גליון 11 — פיזיקה 2 | תיקיית הסיכומים

תרגיל (1)

נתונים שני גלים אלקטרומגנטיים מונוכרומטיים מישוריים בעלי תדר זוויתי $\omega$ שהשדות החשמליים שלהם הינם:

\begin{align*} & E_{1}=A\cos\left[ \omega t-k\left( -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right) \right]\hat{y} \\ & E_{2}=A\cos\left[ \omega t-k\left( -\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right) +\frac{\pi}{2} \right]\hat{y} \end{align*}

כאשר $k=\frac{\omega}{c}$ ו- $A$ אמפליטודה ממשית.
מהם וקטורי הגל של שני הגלים הנתונים?

E_{1}=A\cos\left( k\left( -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right)-\omega t \right)\hat{y}

על מנת לקבל תצורה של $x+y+z$ נגיד כי:

k_{1}=k\left( -\frac{1}{2}\hat{x}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\hat{z} \right)

באותו האופן:

E_{2}=A\cos\left( k\left( -\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right)-\omega t-\frac{\pi}{2} \right)\hat{y}

ולכן:

k_{2}=k\left( -\frac{1}{2}\hat{x}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\hat{z} \right)

תרגיל (2)

נתונים שני גלים אלקטרומגנטיים מונוכרומטיים מישוריים בעלי תדר זוויתי $\omega$ . השדות החשמלים הינם:

\begin{align*} & E_{1}=A\cos\left[ \omega t-k\left( -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right) \right]\hat{y} \\ & E_{2}=A\cos\left[ \omega t-k\left( -\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right) +\frac{\pi}{2} \right]\hat{y} \end{align*}

כאשר $k=\frac{\omega}{c}$ ו- $A$ אמפליטודה ממשית.

מהו השדה המגנטי של גל 2? (ביחידות $MKS$ )

נסתכל על הנוסחה מההרצאה: $\boxed{\vec{B}=\frac{E_{0}}{c}\sin(kx-\omega t)\hat{z}}$ ונשים לב כי עלינו למצוא את $E_{0}$ כעת, שכן את שאר הנתונים יש לנו מהנתונים או משאלה קודמת.

E_{0}=A

שכן $\hat{y}$ הוא וקטור יחידה :)

\vec{B}=\frac{E_{0}}{c}\cos\left( \vec{k}_{2}\vec{r}-\omega t-\frac{\pi}{2} \right)=\frac{A}{c}\cos\left( k\left( -\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right)-\omega t-\frac{\pi}{2} \right)\left( \frac{\sqrt{ 3 }}{2}\hat{x}-\frac{1}{2}\hat{z} \right)

תרגיל (3)

נתון הרכיב החשמלי של גל אלקטרומגנטי $\vec{E}=E_{0}\cos(ky-\omega t)\hat{x}$ .
מהו הרכיב המגנטי של הגל האלקטרומגנטי?

נסתכל באמצעות אותה הנוחסה ממקודם:

\vec{B}=\frac{E_{0}}{c}\cos(ky-\omega t)\hat{z}

תרגיל (4)

גל אלקטרומגנטי מישורי נע בכיוון השלילי של ציר ה- $\hat{z}$ . הגל מונוכרומטי בעל אורך גל $\lambda$ .
השדה החשמלי מתנדנד בכיוון ציר ה- $\hat{x}$ , האמפליטודה שלו $E_{0}$ ונתון כי הפונקציה המתארת אותו היא פונקציית קוסינוס בלי הפרש פאזה.
מהו וקטור פוינטינג המתאים לגל האלקטרומגנטי? (וקטור פוינטינג נתון ע"י $\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times \vec{B}$ )

\vec{E}=E_{0}\cos(kz-\omega t)\hat{x}

\vec{B}=\frac{E_{0}}{c}\cos(kz-\omega t)\hat{y}

\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}} \frac{E_{0}^2}{c}\cos^2(kz-\omega t)\hat{z}=\frac{E_{0}^2}{\mu_{0}c}\cos^2(kz-\omega t)\hat{z}

נשים לב כי $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ ובנוסף $\omega=kv=\frac{2\pi c}{\lambda}$ ולכן:

\vec{S}=\frac{E_{0}^2}{\mu_{0}c}\cos^2\left( \frac{2\pi}{\lambda}z-\frac{2\pi c}{\lambda} t\right)\hat{z}

תרגיל (5)

נתון גל אלקטרומגנטי:

E(r,t)=E_{0}\sin(kx-\omega t)\hat{y} \qquad \qquad B(r,t)=B_{0}\sin(kx-\omega t)\hat{z}

א. בהנחה שהגל מתקדם בריק ותדירותו $f=10^{10}Hz$ , מהו אורך הגל שלו בס"מ?
ב. נתון בנוסף כי $B_{0}=3\cdot 10^{-6}T,\;A=5m^22$ .
מהי האנרגיה האלקטרומגנטית הממוצעת ליחידת זמן העוברת דרך משטח מלבני ששטחו $A$ ומונח במישור $yz$ ? (תנו תשובה ב- $Watt$ )

פתרון א':

T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{kv}=\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{\lambda}v}=\frac{\lambda}{v}=\frac{\lambda}{c}

f=\frac{1}{T}=\frac{c}{\lambda}\implies \lambda=\frac{c}{f}=\frac{3\cdot 10^8}{10^{10}}=\frac{3}{100}=0.03m\implies \lambda=3cm

פתרון ב':

P=IA \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{נוסחה מההרצאה}} \end{matrix}}{=}\frac{E_{0}^2}{2\mu_{0}c} A=\frac{B_{0}^2c^2}{2\mu_{0}c}A=\frac{B_{0}^2c}{2\mu_{0}}A=5371.479329\; \text{Watt}

תרגיל (6)

גל אלקטרומגנטי נע בריק.
הרכיב המגנטי של הגל הינו: $\vec{B}(x,y,z)=\frac{B_{0}}{\sqrt{ 2 }}(\cos(kz-\omega t)\hat{x}+\sin(kz-\omega t)\hat{y})$ .
הגל פוגע במשטח ששטחו $A$ ושכיוון הנורמל של המשטח הוא בכיוון $\hat{z}$ .
מצאו את האנרגיה הכוללת המועברת למשטח במשך פרק זמן של $\Delta t=\frac{10\pi}{\omega}$ , הניחו כי כל האנרגיה נבלעת במשטח.

\Delta U=I\Delta tA

\vec{B}=\frac{B_{0}}{\sqrt{ 2 }}(\cos(kz-\omega t)(\hat{x}+\hat{y}))=\frac{B_{0}}{\sqrt{ 2 }}\cos(kz-\omega t) (\hat{x}+\hat{y})

נסמן $\hat{B}=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}(\hat{x}+\hat{y})$ ואז:

\vec{B}=B_{0}\cos(kz-\omega t)\hat{B}

\vec{E}=B_{0}c\cos(kz-\omega t)\hat{E}

נתון לנו כי $\hat{k}=\hat{z}$ ולכן, מכיוון ש- $\hat{k}=\hat{E}\times \hat{B}$ זו מערכת אורתונורמלית ימנית, אנו יכולים לעשות תמורה מעגלית כדי לבודד את $\hat{E}$ כך:

\hat{E}=\hat{B}\times \hat{k}=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}(\hat{x}+\hat{y})\times \hat{z}=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}(\hat{x}\times \hat{z}+\hat{y}\times \hat{z})=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}(-\hat{y}+\hat{x})=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}(\hat{x}-\hat{y})

כעת, נשתמש בנוסחה:

I=\frac{1}{\mu_{0}}EB =\frac{1}{\mu_{0}} cB_{0}^2\cos^2(kz-\omega t)

ולכן:

\Delta U=\frac{10\pi c}{\omega \mu_{0}}B_{0}^2\cos^2(kz-\omega t)A

שיעורי בית (HW)

תרגיל (7)

נתונים הרכיבים החשמליים של שני גלים אלקטרומגנטיים שנעים בריק אחד מול השני.

\begin{matrix} \vec{E}_{1}=E_{0}\sin(k(x-ct))\hat{y} \\ \vec{E}_{2}=E_{0}\sin(k(x+ct))\hat{y} \end{matrix}

הגל השקול הוא גל עומד.
מצאו את הביטוי לרכיב החשמלי של הגל העומד.

\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}=E_{0}(\sin (k(x-ct))+\sin(k(x+ct)))\hat{y}

\sin(k(x-ct))+\sin(k(x+ct))=2\sin\left( kx \right)\sin(-kct)

\vec{E}=-2E_{0}\sin(kx)\sin(kct)

שיעורי בית (HW)

תרגיל (8)

מצאו את הביטוי עבור השדה המגנטי של הגל העומד משאלה קודמת.

שיעורי בית (HW)

תרגיל (1)

נתונים שני גלים אלקטרומגנטיים מונוכרומטיים מישוריים בעלי תדר זוויתי $\omega$ שהשדות החשמליים שלהם הינם:

\begin{align*} & E_{1}=A\cos\left[ \omega t-k\left( -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right) \right]\hat{y} \\ & E_{2}=A\cos\left[ \omega t-k\left( -\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right) +\frac{\pi}{2} \right]\hat{y} \end{align*}

כאשר $k=\frac{\omega}{c}$ ו- $A$ אמפליטודה ממשית.
מהם וקטורי הגל של שני הגלים הנתונים?

E_{1}=A\cos\left( k\left( -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right)-\omega t \right)\hat{y}

על מנת לקבל תצורה של $x+y+z$ נגיד כי:

k_{1}=k\left( -\frac{1}{2}\hat{x}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\hat{z} \right)

באותו האופן:

E_{2}=A\cos\left( k\left( -\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right)-\omega t-\frac{\pi}{2} \right)\hat{y}

ולכן:

k_{2}=k\left( -\frac{1}{2}\hat{x}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\hat{z} \right)

תרגיל (2)

נתונים שני גלים אלקטרומגנטיים מונוכרומטיים מישוריים בעלי תדר זוויתי $\omega$ . השדות החשמלים הינם:

\begin{align*} & E_{1}=A\cos\left[ \omega t-k\left( -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right) \right]\hat{y} \\ & E_{2}=A\cos\left[ \omega t-k\left( -\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right) +\frac{\pi}{2} \right]\hat{y} \end{align*}

כאשר $k=\frac{\omega}{c}$ ו- $A$ אמפליטודה ממשית.

מהו השדה המגנטי של גל 2? (ביחידות $MKS$ )

E_{0}=A

שכן $\hat{y}$ הוא וקטור יחידה :)

\vec{B}=\frac{E_{0}}{c}\cos\left( \vec{k}_{2}\vec{r}-\omega t-\frac{\pi}{2} \right)=\frac{A}{c}\cos\left( k\left( -\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}z \right)-\omega t-\frac{\pi}{2} \right)\left( \frac{\sqrt{ 3 }}{2}\hat{x}-\frac{1}{2}\hat{z} \right)

תרגיל (3)

נתון הרכיב החשמלי של גל אלקטרומגנטי $\vec{E}=E_{0}\cos(ky-\omega t)\hat{x}$ .
מהו הרכיב המגנטי של הגל האלקטרומגנטי?

נסתכל באמצעות אותה הנוחסה ממקודם:

\vec{B}=\frac{E_{0}}{c}\cos(ky-\omega t)\hat{z}

תרגיל (4)

\vec{E}=E_{0}\cos(kz-\omega t)\hat{x}

\vec{B}=\frac{E_{0}}{c}\cos(kz-\omega t)\hat{y}

\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}} \frac{E_{0}^2}{c}\cos^2(kz-\omega t)\hat{z}=\frac{E_{0}^2}{\mu_{0}c}\cos^2(kz-\omega t)\hat{z}

נשים לב כי $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ ובנוסף $\omega=kv=\frac{2\pi c}{\lambda}$ ולכן:

\vec{S}=\frac{E_{0}^2}{\mu_{0}c}\cos^2\left( \frac{2\pi}{\lambda}z-\frac{2\pi c}{\lambda} t\right)\hat{z}

תרגיל (5)

נתון גל אלקטרומגנטי:

E(r,t)=E_{0}\sin(kx-\omega t)\hat{y} \qquad \qquad B(r,t)=B_{0}\sin(kx-\omega t)\hat{z}

פתרון א':

T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{kv}=\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{\lambda}v}=\frac{\lambda}{v}=\frac{\lambda}{c}

f=\frac{1}{T}=\frac{c}{\lambda}\implies \lambda=\frac{c}{f}=\frac{3\cdot 10^8}{10^{10}}=\frac{3}{100}=0.03m\implies \lambda=3cm

פתרון ב':

P=IA \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{נוסחה מההרצאה}} \end{matrix}}{=}\frac{E_{0}^2}{2\mu_{0}c} A=\frac{B_{0}^2c^2}{2\mu_{0}c}A=\frac{B_{0}^2c}{2\mu_{0}}A=5371.479329\; \text{Watt}

תרגיל (6)

\Delta U=I\Delta tA

\vec{B}=\frac{B_{0}}{\sqrt{ 2 }}(\cos(kz-\omega t)(\hat{x}+\hat{y}))=\frac{B_{0}}{\sqrt{ 2 }}\cos(kz-\omega t) (\hat{x}+\hat{y})

נסמן $\hat{B}=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}(\hat{x}+\hat{y})$ ואז:

\vec{B}=B_{0}\cos(kz-\omega t)\hat{B}

\vec{E}=B_{0}c\cos(kz-\omega t)\hat{E}

\hat{E}=\hat{B}\times \hat{k}=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}(\hat{x}+\hat{y})\times \hat{z}=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}(\hat{x}\times \hat{z}+\hat{y}\times \hat{z})=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}(-\hat{y}+\hat{x})=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}(\hat{x}-\hat{y})

כעת, נשתמש בנוסחה:

I=\frac{1}{\mu_{0}}EB =\frac{1}{\mu_{0}} cB_{0}^2\cos^2(kz-\omega t)

ולכן:

\Delta U=\frac{10\pi c}{\omega \mu_{0}}B_{0}^2\cos^2(kz-\omega t)A

שיעורי בית (HW)

תרגיל (7)

נתונים הרכיבים החשמליים של שני גלים אלקטרומגנטיים שנעים בריק אחד מול השני.

\begin{matrix} \vec{E}_{1}=E_{0}\sin(k(x-ct))\hat{y} \\ \vec{E}_{2}=E_{0}\sin(k(x+ct))\hat{y} \end{matrix}

הגל השקול הוא גל עומד.
מצאו את הביטוי לרכיב החשמלי של הגל העומד.

\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}=E_{0}(\sin (k(x-ct))+\sin(k(x+ct)))\hat{y}

\sin(k(x-ct))+\sin(k(x+ct))=2\sin\left( kx \right)\sin(-kct)

\vec{E}=-2E_{0}\sin(kx)\sin(kct)

שיעורי בית (HW)

תרגיל (8)

מצאו את הביטוי עבור השדה המגנטי של הגל העומד משאלה קודמת.

שיעורי בית (HW)