טעם לצייר סקיצה כי זה פשוט כדור.
כאשר הכדור מוליך, אנו יודעים כי השדה בתוכו הוא $0$ כי אנו במצב אלקטרוסטטי. לכן, הכדור צריך לעבור ממצב בו יש לו צפיפות מטען נפחית $\rho(r)$ למצב בו כל המטען שלו נמצא על השפה החיצונית שלו.

נמצא את האנרגיה שהייתה לכדור בתחילת התהליך(כאשר הוא היה קר 🥶)
נתחיל בלמצוא את השדה לפי חוק גאוס:

E(r) 4\pi r^2=\frac{1}{\epsilon_{0}} \iiint \rho(r)dV=\frac{A}{\epsilon_{0}}\int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^r \tilde{r}^4 dr=\frac{4\pi A}{\epsilon_{0}} \frac{r^5}{5}=\frac{4\pi A}{5\epsilon_{0}}r^5

\vec{E}(r<R)=\frac{A}{5\epsilon_{0}}r^3\hat{r}

נמצא את המטען בכל הכדור:

Q=\iiint Ar^2dV=A\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^\pi \sin\theta\,d\theta \int_{0}^R r^4 dr=\frac{4\pi AR^5}{5}

נחשב כעת את השגה מחוץ לכדור, אשר מתנהג לפי נוסחה ידועה של מטען נקודתי:

\vec{E}(r>R)=k \frac{Q}{r^2}=k \frac{4\pi AR^5}{5r^2}

כעת, נוכל לחשב את האנרגיה בהתחלה:

\begin{align*} U_{s}&=\frac{\epsilon_{0}}{2}\iiint E^2dV\!=\!\frac{\epsilon_{0}}{2}\left(\iiint E_{in}^2dV+\iiint E_{out}^2dV\right)\!=\!\frac{\epsilon_{0}}{2}\left( \frac{4\pi A^2}{25\epsilon_{0}^2}\int_{0}^R r^6r^2dr+\frac{64\pi^3k^2A^2R^{10}}{25}\!\!\!\int_{R}^\infty\! \frac{1}{r^2}dr \right) \\ &=\frac{\epsilon_{0}}{2}\left( \frac{4\pi A^2}{25\epsilon_{0}^2} \frac{R^9}{9}+\frac{\frac{64}{25}(\pi^3k^2A^2R^{10})}{R} \right)=\frac{\pi A^2\epsilon_{0}}{50}\left( \frac{4R^9}{9\epsilon_{0}^2}+64\pi^2k^2R^9 \right)=\frac{A^2R^9}{50\cdot 4k}\left( \frac{4\cdot 16\pi^2k^2}{9}+64\pi^2k^2 \right) \\ &=\frac{64A^2R^9}{50\cdot 4k}\left( \frac{1}{9}+1 \right)\pi^2k^2=\frac{64}{200}\pi^2kA^2R^9\cdot \frac{10}{9}=\frac{16}{45}\pi^2kA^2R^9 \end{align*}

כעת, נמצא את האנרגיה שיש לו כרגע (כשהוא חם 🔥)
מכיוון שכעת הוא גוף מוליך, אנו יודעים כי הפוטנציאל בתוכו קבוע ומבחוץ הוא מתנהג כמו מטען נקודתי. נחשב:

Q=\iiint Ar^2dV=A\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^\pi \sin\theta\,d\theta \int_{0}^R r^4 dr=\frac{4\pi AR^5}{5}

U_{end}=\frac{1}{2}\int_{Q} k \frac{Q}{R}dq=\frac{kQ}{2R}\int_{Q}dq=k \frac{Q^2}{2R}=k \frac{\frac{16\pi^2A^2R^{10}}{25}}{2R}=\frac{16}{50}\pi^2kA^2 R^9

לכן מתקיים:

|\Delta U|=|U_{end}-U_{start}|=\left| \frac{16}{50}\pi^2kA^2R^9-\frac{16}{45}\pi^2kA^2R^9 \right|=\frac{8}{225}\pi^2kA^2R^9

וזוהי התשובה.

הערה

היה ניתן לעשות זאת בלי לחשב את $E_{out}$ כלל שכן הוא זהה בהתחלה ובסוף.
לכן, היה ניתן למצוא רק את ההפרש בפנים וזה היה כנראה הרבה יותר נחמד.

תרגיל (9)

מרכיבים קבל באמצעות שתי קליפות כדוריות דקות מוליכות וקונצנטריות.
לקליפה הפנימית רדיוס $a=0.03m$ ולחיצונית $b=0.06m$ .
מה קיבולו של הקבל? את תשובתכם תנו ביחידות $pF$ .

נקבע כי על הקליפה הפנימית יש מטען של $+Q$ ועל הקליפה החיצונית מטען של $-Q$ .
מכיוון שמחוץ לקבל $Q_{in}=0$ ובתוך הקליפה הפנימית $Q_{in}=0$ השדה היחידי שקיים הינו בין לוחות הקבל. נמצא אותו ובכך נוכל למצוא את הפוטנציאל.
ראינו בשאלה קודמת קודמת כי פוטנציאל של קליפה כדורית היא בעיה פתורה שרשומה לנו בדף הנוסחאות ולכן, נוכל להשתמש בנוסחה גם כאן. נזכר בה:

\varphi(r)=\begin{cases}k \frac{Q}{R} & r<R\\ k \frac{Q}{r} & r\geq R\end{cases}

כעת, נוכל להשתמש בה לחישוב הפוטנציאל בין הלוחות:

\varphi(a<r<b)=-k \frac{Q}{b}+k \frac{Q}{r}=kQ\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{b} \right)

לכן:

\varphi(a)=kQ\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)=kQ \frac{b-a}{ab}

\varphi(b)=kQ\left( \frac{1}{b}-\frac{1}{b} \right)=0

לכן, הפרש הפוטנציאלים הינו: $V=\Delta \varphi=kQ \frac{b-a}{ab}$ (תמיד מהלוח החיובי לשלילי ולכן $\varphi(a)-\varphi(b)$ )
כעת, נוכל לחשב את הקיבול:

C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{kQ \frac{b-a}{ab}}=\frac{ab}{k(b-a)}=6.666667\cdot 10^{-12}F=6.6667 pF

תרגיל (10)

נתונים שני מעגלים זהים המורכבים ממקור מתח $V$ וקבל לוחות בעל שטח $A$ ומרווח $d$ . נתון כי $A\gg d^2$ .
האנרגיה האצורה בכל קבל במצב הזה היא $U_{0}=70\mu J$ .
במעגל השמאלי, מנתקים את הקבל ממקור המתח ואז מקרבים את לוחותיו עד למרחק $\frac{d}{2}$ .
במעגל הימני, מקרבים את לוחות הקבל על למרחק $\frac{d}{2}$ אך ללא ניתוקו מהמקור.
א. מהי האנרגיה האצורה בקבל השמאלי לאחר קירוב הלוחות?
ב. מהי האנרגיה האצורה בקבל הימני לאחר קירוב הלוחות?
את תשובותכים תנו ב- $\mu J$ .

פתרון א':
נתחיל בלמצוא את הקיבול לפני ואחרי ולשם כך נשתמש בנוסחה של קבל לוחות.

C_{before}=\frac{\epsilon_{0}A}{d} \qquad \qquad C_{after}=\frac{\epsilon_{0}A}{\frac{d}{2}}=\frac{2\epsilon_{0}A}{d}

בדף הנוסחאות שלנו אנו מגלים את הנוסחה: $U=\frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ . נוכל באמצעותה למצוא את $Q$ כך:

U_{0}=\frac{1}{2} \frac{Q^2}{\frac{\epsilon_{0}A}{d}}=\frac{dQ^2}{2\epsilon_{0}A} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{נתון}} \end{matrix}}{=} 70\cdot 10^{-6} \implies Q^2= \frac{140\epsilon_{0}A}{d}\cdot 10^{-6}\implies Q=\sqrt{ \frac{140\epsilon_{0}A}{d}\cdot 10^{-6} }

כעת, נוכל למצוא את $U_{final_{separated}}$ . אין שום כניסה של מטענים או מתח שאנו צריכים לדאוג לגביו ולכן זה יהיה פשוט וקל:

U_{final_{separated}}=\frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}\frac{\frac{140\epsilon_{0}A}{d}\cdot 10^{-6}}{\frac{2\epsilon_{0}A}{d}}=\frac{1}{2} \frac{140}{2} \cdot 10^{-6}=3.5\cdot 10^{-5}=35 \cdot 10^{-6}J=35 \mu J

פתרון ב':
כעת, יש לנו בדיוק את אותו המצב ההתחלתי ואותו המטען. אך משהו אחד שונה, הקבל עדיין מחובר למעגל בעת השינוי. למה זה גורם? המתח על לוחות הקבל נשמר זהה במהלך כל התהליך ולא יכול להשתנות.
איך זה משנה לנו? בגלל שהמתח לא יכול להשתנות אזי או שהקיבול לא משתנה(אם $Q$ נשמר קבוע) או ש- $Q$ משתנה על מנת שהקיבול ישתנה.
מכיוון שמדובר במעגל עם סוללה, אנו יודעים כי $Q$ יכול להשתנות. לכן, בסעיף זה נשתמש במשוואה $C=\frac{Q}{V}\implies Q=CV$ על מנת לחשב את האנרגיה, שכן אין לנו דרך לדעת מהו $Q$ לאחר השינוי(יש לנו, פשוט זה קצת יותר מסובך ממה שאנו עומדים לעשות כרגע)

C_{before}=\frac{\epsilon_{0}A}{d} \qquad \qquad C_{after}=\frac{\epsilon_{0}A}{\frac{d}{2}}=\frac{2\epsilon_{0}A}{d}

נחשב את $V$ באמצעות האנרגיה ההתחלתית:

U_{0}=\frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2} \frac{C^2V^2}{C}=\frac{1}{2} CV^2=\frac{1}{2} \frac{\epsilon_{0}A}{d} V^2\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{נתון}} \end{matrix}}{=} 70\cdot 10^{-6} \implies V^2=\frac{140d}{\epsilon_{0}A}\cdot 10^{-6}

כעת, נמצא את $U_{final_{connected}}$ כך:

U_{final_{connected}}=\frac{1}{2} CV^2=\frac{\epsilon_{0}A}{d} \frac{140d}{\epsilon_{0}A}\cdot 10^{-6}=140 \cdot 10^{-6}=140 \mu J

וזוהי התשובה שלנו.

הערה

ניתן לחשב את שני הסעיפים האלו בקלות יותר אם מבצעים טריקים אלגבריים כך:

U_{final_{separated}}=\frac{Q^2}{2C_{new}}=\frac{Q^2}{2(2C_{old})}=\frac{1}{2}\left( \frac{Q^2}{2C_{old}} \right)=\frac{1}{2} U_{0}

U_{final_{connected}}=\frac{1}{2}C_{new}V^2=\frac{1}{2}(2C_{0})V^2=2\left( \frac{1}{2}C_{0}V^2 \right)=2U_{0}