בפרק הזה אנו עוזבים את האלקטרוסטטיקה ולכן, לא עוד שדה בתוך מוליך שווה ל- $0$ .
דבר ראשון נרצה לדעת מהו זרם ומשם נעבור לחוק אוהם וחיבור של נגדים וכן הלאה.

זרם

נניח כי יש לנו חתיכה של מוליך שנראית כך:
פיזיקה2-זרם-והתנגדות-הבסיס-תמונה-1.svg
המוליך הזה יכול להיות עשוי מנחושת או מכל חומר מוליך אחר. בתכלס, המוליך הזה מורכב מאטומים ובכך גם אלקטרונים אשר בגלל היותם מתכת, הם ניידים ולכן יכולים לנוע לכל כיוון שירצו.
לכל אלקטרון יש מהירות כלשהי אשר בה הוא נע.

אם $E=0$ כל אלקטרון נייד נע בכיוון שרירותי. (אין כיוון מועדף) ⇐ דרך חתך כלשהו יעבור בסך הכל מטען $0$ בפרק זמן כלשהו.
אם $\vec{E} \neq 0$ כאשר $\hat{E}=\hat{x}$ . אנו נסתכל על תנועת האלקטרונים:
פיזיקה2-זרם-והתנגדות-הבסיס-תמונה-2.svg
עבור האלקטרונים הניידים מתקיים:

\vec{F}=q\vec{E}=(-e)\vec{E}

לכן, כל האלקטרונים הניידים מעדיפים לנוע בכיוון $-\hat{E}$ . (זה לא אומר שהם באמת ינועו לשם - זה כבר תלוי במערכת ובכוחות)
אם נסתכל על חתך כלשהו אז נקבל כי יש בכל קטע זמן מטענים העוברים מצד אחד לצד השני - כלומר, נקבל תנועת מטענים.

הגדרה 1 (זרם חשמלי)

יהי מוליך כלשהו ויהי חתך כלשהו במוליך.
נגדיר את הזרם החשמלי - $I$ - דרך משטח כלשהו כך:

I=\frac{dQ}{dt}=\left[ \frac{C}{s} \right]

כלומר, הזרם החשמלי הינו קצב ממעבר מטענים דרך המשטח.

הערה

מסיבות היסטוריות אנו מתייחסים לזרם כתנועה של המטענים החיוביים ולכן הזרם הוא בכיוון השדה.
למרות שזה לא באמת נכון כי הגרעינים רק רוטטים והם לא ניידים במוצק (אפילו במתכת)

הערה

גם כשאנו מזיזים מוליך במרחב אז אנו מפעילים כוח על המטענים ולכן תהיה תנועה של מטענים ולכן יהיה זרם רגעי.

הזרם הינו גודל סקלרי אבל כאשר אנו מדברים על זרם אנו מגדירים באופן מילולי את כיוונו, תלוי בבעיה שבה אנו מסתכלים.

הגדרה 2 (צפיפות זרם)

נאמר כי זרם ליחידת שטח יקרא צפיפות זרם ויסומן $\vec{J}$ .

\vec{I}=\iint_{S} \vec{J}\cdot d\vec{s}=\left[ \frac{A}{m^2} \right]

כאשר $d\vec{s}$ הוא אלמנט שטח של המשטח $S$ .

איך נקבל את ה- $\vec{J}$ הזה?
נניח ואנו מסתכלים על איזשהו איזור בעולם שבו יש מטענים.
פיזיקה2-זרם-והתנגדות-הבסיס-תמונה-3.svg
הצפיפות הנפחית של המטענים תהנה: $\rho=q\cdot n$ כאשר $n$ היא צפיפות החלקיקים. (ו- $q$ כמובן המטען)
בואו נניח כי פעל איזשהו שדה חשמלי שגרם לכך שלכל אחד מהמטענים הללו תהיה בדיוק אותה המהירות בדיוק לאותו הכיוון. (אנו בעצם עושים מהירות ממוצעת כי כמות החלקיקים כה גדולה עד שאפילו עם מחשב קוונטי לא נוכל לחשב את המהירות של כל חלקיק באופן אפקטיבי)

{\vec{J}=\rho\cdot \vec{v}=qn\vec{v}}

כאשר $\vec{v}$ היא מהירות המטענים(הממוצעת)

אם יש לנו כמה סוגים של חלקיקים - נוסיף לכל חלקיק אינדקס $q_{1},v_{1},n_{2}$ ואז נוסיף עוד חלקיקים בעלי צפיפות מטען אחרת $q_{2},v_{2},n_{2}$ .
נניח ויש לנו $N$ סוגים שונים של חלקיקים, אזי:

\boxed{\vec{J}=\sum_{i=1}^N \rho_{i}\vec{v}_{i}=\sum_{i=1}^N q_{i}n_{i}\vec{v}_{i}}

זה ביטוי שהוא ביטוי כללי. (במקרה פרטי של מתכות מי שיזוז יהיה האלקטרונים)

חוק אוהם

נתחיל ממודל שמנסה להראות מאיפה מגיע חוק אוהם.

מודל דרודה

זהו מודל קלסי מ- $1900$ שאומר כך:
נסתכל על מוליך שבו יש גרעינים העומדים במנוחה.
פיזיקה2-זרם-והתנגדות-הבסיס-תמונה-4.svg
מודל דרודה מתייחס לאלקטרונים כמו לגז אידיאלי. כלומר, האלקטרונים נעים בכיוונים אקראיים וגודל המהירות שלהם תלוי בטמפרטורה של החומר. (הנחה: דליליות. כלומר, אלקטרון לא משפיע על אלקטרון)
נקח אלקטרון יחיד ונראה מה קורה כאשר הוא מתנגש בגרעין. לאחר שהוא מתנגש בגרעין זוהי התנגשות פלסטית והאלקטרון יוצא לכיוון אקראי. נניח שהוא פוגע בגרעין אחד ואז עוד גרעין וכו' וכו'.
זה מה שקורה כאשר $E=0$ .

כעת, נעבור להסתכל על $E \neq 0$ .
פיזיקה2-זרם-והתנגדות-הבסיס-תמונה-5.svg
ברגע מסויים אלקטרון פגע בגרעין ואז הוא יצא בכיוון אקראי. כעת, כשהוא יצא מהגרעין פועל עליו בכח. האלקטרון שובר את תנועתו בקו ישר ונע בצורה $\ln$ -ית לכיוון $-\hat{E}$ .
אותו הדבר יכול להיות עם אלקטרון אחר אשר פוגע בכמה גרעינים בדרכו.

מה שאנו רואים פה הוא שיש כיוון תנועה מועדף אבל הוא לא מוחלט, לפעמים אלקטרונים פוגשים בגרעינים וכיוון תנועתם מתערער.
בהתאם לכיוון הזה אנו מקבלים כמה תוצאת שהן בעצם ניבויים.

נרצה לקבל ביטוי למהירות הממוצעת של האלקטרונים ברגע כלשהו. (למה אנו רוצים את המהירות הממוצעת, ראו בהסבר לצפיפות זרם)
עבור אלקטרון מספר $i$ נכתוב:

v=v_{0}+at \implies \vec{u}_{i}=\vec{u}_{i}\left(\begin{matrix} \R{\text{מיד אחרי}} \\ \R{\text{ההתנגשות}} \end{matrix}\right)+\frac{(-e)\vec{E}}{m_{e}}t_{i}

נחשב את המהירות הממוצעת:

\begin{matrix} \R{\text{מהירות}} \\ \R{\text{ממוצעת}} \end{matrix}-\langle \vec{u}\rangle=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \vec{u}_{i}=\frac{1}{N}\sum_{i=}^N \vec{u}_{i}\left(\begin{matrix} \R{\text{מיד אחרי}} \\ \R{\text{ההתנגשות}} \end{matrix}\right)+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{(-e)\vec{E}}{m_{e}}t_{i}

מכיוון שכל אלקטרון יצא בכיוון אקראי, הסכום של המהירויות האקראיות הינו $0$ . (למה? כי פיזיקה ולא מתמטיקה)

\langle \vec{u}\rangle = -\frac{e\vec{E}}{m_{e}} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N t_{i}

אם נסתכל על האיזור הימני נראה כי יש לנו חישוב של זמן ממוצע אשר נקרא זמן רלקסציה(זמן ממוצע בין התנגשויות) ומסמנים אותו $\tau$ .

\langle \vec{u}\rangle =-\frac{e\vec{E}}{m_{e}}\tau

כעת, נחזור לצפיפות זרם ונראה מהי:

\vec{J}=(-e) n \left( -\frac{e\vec{E}}{m_{e}}\tau \right)=\frac{e^2n\tau}{m_{e}}\vec{E}

שלום לחוק אוהם :)
נשים לב כי הפרמטר שאנו מכפילים ב- $\vec{E}$ הוא קבוע פר חומר.

משפט (חוק אוהם המיקרוסקופי)

\vec{J}=\sigma \vec{E}

כאשר $\displaystyle \sigma=\frac{e^2n\tau}{m_{e}}$ אשר נרקאת מוליכות סגולית.

מוליכות סגולית $\sigma$ היא תכונה של חומר. לכל חומר יש מוליכות סגולית משלו. נשים לב להבדל:

$e^2$ הוא קבוע בכל החומרים.
$n$ אשר לו יחידות $\frac{1}{m^3}$ הוא צפיפות נושאי המטען החופשיים והוא שונה במתכות שונות.
$\tau$ - זמן רלקסציה שהוא זמן ממוצע בין התנגשויות. הוא שונה עבור חומרים שונים ואף שונה עבור אותו חומר בתנאים שונים.
$m_{e}$ - היא מסת האלקטרון ולכן גם היא קבועה בכל החומרים.

בסוף התברר שמודל דרודה אינו נכון. איזו באסה? אה.
העולם הרבה יותר מסובך ממודל דרודה. אך למה אנו מלמדים אותו? כי הוא פשוט והוא מספיק טוב כדי לדעת איך להתייחס למערכת כאשר אנו מסתכלים על מתכות שונות.

ככל ש- $\sigma$ גדולה יותר, המוליך טוב יותר!
(איך נדע? לפי הנוסחה.)

כעת, נסתכל על נגד פשוט.

מהו נגד פשוט? איזשהו גוף, נניח גליל בעל שטח חתך $A$ ואורך $L$ , אשר עשויו כולו מאותו החומר לו יש $\sigma$ אחידה.
מה זה נגד לא פשוט? שטח חתח משתנה או חומר משתנה או צפיפות מטען שתלויה ב- $x$ או במשהו אחר.

נחשב את הפוטנציאל בין קצוות הנגד הפשוט שלנו כאשר זורם דרכו שדה אחיד.
פיזיקה2-זרם-והתנגדות-הבסיס-תמונה-6.svg

V=\Delta \varphi=-\int_{-}^+ \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{L}^0 E\hat{x}\cdot dx\hat{x} =EL

כעת נרצה להשתמש בחוק אום המיקרוסקופי:

\vec{J}=\sigma \vec{E}\implies J\hat{x}=\sigma E\hat{x}\implies E=\frac{J}{\sigma}

את זה נרצה להציב במתח שלנו. אך לפני זה נרצה לבטא את $J$ באמצעות הזרם $I$ כך:

I=\iint \vec{J}\cdot d\vec{s} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{מכיוון שצפיפות הזרם אחידה}} \end{matrix}}{\implies} J=\frac{I}{A}

בנוסף, נגדיר התנגדות סגולית $\rho=\frac{1}{\sigma}$ ונקבל:

E=\frac{J}{\sigma}=\frac{I}{\sigma A}=\frac{\rho I}{A}

כעת, נציב בנוסחה למתח ונקבל:

V=EL=\frac{\rho L}{A}I \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R=\frac{\rho L}{A} \end{matrix}}{=}RI

קיבלנו אם כן את חוק אוהם המאקרוסקופי.

משפט (חוק אוהם המקרוסקופי)

V=RI

כאשר:

$V$ הוא המתח בין קצוות הפוטנציאל לו יחידות $[V]$
$R$ הוא התנגדות הנגד לו יחידות $[\Omega]$ . המובאת לנגד פשוט ע"י הנוסחה $R=\frac{\rho L}{A}$ כאשר $\rho$ היא ההתנגדות הסגולית של החומר ו- $L,A$ מתארים את גיאומטריית הנגד (אורך הנגד בהתאם לכיוון הזרם ושטח החתך שאותו חוצה הזרם).
$I$ הוא הזרם הכולל דרך הנגד לו יחידות $[A]$ .

על נגדים ויצורים אחרים

חיבור נגדים

חיבור בטור

בנגדים המחוברים בטור זה לזה, זורם אותו הזרם. (זוהי בעצם ההגדרה של חיבור בטור)
סימון לנגד הוא - [סימון ריבוע] או הסימון [סימון קשקוש].
נניח יש לנו מספר נגדים המחוברים בטור אחד לשני
פיזיקה2-זרם-והתנגדות-הבסיס-תמונה-7.svg
אנו נרצה להחליף אותם ב- $R_{T}$ אשר יחליף אותם כך שהמעגל לא ירגיש בהבדל. (כלומר, הזרם יהיה זהה והמתח יהיה זהה)

I=I_{1}=I_{2}=\dots=I_{N}

כעת אנו יכולים להתייחס למתח. מתח הוא בעל יכולת סופרפוזיציה ולכן:

V=V_{1}+V_{2}+\dots+V_{N}

נשתמש בחוק אוהם:

\begin{cases} V_{1}=R_{1}I_{1}=R_{1}I \\ V_{2}=R_{2}I_{2}=R_{2}I \\ \vdots \\ V=R_{T}I_{T}=R_{T}I \end{cases}

נציב ונקבל:

R_{T}I=R_{1}I+R_{2}I+\dots+R_{N}I\implies \boxed{R_{T}=\sum_{i=1}^N R_{i}}

חיבור במקביל

בנגדים המחוברים במקביל, המתח על הרכיבים זהה. (זוהי בעצם ההגדרה של חיבור במקביל)
נסתכל על מערכת בעלת $N$ נגדים:
פיזיקה2-זרם-והתנגדות-הבסיס-תמונה-9.svg
נרצה להחליף אותם ב- $R_{T}$ כך שהמעגל החיצוני לא יחוש בהבדל(אותו מתח וזרם)

כאשר אנו עובדים במקביל, אנו חייבים לשים לב כי כאשר המעגל מתפצל, הזרם גם הוא מתפצל. לאור שימור מטען מתקיים:

I=I_{1}+I_{2}+\dots+I_{N}

בנוסף, קיימת לנו המשוואה: $V=V_{1}=V_{2}=\dots =V_{N}$ . לכן מתקיים:

\begin{cases} I_{1}=\frac{V_{1}}{R_{1}}=\frac{V}{R_{1}} \\ I_{2}=\frac{V_{2}}{R_{2}}=\frac{V}{R_{2}} \end{cases}

\frac{V}{R_{T}}=\frac{V}{R_{1}}+\frac{V}{R_{2}}+\dots+\frac{V}{R_{N}} \implies \boxed{\frac{1}{R_{T}}=\sum_{i=1}^N \frac{1}{R_{i}}}

מציאת התנגדות נגד בהתאם לגיאומטריה שלו

תרגיל

נרצה לחשב את ההתנגדות למעבר זרם בכיוון הרדיאלי, עבור נגד בצורה של קליפה גלילית עם רדיוס פנימי $a$ ורדיוס חיצוני $b$ , העשויה מחומר בעל התנגדות סגולית אחידה $\rho$ . נתון כי גובה הקליפה $L$ .

פיזיקה-הרצאת-קירכהוף-כן-פיזיקה-2-תמונה-1.svg
הזרם הינו בכיוון הרדיאלי, שכן הוא נע בכיוון השדה.
נרצה למצוא את התנגדות הנגד. הנגד הינו נגד לא פשוט. למה? כי שטח החתך תלוי ב- $r$ (הרדיוס מהמרכז)
לכן, אין לנו כרגע נוסחה סגורה לחישוב ההתנגדות שלו לפי הגיאומטריה שלו.
מה שכן אנו יכולים לעשות זה לנסות להשתמש בחיבור בטור ובמקביל כדי לנסות לייצג את הנגד הלא פשוט שלנו.

נחשוב על הנגד כאוסף של נגדים פשוטים שהינם קליפות גליליות בעלות גובה $L$ כך שכל אחת מהן היא ממש ממש ממש דקה כך שעוביין הוא $dr$ . לאור שה- $r$ הוא מה שהפריע, נקח צעדים כל כך קטנים עד שהרדיוס לא ישפיע.
בואו נחשב עבור כל נגד פשוט שכזה ברדיוס $r$ .

dR=\frac{\rho dr}{2\pi rL}

הנגדים האלו מחוברים בטור שכן אותו הזרם עובר דרך כולם - הוא לא מתפצל ועובר דרך חלקם.
לכן נקבל:

R=\int_{a}^b dR=\int_{a}^b \frac{\rho dr}{2\pi rL}=\frac{\rho}{2\pi L} \int_{a}^b \frac{dr}{r}=\frac{\rho}{2\pi L}\ln \frac{b}{a}

כך, קיבלנו די בקלות את ההתנגדות שלנו שתלויה בגיאומטריה ובהתנגדות הסגולית של החומר - כנדרש.

פה ראינו איך אנו יכולים לגשת לבעיות בהן יש לנו נגדים שאינם פשוטים.

הערה

מילה שהייתה כאן ממש ממש חשובה בניסוח של הבעיה היא הזרם בכיוון הרדיאלי. אם כיוון הזרם היה בכיוון ציר הסימטריה, אזי הנגד הזה היה נגד פשוט והתנגדותי הייתה:

R=\frac{\rho L}{\pi b^2-\pi a^2}

לכן, חשוב לשים לב בשאלות לאיזה כיוון הזרם!!!!

הספק של נגד

אם אנו מסתכים על איזשהו רכיב חשמלי, לצורך העניין נגד. אנו מסתכים על הפרש פוטנציאלים בין שתי קצוות הנגד. את הפרש הפוטנציאלים הזה אנו מסמנים $V$ וקוראים לו מתח.
אם אנו מסתכים על איזשהו אלמנט מטען $dQ$ , אנו יודעים שהוא "יורד" מפוטנציאל גבוה לנמוך. אזי מתקייפ: $dU=dQ\Delta\varphi=VdQ$ .

הגדרה 3 (הספק)

הספק חשמלי של איזשהו רכיב בעל $\Delta \varphi$ הוא כמות האנרגיה שנוצלה במערכת בקטע זמן מסויים והוא מתואר ע"י הנוסחה:

P=\frac{dU}{dt}=\frac{dQ}{dt}V=IV

הוא נמדד ביחידות $[W]=\frac{[J]}{[\sec]}$ .

הערה

עבור נגד פשוט מתקיים:

P=IV=I^2R=\frac{V^2}{R}

כאשר $R$ הוא ההתנגדות.

הערה

איך אנו יודעים איזה סימן של הספק לשים בתרגילי הבית ובמבחן? לפי מה שרוצים מאיתנו.

התוצאה הרצויה מקבלת הספק חיובי.
התוצאה הלא רצויה מקבלת הספק שלילי.

מעגלים חשמליים

יהי מוליך ויהי שדה חשמלי, אזי אנו מצפים לתנועה של מטענים בכיוון המועדף וזאת מפאת שמדובר במוליך בו מטענים יכולים לנוע בחופשיות.
אם המוליך הוא סופי, אחרי שבריר שניה התנועה תפסק והזרם יתקיים לשבריר שניה בלבד. אנו נרצה שתהיה תנועה למשך זמן ולכן, נדרש מעגל אשר ממנו הדרם לא יוצא.
מצד שני, אם אנו חושבים על אנלוגיות מכניות, נחשוב על צינור סגור ואנו רוצים שיהיה בו זרם באופן קבוע, אם לא נשקיע אנרגיה לא נוכל להתניע את הטיפה מהמקום בו הפוטנציאל נמוך למקום בו הפוטנציאל גבוה בהמשך המעגל.
בקורס זה, חשמל, אנו נרצה מישהו שישחק את תפקיד המשאבה. לתפקיד זה נקח יצור בשם סוללה/ספק מתח. זה יצור הלוקח אנרגיה כימית וממיר אותה לאנרגיה חשמלית. איך? עם הפרדת מטענים באמצעות שתי תמיסות כך שבאחד מהצדדים מצטברים מינוסים ובשני מצטברים פלוסים ואז, כאשר המטען החיובי מתאחד עם המטען השלילי זה משחרר אנרגיה חשמלית.
פיזיקה-הרצאת-קירכהוף-כן-פיזיקה-2-תמונה-2.svg
הסימון לסוללה או למקור מתח הינו $V$ או $\epsilon$ והוא נראה כך:
2 - זרם והתנגדות 2026-06-09 10.42.17.excalidraw.svg

כוח אלקטרו מניע (כא"מ - $EMF$ )

זה שם גרוע - כי כתוב פה כוח וזה לא כוח. זה לא כוח!!!!
אנו מסמנים אותו ב- $\epsilon$ .
מה מיוחד בסוללה לעומת קבל?

כאשר אנו מחברים את הקבל למערכת חיצונית הפולסים והמינוסים בורחים מהקבל
הסוללה היא רכיב אקטיבי ולכן המטענים לא יוצאים מהסוללה ויש הפרש פוטנציאלים תמידי (עד שאין בגלל כימיה)

מקור המתח יוצר בתוך המעגל הפרש פוטנציאלים ובכך יוצר שדה חשמלי אשר מפעיל כוח על המטענים הניידים וגורם להם לנוע. זה בדיוק הכוח האלקטרו מניע שהוא לא באמת כוח כי הוא שדה.
אנו עוד נדון בכא"מ הזה בהמשך כשנראה שניתן ליצור אותו גם באמצעות השראה מגנטים.

נתייחס לעוד דבר - לסוללה יש התנגדות פנימית. זה דבר שקיים מבלי שרצינו אך עדיין נדרש להתמודד איתו.
כאן אנו נבדיל בין הכא"מ $\epsilon$ אשר הינו הפרש הפוטנציאלים המקסימלי שהסוללה יכולה לתת ובין מתח ההדקים אשר נסמנו $V$ והוא יתן לנו את הפרש הפוטנציאלים האמיתי שאנו מקבלים.
פיזיקה-הרצאת-קירכהוף-כן-פיזיקה-2-תמונה-3.svg

כאשר הסוללה לא מחוברת למעגל, לא זורם זרם בנגד הפנימי ולכן, $\epsilon=V$ .
כאשר המעגל מחובר, זרם יכול לזרום ואנו נקבל:

I=\frac{\epsilon}{R+r}

כאשר $r$ הוא ההתנגדות הפנימית של הסוללה.
נסמן בנוסף יצור נוסף: $V_{r}=\frac{\epsilon\cdot r}{R+r}$ אשר זהו המתח שנופל על הנגד הפנימי של הסוללה.
כעת נוכל לחשב את מתח ההדקים:

V=\epsilon-V_{r}=\epsilon-\frac{\epsilon r}{R+r}<\epsilon

הערה

בקורס זה, אם אנו לא מקבלים נתונים על ההתנגדות הפנימית של הסוללה, נדרש להניח כי הסוללה אידיאלית. כלומר, $V=\epsilon$ .
בעולם האמיתי זה לא קיים אבל בקורס זה כן.ד

פתרון למעגלים חשמליים

חוקי קירכהוף

ישנם שני חוקי קירכהוף: חוק הצומת וחוק הלולאה.

משפט (חוק הצומת)

נניח ומחוברים לנו לאותה נקודה כמה תת מעגלים, נקרא לה צומת ומתקיים כי סכום הזרמים הנכנסים לתוך הצומת שווה לסכום הזרמים היוצאים מהצומת.

\sum I_{in}=\sum I_{out}

פיזיקה-הרצאת-קירכהוף-כן-פיזיקה-2-תמונה-4.svg

חוק זה הוא בעצם ביטוי לחוק שימור המטען.

משפט (חוק הלולאה)

סכום עליות וירידות(מפלי) המתח על לולאה סגורה שווה ל- $0$ .
פיזיקה-הרצאת-קירכהוף-כן-פיזיקה-2-תמונה-5.svg

\sum_{i}^{\R{\text{במעגל סגור}}} V_{i}=0

חוק זה מראה שאפשר בכלל לדבר על פוטנציאל. הוא נותן ביטוי להנחה שהשדה החשמלי משמשר.

הערה

זה לא באמת נכון. השדה המשמר הוא שדה אלקטרוסטטי.
בהמשך הקורס, במגנטיות, נראה איך מתקנים אותו.

למה נרצה להשתמש בחוקי קירכהוף?

עד כה ראינו רק בעיות בהן הבעיות שלנו היו עם חיבור בטור, במקביל או במעורב, איפה שיכולנו לפרק לחיבורים בטור ובמקביל.
אנו נרצה להסתכל על בעיות מסובכות יותר עם שילוב של קבלים ונגדים ושם לא ניתן להמיר את הנגדים לנגד שקול כי הקבלים מפריעים וכך גם עם קבל שקול.
לכן, נדרש לכלים חזקים יותר - בכך חוקי קירכהוף - על מנת לפתור מעגלים מסוג זה.

תרגיל

נתון המעגל החשמלי הבא:
פיזיקה-הרצאת-קירכהוף-כן-פיזיקה-2-תמונה-6.svg
מהו הזרם דרך הנגד $R_{3}$ ?

למה לא ניתן לפתור את הבעיה עם חיבור בטור ובמקביל?

אין לנו חיבור בטור כי הזרם מתפצל בנקודת מפגש של הנגדים.
אין לנו חיבור במקביל שכן לאור שתי הסוללות הזרם לא נשמר.

נסתכל על מתכון של פתירת בעיות עם חוקי קירכהוף:

נסמן זרמים: ניתן לסמן באופן שרירותי. אם טעינו בכיוון, בסיום החישוב, הזרם שסומן שלא בכיוון הנכון יצא שלילי ופירוש זרם שלילי הוא שהזרם האמיתי בכיוון ההפוך.
נסמן את המתחים על רכיבים שהם לא סוללות בהתאמה לכיוון הזרם.
עבור סוללות, מסמנים לפי ההדקים (כאשר ההדק הארוך הוא ה- $+$ )
כותבים את חוקי הלולאה וחוקי הצומת של קירכהוף.
פותרים.

כלל אצבע: על מנת למנוע משוואות לא נחוצות, לכל חוק נסתכל על כמות המופעים שלו ונוריד באחת וזוהי כמות המשוואות של החוק הזה.
נניח אם יש לנו $3$ צמתים, אז נדרש ל- $2$ משוואות של כלל הצומת בלבד.

נתחיל בעבודה:
תחילה נסמן את $I_{1},I_{2},I_{3}$ אשר נכוון אותם באופן שרירותי ולאחר החישוב נראה מה הכיוון האמיתי שלהם.
פיזיקה-הרצאת-קירכהוף-כן-פיזיקה-2-תמונה-7.svg
כעת, נסמן את הזרמים על הסוללות.

הסוללות הינן יוצאות דופן כי הן רכיב אקטיבי.

כאשר אנו חושבים על הבעיה הזאת, עקרונית יש לנו $3$ נעלמים: $I_{1},I_{2},I_{3}$ . אנו רוצים את $R_{3}$ אבל כדי שתהיה לנו גישה אליו נדרש למצוא את $I_{1},I_{2},I_{3}$ .
פיזיקה-הרצאת-קירכהוף-כן-פיזיקה-2-תמונה-9.svg
נכתוב את המשוואות:

\begin{align*} (1)\quad & I_{1}+I_{2}=I_{3} & \R{\text{חוק הצומת}} \\ (2)\quad & \epsilon_{1}-I_{3}R_{3}-I_{1}R_{1}=0 & \R{\text{כלל הלולאה}} \\ (3)\quad & I_{3}R_{3}+\epsilon_{2}+I_{2}R_{2}=0 & \R{\text{כלל הלולאה}} \end{align*}

קיבלנו שלוש משוואות בשלושה נעלמים. נוכל כעת לפתור בכל שיטה שנבחר.
לאחר שנפתור נקבל:

I_{3}=\frac{R_{2}\epsilon_{1}-R_{1}\epsilon_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}

האם נוכל להגיד שהוא בכיוון הנכון? לא - אנחנו עוד לא יודעים כלום. המונה יכול לצאת חיובי או שלילי כתלות בערכים.
אם מישהו יתן לנו את הערכים של $\epsilon,R$ לכל $i$ אז נוכל לדעת זאת.

הערה (תזכורת)

\begin{align*} (1)\quad & \dot{f}=-\alpha f \implies f(t)=Ae^{-\alpha t} \\ (2)\quad & \dot{f}=-\alpha f+\beta \implies f(t)=Ae^{-\alpha t}+\frac{\beta}{\alpha} \\ (3)\quad & \ddot{f}+\omega^2f=0\implies f(t)=C\sin(\omega t)+D\cos(\omega t) \end{align*}

צריך לדעת גם לעשות משהו שנקרא פריקה.

תרגיל

נתון המעגל החשמלי הבא:
פיזיקה-הרצאת-קירכהוף-כן-פיזיקה-2-תמונה-10.svg
ברגע $t=0$ סוגרים את המתג $S$ .
ברגע $t=0$ המטען על הקבל היה $Q$ .
מהו הזרם במעגל?

הזרם בעצם מרוקן את הקבל שכן הוא אינו רכיב אקטיבי. המטען בקבל ילך וירד עד שישתווה לאפס. זה יגרור "העלמות" של השדה החשמלי ובכך הפוטנציאל החשמלי ולכן, לא יהיה זרם בנקודה זאת במעגל.
נזכר כי $I=-\frac{dQ}{dt}$ . למה $-$ ? לאות הסימון שלנו של הזרם מהכיוון של $-Q(t)$ אל $+Q(t)$ .
לכן, לא נסמן ככה את הזרם. נסמן את הזרם ביודעין הפוך על מנת למנוע בלבולים ומינוסים מיותרים. לכן נקבל $I=\frac{dQ}{dt}$ ובסוף רק נדרש להפוך את סימן הזרם.

נסמן את המתחים על כל הרכיבים ולבסוף, נלך לכתוב את המשוואות שלנו. יש לנו $0$ צמתים ולכן נדרש לכתוב רק את חוק הלולאה. יש לנו נעלם אחד ולכן נדרש אך ורק משוואה אחת.

0=V_{C}+V_{R}=\frac{Q(t)}{C}+IR

קיבלנו כאן מד"ר כי בעצם:

0=\frac{Q(t)}{C}+\frac{dQ(t)}{dt}R

\frac{dQ}{dt}=-\frac{1}{RC}Q(t)

זוהי משוואה ממשפחה (1) ולכן:

Q(t)=Ae^{-\frac{1}{RC}t}

Q(0)=Q_{0} \implies Q_{0}=Ae^0=A

\boxed{Q(t)=Q_{0}e^{-\frac{t}{RC}}}

I=-\frac{Q_{0}}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}

קיבלנו זרם שלילי. כלומר, הזרם בכיווון ההפוך, כצפוי.
לכן:

I=\frac{Q_{0}}{RC}e^{\frac{t}{RC}}

הגדרה 4 (קבוע זמן טיפוסי)

נהוג לסמן קבוע זמן טיפוסי למעגל $RC$ בדמות $\tau=RC$ .
כאשר מעגל $RC$ הוא מעגל בעל נגד אחד וקבל אחד(יכולים להיות שקולים)

משפט

יהי מעגל $RC$ בפריקה. אזי מתקיים:

Q(t)=Q_{0}e^{\Large-\frac{t}{\tau}} \qquad \qquad I(t)=\frac{Q_{0}}{\tau}e^{\Large -\frac{t}{\tau}}

תרגיל

נתון המעגל הבא:
פיזיקה2-שרטוטים-מעגלRC-תמונה-1.svg
ברגע $t=0$ סוגרים את המעגל.
ברגע $t=0$ המטען על הקבל היה $0$ .
מהו הזרם במעגל?

נבחר את הזרם שלנו בכיוון הטעינה של הקבל. אזי מתקיים:

\epsilon+IR+\frac{Q(t)}{C}=0 \implies \frac{dQ}{dt}R+\frac{Q}{C}-\epsilon=0

זה מקרה מספר (2).

\frac{dQ}{dt}=\frac{\epsilon}{R}-\frac{Q}{RC} \implies Q(t)=Ae^{-\frac{1}{RC}t}-\epsilon C

אנו יודעים כי המטען על הקבל היה $0$ ב- $t=0$ ולכן מתקיים:

Q(0)=0=Ae^{0}-\epsilon C\implies A=\epsilon C

לכן הפונקציה שלנו הינה:

Q(t)=\epsilon Ce^{-\frac{t}{RC}}+\epsilon C=\epsilon C(1-e^{-\frac{t}{RC}})

I=\frac{dQ}{dt}\implies I=\epsilon C\left( -e^{\frac{-t}{RC}} \right)\left( -\frac{1}{RC} \right)=\frac{\epsilon}{R}e^{\Large -\frac{t}{RC}}

פיזיקה2-שרטוטים-מעגלRC-תמונה-2.svg

זרם

\vec{F}=q\vec{E}=(-e)\vec{E}

הגדרה 1 (זרם חשמלי)

יהי מוליך כלשהו ויהי חתך כלשהו במוליך.
נגדיר את הזרם החשמלי - $I$ - דרך משטח כלשהו כך:

I=\frac{dQ}{dt}=\left[ \frac{C}{s} \right]

כלומר, הזרם החשמלי הינו קצב ממעבר מטענים דרך המשטח.

הערה

גם כשאנו מזיזים מוליך במרחב אז אנו מפעילים כוח על המטענים ולכן תהיה תנועה של מטענים ולכן יהיה זרם רגעי.

הגדרה 2 (צפיפות זרם)

נאמר כי זרם ליחידת שטח יקרא צפיפות זרם ויסומן $\vec{J}$ .

\vec{I}=\iint_{S} \vec{J}\cdot d\vec{s}=\left[ \frac{A}{m^2} \right]

כאשר $d\vec{s}$ הוא אלמנט שטח של המשטח $S$ .

{\vec{J}=\rho\cdot \vec{v}=qn\vec{v}}

כאשר $\vec{v}$ היא מהירות המטענים(הממוצעת)

\boxed{\vec{J}=\sum_{i=1}^N \rho_{i}\vec{v}_{i}=\sum_{i=1}^N q_{i}n_{i}\vec{v}_{i}}

זה ביטוי שהוא ביטוי כללי. (במקרה פרטי של מתכות מי שיזוז יהיה האלקטרונים)

חוק אוהם

נתחיל ממודל שמנסה להראות מאיפה מגיע חוק אוהם.

מודל דרודה

v=v_{0}+at \implies \vec{u}_{i}=\vec{u}_{i}\left(\begin{matrix} \R{\text{מיד אחרי}} \\ \R{\text{ההתנגשות}} \end{matrix}\right)+\frac{(-e)\vec{E}}{m_{e}}t_{i}

נחשב את המהירות הממוצעת:

\begin{matrix} \R{\text{מהירות}} \\ \R{\text{ממוצעת}} \end{matrix}-\langle \vec{u}\rangle=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \vec{u}_{i}=\frac{1}{N}\sum_{i=}^N \vec{u}_{i}\left(\begin{matrix} \R{\text{מיד אחרי}} \\ \R{\text{ההתנגשות}} \end{matrix}\right)+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{(-e)\vec{E}}{m_{e}}t_{i}

מכיוון שכל אלקטרון יצא בכיוון אקראי, הסכום של המהירויות האקראיות הינו $0$ . (למה? כי פיזיקה ולא מתמטיקה)

\langle \vec{u}\rangle = -\frac{e\vec{E}}{m_{e}} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N t_{i}

\langle \vec{u}\rangle =-\frac{e\vec{E}}{m_{e}}\tau

כעת, נחזור לצפיפות זרם ונראה מהי:

\vec{J}=(-e) n \left( -\frac{e\vec{E}}{m_{e}}\tau \right)=\frac{e^2n\tau}{m_{e}}\vec{E}

שלום לחוק אוהם :)
נשים לב כי הפרמטר שאנו מכפילים ב- $\vec{E}$ הוא קבוע פר חומר.

משפט (חוק אוהם המיקרוסקופי)

\vec{J}=\sigma \vec{E}

כאשר $\displaystyle \sigma=\frac{e^2n\tau}{m_{e}}$ אשר נרקאת מוליכות סגולית.

מוליכות סגולית $\sigma$ היא תכונה של חומר. לכל חומר יש מוליכות סגולית משלו. נשים לב להבדל:

$e^2$ הוא קבוע בכל החומרים.
$n$ אשר לו יחידות $\frac{1}{m^3}$ הוא צפיפות נושאי המטען החופשיים והוא שונה במתכות שונות.
$\tau$ - זמן רלקסציה שהוא זמן ממוצע בין התנגשויות. הוא שונה עבור חומרים שונים ואף שונה עבור אותו חומר בתנאים שונים.
$m_{e}$ - היא מסת האלקטרון ולכן גם היא קבועה בכל החומרים.

ככל ש- $\sigma$ גדולה יותר, המוליך טוב יותר!
(איך נדע? לפי הנוסחה.)

כעת, נסתכל על נגד פשוט.

מהו נגד פשוט? איזשהו גוף, נניח גליל בעל שטח חתך $A$ ואורך $L$ , אשר עשויו כולו מאותו החומר לו יש $\sigma$ אחידה.
מה זה נגד לא פשוט? שטח חתח משתנה או חומר משתנה או צפיפות מטען שתלויה ב- $x$ או במשהו אחר.

נחשב את הפוטנציאל בין קצוות הנגד הפשוט שלנו כאשר זורם דרכו שדה אחיד.
פיזיקה2-זרם-והתנגדות-הבסיס-תמונה-6.svg

V=\Delta \varphi=-\int_{-}^+ \vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{L}^0 E\hat{x}\cdot dx\hat{x} =EL

כעת נרצה להשתמש בחוק אום המיקרוסקופי:

\vec{J}=\sigma \vec{E}\implies J\hat{x}=\sigma E\hat{x}\implies E=\frac{J}{\sigma}

את זה נרצה להציב במתח שלנו. אך לפני זה נרצה לבטא את $J$ באמצעות הזרם $I$ כך:

I=\iint \vec{J}\cdot d\vec{s} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{מכיוון שצפיפות הזרם אחידה}} \end{matrix}}{\implies} J=\frac{I}{A}

בנוסף, נגדיר התנגדות סגולית $\rho=\frac{1}{\sigma}$ ונקבל:

E=\frac{J}{\sigma}=\frac{I}{\sigma A}=\frac{\rho I}{A}

כעת, נציב בנוסחה למתח ונקבל:

V=EL=\frac{\rho L}{A}I \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R=\frac{\rho L}{A} \end{matrix}}{=}RI

קיבלנו אם כן את חוק אוהם המאקרוסקופי.

משפט (חוק אוהם המקרוסקופי)

V=RI

כאשר:

$V$ הוא המתח בין קצוות הפוטנציאל לו יחידות $[V]$
$R$ הוא התנגדות הנגד לו יחידות $[\Omega]$ . המובאת לנגד פשוט ע"י הנוסחה $R=\frac{\rho L}{A}$ כאשר $\rho$ היא ההתנגדות הסגולית של החומר ו- $L,A$ מתארים את גיאומטריית הנגד (אורך הנגד בהתאם לכיוון הזרם ושטח החתך שאותו חוצה הזרם).
$I$ הוא הזרם הכולל דרך הנגד לו יחידות $[A]$ .