חזור לתיקייה: שיעורי בית

גליון 10

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי

גליון 10

01140052

פיזיקה 2

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

גליון 10

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

תרגיל (1)

מבין ההבאות, אילו משוואה היא חוק אמפר בצורה הדיפרנציאלית כולל תיקון מקסוול?
א. ∇⃗×B⃗=μ0J⃗−1c2∂E⃗∂t\vec{\nabla}\times \vec{B}=\mu_{0}\vec{J}-\frac{1}{c^2} \parder{\vec{E}}{t}∇×B=μ0​J−c21​∂t∂E​.
ב. ∇⃗×B⃗=0⃗\vec{\nabla}\times \vec{B}=\vec{0}∇×B=0.
ג. ∇⃗×B⃗=μ0J⃗−∂E⃗∂t\vec{\nabla}\times \vec{B}=\mu_{0}\vec{J}-\parder{\vec{E}}{t}∇×B=μ0​J−∂t∂E​.
ד. ∇⃗×B⃗=1ε0J⃗−ε0∂B⃗∂t\vec{\nabla}\times \vec{B}=\frac{1}{\epsilon_{0}}\vec{J}-\epsilon_{0}\parder{\vec{B}}{t}∇×B=ε0​1​J−ε0​∂t∂B​.
ה. ∇⃗×B⃗=μ0J⃗+1c2∂E⃗∂t\vec{\nabla}\times \vec{B}=\mu_{0}\vec{J}+\frac{1}{c^2} \parder{\vec{E}}{t}∇×B=μ0​J+c21​∂t∂E​.
ו. ∇⃗×B⃗=ε0J⃗+ε0∂E⃗∂t\vec{\nabla}\times \vec{B}=\epsilon_{0}\vec{J}+\epsilon_{0} \parder{\vec{E}}{t}∇×B=ε0​J+ε0​∂t∂E​.

מההרצאה ומדף הנוסחאות אנו יודעים כי:

∇⃗×B⃗=μ0J⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\vec{\nabla}\times \vec{B}=\mu_{0}\vec{J}+\mu_{0}\epsilon_{0} \parder{\vec{E}}{t}∇×B=μ0​J+μ0​ε0​∂t∂E​

בנוסף, אנו יודעים כי:

c=1μ0ε0  ⟹  c2=1μ0ε0  ⟹  μ0ε0=1c2c=\frac{1}{\sqrt{ \mu_{0}\epsilon_{0} }}\implies c^2=\frac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}}\implies \mu_{0}\epsilon_{0}=\frac{1}{c^2}c=μ0​ε0​​1​⟹c2=μ0​ε0​1​⟹μ0​ε0​=c21​

ולכן:

∇⃗×B⃗=mi0J⃗+1c2∂E⃗∂t\vec{\nabla}\times \vec{B}=mi_{0}\vec{J}+\frac{1}{c^2}\parder{\vec{E}}{t}∇×B=mi0​J+c21​∂t∂E​

שזה בדיוק אופציה ה.

תרגיל (2)

נתון קבל לוחות עגולים. רדיוס הלוחות הוא R=0.2mR= 0.2mR=0.2m (רדיוס הלוחות גדול מאד מהמרחק בין הלוחות). הקבל טעון במטען בצפיפות מטען התלויה בזמן: σ=At\sigma=Atσ=At. לפיכך, השדה החשמלי בין לוחות הקבל משתנה.

חשבו את השדה המגנטי המושרה בתוך הקבל ברדיוס .r= 0.04 m

היעזרו בתיקון מקסוול לחוק אמפר.
נתון: A=6μCm2sec⁡A=6 \frac{\mu C}{m^2\sec}A=6m2secμC​.

נצייר סקיצה:
​גליון 10 2026-07-07 13.18.01.excalidraw.svg
נדרש להסתכל על השינוי ב-ϕE\phi_{\Tiny E}ϕE​ תחילה, אותו נוכל למצוא באמצעות נוסחה של שדה בין קבל לוחות: E=σε0=Atε0E=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}=\frac{At}{\epsilon_{0}}E=ε0​σ​=ε0​At​.
כעת, אנו יודעים כי:

ϕE(t,r)=∬E⃗⋅ds⃗=Atε0∬ds⃗=πr2Atε0\phi_{\Tiny E}(t,r)=\iint \vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{At}{\epsilon_{0}}\iint d\vec{s}=\pi r^2\frac{At}{\epsilon_{0}}ϕE​(t,r)=∬E⋅ds=ε0​At​∬ds=πr2ε0​At​

נקבע r=0.04r=0.04r=0.04 ואז ϕE(t)=0.0016πAtε0\phi_{\Tiny E}(t)=0.0016\pi\frac{ At}{\epsilon_{0}}ϕE​(t)=0.0016πε0​At​.

dϕE(t)dt=0.0016πAε0\frac{d\phi_{\Tiny E}(t)}{dt}=\frac{0.0016\pi A}{\epsilon_{0}}dtdϕE​(t)​=ε0​0.0016πA​

נשים לב כי אנחנו בריק ולכן אין מטען שעובר בין הקבלים ולכן אין זרם ולכן, לפי חוק אמפר עם תיקון מקסוול:

B(r)2πr=∮B⃗⋅dℓ⃗=μ0ε00.0016πAε0=0.0016μ0πAB(r)2\pi r=\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}\epsilon_{0} \frac{0.0016\pi A}{\epsilon_{0}}=0.0016\mu_{0}\pi AB(r)2πr=∮B⋅dℓ=μ0​ε0​ε0​0.0016πA​=0.0016μ0​πA B(0.02)=0.0016μ0A2⋅0.02=0.04μ0A=0.48π⋅10−13T=1.5079645⋅10−13TB(0.02)=\frac{0.0016\mu_{0}A}{2\cdot 0.02}=0.04\mu_{0}A=0.48\pi\cdot 10^{-13}T=1.5079645\cdot 10^{-13}TB(0.02)=2⋅0.020.0016μ0​A​=0.04μ0​A=0.48π⋅10−13T=1.5079645⋅10−13T
תרגיל (3)

שדה חשמלי נתון ע"י:

E⃗=α4πε0(x2,y2,z2)x2+y2+z2\vec{E}=\frac{\alpha}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{(x^2,y^2,z^2)}{\sqrt{ x^2+y^2+z^2 }}E=4πε0​α​x2+y2+z2​(x2,y2,z2)​

כאשר α\alphaα הוא קבוע נתון.
בעזרת משוואת מקסוול מתאימה, מצאו את התפלגות המטען ρ\rhoρ בנקודה (x0,y0,z0)(x_{0},y_{0},z_{0})(x0​,y0​,z0​) (תנו תשובה ב-Cm3\frac{C}{m^3}m3C​)
נתונים:

x0=1.288my0=2.408mz0=4.8888mα=0.43Cm3x_{0}=1.288m \qquad y_{0}=2.408m \qquad z_{0}=4.8888m \qquad \alpha=0.43 \frac{C}{m^3}x0​=1.288my0​=2.408mz0​=4.8888mα=0.43m3C​

מדף הנוסחאות נמצא כי:

∇⃗⋅E⃗=ρε0\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}∇⋅E=ε0​ρ​

כעת, נוכל לחשב בדיוק את הגרדיאנט:

∇⃗⋅E⃗=∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z=2α4πε0(2xx2+y2+z2−x3x2+y2+z2+2yx2+y2+z2−y3x2+y2+z2+(the  same ⁣− ⁣z^)x2+y2+z2)=2α4πε02x(x2+y2+z2)+2y(x2+y2+z2)+2z(x2+y2+z2)−x3−y3−z3(x2+y2+z2)32=2α4πε02(x2+y2+z2)(x+y+z)−x3−y3−z3(x2+y2+z2)32\begin{align*} \vec{\nabla}\cdot \vec{E}&=\frac{\partial E_{x}}{\partial x}+\frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z} \\ &=\frac{2\alpha}{4\pi\epsilon_{0}}\left( \frac{2x\sqrt{ x^2+y^2+z^2 }-\frac{x^3}{\sqrt{ x^2+y^2+z^2 }}+2y\sqrt{ x^2+y^2+z^2 }-\frac{y^3}{\sqrt{ x^2+y^2+z^2 }}+(the\;same\!-\!\hat{z})}{x^2+y^2+z^2} \right) \\ &=\frac{2\alpha}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{2x(x^2+y^2+z^2)+2y(x^2+y^2+z^2)+2z(x^2+y^2+z^2)-x^3-y^3-z^3}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \\ &=\frac{2\alpha}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{2(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)-x^3-y^3-z^3}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \end{align*}∇⋅E​=∂x∂Ex​​+∂y∂Ey​​+∂z∂Ez​​=4πε0​2α​​x2+y2+z22xx2+y2+z2​−x2+y2+z2​x3​+2yx2+y2+z2​−x2+y2+z2​y3​+(thesame−z^)​​=4πε0​2α​(x2+y2+z2)23​2x(x2+y2+z2)+2y(x2+y2+z2)+2z(x2+y2+z2)−x3−y3−z3​=4πε0​2α​(x2+y2+z2)23​2(x2+y2+z2)(x+y+z)−x3−y3−z3​​

לכן, נקבל כי:

ρ=2α4π⋅2(x2+y2+z2)(x+y+z)−x3−y3−z3(x2+y2+z2)32\rho=\frac{2\alpha}{4\pi} \cdot \frac{2(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)-x^3-y^3-z^3}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}ρ=4π2α​⋅(x2+y2+z2)23​2(x2+y2+z2)(x+y+z)−x3−y3−z3​

מפה נחשב ונקבל 0.07901Cm30.07901 \frac{C}{m^3}0.07901m3C​.

תרגיל (4)

בחר את אוסף המשוואת המתאים למסקוול בריק

מכיוון שאנחנו בריק אין צפיפות מטען או זרם.

∇⃗⋅E⃗=0∇⃗⋅B⃗=0∇⃗×E⃗=−∂B⃗∂t∇⃗×B⃗=1c2∂E⃗∂t\begin{matrix} \vec{\nabla}\cdot \vec{E}=0 \\ \vec{\nabla}\cdot \vec{B}=0 \\ \vec{\nabla}\times \vec{E}=-\parder{\vec{B}}{t} \\ \vec{\nabla}\times \vec{B}=\frac{1}{c^2} \parder{\vec{E}}{t} \end{matrix}∇⋅E=0∇⋅B=0∇×E=−∂t∂B​∇×B=c21​∂t∂E​​
תרגיל (5)

אילו מבין הפונקציות הבאות לא מתארת גל?
א. ψ(x,t)=Asin⁡(−10x)cos⁡(ωt)\psi(x,t)=A\sin(-10x)\cos(\omega t)ψ(x,t)=Asin(−10x)cos(ωt)
ב. ψ(x,t)=Acos⁡((kx−ωt)t)\psi(x,t)=A\cos((kx-\omega t)t)ψ(x,t)=Acos((kx−ωt)t)
ג. ψ(x,t)=Aexp⁡(−(kx−ωt)2)\psi(x,t)=A\exp(-(kx-\omega t)^2)ψ(x,t)=Aexp(−(kx−ωt)2)
ד. ψ(x,y)=Asin⁡−1((x−ωt)2+4xωt)\psi(x,y)=A\sin^{-1}((x-\omega t)^2+4x\omega t)ψ(x,y)=Asin−1((x−ωt)2+4xωt)
ה. ψ(x,t)=A(kx−ωt)3\psi(x,t)=\frac{A}{(kx-\omega t)^3}ψ(x,t)=(kx−ωt)3A​

תשובה א' היא אכן גל, ספציפת, גל עומד שזוהי משוואתו.
על מנת שגל יהיה גל, נבדוק האם ניתן לתארו כפונקציה של x−vtx-vtx−vt. כלומר, ψ(x,t)=f(x−vt)\psi(x,t)=f(x-vt)ψ(x,t)=f(x−vt).
עבור סעיף ג' ו-ה' נוכל לעשות זאת בקלות שכן kx−ωt=k(x−ωkt)kx-\omega t=k\left( x-\frac{\omega}{k}t \right)kx−ωt=k(x−kω​t) ואז בהתאמה נציב בקונספט.
עבור סעיף ד' מתקיים:

ψ(x,t)=Asin⁡((x−ωt)2+4xωt)=Asin⁡(x2−2xωt+ω2t2+4xωt)=Asin⁡(x2+2xωt+ω2t2)=Asin⁡((x+ωt)2)=Asin⁡((x−(−ω)t)2)=v:=−ωf(x−vt)\begin{align*} \psi(x,t)&=\frac{A}{\sin((x-\omega t)^2+4x\omega t)}=\frac{A}{\sin(x^2-2x\omega t+\omega^2t^2+4x\omega t)}=\frac{A}{\sin(x^2+2x\omega t+\omega^2t^2)} \\ &=\frac{A}{\sin((x+\omega t)^2)}=\frac{A}{\sin((x-(-\omega)t)^2)}\underset{\begin{matrix} v:=-\omega \end{matrix}}{=}f(x-vt) \end{align*}ψ(x,t)​=sin((x−ωt)2+4xωt)A​=sin(x2−2xωt+ω2t2+4xωt)A​=sin(x2+2xωt+ω2t2)A​=sin((x+ωt)2)A​=sin((x−(−ω)t)2)A​v:=−ω​=​f(x−vt)​

לכן, ב' היא התשובה הנכונה פה.

תרגיל (6)

​waves of what.png
על פי התמונה, מהו אורך הגל ומהי האמפליטודה של הגל?

התשובה פה היא:

A=0.3m,  λ=0.5mA=0.3m,\; \lambda=0.5mA=0.3m,λ=0.5m

מודדים את אורך הגל מ-x=0x=0x=0 עד x=0.5x=0.5x=0.5 שכן אלו שתי פסגות.
מודדים את האמפליטודה ב-x=0x=0x=0 שכן שם יש מקסימום.

תרגיל (7)

​physics hw waves1.png
לפי התמונה, מהו אורך הגל ואמפליטודת הגל?

התשובה פה היא:

λ=2m,  A=1m\lambda=2m,\;A=1mλ=2m,A=1m

באותה הדרך כמו קודם רק עם הזזה של 0.50.50.5. (פאזה: ϕ0=0.5\phi_{0}=0.5ϕ0​=0.5)

תרגיל (8)

נתון גל המתואר ע"י הפונקציה f(r⃗,t)=7sin⁡(4x+3y−6t)f(\vec{r},t)=7\sin(4x+3y-6t)f(r,t)=7sin(4x+3y−6t).
מהם אורך הגל λ\lambdaλ, התדירות הזוויתית ω\omegaω והאמפליטודה AAA של הגל?

מהמשוואה אנו יודעים כי A=7A=7A=7.

k⋅r−ωt=4x+3y−6tk\cdot r-\omega t=4x+3y-6tk⋅r−ωt=4x+3y−6t

ולכן:

ω=6,    ∣k∣=42+32=5  ⟹  λ=2π∣k∣=2π5\omega=6,\;\; |k|=\sqrt{ 4^2+3^2 }=5 \implies \lambda=\frac{2\pi}{|k|}=\frac{2\pi}{5}ω=6,∣k∣=42+32​=5⟹λ=∣k∣2π​=52π​

ואלו התשובות.

תרגיל (9)

נתון גל המתואר ע"י הפונקציה הבאה:

f(r⃗,t)=4cos⁡(4x+3y+2t+1)f(\vec{r},t)=4\cos(4x+3y+2t+1)f(r,t)=4cos(4x+3y+2t+1)

מהו וקטור היחידה המתאר את כיוון התקדמות הגל(k^\hat{k}k^)?

ω\omegaω לא יכול להיות גודל שלילי ולכן נהפוך את ה-cos⁡\coscos כך:

f(r⃗,t)=4cos⁡(4x+3y+2t+1)=4cos⁡(−4x−3y−2t−1)f(\vec{r},t)=4\cos(4x+3y+2t+1)=4\cos(-4x-3y-2t-1)f(r,t)=4cos(4x+3y+2t+1)=4cos(−4x−3y−2t−1)

אנו יודעים כי ϕ=−1\phi=-1ϕ=−1 וכי ω=2\omega=2ω=2 ולכן, רק נותר להגיד כי k⃗=−4x^−3y^\vec{k}=-4\hat{x}-3\hat{y}k=−4x^−3y^​. ננרמל ונמצא את כיוון התקדמות הגל:

k^=k⃗∥k∥2=(4,3)42+32=−−45x^−35y^\hat{k}=\frac{\vec{k}}{\left\lVert k \right\rVert_{2} }=\frac{(4,3)}{\sqrt{ 4^2+3^2 }}=--\frac{4}{5}\hat{x}-\frac{3}{5}\hat{y}k^=∥k∥2​k​=42+32​(4,3)​=−−54​x^−53​y^​

וזוהי התשובה.

תרגיל (10)

נתונים שני גלים:

ψ1(x,t)=3cos⁡(2x−4t−π4)ψ2(x,t)=3cos⁡(2x−4t+φ0)\psi_{1}(x,t)=3\cos\left( 2x-4t-\frac{\pi}{4} \right) \qquad \qquad \psi_{2}(x,t)=3\cos(2x-4t+\varphi_{0})ψ1​(x,t)=3cos(2x−4t−4π​)ψ2​(x,t)=3cos(2x−4t+φ0​)

מהו הערך החיובי הקטן ביותר של φ0\varphi_{0}φ0​ עבורו נקבל התאבכות הורסת (כלומר, סכום שני הגלים יתאפס באופן קבוע לכל זמן ttt)?

זהות טריגונומטרית לדף הנוסחאות: cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)cosα+cosβ=2cos(2α+β​)cos(2α−β​).

ψ=ψ1+ψ2=6cos⁡(2x−4t+φ0−π42)cos⁡(−φ0−π42)\psi=\psi_{1}+\psi_{2}=6\cos\left( 2x-4t+\frac{\varphi_{0}-\frac{\pi}{4}}{2} \right)\cos\left( \frac{-\varphi_{0}-\frac{\pi}{4}}{2} \right)ψ=ψ1​+ψ2​=6cos(2x−4t+2φ0​−4π​​)cos(2−φ0​−4π​​)

על מנת שזה יתאפס אנו נדרשים שאחד הביטויים הללו יקבל ערך של arg⁡=π2+πm\arg=\frac{\pi}{2}+\pi marg=2π​+πm כאשר m∈Zm \in \mathbb{Z}m∈Z.
כדי למצוא את הערך החיובי הקטן ביותר נסתכל על m=±1m=\pm 1m=±1.
מכיוון שזה חייב להתאפס לכל x,tx,tx,t נדרוש כי:

−φ0+π42=π2−π  ⟹  π=ρ0+π4  ⟹  ρ0=34π-\frac{\varphi_{0}+\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{\pi}{2}-\pi \implies \pi=\rho_{0}+\frac{\pi}{4}\implies \rho_{0}=\frac{3}{4}\pi−2φ0​+4π​​=2π​−π⟹π=ρ0​+4π​⟹ρ0​=43​π

וזוהי התשובה. (m=1m=1m=1 נותן ערך שלילי)