קורדינטות קרטזיות

אנחנו נתמקד באלמנטי שטח ואלמנטי נפח.
כאשר אנו עוסקים במערכת צירים קרטזית, אנחנו עובדים עם צירים $x,y,z$ אשר מה שמייחד אותם זה שהזווית ביניהם היא $90\degree$ .
לפעמים אנו נרצה להתייחס לאובייקטים שנמצאים בעולם התלת מימדי הזה, אך לפעמים אנחנו נרצה לעבוד רק עם חלק מהמימדים של העולם הזה.
0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 12.32.52.excalidraw.svg
אנחנו יכולים להביע שטח של משטח דו מימדי בעולם התלת מימדי הזה באמצעות שני צירים בהם הוא נמצא:

ds=dxdz \qquad ds=dydz \qquad ds=dxdy

כאשר יש לנו קוביה ונרצה לחשב את הנפח שלה נוכל לבצע:
0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 12.36.20.excalidraw.svg

dV=dxdydz

דוגמה

מלבן ממוקם במישור $z=3$ ותחום ע"י $2\leq y\leq{4},1\leq x\leq{3}$ .
צפיפות המטען המשטחית היא $\sigma=\frac{x^2y}{z}A_{0}$ . מהו המטען הכולל?

Q=\int dQ=\iint\sigma ds=\left.\int_{2}^4\int_{1}^3\frac{x^2y}{z}A_{0}dxdy\right\vert_{z=3}=\frac{A_{0}}{3}\int_{y=2}^4ydy\int_{x=1}^3x^2dx=\frac{A_{0}}{3}\left[ \frac{y^2}{2} \right]_{2}^4\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^3=17 \frac{1}{3}A_{0}

קורדינטות גליליות

נתחיל לשרטט מערכת צירים קרטזית כדי לקבוע סט חדש של משתנים שלפיהם אנחנו הולכים לנתח בעיות והם:

מרחק מציר ה- $z$ מסומן ע"י $r$ . (מכיוון ש- $r$ הוא מרחק ולכן $r\geq 0$ )
הזווית בין היתל הנקודה על מישור $xy$ לבין הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ , נגד כיוון השעון מסומנת ע"י $\theta$ . (הגבלות הזווית: $0\leq\theta\leq2\pi$ )
גובה הנקודה יחסית למישור $xy$ יסומן ע"י $z$ . (הגבלות: $-\infty< z< \infty$ ).

כך אנחנו מקבלים:
0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 12.46.06.excalidraw.svg
כשנניח נרצה לבנות אלמנט שטח, נוכל לקבוע $r$ קבוע ולהסתכל על יצור שכזה:

ds=rd\theta dz

במקרה אחר, בו יש לנו $\theta$ קבועה אז:
0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 12.53.56.excalidraw.svg

ds=drdz

במקרה שלישי, בו יש $z$ קבוע יקרה:
0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 12.57.28.excalidraw.svg

ds=rdrd\theta

אלנמט נפח

נסתכל על נקודה כללית ונלך ממנה לכל הכיוונים
0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 13.00.56.excalidraw.svg
כעת, נוכל לחשב את הנפח של הגוף המוזר הזה:

dV=rdrd\theta dz

קורדינטות כדוריות

נסתכל על נקודה כללית במרחב תלת מימדי ונקבע 3 משתנים לתיאור הקורדינטות:

מרחק מראשית הצירים מתואר ע"י $r$ . (מכיוון ש- $r$ מתאר מרחק $r\geq0$ )
הזווית של הנקודה יחסית לכיוון החיובי של ציר ה- $z$ תסומן ב- $\theta$ . (הגבלות: $0\leq\theta\leq 2\pi$ )
הזווית בין היטל הנקודה על מישור $xy$ לבין הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ , נגד כיוון השעון תקרא $\varphi$ . (הגבלות: $0\leq \varphi\leq \pi$ )

הערה

שימו לב, כי $r$ פה אינו אותו $r$ של קורדינטות גליליות!
כך גם ל- $\theta$ .

0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 13.06.31.excalidraw.svg

אלמנטי שטח

זה יכול לפגוש אותנו בבעיות בהן אנחנו נצטרך שפה של כדור (כמו גאוס)
כאשר $r$ קבוע:
0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 13.08.55.excalidraw.svg

ds=r^2\sin\theta d\theta d\varphi

כעת, במקרה בו $\theta$ קבועה:
0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 13.13.06.excalidraw.svg

ds=r\sin\theta drd\varphi

לבסוף, נראה מקרה בו $\varphi$ קבועה:
0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 13.15.42.excalidraw.svg

ds=rdrd\theta

אלמנט נפח

0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 13.21.48.excalidraw.svg

dV=r^2\sin\theta drd\theta d\varphi

אינטגרלים שימושיים

\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{x}{a^2\sqrt{ x^2+a^2 }}+c

\int \frac{xdx}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{ x^2+a^2 }}+c

\int \frac{x^2dx}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}=\ln(\sqrt{ x^2+a^2 }+x)-\frac{x}{\sqrt{ x^2+a^2 }}+c

\int \frac{x^3dx}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{2a^2+x^2}{\sqrt{ x^2+a^2 }}+c

קורדינטות קרטזיות

ds=dxdz \qquad ds=dydz \qquad ds=dxdy

כאשר יש לנו קוביה ונרצה לחשב את הנפח שלה נוכל לבצע:
0 - הכנה מתמטית 2026-04-16 12.36.20.excalidraw.svg

dV=dxdydz

דוגמה

מלבן ממוקם במישור $z=3$ ותחום ע"י $2\leq y\leq{4},1\leq x\leq{3}$ .
צפיפות המטען המשטחית היא $\sigma=\frac{x^2y}{z}A_{0}$ . מהו המטען הכולל?

Q=\int dQ=\iint\sigma ds=\left.\int_{2}^4\int_{1}^3\frac{x^2y}{z}A_{0}dxdy\right\vert_{z=3}=\frac{A_{0}}{3}\int_{y=2}^4ydy\int_{x=1}^3x^2dx=\frac{A_{0}}{3}\left[ \frac{y^2}{2} \right]_{2}^4\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^3=17 \frac{1}{3}A_{0}