גליון 1 — פיזיקה 2 | תיקיית הסיכומים

תרגיל (1)

נתון תיל מבודד הפרוס על ציר $\hat{x}$ מ- $0$ ועד $L$ . התיל טעון בצפיפות מטען קווית:

\lambda(x)=\lambda_{0} \frac{x^2}{L^2}

מהו המטען הכולל של התיל $Q$ בקולון?
נתון בנוסף כי: $\lambda_{0}=0.73\; \frac{C}{m},\quad L=9\; mm$ .

Q=\int \lambda(x)d\ell=\int_{0}^L \lambda_{0} \frac{x^2}{L^2}dx=\frac{\lambda_{0}}{L^2} \cdot \left.\frac{x^3}{3}\right\vert_{0}^{L}=\frac{\lambda_{0}}{L^2}\cdot \frac{L^3}{3}=\frac{\lambda_{0}L}{3}

Q=\frac{0.73 \cdot 9\cdot 10^{-3}}{3}=0.73\cdot 3\cdot 10^{-3}=2.19\cdot10^{-3}=0.00219\; C

תרגיל (2)

נתון חלק של חוט שמורכב משני חלקים ישרים וחצי מעגל שרדיוסו $R$ .
פיזיקה2-גליון1-2.png
לחוט צפיפות מטען קווית הנתונה ע"י הביטוי $\lambda(r)=\lambda_{0} \frac{r}{R}$ כאשר $r$ הוא המרחק מראשית הצירים.
מהו מטענו הכולל של החוט, $Q$ ?

נדרש להסתכל על שני חלקים:

החוט הישר
החוט המעגלי

החלק הישר:

Q_{line}=\int dQ=2\int_{R}^{3R} \lambda_{0} \frac{r}{R}dr=\frac{2\lambda_{0}}{R} \int_{R}^{3R} rdr=\left. \frac{2\lambda_{0}}{R}\cdot \frac{r^2}{2}\right\vert_{R}^{3R}=\frac{\lambda_{0}}{R}(9R^2-R^2)=8\lambda_{0}R

החלק המעגלי, בו נשתמש בקורדינטות פולריות:

Q_{circ}=\int dQ=\int_{0}^{\pi} \lambda(R) Rd\theta=\lambda_{0}R\pi

ולכן:

Q_{tot}=8\lambda_{0}R+\lambda_{0}R\pi=\lambda_{0}R(8+\pi)

תרגיל (3)

נתונה תיבה שמימדיה $a\times b\times c$ . על פני התיבה מפולג באופן אחיד מטען כולל $Q$ .
מהי צפיפות המטען המשטחית?

מכיוון שהמטען מפולג באופן אחיד, בכל נקודה יש את אותה כמות מטען. דבר ראשון נחשב את השטח הכולל של הקליפה:

S_{tot}=2cb+2ac+2ab

ואז:

\sigma=\frac{Q}{2(cb+ac+ab)}

תרגיל (4)

נתונה תיבה $a\times b\times c$ . אחד מקודקודי התיבה נמצא בראשית הצירים. נתון כי התיבה טעונה בצפיפות מטען נפחית $\rho(x)=p_{0} \frac{x}{a}$ .
מהו המטען הכולל של התיבה?

Q=\int dQ=\iiint \rho(x)dxdydz=\frac{\rho_{0}}{a}\int_{0}^a xdx\int_{0}^bdy\int_{0}^c dz=\frac{\rho_{0}}{a} \frac{a^2}{2} bc=\frac{1}{2}\rho_{0}abc

תרגיל (5)

נתון כדור שרדיוסו $R$ , הטעון במטען כולל $Q$ . המטען מפולג באופן אחיד בנפח הכדור.
מבלי לשנות את המטען הכולל, מגדילים את רדיוס הכדור ל- $2R$ . נתון שבמצב החדש, המטען מפולג באופן אחיד בנפח הכדור.
מה השינוי בצפיפות המטען הנפחית?

צפיפות המטען הנפחית קטנה פי 4.
צפיפות המטען הנפחית גדלה פי 4.
צפיפות המטען הנפחית קטנה פי 8.
צפיפות המטען הנפחית גדלה פי 2.
צפיפות המטען הנפחית קטנה פי 2.
צפיפות המטען הנפחית גדלה פי 8.
לא היה שינוי בצפיפות המטען הנפחית.

נשתמש פה במערכת צירים פולרית ונחשב תחילה את צפיפות המטען במקור:

\rho = \frac{Q}{\frac{4\pi r^3}{3}}=\frac{3Q}{4\pi R^3}

כעת, נגדיל את הכדור:

\rho_{2}=\frac{Q}{\frac{4\pi(2R)^3}{3}}=\frac{3Q}{32\pi R^3}

כעת, נחשב את התשובה הסופית:

\frac{\rho}{\rho_{2}}=\frac{\frac{3Q}{4\pi R^3}}{\frac{3Q}{32\pi R^3}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{32}}=\frac{32}{4}=8

ולכן, צפיפות המטען הנפחית קטנה פי $8$ .
(הערה: נוכל לדעת שצפיפות המטען קטנה גם מכיוון שאנחנו פורשים את אותה כמות מטען על אותו השטח)

תרגיל (6)

נתון גליל מבודד בעל רדיוס $R$ ואורך $L$ . הגליל טעון בצפיפות מטען נפחית:

\rho(r)=p_{0} \frac{r^2}{R^2}

מהו המטען הכולל $Q$ של הגליל? (השאלה נתונה בקורדינטות גליליות)

Q=\int dQ=\iiint p(r)rdrd\theta dz=\frac{\rho_{0}}{R^2} \int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^L dz \int_{0}^R r^3dr=\rho_{0} \pi L \frac{R^2}{2}=\frac{1}{2}\pi \rho_{0}LR^2

תרגיל (7)

נתונה דיסקה דקה מבודדת בעלת רדיוס $R$ אשר מרכזה בראשית הצירים. הדיסקה טעונה בצפיפות מטען משטחית:

\sigma(r,\theta)=\sigma_{0}\sin\theta

מהו המטען הכולל $Q$ של הדיסקה?

Q=\int dQ=\iint \sigma(r,\theta)rdrd\theta=\int_{0}^R rdr \int_{0}^{2\pi}\sigma_{0} \sin\theta d\theta=-(R^2-0)\sigma_{0}(\cos2\pi-\cos0)=0

תרגיל (8)

כדור טעון בצפיפות מטען ליחידת נפח:

\rho(r)=\rho_{0} \frac{r}{R}\quad \left[ \frac{C}{m^3} \right]

כאשר $R$ הוא רדיוס הכדור בקורדינטות כדוריות. מהו המטען הכולל $Q$ של הכדור?

\begin{align*} Q=\int dQ=\iiint \rho(r) r^2\sin\theta drd\theta d\varphi=\frac{\rho_{0}}{R}\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^\pi \sin\theta d\theta \int_{0}^R r^3dr&=\frac{\rho_{0}}{R}2\pi \cdot \underbracket{-(\cos \pi-\cos0)}_{2}\cdot \frac{R^4}{4} \\ &=\pi\rho_{0} R^3 \end{align*}

תרגיל (9)

נתון גליל שרדיוסו $R$ ואורכו $H$ וציר הסימטריה שלו מתלכד עם ציר $\hat{z}$ . הבסיס התחתון של הגליל נמצא ב- $z=0$ והבסיס העליון ב- $z=H$ .
נתון כי צפיפות המטען על פני הגליל נתונה באמצעות הפונקציה $\sigma(r,\theta,z)$ בקורדינטות גליליות. (הפונקציה עצמה לא ידועה)
בחרו את היטוי הנכון לסך הכל של המטען הנמצא על פני הגליל מבין הביטויים הבאים:

\begin{align*} (1) &\quad Q=\int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi}\sigma(R,\theta,z)Rd\theta dr \\ (2) &\quad Q=\int_{z=0}^H\int_{\theta=0}^{2\pi} \sigma(r,\theta,z)rd\theta dz+\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^R \sigma(r,\theta,z)rdr\theta \\ (3) & \quad Q=\int_{z=0}^H\int_{\theta=0}^{2\pi}\sigma(R,\theta,z)Rd\theta dz+\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R}(\sigma(r\theta,0)+\sigma(r,\theta,H))rdrd\theta \\ (4) & \quad Q=\int_{z=0}^H\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^R \sigma(r,\theta,z)rdrd\theta dz \\ (5) & \quad Q=(2\pi RH+2\pi R^2)\sigma(R,\theta,H) \end{align*}

אנו נדרשים למטען שנמצא על פני הגליל - זה מתחלק לשני חלקים: המטען שנמצא על הקליפה והמטען שנמצא על הבסיסים.
עבור הקליפה נקבע $r=R$ ואז:

Q=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^H \sigma(r,\theta,z)Rd\theta dz

ועבור הבסיסים נקבע: (זאת מכיוון שיכול להיות שהצפיפות שונה על בסיס הגובה ולכן נדרש לשני האיברים)

Q=\int_{0}^R\int_{0}^{2\pi}\sigma(r,\theta,0)rdrd\theta+\int_{0}^R\int_{0}^{2\pi}\sigma(r,\theta,H)rdrd\theta=\int_{0}^R\int_{0}^{2\pi}(\sigma(r,\theta,0)+\sigma(r,\theta,H))rdrd\theta

ולכן, המטען הכולל הינו:

Q=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^H \sigma(r,\theta,z)Rd\theta dz+\int_{0}^R\int_{0}^{2\pi}(\sigma(r,\theta,0)+\sigma(r,\theta,H))rdrd\theta

ולכן, התשובה הנכונה היא $(3)$ .

תרגיל (10)

נתונה קליפה כדורית מבודדת בעלת רדיוס $R$ אשר מרכזה בראשית הצירים. הקליפה טעונה בצפיפות מטען שטחית: $\sigma(\theta)=\frac{\sigma_{0}}{\sin\theta}$ .
כאשר $\theta$ היא הזווית ביחס לציר ה- $\hat{z}$ . (קורדינטות כדוריות)
מהו המטען הכולל $Q$ של הקליפה?

Q=\int dQ=\iint \sigma(\theta)R^2\sin\theta d\theta d\varphi=\sigma_{0}R^2\int_{0}^\pi d\varphi \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta}{\sin\theta}d\theta=2\pi^2\sigma_{0}R^2