נתון כי השדה האלקטרוסטטי השורר במרחב הוא:
E ⃗ ( x , y , z ) = ( 2 x y 2 + z 3 ) x ^ + 2 x 2 y y ^ + 3 x z 2 z ^ \vec{E}(x,y,z)=(2xy^2+z^3)\hat{x}+2x^2y\hat{y}+3xz^2\hat{z} E ( x , y , z ) = ( 2 x y 2 + z 3 ) x ^ + 2 x 2 y y ^ + 3 x z 2 z ^ מצאו את הפונקציה המתארת את התפלגות המטען במרחב.
לפי חוק גאוס הדיפרנציאלי:
∇ ⃗ ⋅ E ⃗ = ρ ε 0 \vec{\nabla}\cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} ∇ ⋅ E = ε 0 ρ נעבוד תחילה על החלק השמאלי של המשוואה:
∇ ⃗ ⋅ F ⃗ = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z = ∂ ∂ x ( 2 x y 2 + z 3 ) + ∂ ∂ y ( 2 x 2 y ) + ∂ ∂ z ( 3 x z 2 ) = 2 y 2 + 2 x 2 + 6 x z \begin{align*}
\vec{\nabla}\cdot \vec{F}&=\frac{\partial E_{x}}{\partial x}+\frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy^2+z^3)+\frac{\partial}{\partial y}(2x^2y)+\frac{\partial}{\partial z}(3xz^2) \\
&=2y^2+2x^2+6xz
\end{align*} ∇ ⋅ F = ∂ x ∂ E x + ∂ y ∂ E y + ∂ z ∂ E z = ∂ x ∂ ( 2 x y 2 + z 3 ) + ∂ y ∂ ( 2 x 2 y ) + ∂ z ∂ ( 3 x z 2 ) = 2 y 2 + 2 x 2 + 6 x z ולכן מתקיים:
ρ ( x , y , z ) ε 0 = 2 y 2 + 2 x 2 + 6 x z ⟹ ρ ( x , y , z ) = ε 0 ( 2 y 2 + 2 x 2 + 6 x z ) \frac{\rho(x,y,z)}{\epsilon_{0}}=2y^2+2x^2+6xz \implies \rho(x,y,z)=\epsilon_{0}(2y^2+2x^2+6xz) ε 0 ρ ( x , y , z ) = 2 y 2 + 2 x 2 + 6 x z ⟹ ρ ( x , y , z ) = ε 0 ( 2 y 2 + 2 x 2 + 6 x z )
נתון כי השדה החשמלי במרחב הוא:
E ⃗ = { a ρ 0 ε 0 z ^ z > a z ρ 0 ε 0 z ^ − a < z < a − a ρ 0 ε 0 z ^ z < − a \vec{E}=\begin{cases}
\frac{a\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\hat{z} & z>a \\
\frac{z\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\hat{z} & -a<z<a \\
-\frac{a\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\hat{z} & z<-a
\end{cases} E = ⎩ ⎨ ⎧ ε 0 a ρ 0 z ^ ε 0 z ρ 0 z ^ − ε 0 a ρ 0 z ^ z > a − a < z < a z < − a מהי התפלגות המטען היוצרת שדה חשמלי זה?
קליפה כדורית עם רדיוס פנימי 2 a 2a 2 a 3 a 3a 3 a ρ 0 \rho_{0} ρ 0
לוח אינסופי במישור y z yz yz x ∈ [ − a , a ] x \in[-a,a] x ∈ [ − a , a ] 2 ρ 0 2\rho_{0} 2 ρ 0
לוח אינסופי במישור x y xy x y z ∈ [ − a , a ] z \in[-a,a] z ∈ [ − a , a ] 2 ρ 0 2\rho_{0} 2 ρ 0
קליפה כדורית עם רדיוס פנימי a a a 2 a 2a 2 a ρ 0 \rho_{0} ρ 0
לוח אינסופי במישור x y xy x y z ∈ [ − a , a ] z \in[-a,a] z ∈ [ − a , a ] ρ 0 \rho_{0} ρ 0
לוח אינסופי במישור y z yz yz x ∈ [ − a , a ] x \in[-a,a] x ∈ [ − a , a ] ρ 0 \rho_{0} ρ 0
לוח אינסופי במישור x y xy x y z ∈ [ 0 , a ] z \in[0,a] z ∈ [ 0 , a ] ρ 0 \rho_{0} ρ 0
דבר ראשון נסתכל על השדה - נראה כי בכל חלקיו למעט האמצעי הוא אינו תלוי במרחק מהגוף המשונה שמפיץ אותו. התנהגות זו אופיינית ללוח אינסופי ולא לקליפה כדורית, שבה עוצמת השדה קטנה ככל שמתרחקים מהמרכז.z ^ \hat{z} z ^ z ^ \hat{z} z ^ x y xy x y ( − ∞ , − a ) , ( − a , a ) , ( a , ∞ ) (-\infty,-a),(-a,a),(a,\infty) ( − ∞ , − a ) , ( − a , a ) , ( a , ∞ ) ( − ∞ , − a ) , ( a , ∞ ) (-\infty,-a),(a,\infty) ( − ∞ , − a ) , ( a , ∞ ) [ − a , a ] [-a,a] [ − a , a ] ± z \pm z ± z 5 5 5 3 3 3 ρ ∗ \rho^* ρ ∗
∇ ⃗ ⋅ E ⃗ = ∂ ∂ z ( z ρ 0 ε 0 ) = ρ 0 ε 0 \vec{\nabla}\cdot \vec{E}=\frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{z\rho_{0}}{\epsilon_{0}} \right)=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}} ∇ ⋅ E = ∂ z ∂ ( ε 0 z ρ 0 ) = ε 0 ρ 0 לפי חוק גאוס הדיפרנציאלי:
ρ ε 0 = ρ 0 ε 0 ⟹ ρ = ρ 0 \frac{\rho}{\epsilon_{0}}=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\implies \rho=\rho_{0} ε 0 ρ = ε 0 ρ 0 ⟹ ρ = ρ 0 לכן התשובה הנכונה היא לוח אינסופי במישור x y xy x y z ∈ [ − a , a ] z \in[-a,a] z ∈ [ − a , a ] ρ 0 \rho_{0} ρ 0 (5).
נתונה מערכת אלקטרוסטטית. בתחום מסויים במרחב, השדה החשמלי שווה ל-0 0 0 בחרו את הטענה הנכונה:
בתחום בו השדה החשמלי שווה ל-0 0 0 0 0 0
בתחום בו השדה החשמלי שווה ל-0 0 0
נזכר בהגדרת הפוטנציאל:
φ ( r ⃗ ) = − ∫ r ⃗ r e f r ⃗ E ⃗ ⋅ d r ⃗ \varphi(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_{ref}}^{\vec{r}} \vec{E}\cdot d\vec{r} φ ( r ) = − r re f ∫ r E ⋅ d r ⇓ \Downarrow ⇓ E ⃗ = − ∇ ⃗ φ \vec{E}=-\vec{\nabla}\varphi E = − ∇ φ כלומר, השדה החשמלי הוא הנגזרת של הפוטנציאל. לכן, אם השדה הוא 0 הפוטנציאל קבוע .
נתון תיל בצורת חצי מעגל אשר מרכזו בראשית הצירים.לא אחידה התלויה בזווית:
λ ( θ ) = λ 0 sin θ \lambda(\theta)=\lambda_{0}\sin\theta λ ( θ ) = λ 0 sin θ בנוסף נתון λ 0 = 75.225 ⋅ 10 − 12 C m \lambda_{0}=75.225\cdot 10^{-12} \frac{C}{m} λ 0 = 75.225 ⋅ 1 0 − 12 m C R = 6.4296 m R=6.4296m R = 6.4296 m חשבו את הפוטנציאל החשמלי בראשית (תנו תשובה בוולט)∞ \infty ∞
נצייר סקיצה:
d Q = λ 0 R sin θ d θ dQ=\lambda_{0}R\sin\theta d\theta d Q = λ 0 R sin θ d θ לפי סופרפוזיציה מתקיים:
φ = ∫ 0 π k d Q r = k λ 0 R R ∫ 0 π sin θ d θ = k λ 0 1 ( − cos ( π ) + cos ( 0 ) ) = 2 k λ 0 = 1.35405 \varphi=\int_{0}^{\pi} k \frac{dQ}{r}=\frac{k\lambda_{0}R}{R}\int_{0}^\pi \sin\theta d\theta=\frac{k\lambda_{0}}{1}(-\cos(\pi)+\cos(0))=2k\lambda_{0}=1.35405 φ = 0 ∫ π k r d Q = R k λ 0 R 0 ∫ π sin θ d θ = 1 k λ 0 ( − cos ( π ) + cos ( 0 )) = 2 k λ 0 = 1.35405
שני מישורים ∞ \infty ∞ σ \sigma σ מה הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות A A A B B B (ערך חיובי בוולט)
σ = 1.4 ⋅ 10 − 12 C m 2 A = ( 3.8 , 3.8 ) m B = ( 7.8 , 7.8 ) m C = ( 7.8 , 3.8 ) m \begin{align*}
& \sigma=1.4\cdot 10^{-12} \frac{C}{m^2} \\
& A=(3.8,3.8) m \\
& B=(7.8,7.8) m \\
& C=(7.8,3.8) m
\end{align*} σ = 1.4 ⋅ 1 0 − 12 m 2 C A = ( 3.8 , 3.8 ) m B = ( 7.8 , 7.8 ) m C = ( 7.8 , 3.8 ) m לפי נוסחה:
φ ( B ) − φ ( A ) = − ∫ A B E ⃗ ⋅ d r ⃗ \varphi(B)-\varphi(A)=-\int_{A}^B \vec{E}\cdot d\vec{r} φ ( B ) − φ ( A ) = − A ∫ B E ⋅ d r נלך במסלולים אנכיים לצירים וכך יהיה לנו קל לחשב את השדה.
עבור נק' ( x , y ) (x,y) ( x , y ) x ^ \hat{x} x ^ x ^ \hat{x} x ^ y ^ \hat{y} y ^ y ^ \hat{y} y ^
השדה היוצא מלוח אינסופי אינו תלוי במרחק מהלוח.
לכן נקבל כי השדה בנקודה כללית הינו:
E ⃗ ( x , y ) = σ 2 ε 0 x ^ + σ 2 ε 0 y ^ \vec{E}(x,y)= \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\hat{x}+\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\hat{y} E ( x , y ) = 2 ε 0 σ x ^ + 2 ε 0 σ y ^ מכיוון שגם x x x y y y
φ ( B ) − φ ( A ) = φ ( B ) − φ ( C ) + φ ( C ) − φ ( A ) = V 1 + V 2 \varphi(B)-\varphi (A)=\varphi(B)-\varphi(C)+\varphi (C)-\varphi(A)=V_{1}+V_{2} φ ( B ) − φ ( A ) = φ ( B ) − φ ( C ) + φ ( C ) − φ ( A ) = V 1 + V 2 V 2 = − ∫ A C E ⃗ ⋅ d r ⃗ = − ∫ A C ( σ 2 ε 0 x ^ + σ 2 ε 0 y ^ ) ⋅ d r ⃗ V_{2}=-\int_{A}^C \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{A}^C \left( \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\hat{x}+\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\hat{y} \right)\cdot d\vec{r} V 2 = − A ∫ C E ⋅ d r = − A ∫ C ( 2 ε 0 σ x ^ + 2 ε 0 σ y ^ ) ⋅ d r המסלול V 1 V_{1} V 1 x ^ \hat{x} x ^ d r ⃗ = d y ⋅ y ^ d\vec{r}=dy\cdot \hat{y} d r = d y ⋅ y ^ V 2 V_{2} V 2 x ^ \hat{x} x ^ d r ⃗ = d x ⋅ x ^ d\vec{r}=dx\cdot \hat{x} d r = d x ⋅ x ^ x ^ ⋅ y ^ = 0 , x ^ ⋅ x ^ = y ^ ⋅ y ^ = 1 \hat{x}\cdot \hat{y}=0, \hat{x}\cdot \hat{x}=\hat{y}\cdot \hat{y}=1 x ^ ⋅ y ^ = 0 , x ^ ⋅ x ^ = y ^ ⋅ y ^ = 1
V 2 = − ∫ 3.8 7.8 σ 2 ε 0 d x = − σ 2 ε 0 ( 7.8 − 3.8 ) = − 4 σ 2 ε 0 = − 2 σ ε 0 V_{2}=-\int_{3.8}^{7.8} \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}dx=-\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}(7.8-3.8)=-\frac{4\sigma}{2\epsilon_{0}}=-\frac{2\sigma}{\epsilon_{0}} V 2 = − 3.8 ∫ 7.8 2 ε 0 σ d x = − 2 ε 0 σ ( 7.8 − 3.8 ) = − 2 ε 0 4 σ = − ε 0 2 σ V 1 = − ∫ C B E ⃗ ⋅ d r ⃗ = − ∫ 3.8 7.8 σ 2 ε 0 d y = − σ 2 ε 0 ( 7.8 − 3.8 ) = − 2 σ ε 0 V_{1}=-\int_{C}^B \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{3.8}^{7.8} \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}dy=-\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}(7.8-3.8)=-\frac{2\sigma}{\epsilon_{0}} V 1 = − C ∫ B E ⋅ d r = − 3.8 ∫ 7.8 2 ε 0 σ d y = − 2 ε 0 σ ( 7.8 − 3.8 ) = − ε 0 2 σ לכן מתקיים:
V = − 2 σ ε 0 − 2 σ ε 0 = − 4 σ ε 0 V=-\frac{2\sigma}{\epsilon_{0}}-\frac{2\sigma}{\epsilon_{0}}=-\frac{4\sigma}{\epsilon_{0}} V = − ε 0 2 σ − ε 0 2 σ = − ε 0 4 σ ∣ V ∣ = 4 σ ε 0 = 0.633345 V |V|=\frac{4\sigma}{\epsilon_{0}}=0.633345 \,V ∣ V ∣ = ε 0 4 σ = 0.633345 V
נתון כדור בעל רדיוס R R R ρ \rho ρ במרכז הכדור הוא 0. (שימו לב, נקבעה נק' יחוס שאיננה ב-∞ \infty ∞ R = 3889.49 m , ρ = 100 n C m 3 R=3889.49m\;\;\R{,}\rho=100 \frac{nC}{m^3} R = 3889.49 m , ρ = 100 m 3 n C r = 43.2 m r=43.2m r = 43.2 m
חשבו את הפוטנציאל החשמלי במרחק r < R r<R r < R
נצייר סקיצה:
∮ ∮ E ⃗ ⋅ d s ⃗ = ∮ ∮ E r ^ ⋅ d s r ^ = ∮ ∮ E ( r ) d s = E ( r ) ∮ ∮ d s = E ( r ) R 2 ∬ sin θ d θ d φ = 2 π R 2 E ( R ) ( − cos ( π ) + cos ( 0 ) ) \oiint \vec{E}\cdot d\vec{s}=\oiint E\hat{r}\cdot ds\hat{r}=\oiint E(r)ds= E(r)\oiint ds =E(r)R^2 \iint \sin\theta d\theta d\varphi=2\pi R^2E(R) (-\cos(\pi)+\cos(0)) ∮ ∮ E ⋅ d s = ∮ ∮ E r ^ ⋅ d s r ^ = ∮ ∮ E ( r ) d s = E ( r ) ∮ ∮ d s = E ( r ) R 2 ∬ sin θ d θ d φ = 2 π R 2 E ( R ) ( − cos ( π ) + cos ( 0 )) = 4 π R 2 E ( R ) =4\pi R^2E(R) = 4 π R 2 E ( R ) 1 ε 0 Q i n = 1 ε 0 ∭ ρ d V = ρ ε 0 ∫ 0 R r 2 d r ∫ 0 π sin θ d θ ∫ 0 2 π d φ = ρ ε 0 R 3 3 2 ⋅ 2 π = 4 π ρ R 3 3 ε 0 \frac{1}{\epsilon_{0}}Q_{in}=\frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint \rho dV=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \int_{0}^R r^2 dr\int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta \int_{0}^{2\pi} d\varphi=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\frac{R^3}{3}2 \cdot 2\pi=\frac{4\pi \rho R^3}{3\epsilon_{0}} ε 0 1 Q in = ε 0 1 ∭ ρ d V = ε 0 ρ 0 ∫ R r 2 d r 0 ∫ π sin θ d θ 0 ∫ 2 π d φ = ε 0 ρ 3 R 3 2 ⋅ 2 π = 3 ε 0 4 π ρ R 3 לכן נקבל:
4 π r 2 E ( r ) = 4 π ρ r 3 3 ε 0 ⟹ E ⃗ ( r ) = ρ r 3 ε 0 r ^ 4\pi r^2E(r)=\frac{4\pi \rho r^3}{3\epsilon_{0}}\implies \vec{E}(r)=\frac{\rho r}{3\epsilon_{0}}\hat{r} 4 π r 2 E ( r ) = 3 ε 0 4 π ρ r 3 ⟹ E ( r ) = 3 ε 0 ρ r r ^ זהו השדה בתוך הכדור(ולא מחוצה לו). כעת, נוכל לחשב את הפוטנציאל:
φ ( r ) = − ∫ 0 r E ⃗ ⋅ d r ⃗ = − ∫ 0 r E r ^ ⋅ d r r ^ = − ∫ 0 r ρ r 3 ε 0 d r = − ρ 3 ε 0 ∫ 0 r r d r = − ρ r 2 6 ε 0 \varphi(r)=-\int_{0}^{r} \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{0}^r E\hat{r}\cdot dr\hat{r}=-\int_{0}^r \frac{\rho r}{3\epsilon_{0}}dr =-\frac{\rho}{3\epsilon_{0}} \int_{0}^r rdr=-\frac{\rho r^2}{6\epsilon_{0}} φ ( r ) = − 0 ∫ r E ⋅ d r = − 0 ∫ r E r ^ ⋅ d r r ^ = − 0 ∫ r 3 ε 0 ρ r d r = − 3 ε 0 ρ 0 ∫ r r d r = − 6 ε 0 ρ r 2 כעת, נוכל לחשב עם הנתונים שניתנו לנו:
φ ( 43.2 ) = − 3513026 V = − 3.51 ⋅ 10 6 V \varphi(43.2)=-3513026\, V=-3.51\cdot 10^6\, V φ ( 43.2 ) = − 3513026 V = − 3.51 ⋅ 1 0 6 V
נתון הפוטנציאל החשמלי במרחב:
φ ( x , y , z ) = 2 + 3 x 2 y + 4 x y + 2 z 2 \varphi(x,y,z)=2+3x^2y+4xy+2z^2 φ ( x , y , z ) = 2 + 3 x 2 y + 4 x y + 2 z 2 מצאו את השדה החשמלי בנקודה ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 )
נשתמש בנוסחת הקשר בין שדה חשמלי ופוטנציאל חשמלי:
E ⃗ = − ∇ ⃗ φ = − ∂ φ ∂ x x ^ − ∂ φ ∂ y y ^ − ∂ φ ∂ z z ^ \vec{E}=-\vec{\nabla}\varphi=-\frac{\partial\varphi}{\partial x}\hat{x}-\frac{\partial\varphi}{\partial y}\hat{y}-\frac{\partial\varphi}{\partial z}\hat{z} E = − ∇ φ = − ∂ x ∂ φ x ^ − ∂ y ∂ φ y ^ − ∂ z ∂ φ z ^ במקרה שלנו:
E ⃗ = − ( 6 x y + 4 y ) x ^ − ( 3 x 2 + 4 x ) y ^ − ( 4 z ) z ^ \vec{E}=-(6xy+4y)\hat{x}-(3x^2+4x)\hat{y}-(4z)\hat{z} E = − ( 6 x y + 4 y ) x ^ − ( 3 x 2 + 4 x ) y ^ − ( 4 z ) z ^ כעת נחשב את השדה בנק' ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 )
E ⃗ ( 1 , 1 , 1 ) = − ( 6 + 4 ) x ^ − ( 3 + 4 ) y ^ − 4 z ^ = − 10 x ^ − 7 y ^ − 4 z ^ \vec{E}(1,1,1)= -(6+4)\hat{x}-(3+4)\hat{y}-4\hat{z}=-10\hat{x}-7\hat{y}-4\hat{z} E ( 1 , 1 , 1 ) = − ( 6 + 4 ) x ^ − ( 3 + 4 ) y ^ − 4 z ^ = − 10 x ^ − 7 y ^ − 4 z ^
נתונה פונקציית הפוטנציאל במרחב:
φ ( x , y , z ) = 1 ε 0 ( 2 x y 2 + 3 z ) \varphi(x,y,z)=\frac{1}{\epsilon_{0}}(2xy^2+3z) φ ( x , y , z ) = ε 0 1 ( 2 x y 2 + 3 z ) כאשר למקדמים המספריים יש יחידות מתאימות.מהי פונקציית התפלגות המטען הנפחית במרחב שיצרה פוטנציאל זה?
תחילה נמצא את השדה באמצעות הנוסחה מתרגיל קודם:
E ⃗ = − ∇ ⃗ φ = − 1 ε 0 ( 2 y 2 ) x ^ − 1 ε 0 ( 4 x y ) y ^ − 1 ε 0 ( 3 ) z ^ = − 2 y 2 x ^ − 4 x y y ^ − 3 z ^ ε 0 \vec{E}=-\vec{\nabla}\varphi=-\frac{1}{\epsilon_{0}}(2y^2)\hat{x}-\frac{1}{\epsilon_{0}}(4xy)\hat{y}-\frac{1}{\epsilon_{0}}(3)\hat{z}=\frac{-2y^2\hat{x}-4xy\hat{y}-3\hat{z}}{\epsilon_{0}} E = − ∇ φ = − ε 0 1 ( 2 y 2 ) x ^ − ε 0 1 ( 4 x y ) y ^ − ε 0 1 ( 3 ) z ^ = ε 0 − 2 y 2 x ^ − 4 x y y ^ − 3 z ^ כעת, נוכל להשתמש בחוג גאוס הדיפרנציאלי כדי למצוא את ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ ( x , y , z )
∇ ⃗ ⋅ E ⃗ = − 1 ε 0 ( 0 ) − 1 ε 0 ( 4 x ) − 1 ε 0 ( 0 ) = − 4 x ε 0 \vec{\nabla}\cdot \vec{E}=-\frac{1}{\epsilon_{0}}(0)-\frac{1}{\epsilon_{0}}(4x)-\frac{1}{\epsilon_{0}}(0)=-\frac{4x}{\epsilon_{0}} ∇ ⋅ E = − ε 0 1 ( 0 ) − ε 0 1 ( 4 x ) − ε 0 1 ( 0 ) = − ε 0 4 x ρ ( x , y , z ) ε 0 = − 4 x ε 0 ⟹ ρ = − 4 x \frac{\rho(x,y,z)}{\epsilon_{0}}=-\frac{4x}{\epsilon_{0}}\implies \rho=-4x ε 0 ρ ( x , y , z ) = − ε 0 4 x ⟹ ρ = − 4 x
נתונה הפונקציה הוקטורית הבאה:
E ⃗ ( x , y , z ) = A ( x 2 + y 2 ) x ^ + A B x y y ^ + A B z 2 z ^ \vec{E}(x,y,z)=A(x^2+y^2)\hat{x}+ABxy\hat{y}+ABz^2\hat{z} E ( x , y , z ) = A ( x 2 + y 2 ) x ^ + A B x y y ^ + A B z 2 z ^ מהן היחידות של הפרמטרים A A A B B B
שדה חשמלי הוא בעל היחידות N C \frac{N}{C} C N
A ( x 2 + y 2 ) = [ A ] [ m 2 ] A(x^2+y^2)=[A][m^2] A ( x 2 + y 2 ) = [ A ] [ m 2 ] A B x y = [ A ] [ B ] [ m 2 ] ABxy=[A][B][m^2] A B x y = [ A ] [ B ] [ m 2 ] A B z 2 = [ A ] [ B ] [ m 2 ] ABz^2=[A][B][m^2] A B z 2 = [ A ] [ B ] [ m 2 ] לכן:
[ A ] = [ N C ⋅ m 2 ] = [ k g C m s 2 ] [A]=\left[ \frac{N}{C\cdot m^2} \right]=\left[ \frac{kg}{Cms^2} \right] [ A ] = [ C ⋅ m 2 N ] = [ C m s 2 k g ] והקבוע B B B
כעת, נוודא בנוסף באמצעות הרוטור - לפי משפט, ∇ ⃗ × E ⃗ = 0 \vec{\nabla}\times \vec{E}=0 ∇ × E = 0 E ⃗ \vec{E} E
∇ ⃗ × E ⃗ = x ^ ( 0 − 0 ) − y ^ ( 0 − 0 ) + z ^ ( A B y − 2 A y ) = ( 2 A y − A B y ) z ^ \vec{\nabla}\times \vec{E} =\hat{x}(0-0)-\hat{y}(0-0)+\hat{z}(ABy-2Ay)=(2Ay-ABy)\hat{z} ∇ × E = x ^ ( 0 − 0 ) − y ^ ( 0 − 0 ) + z ^ ( A B y − 2 A y ) = ( 2 A y − A B y ) z ^ לכן:
2 A y = A B y ⟹ 2 A = A B ⟹ [ A ] = [ A ⋅ B ] 2Ay=ABy \implies 2A=AB \implies [A]=[A\cdot B] 2 A y = A B y ⟹ 2 A = A B ⟹ [ A ] = [ A ⋅ B ] וזוהי עוד דרך לראות ש-B B B
נתונה הפונקציה הוקטורית הבאה:
E ⃗ ( x , y , z ) = A ( x 2 + y 2 ) x ^ + A B x y y ^ + A B z 2 z ^ \vec{E}(x,y,z)=A(x^2+y^2)\hat{x}+ABxy\hat{y}+ABz^2\hat{z} E ( x , y , z ) = A ( x 2 + y 2 ) x ^ + A B x y y ^ + A B z 2 z ^ מהו ערכו המספרי של הפרמטר B B B A ≠ 0 A \neq 0 A = 0
כפי שראינו מקודם עם הרוטור:
2 A y − A B y = A y ( 2 − B ) = 0 2Ay-ABy=Ay(2-B)=0 2 A y − A B y = A y ( 2 − B ) = 0 מכיוון ש-A ≠ 0 A \neq0 A = 0 y ∈ R y \in \mathbb{R} y ∈ R 2 − B = 0 2-B=0 2 − B = 0 B = 2 B=2 B = 2
