תהי f : [ a , b ] → R f:[a,b]\to \mathbb{R} f : [ a , b ] → R F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \displaystyle F(x)=\int_{a}^x f(t)dt F ( x ) = a ∫ x f ( t ) d t F F F [ a , b ] [a,b] [ a , b ] F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F ′ ( x ) = f ( x )
תהי f : [ a , b ] → R f:[a,b]\to \mathbb{R} f : [ a , b ] → R F F F f f f
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_{a}^b f(x)dx = F(b)-F(a) a ∫ b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a )
תהי f : [ a , b ] → R f:[a,b]\to \mathbb{R} f : [ a , b ] → R ∫ a b f ( x ) d x = 0 \displaystyle \int_{a}^b f(x)dx=0 a ∫ b f ( x ) d x = 0 f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 x ∈ [ a , b ] x \in[a,b] x ∈ [ a , b ]
ניתן להוכיח אותה בלי המשפט היסודי ע"י הנחה בשלילה וצבירת שטח וכו' אך כעת נוכיח אותה עם המשפט היסודי.הוכחה:
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x)=\int_{a}^x f(t)dt F ( x ) = a ∫ x f ( t ) d t f f f F F F F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq 0 f ( x ) ≥ 0 F ′ ( x ) ≥ 0 F'(x)\geq 0 F ′ ( x ) ≥ 0 F F F F ( b ) = ∫ a b f ( t ) d t = 0 \displaystyle F(b)=\int_{a}^b f(t)dt=0 F ( b ) = a ∫ b f ( t ) d t = 0 F ( a ) = ∫ a a f ( t ) d t = 0 \displaystyle F(a)=\int_{a}^af(t)dt=0 F ( a ) = a ∫ a f ( t ) d t = 0 0 ≤ F ( a ) ≤ F ( c ) ≤ F ( b ) ≤ 0 0\leq F(a)\leq F(c)\leq F(b)\leq 0 0 ≤ F ( a ) ≤ F ( c ) ≤ F ( b ) ≤ 0 c ∈ ( a , b ) c \in(a,b) c ∈ ( a , b ) F ( c ) = 0 F(c)=0 F ( c ) = 0 c ∈ [ a , b ] c \in[a,b] c ∈ [ a , b ] F F F F ′ = 0 F'=0 F ′ = 0 f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 x ∈ [ a , b ] x \in[a,b] x ∈ [ a , b ] ∎
ניתן להשתמש בניוטון לייבניץ והמסקנה היא אותו הדבר.
נניח כי F ( x ) = ∫ α ( x ) β ( x ) f ( t ) d t \displaystyle F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)dt F ( x ) = α ( x ) ∫ β ( x ) f ( t ) d t f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] α ( x ) , β ( x ) \alpha(x),\beta(x) α ( x ) , β ( x )
F ′ ( x ) = f ( β ( x ) ) β ′ ( x ) − f ( α ( x ) ) α ′ ( x ) F'(x)=f(\beta(x))\beta'(x)-f(\alpha(x))\alpha'(x) F ′ ( x ) = f ( β ( x )) β ′ ( x ) − f ( α ( x )) α ′ ( x )
חשבו:
lim x → 0 ∫ 0 x 2 tan t d t ∫ 0 sin x t 3 d t \lim_{ x \to 0 } \frac{\begin{gather}\int_{0}^{x^2} \tan t\,dt\end{gather}}{\begin{gather}\int_{0}^{\sin x}t^3dt\end{gather}} x → 0 lim 0 ∫ s i n x t 3 d t 0 ∫ x 2 tan t d t זהו גבול מהצורה 0 0 \frac{0}{0} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 tan x , x 3 \tan x,x^3 tan x , x 3 W W W sin x , x 2 , 0 → 0 \sin x,x^2,0\to0 sin x , x 2 , 0 → 0 x → 0 x\to0 x → 0
= lim x → 0 2 x tan x 2 cos x sin 3 x = lim x → 0 2 x cos x 2 sin x 2 cos x sin 3 x =\lim_{ x \to 0 } \frac{2x\tan x^2}{\cos x\sin^3x}=\lim_{ x \to 0 } \frac{2x \frac{\cos x^2}{\sin x^2}}{\cos x\sin^3x} = x → 0 lim cos x sin 3 x 2 x tan x 2 = x → 0 lim cos x sin 3 x 2 x s i n x 2 c o s x 2 יש לנו בעיה עם כך ששוב גם המונה וגם המכנה הולך ל-0 0 0
= lim x → 0 sin x 2 x 2 ⋅ x 3 sin 3 x ⋅ 2 x cos ( x 2 ) cos x ⋅ x = 1 ⋅ 1 ⋅ 2 1 ⋅ 1 = 2 =\lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x^2}{{\color{blue} x^2}} \cdot \frac{{\color{blue} x^3}}{\sin^3x}\cdot \frac{2x}{\cos(x^2)\cos x {\color{blue}\cdot x}}=1\cdot 1\cdot \frac{2}{1\cdot 1}=2 = x → 0 lim x 2 sin x 2 ⋅ sin 3 x x 3 ⋅ cos ( x 2 ) cos x ⋅ x 2 x = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 2 = 2
תהי f : [ − 1 , 1 ] → R f:[-1,1]\to \mathbb{R} f : [ − 1 , 1 ] → R
∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx 0 ∫ 2 π f ( sin x ) d x = 0 ∫ 2 π f ( cos x ) d x הוכחה א': cos x = sin ( π 2 − x ) \cos x=\sin\left( \frac{\pi}{2}-x \right) cos x = sin ( 2 π − x )
∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x = ↓ שיטת ההצבה ( t = π 2 − x d t = − d x ) ∫ π 2 0 f ( cos ( π 2 − t ) ) ( − d t ) = − ∫ 0 π 2 − f ( sin t ) d t = ↓ ליניאריות ∫ 0 π 2 f ( sin t ) d t \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{שיטת ההצבה}} \\
\begin{pmatrix}
t=\frac{\pi}{2}-x \\
dt=-dx
\end{pmatrix}
\end{matrix}}{=}\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}f\left( \cos\left( \frac{\pi}{2}-t \right) \right)(-dt)=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-f(\sin t)dt \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{ליניאריות}}
\end{matrix}}{=}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t)dt 0 ∫ 2 π f ( cos x ) d x ↓ שיטת ההצבה ( t = 2 π − x d t = − d x ) = 2 π ∫ 0 f ( cos ( 2 π − t ) ) ( − d t ) = − 0 ∫ 2 π − f ( sin t ) d t ↓ ליניאריות = 0 ∫ 2 π f ( sin t ) d t כנדרש.∎
חשבו:
∫ 0 π 2 sin 2 x d x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2xdx 0 ∫ 2 π sin 2 x d x נשים לב כי יש לנו הרכבה של f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f ( x ) = x 2 sin x \sin x sin x
∫ 0 π 2 sin 2 x d x = ∫ 0 π 2 cos 2 x d x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2xdx 0 ∫ 2 π sin 2 x d x = 0 ∫ 2 π cos 2 x d x בנוסף מתקיים:
∫ 0 π 2 sin 2 x d x + ∫ 0 π 2 cos 2 x d x = ↓ ליניאריות ∫ 0 π 2 ( sin 2 x + cos 2 x ) d x = ∫ 0 π 2 1 d x = π 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2xdx\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{ליניאריות}}
\end{matrix}}{=}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2x+\cos^2x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dx=\frac{\pi}{2} 0 ∫ 2 π sin 2 x d x + 0 ∫ 2 π cos 2 x d x ↓ ליניאריות = 0 ∫ 2 π ( sin 2 x + cos 2 x ) d x = 0 ∫ 2 π 1 d x = 2 π ולכן מתקיים:
2 ∫ 0 π 2 sin 2 x d x = π 2 ⟹ ∫ 0 π 2 sin 2 x d x = π 4 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx= \frac{\pi}{2} \implies \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2xdx=\frac{\pi}{4} 2 0 ∫ 2 π sin 2 x d x = 2 π ⟹ 0 ∫ 2 π sin 2 x d x = 4 π
חשבו את האינטגרל עם cos ( 2 x ) \cos(2x) cos ( 2 x )
סכום רימן: ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x i \displaystyle \sum_{i=1}^n f(c_{i})\Delta x_{i} i = 1 ∑ n f ( c i ) Δ x i f : [ a , b ] → R f:[a,b]\to \mathbb{R} f : [ a , b ] → R P = { a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b } P=\left\{ a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}=b \right\} P = { a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b } c i ∈ [ x i − 1 , x i ] c_{i}\in[x_{i-1},x_{i}] c i ∈ [ x i − 1 , x i ]
הגדרה 1 (אינטגרביליות לפי רימין)
f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] I ∈ R I \in \mathbb{R} I ∈ R ε > 0 \epsilon>0 ε > 0 δ > 0 \delta>0 δ > 0 P P P λ ( P ) < δ \lambda(P)<\delta λ ( P ) < δ { c i } i = 1 n \left\{ c_{i} \right\}_{i=1}^n { c i } i = 1 n
∣ ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x i − I ∣ < ε \left| \sum_{i=1}^n f(c_{i})\Delta x_{i}-I \right|< \epsilon i = 1 ∑ n f ( c i ) Δ x i − I < ε נשים לב כי I = : ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle I =:\int_{a}^b f(x)dx I =: a ∫ b f ( x ) d x
עבור סדרה של חלוקות P n P_{n} P n n n n λ ( P n ) ⟶ 0 \lambda(P_{n})\longrightarrow 0 λ ( P n ) ⟶ 0 { c i } i = 1 n \left\{ c_{i} \right\}_{i=1}^n { c i } i = 1 n
lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x i = ∫ a b f ( x ) d x \lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^n f(c_{i})\Delta x_{i}=\int_{a}^b f(x)dx n → ∞ lim i = 1 ∑ n f ( c i ) Δ x i = a ∫ b f ( x ) d x
חשבו את הגבול:
lim n → ∞ ∑ i = 1 n 1 n + i \lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i} n → ∞ lim i = 1 ∑ n n + i 1 נרצה להביא את הביטוי בגבול לסכום רימן מתאים.n n n [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 1 n + i \frac{1}{n+i} n + i 1 1 n + i = f ( c i ) Δ x i = 1 n f ( c i ) \frac{1}{n+i}=f(c_{i})\Delta x_{i}=\frac{1}{n}f(c_{i}) n + i 1 = f ( c i ) Δ x i = n 1 f ( c i )
1 n + i = 1 n ⋅ 1 1 + ( i n ) \frac{1}{n+i}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\left( \frac{i}{n} \right)} n + i 1 = n 1 ⋅ 1 + ( n i ) 1 נבחר לכל i i i c i = i n c_{i}=\frac{i}{n} c i = n i f ( x ) = 1 1 + x f(x)=\frac{1}{1+x} f ( x ) = 1 + x 1
lim n → ∞ ∑ i = 1 n 1 n + 1 = lim n → ∞ ∑ i = 1 n 1 n 1 1 + i n = lim n → ∞ ∑ i = 1 n 1 n f ( i n ) = ∣ ↓ λ ( P n ) = 1 n ⟶ n → ∞ 0 ולכן ניתן להשתמש במשפט הנ"ל ∫ 0 1 1 1 + x d x = ↓ N L ln ( 1 + x ) ∣ 0 1 = ln 2 − ln 1 = ln 2 \lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^n \frac{1}{n+1}=\lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}}=\lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}f\left( \frac{i}{n} \right) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underset{\begin{matrix}
\vert \\
\downarrow \\
\lambda(P_{n})=\frac{1}{n} \underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 \\
\R{\text{ולכן ניתן להשתמש}} \\
\R{\text{במשפט הנ"ל}}
\end{matrix}}{=}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \int_{0}^1 \frac{1}{1+x}dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
NL
\end{matrix}}{=}\left.\begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix}\ln(1+x)\right\vert_{0}^1 =\ln 2-\ln{1}=\ln_{2} n → ∞ lim i = 1 ∑ n n + 1 1 = n → ∞ lim i = 1 ∑ n n 1 1 + n i 1 = n → ∞ lim i = 1 ∑ n n 1 f ( n i ) ∣ ↓ λ ( P n ) = n 1 n → ∞ ⟶ 0 ולכן ניתן להשתמש במשפט הנ"ל = 0 ∫ 1 1 + x 1 d x ↓ N L = ln ( 1 + x ) 0 1 = ln 2 − ln 1 = ln 2
אפשר גם f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x} f ( x ) = x 1 c i = 1 + i n c_{i}=1+\frac{i}{n} c i = 1 + n i [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ]
1 < 1 + 1 n < 1 + 2 n < ⋯ < 2 1<1+\frac{1}{n}<1+\frac{2}{n}<\dots<2 1 < 1 + n 1 < 1 + n 2 < ⋯ < 2
יהי a > 0 a>0 a > 0 f : [ − a , a ] → R f:[-a,a]\to \mathbb{R} f : [ − a , a ] → R
∫ − a a f ( x ) d x = 0 \int_{-a}^a f(x)dx=0 − a ∫ a f ( x ) d x = 0 הוכחה:
∫ − a a f ( x ) d x = ↓ אדיטיביות ∫ − a 0 f ( x ) d x + ∫ 0 a f ( x ) d x = ↓ הגדרה − ∫ 0 − a f ( x ) d x + ∫ 0 a f ( x ) d x = ↓ שיטת ההצבה ( t = − x d t = − d x ) \int_{-a}^af(x)dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{אדיטיביות}}
\end{matrix}}{=}\int_{-a}^0 f(x)dx+\int_{0}^a f(x)dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{הגדרה}}
\end{matrix}}{=}-\int_{0}^{-a}f(x)dx+\int_{0}^a f(x)dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{שיטת ההצבה}} \\
\begin{pmatrix}
t=-x \\
dt=-dx
\end{pmatrix}
\end{matrix}}{=} − a ∫ a f ( x ) d x ↓ אדיטיביות = − a ∫ 0 f ( x ) d x + 0 ∫ a f ( x ) d x ↓ הגדרה = − 0 ∫ − a f ( x ) d x + 0 ∫ a f ( x ) d x ↓ שיטת ההצבה ( t = − x d t = − d x ) = ∫ 0 a f ( x ) d x − ∫ 0 a f ( − t ) ( − d t ) = ∫ 0 a f ( x ) d x + ∫ 0 a f ( − t ) d t = ↓ f ( − t ) = − f ( t ) ∫ 0 a f ( x ) d x − ∫ 0 a f ( t ) d t = 0 \int_{0}^a f(x)dx-\int_{0}^{a} f(-t)(-dt)=\int_{0}^a f(x)dx+\int_{0}^a f(-t)dt \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
f(-t)=-f(t)
\end{matrix}}{=} \int_{0}^a f(x)dx-\int_{0}^a f(t)dt=0 0 ∫ a f ( x ) d x − 0 ∫ a f ( − t ) ( − d t ) = 0 ∫ a f ( x ) d x + 0 ∫ a f ( − t ) d t ↓ f ( − t ) = − f ( t ) = 0 ∫ a f ( x ) d x − 0 ∫ a f ( t ) d t = 0 ∎
מה קורה אם זה אותו דבר אבל f f f
∫ − a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x \int_{-a}^a f(x)dx=2\int_{0}^a f(x)dx − a ∫ a f ( x ) d x = 2 0 ∫ a f ( x ) d x כאשר ההוכחה תהיה מאוודדדדדדדדדדדדד דומה.
אם לא נתון כי f f f
f : [ a , b ] → R f:[a,b]\to \mathbb{R} f : [ a , b ] → R F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \displaystyle F(x)=\int_{a}^x f(t)dt F ( x ) = a ∫ x f ( t ) d t F ( x ) F(x) F ( x )
קיים K K K x , y ∈ [ a , b ] x,y \in[a,b] x , y ∈ [ a , b ]
∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ K ∣ x − y ∣ |f(x)-f(y)|\leq K|x-y| ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ K ∣ x − y ∣ הוכחה: x , y ∈ [ a , b ] x,y \in[a,b] x , y ∈ [ a , b ] f f f K K K t ∈ [ a , b ] t \in[a,b] t ∈ [ a , b ] ∣ f ( t ) ∣ ≤ K |f(t)|\leq K ∣ f ( t ) ∣ ≤ K
∣ F ( y ) − F ( x ) ∣ = ∣ ∫ a y f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t ∣ = ↓ אדיטיביות ∣ ∫ x y f ( t ) d t ∣ ≤ ↓ אי שווייון המשולש האינטגרלי ∫ x y ∣ f ( t ) ∣ d t ≤ ↓ מונוטויות ∫ x y K d x = K ∣ y − x ∣ |F(y)-F(x)|=\left| \int_{a}^y f(t)dt-\int_{a}^x f(t)dt\right| \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{אדיטיביות}}
\end{matrix}}{=} \left| \int_{x}^y f(t)dt \right| \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{אי שווייון המשולש האינטגרלי}}
\end{matrix}}{\leq}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \int_{x}^y |f(t)|dt \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{מונוטויות}}
\end{matrix}}{\leq} \int_{x}^y Kdx=K|y-x| ∣ F ( y ) − F ( x ) ∣ = a ∫ y f ( t ) d t − a ∫ x f ( t ) d t ↓ אדיטיביות = x ∫ y f ( t ) d t ↓ אי שווייון המשולש האינטגרלי ≤ x ∫ y ∣ f ( t ) ∣ d t ↓ מונוטויות ≤ x ∫ y K d x = K ∣ y − x ∣ ∎