1 - אינטגרל לא מסויים — חשבון אינפיניטסימלי 2מ'

הגדרה 1 (פונקציה קדומה)

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע $I$ כלשהו. אזי $F(x)$ נקראת פונקציה קדומה של $f(x)$ אם $F'(x)=f(x)$ .

הגדרה 2 (האינטגרל הלא מסויים)

האינטגרל הלא מסויים של $f$ הוא אוסף כל הפונקציות הקדומות של $f(x)$ :

\int f(x)dx=\left\{ F:I\to \mathbb{R}| \forall x \in I: F'(x)=f(x) \right\}=F(x)+C

כאשר $F$ היא קדומה כלשהי של $f$ ו- $C$ מייצג את כל הקבועים האפשריים.

תרגיל (חימום)

האם קיימת פונקציה קדומה לפונקציה $f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x} & x\neq 0\\0 & x=0\end{cases}$ ? נמקו

אין פונקציה קדומה!
הוכחה:
לפי הגבול המיוחד $\lim_{ x \to 0 }f(x)=1$ אך $f(0)=0$ . לכן, קיימת נקודת אי רציפות מסוג סליקה.
לפי מסקנות ממשפט דרבו, לנגזרת יכולות להיות נקודות אי רציפות אך ורק מסוג עיקרי. לכן, $f$ היא אינה נגזרת ב- $\mathbb{R}$ ולכן, לא יכולה להיות לה פונקציה קדומה.
∎

תרגיל

האם קיימת פונקציה קדומה לפונקציה $f(x)=\begin{cases}2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x} & x\neq 0\\0 & x=0\end{cases}$ ? נמקו

זוהי אכן נגזרת! (למרות היותה לא רציפה מסוג עיקרית ב- $x=0$ )
הוכחה:
ננסה $\left( \sin \frac{1}{x} \right)'=\cos \frac{1}{x}\left( -\frac{1}{x^2} \right)$
אנחנו לא רוצים את $-\frac{1}{x^2}$ אז ננסה לשפר: $\left( x^2\sin \frac{1}{x} \right)'=2x\sin \frac{1}{x}+x^2\cos \frac{1}{x}\left( -\frac{1}{x_{2}} \right)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ כנדרש.
לכן, לכל $x\neq 0$ מתקיים כי $\left( x^2\sin \frac{1}{x} \right)$ קדומה של $f$ .
עבור $x=0$ נציב $x=0$ בקדומה ואז:

F(x)=\begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}\quad{\LARGE+\;C}

עבור $x=0$ יש לחשב נגזרת לפי הגדרה ולראות שאכן קיבלנו את $f$ שבשאלה.

\lim_{ x \to 0 } \frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{ x \to 0 } \frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{x}=\lim_{ x \to 0 } x\sin \frac{1}{x} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חסומה כפול אפסה}} \end{matrix}}{=}0

∎

הערה

בשביל שלפונקציה תהיה פונקציה קדומה היא צריכה להיות נגזרת ובכך לקיים את דרבו.
כלומר, אם פונקציה לא מקיימת את דרבו אזי אין לה קדומה.
אך אם פונקציה מקיימת את דרבו, זה לא אומר כי יש לה פונקציה קדומה.

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{\ln(\sin x)}{\cos^2x}$ .

\int \frac{\ln(\sin x)}{\cos^2x}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{אינטגרציה בחלקים}} \\ \begin{pmatrix} u= \ln(\sin x) \implies u'=\frac{\cos x}{\sin x} \\ v'=\frac{1}{\cos^2x}\underset{\R{מיידי}}{\implies} v=\tan x \end{pmatrix} \end{matrix}}{=}\ln(\sin x)\tan x-\int \tan x \frac{\cos x}{\sin x}dx=\ln(\sin x)\tan x-\int \frac{\sin x}{\cos x} \frac{\cos x}{\sin x}dx

=\ln(\sin x)\tan x-\int dx=\ln(\sin x)\tan x-x+c

הערה

תמיד צריך לשים לב שיש שוויון בין האובייקטים.
פה, בצד ימין יש לנו $\int \frac{\ln(\sin x)}{\cos^2x}dx$ שזה קבוצה של פונקציות.
לכן בצד שמאל גם כן צריכה להיות לנו קבוצה של פונקציות ונציג זאת באמצעות ה- $+c$ .

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\ln x$ .

הערה

מה שאנחנו רוצים לעשות במצב כזה שיש לנו ביטוי אחד שהוא לא מיידי, זה לכפול ב-1 ואז לבצע אינטגרציה בחלקים.

\int \ln xdx=\int1\cdot \ln xdx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{אינטגרציה בחלקים}} \\ \begin{pmatrix} u=\ln x\implies u'= \frac{1}{x} \\ v'=1\implies v=x \end{pmatrix} \end{matrix}}{=}x\ln x-\int \frac{x}{x}dx=x\ln x-x+c

משפט

נניח של- $f:I\to \mathbb{R}$ יש קדומה וקיימת $\varphi:J\to I$ גזירה והפיכה אזי:

\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int f(t)dt

כך ש- $t=\varphi(x)$ .

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{1}{x\ln x}$ .

\int \frac{1}{x\ln x}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{שיטת ההצבה}} \\ \begin{pmatrix} t=\ln x \\ dt=\frac{1}{x}dx \end{pmatrix} \end{matrix}}{=} \int \frac{1}{t}dt=\ln |t|+c=\ln |\ln x|+c

הערה (תזכורת)

\int \frac{f'(x)}{f(x)}=\ln |f(x)|+c

אינטגרלים של פונקציות רציונליות

איך עושים אינטגרלים של פונקציות הנראות כך: $\frac{p(x)}{q(x)}$ כאשר $q,p$ פולינומים?

תרגיל (חימום)

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{1}{2x-1}$ .

\int \frac{1}{2x-1}dx= \frac{1}{2} \int \frac{2}{2x-1}=\frac{1}{2}\ln |2x-1|+c

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{11}{2x^2+9x-5}$ .

הערה (דרך פעולה)

נפרק את המכנה למכפלה של גורמים אי פריקים
נפרק לשברים חלקיים.
נפתור את האינטגרל

2x^2+9x-5=(2x-1)(x+5)

\frac{11}{(2x-1)(x+5)}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x+5}=\frac{Ax+5A+2Bx-B}{(2x-1)(x+5)}

11=Ax+5A+2Bx-B\implies \begin{cases} A+2B=0 \implies A=-2B \\ 5A-B=11 \implies B+11=5(-2B)=11B=-11\implies B=-1 \\ \implies A=-2\cdot(-1)=2 \end{cases}

ולכן:

\frac{11}{(2x-1)(x+5)}=\frac{2}{2x-1}-\frac{1}{x+5}

כעת, נוכל לבצע את האינטגרל שלנו:

\int \frac{11}{2x^2+9x-5}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{הפירוק הנ"ל}} \\ \R{\text{+ ליניאריות}} \end{matrix}}{=} \int \frac{2}{2x-1}dx-\int \frac{1}{x+5}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{משפט}} \end{matrix}}{=}\ln |2x-1|-\ln |x+5|+c

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{9x-5}{9x^2-6x+1}$ .

נתחיל בפירוק המכנה:

9x^2-6x+1=(3x-1)^2

כעת, נפרק לשברים חלקיים בצורה הבאה:

\frac{9x-5}{(3x-1)^2}=\frac{A}{3x-1}+\frac{B}{(3x-1)^2}=\frac{3Ax-A+B}{(3x-1)^2} \implies 9x-5=3Ax-A+B

\implies \begin{cases} 9=3A \implies A=3 \\ B-A=-5 \implies B=-2 \end{cases}

ולכן:

\frac{9x-5}{(3x-1)^2}=\frac{3}{3x-1}-\frac{2}{(3x-1)^2}

כעת, נוכל לבצע את האינטגרל שלנו:

\int \frac{9x-5}{9x^2-6x+1}dx\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{הפירוק הנ"ל}} \\ \R{\text{+ ליניאריות}} \end{matrix}}{=}\int \frac{3}{3x-1}dx-2\int \frac{1}{(3x-1)^2}dx=\ln |3x-1|-2\int (3x-1)^{-2}dx=

\ln |3x-1|-\frac{2}{-3(3x-1)}+c=\ln |3x-1|+\frac{2}{9x-3}+c

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{1}{x^2+a^2}$ .

נזכר כי $\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+c$ .
כעת נבצע:

\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\int \frac{1}{a^2\left( \left( \frac{x}{a} \right)^2+1 \right)}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{\left( \left( \frac{x}{a} \right)^2+1 \right)}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ t=\frac{x}{a}\R{\text{נסמן }} \\ dt=\frac{1}{a}dx \end{matrix}}{=} \frac{a}{a^2}\int \frac{1}{a} \frac{1}{t^2+1}dt=\frac{1}{a}\arctan t+c

=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+c

הערה

אפשר גם מיידית לעבור מ- $\int\frac{1}{\left( \left( \frac{x}{a} \right)^2+1 \right)}dx$ ל- $a\arctan \frac{x}{a}$ .

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{1}{x^2-x+1}$ .

נשים כי $x^2-x+1$ הוא אי פריק (וודאו). זה גם לא $\arctan x$ או כל גרסה שלו.
נרצה להשלים לריבוע ונראה איך זה עובד לפי הדוגמה. זה מאוד נח לעשות כשהמקדם של $x^2$ הוא $1$ .

x^2-x+1=\left( x-\frac{1}{2} \right)^2-\frac{1}{4}+1=\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+\frac{3}{4}

לכן:

\int \frac{1}{x^2-x+1}dx=\int \frac{1}{\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \right)^2}dx=\dots=\frac{2}{\sqrt{ 3 }}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{ 3 }}+c

סיכום

עבור גורמים ריבועיים אי פריקים - השלמה לריבוע.

אם מעלת המונה $\leq$ מעלת המכנה $\impliedby$ חלוקת פולינומים. לדוגמה:
$\int \frac{2x^4-x^3-x^2+3x-4}{x^2+1}dx= \R{\text{לבד}}=\frac{2x^3}{3}-\frac{x^3}{2}-3x+2+2\ln(x^2+1)-\arctan x+c$
בפירוק לשברים חלקיים, אם יש גורם ריבועי אי-פריק אז המונה שמתאים לו יהיה גורם ליניארי - לדוגמה:
$\frac{4x^2+3x-5}{x^4+2x^3+5x^2}=\frac{4x^2+3x-5}{x^2(x^2+2x+5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+5}$

הגדרה 1 (פונקציה קדומה)

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע $I$ כלשהו. אזי $F(x)$ נקראת פונקציה קדומה של $f(x)$ אם $F'(x)=f(x)$ .

הגדרה 2 (האינטגרל הלא מסויים)

האינטגרל הלא מסויים של $f$ הוא אוסף כל הפונקציות הקדומות של $f(x)$ :

\int f(x)dx=\left\{ F:I\to \mathbb{R}| \forall x \in I: F'(x)=f(x) \right\}=F(x)+C

כאשר $F$ היא קדומה כלשהי של $f$ ו- $C$ מייצג את כל הקבועים האפשריים.

תרגיל (חימום)

האם קיימת פונקציה קדומה לפונקציה $f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x} & x\neq 0\\0 & x=0\end{cases}$ ? נמקו

תרגיל

האם קיימת פונקציה קדומה לפונקציה $f(x)=\begin{cases}2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x} & x\neq 0\\0 & x=0\end{cases}$ ? נמקו

F(x)=\begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}\quad{\LARGE+\;C}

עבור $x=0$ יש לחשב נגזרת לפי הגדרה ולראות שאכן קיבלנו את $f$ שבשאלה.

\lim_{ x \to 0 } \frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{ x \to 0 } \frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{x}=\lim_{ x \to 0 } x\sin \frac{1}{x} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חסומה כפול אפסה}} \end{matrix}}{=}0

∎

הערה

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{\ln(\sin x)}{\cos^2x}$ .

\int \frac{\ln(\sin x)}{\cos^2x}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{אינטגרציה בחלקים}} \\ \begin{pmatrix} u= \ln(\sin x) \implies u'=\frac{\cos x}{\sin x} \\ v'=\frac{1}{\cos^2x}\underset{\R{מיידי}}{\implies} v=\tan x \end{pmatrix} \end{matrix}}{=}\ln(\sin x)\tan x-\int \tan x \frac{\cos x}{\sin x}dx=\ln(\sin x)\tan x-\int \frac{\sin x}{\cos x} \frac{\cos x}{\sin x}dx

=\ln(\sin x)\tan x-\int dx=\ln(\sin x)\tan x-x+c

הערה

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\ln x$ .

הערה

מה שאנחנו רוצים לעשות במצב כזה שיש לנו ביטוי אחד שהוא לא מיידי, זה לכפול ב-1 ואז לבצע אינטגרציה בחלקים.

\int \ln xdx=\int1\cdot \ln xdx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{אינטגרציה בחלקים}} \\ \begin{pmatrix} u=\ln x\implies u'= \frac{1}{x} \\ v'=1\implies v=x \end{pmatrix} \end{matrix}}{=}x\ln x-\int \frac{x}{x}dx=x\ln x-x+c

משפט

נניח של- $f:I\to \mathbb{R}$ יש קדומה וקיימת $\varphi:J\to I$ גזירה והפיכה אזי:

\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int f(t)dt

כך ש- $t=\varphi(x)$ .

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{1}{x\ln x}$ .

\int \frac{1}{x\ln x}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{שיטת ההצבה}} \\ \begin{pmatrix} t=\ln x \\ dt=\frac{1}{x}dx \end{pmatrix} \end{matrix}}{=} \int \frac{1}{t}dt=\ln |t|+c=\ln |\ln x|+c

הערה (תזכורת)

\int \frac{f'(x)}{f(x)}=\ln |f(x)|+c

אינטגרלים של פונקציות רציונליות

איך עושים אינטגרלים של פונקציות הנראות כך: $\frac{p(x)}{q(x)}$ כאשר $q,p$ פולינומים?

תרגיל (חימום)

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{1}{2x-1}$ .

\int \frac{1}{2x-1}dx= \frac{1}{2} \int \frac{2}{2x-1}=\frac{1}{2}\ln |2x-1|+c

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{11}{2x^2+9x-5}$ .

הערה (דרך פעולה)

נפרק את המכנה למכפלה של גורמים אי פריקים
נפרק לשברים חלקיים.
נפתור את האינטגרל

2x^2+9x-5=(2x-1)(x+5)

\frac{11}{(2x-1)(x+5)}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x+5}=\frac{Ax+5A+2Bx-B}{(2x-1)(x+5)}

11=Ax+5A+2Bx-B\implies \begin{cases} A+2B=0 \implies A=-2B \\ 5A-B=11 \implies B+11=5(-2B)=11B=-11\implies B=-1 \\ \implies A=-2\cdot(-1)=2 \end{cases}

ולכן:

\frac{11}{(2x-1)(x+5)}=\frac{2}{2x-1}-\frac{1}{x+5}

כעת, נוכל לבצע את האינטגרל שלנו:

\int \frac{11}{2x^2+9x-5}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{הפירוק הנ"ל}} \\ \R{\text{+ ליניאריות}} \end{matrix}}{=} \int \frac{2}{2x-1}dx-\int \frac{1}{x+5}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{משפט}} \end{matrix}}{=}\ln |2x-1|-\ln |x+5|+c

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{9x-5}{9x^2-6x+1}$ .

נתחיל בפירוק המכנה:

9x^2-6x+1=(3x-1)^2

כעת, נפרק לשברים חלקיים בצורה הבאה:

\frac{9x-5}{(3x-1)^2}=\frac{A}{3x-1}+\frac{B}{(3x-1)^2}=\frac{3Ax-A+B}{(3x-1)^2} \implies 9x-5=3Ax-A+B

\implies \begin{cases} 9=3A \implies A=3 \\ B-A=-5 \implies B=-2 \end{cases}

ולכן:

\frac{9x-5}{(3x-1)^2}=\frac{3}{3x-1}-\frac{2}{(3x-1)^2}

כעת, נוכל לבצע את האינטגרל שלנו:

\int \frac{9x-5}{9x^2-6x+1}dx\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{הפירוק הנ"ל}} \\ \R{\text{+ ליניאריות}} \end{matrix}}{=}\int \frac{3}{3x-1}dx-2\int \frac{1}{(3x-1)^2}dx=\ln |3x-1|-2\int (3x-1)^{-2}dx=

\ln |3x-1|-\frac{2}{-3(3x-1)}+c=\ln |3x-1|+\frac{2}{9x-3}+c

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{1}{x^2+a^2}$ .

נזכר כי $\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+c$ .
כעת נבצע:

\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\int \frac{1}{a^2\left( \left( \frac{x}{a} \right)^2+1 \right)}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{\left( \left( \frac{x}{a} \right)^2+1 \right)}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ t=\frac{x}{a}\R{\text{נסמן }} \\ dt=\frac{1}{a}dx \end{matrix}}{=} \frac{a}{a^2}\int \frac{1}{a} \frac{1}{t^2+1}dt=\frac{1}{a}\arctan t+c

=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+c

הערה

אפשר גם מיידית לעבור מ- $\int\frac{1}{\left( \left( \frac{x}{a} \right)^2+1 \right)}dx$ ל- $a\arctan \frac{x}{a}$ .

תרגיל

מצאו את האינטגרל הלא מסויים של $\frac{1}{x^2-x+1}$ .

x^2-x+1=\left( x-\frac{1}{2} \right)^2-\frac{1}{4}+1=\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+\frac{3}{4}

לכן:

\int \frac{1}{x^2-x+1}dx=\int \frac{1}{\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \right)^2}dx=\dots=\frac{2}{\sqrt{ 3 }}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{ 3 }}+c

סיכום

עבור גורמים ריבועיים אי פריקים - השלמה לריבוע.

אם מעלת המונה $\leq$ מעלת המכנה $\impliedby$ חלוקת פולינומים. לדוגמה:
$\int \frac{2x^4-x^3-x^2+3x-4}{x^2+1}dx= \R{\text{לבד}}=\frac{2x^3}{3}-\frac{x^3}{2}-3x+2+2\ln(x^2+1)-\arctan x+c$
בפירוק לשברים חלקיים, אם יש גורם ריבועי אי-פריק אז המונה שמתאים לו יהיה גורם ליניארי - לדוגמה:
$\frac{4x^2+3x-5}{x^4+2x^3+5x^2}=\frac{4x^2+3x-5}{x^2(x^2+2x+5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+5}$