וובוורק 9 — חשבון אינפיניטסימלי 2מ'

תרגיל (1)

נתונה הפונקציה:

f(x,y)=\frac{xy}{4y^2-x^2}

יש לחשב את נגזרותיה החלקיות מסדר ראשון על הצירים $x,y$ בנקודה $(6,1)$ .

\parder{f}{x}(6,1)=\frac{y(4y^2-x^2)+2x^2y}{(4y^2-x^2)^2}=\frac{(4-36)+2(36)}{(4-36)^2}=\frac{72-32}{1024}=\frac{40}{1024}

\parder{f}{y}(6,1)=\frac{x(4y^2-x^2)-8xy^2}{(4y^2-x^2)^2}=\frac{6(4-36)-48}{32^2}=\frac{-240}{1024}

תרגיל (2)

נתונה הפונקציה:

g(x,y)=\begin{cases} \frac{5x^3+3xy+7y^3+2y^4}{x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}

חשבו את נגזורתיה החלקיות מסדר ראשון בצירים $x,y$ בנקודה $(0,0)$ .

נדרש לעשות זאת לפי הגדרה שכן בסביבת הנק' $(0,0)$ הפונקציה אינה אלמנטרית.

\parder{g}{x}(0,0)=\lim_{ x\to 0 } \frac{\frac{5x^3+3xy+7y^3+2y^4}{x^2+y^2}}{\sqrt{ x^2+y^2 }}=\lim_{ x\to 0 } \frac{5x^3+3xy+7y^3+2y^4}{(x^2+y^2)^{1.5}}=\lim_{ x \to 0 } \frac{5x^3}{x^{3}}=\lim_{ x \to 0 } 5=5

\parder{g}{y}(0,0)=\lim_{ y \to 0 } \frac{\frac{5x^3+3xy+7y^3+2y^4}{x^2+y^2}}{\sqrt{ x^2+y^2 }}=\lim_{ y \to 0 } \frac{5x^3+3xy+7y^3+2y^4}{(x^2+y^2)^{1.5}}=\lim_{ y \to 0 } \frac{7y^3+2y^4}{y^3}=7+\lim_{ y \to 0 } 2y=7

תרגיל (3)

נתונה הפונקציה:

f(x,y)=\begin{cases} (4x^2+y^2)\sin \frac{1}{4x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}

א. האם הפונקציה רציפה בנק' $(0,0)$ ?
ב. חשבו את הנגזרות החלקיות על הצירים $x,y$ מסדר ראשון בנקודה $(0,0)$ .
ג. האם הפונקציה גזירה בנק' $(0,0)$ ?

פתרון א':
נבדוק לפי הגדרת רציפות:

\lim_{ (x,y) \to (0,0) } (4x^2+y^2)\sin \frac{1}{4x^2+y^2} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חסומה כפול אפסה}} \end{matrix}}{=}0

לכן, הפונקציה רציפה.

פתרון ב':

\parder{f}{x}(0,0)=\lim_{ x \to 0 } 4x^2\sin \frac{1}{4x^2}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חסומה כפול אפסה}} \end{matrix}}{=}0

\parder{f}{y}(0,0)=\lim_{ y \to 0 } y^2\sin \frac{1}{y^2}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חסומה כפול אפסה}} \end{matrix}}{=}0

פתרון ג':

הערה (תזכורת - הגדרה)

f(h,k)-f(0,0)=Ah+Bk+\alpha(h,k)\sqrt{ h^2+k^2 }

אם הפונקציה גזירה בנק' אזי $A=\parder{f}{x}$ ו- $B=\parder{f}{y}$ ולכן:

f(h,k)=(4h^2+k^2)\sin \frac{1}{4h^2+k^2}

בסעיף א' ראינו כי עבור $(h,k)\to(0,0)$ מתקיים כי $f(h,k)\underset{(h,k)\to(0,0)}{\longrightarrow}0$ .
נגדיר $\alpha(h,k)=\frac{f(h,k)}{\sqrt{ h^2+k^2 }}$ ואז:

\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \alpha(h,k)=\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \frac{(4h^2+k^2)\sin \frac{1}{4h^2+k^2}}{\sqrt{ h^2+k^2 }}=\dots=0

לכן:

f(h,k)-f(0,0)=\parder{f}{x}h+\parder{f}{y}k+\alpha(h,k)\sqrt{ h^2+k^2 }

ולכן, $f$ גזירה ב- $(0,0)$ .

תרגיל (4)

רשמו את משוואת המישור המשיק ואת וקטור הנורמלי למשטח הנתון ע"י $z=xy^3$ בנקודה $(-1,-2)$ .

z=f(x_{0},y_{0})+A(x-x_{0})+B(y-y_{0})

z=8+\parder{f}{x}(-1,-2)(x+1)+\parder{f}{y}(-1,-2)(y+2)

נמצא את הנגזרות החלקיות בנקודה:

\parder{f}{x}(-1,-2)=y^3=-8 \qquad \parder{f}{y}(-1,-2)=3xy^2=-12

ולכן:

z=8-8(x+1)-12(y+2)=-8x-12y-24

וקטור הנורמל הינו: $\left(\parder{f}{x},\parder{f}{y},-1\right)$ . לכן: $\left(-8,-12,-1\right)$ .

תרגיל (5)

חשב את הנגזרת המכוונת של הפונקציה $f(x,y)=(2x-3y)e^x$ בנק' $(1,1)$ בכיוון היוצר זווית של $45\degree$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ .

משפט מההרצאה: אם $f$ גזירה אז $\displaystyle \parder{f}{u}=\vec{\nabla}f\cdot \hat{u}$ .
נבדוק האם $f$ גזירה בנק' $(1,1)$ .

f(1,1)=-e \qquad \parder{f}{x}(1,1)=2e^x+(2x-3)e^x=e \qquad \parder{f}{y}(1,1)=-3e

(2+2h-3-3k)e^{1+h}+e=f(1+h,1+k)+e=eh-3ek+\alpha(h,k)\sqrt{ h^2+k^2 }

e((2h-3k-1)e^h+1-h+3k)=(2h-3k-1)e^{h+1}+e-eh+3ek=\alpha(h,k)\sqrt{ h^2+k^2 }

\alpha(h,k)=\frac{e((2h-3k-1)e^h+1-h+3k)}{\sqrt{ h^2+k^2 }}

על מנת לחשב את הגבול, נשתמש בפיתוח טיילור של $e^h$ סביב $h=0$ :

\lim_{ (h,k) \to (0,0) } e \frac{(2h-3k-1)e^h+1-h+3k}{\sqrt{ h^2+k^2 }}=\!\!\!\!\!\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \!\!\!\!\!\!\!e\frac{(2h-3k-1)\left( 1+h+\frac{h^2}{2}+o(h^3) \right)+1-h+3k}{\sqrt{ h^2+k^2 }}

=\lim_{ (h,k) \to (0,0) } e \frac{\frac{3}{2}h^2-3hk+o(h^3,kh^2)}{\sqrt{ h^2+k^2 }}=\lim_{ (h,k) \to (0,0) } g(h,k)+\frac{o(h^3,kh^2)}{\sqrt{ h^2+k^2 }}

g(r\cos\theta,r\sin\theta)=e \frac{\frac{3}{2}r^2\cos^2\theta-3r^2\cos\theta \sin\theta}{\sqrt{ r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) }}={er}\left( \frac{3}{2}\cos^2\theta-3\cos\theta \sin\theta \right)=F(r)G(\theta)

הפונקציה $G(\theta)$ חסומה ו- $F(r)\underset{r\to_{0}}{\longrightarrow}0$ ולכן, לפי משפט ובנוסף טיילור $\mathrm{II}$ :

\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \alpha(h,k)=0

ולכן, $f$ גזירה לפי הגדרה.

\vec{\nabla}f=\begin{pmatrix} \parder{f}{x} \\ \parder{f}{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e \\ -3e \end{pmatrix}

נמצא כעת את הוקטור $\hat{n}$ באמצעות טריגונוטמריה ונרמול:
וובוורק 9 2026-06-24 15.22.12.excalidraw.svg
לכן:

\hat{n}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \\ \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \end{pmatrix}

ולכן:

\parder{f}{n}=\begin{pmatrix} e & -3e \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \\ \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \end{pmatrix}=\frac{e}{\sqrt{ 2 }}-\frac{3e}{\sqrt{ 2 }}=-\frac{2e}{\sqrt{ 2 }}=-\sqrt{ 2 }e

וזוהי התשובה.

תרגיל (6)

חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה:

f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^4+y^3}{x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}

בנקודה $(0,0)$ בכיוון היוצר זווית של $30\degree$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ .

נשים לב כי הפונקציה אינה גזירה ב- $(0,0)$ .

\tan 30=\frac{1}{\sqrt{ 3 }} =\frac{y}{x}\implies x=\sqrt{ 3 }y \implies 4y^2=1 \implies y=\sqrt{ \frac{1}{4} }=\frac{1}{2}\implies x=\frac{\sqrt{ 3 }}{2}

\hat{n}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}

\parder{f}{n}=\lim_{ h \to 0 } \frac{f\left( \frac{\sqrt{ 3 }}{2}h, \frac{1}{2}h \right)}{h}=\lim_{ h \to 0 } \frac{\frac{\left( \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \right)^4 h^4+\frac{1}{8}h^3}{\frac{3}{4}h^2+\frac{1}{4}h^2}}{h}=\lim_{ h \to 0 } \frac{\frac{9}{16}h^3+\frac{1}{8}h^2}{h^2}=\lim_{ h \to 0 } \frac{9}{16}h+\lim_{ h \to 0 } \frac{1}{8}=\frac{1}{8}

וזוהי התשובה.

תרגיל (7)

יש לתת דוגמה לפונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות $f(x,y)$ המקיימת:

\parder{f}{n}(1,-5)=5\sqrt{ 25 }

כאשר $\vec{n}=-4\hat{i}+3\hat{j}$ .

f(x,y)=-20x+15y

תרגיל (1)

נתונה הפונקציה:

f(x,y)=\frac{xy}{4y^2-x^2}

יש לחשב את נגזרותיה החלקיות מסדר ראשון על הצירים $x,y$ בנקודה $(6,1)$ .

\parder{f}{x}(6,1)=\frac{y(4y^2-x^2)+2x^2y}{(4y^2-x^2)^2}=\frac{(4-36)+2(36)}{(4-36)^2}=\frac{72-32}{1024}=\frac{40}{1024}

\parder{f}{y}(6,1)=\frac{x(4y^2-x^2)-8xy^2}{(4y^2-x^2)^2}=\frac{6(4-36)-48}{32^2}=\frac{-240}{1024}

תרגיל (2)

נתונה הפונקציה:

g(x,y)=\begin{cases} \frac{5x^3+3xy+7y^3+2y^4}{x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}

חשבו את נגזורתיה החלקיות מסדר ראשון בצירים $x,y$ בנקודה $(0,0)$ .

נדרש לעשות זאת לפי הגדרה שכן בסביבת הנק' $(0,0)$ הפונקציה אינה אלמנטרית.

\parder{g}{x}(0,0)=\lim_{ x\to 0 } \frac{\frac{5x^3+3xy+7y^3+2y^4}{x^2+y^2}}{\sqrt{ x^2+y^2 }}=\lim_{ x\to 0 } \frac{5x^3+3xy+7y^3+2y^4}{(x^2+y^2)^{1.5}}=\lim_{ x \to 0 } \frac{5x^3}{x^{3}}=\lim_{ x \to 0 } 5=5

\parder{g}{y}(0,0)=\lim_{ y \to 0 } \frac{\frac{5x^3+3xy+7y^3+2y^4}{x^2+y^2}}{\sqrt{ x^2+y^2 }}=\lim_{ y \to 0 } \frac{5x^3+3xy+7y^3+2y^4}{(x^2+y^2)^{1.5}}=\lim_{ y \to 0 } \frac{7y^3+2y^4}{y^3}=7+\lim_{ y \to 0 } 2y=7

תרגיל (3)

נתונה הפונקציה:

f(x,y)=\begin{cases} (4x^2+y^2)\sin \frac{1}{4x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}

פתרון א':
נבדוק לפי הגדרת רציפות:

\lim_{ (x,y) \to (0,0) } (4x^2+y^2)\sin \frac{1}{4x^2+y^2} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חסומה כפול אפסה}} \end{matrix}}{=}0

לכן, הפונקציה רציפה.

פתרון ב':

\parder{f}{x}(0,0)=\lim_{ x \to 0 } 4x^2\sin \frac{1}{4x^2}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חסומה כפול אפסה}} \end{matrix}}{=}0

\parder{f}{y}(0,0)=\lim_{ y \to 0 } y^2\sin \frac{1}{y^2}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חסומה כפול אפסה}} \end{matrix}}{=}0

פתרון ג':

הערה (תזכורת - הגדרה)

f(h,k)-f(0,0)=Ah+Bk+\alpha(h,k)\sqrt{ h^2+k^2 }

אם הפונקציה גזירה בנק' אזי $A=\parder{f}{x}$ ו- $B=\parder{f}{y}$ ולכן:

f(h,k)=(4h^2+k^2)\sin \frac{1}{4h^2+k^2}

בסעיף א' ראינו כי עבור $(h,k)\to(0,0)$ מתקיים כי $f(h,k)\underset{(h,k)\to(0,0)}{\longrightarrow}0$ .
נגדיר $\alpha(h,k)=\frac{f(h,k)}{\sqrt{ h^2+k^2 }}$ ואז:

\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \alpha(h,k)=\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \frac{(4h^2+k^2)\sin \frac{1}{4h^2+k^2}}{\sqrt{ h^2+k^2 }}=\dots=0

לכן:

f(h,k)-f(0,0)=\parder{f}{x}h+\parder{f}{y}k+\alpha(h,k)\sqrt{ h^2+k^2 }

ולכן, $f$ גזירה ב- $(0,0)$ .

תרגיל (4)

רשמו את משוואת המישור המשיק ואת וקטור הנורמלי למשטח הנתון ע"י $z=xy^3$ בנקודה $(-1,-2)$ .

z=f(x_{0},y_{0})+A(x-x_{0})+B(y-y_{0})

z=8+\parder{f}{x}(-1,-2)(x+1)+\parder{f}{y}(-1,-2)(y+2)

נמצא את הנגזרות החלקיות בנקודה:

\parder{f}{x}(-1,-2)=y^3=-8 \qquad \parder{f}{y}(-1,-2)=3xy^2=-12

ולכן:

z=8-8(x+1)-12(y+2)=-8x-12y-24

וקטור הנורמל הינו: $\left(\parder{f}{x},\parder{f}{y},-1\right)$ . לכן: $\left(-8,-12,-1\right)$ .

תרגיל (5)

משפט מההרצאה: אם $f$ גזירה אז $\displaystyle \parder{f}{u}=\vec{\nabla}f\cdot \hat{u}$ .
נבדוק האם $f$ גזירה בנק' $(1,1)$ .

f(1,1)=-e \qquad \parder{f}{x}(1,1)=2e^x+(2x-3)e^x=e \qquad \parder{f}{y}(1,1)=-3e

(2+2h-3-3k)e^{1+h}+e=f(1+h,1+k)+e=eh-3ek+\alpha(h,k)\sqrt{ h^2+k^2 }

e((2h-3k-1)e^h+1-h+3k)=(2h-3k-1)e^{h+1}+e-eh+3ek=\alpha(h,k)\sqrt{ h^2+k^2 }

\alpha(h,k)=\frac{e((2h-3k-1)e^h+1-h+3k)}{\sqrt{ h^2+k^2 }}

על מנת לחשב את הגבול, נשתמש בפיתוח טיילור של $e^h$ סביב $h=0$ :

\lim_{ (h,k) \to (0,0) } e \frac{(2h-3k-1)e^h+1-h+3k}{\sqrt{ h^2+k^2 }}=\!\!\!\!\!\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \!\!\!\!\!\!\!e\frac{(2h-3k-1)\left( 1+h+\frac{h^2}{2}+o(h^3) \right)+1-h+3k}{\sqrt{ h^2+k^2 }}

=\lim_{ (h,k) \to (0,0) } e \frac{\frac{3}{2}h^2-3hk+o(h^3,kh^2)}{\sqrt{ h^2+k^2 }}=\lim_{ (h,k) \to (0,0) } g(h,k)+\frac{o(h^3,kh^2)}{\sqrt{ h^2+k^2 }}

g(r\cos\theta,r\sin\theta)=e \frac{\frac{3}{2}r^2\cos^2\theta-3r^2\cos\theta \sin\theta}{\sqrt{ r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) }}={er}\left( \frac{3}{2}\cos^2\theta-3\cos\theta \sin\theta \right)=F(r)G(\theta)

הפונקציה $G(\theta)$ חסומה ו- $F(r)\underset{r\to_{0}}{\longrightarrow}0$ ולכן, לפי משפט ובנוסף טיילור $\mathrm{II}$ :

\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \alpha(h,k)=0

ולכן, $f$ גזירה לפי הגדרה.

\vec{\nabla}f=\begin{pmatrix} \parder{f}{x} \\ \parder{f}{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e \\ -3e \end{pmatrix}

נמצא כעת את הוקטור $\hat{n}$ באמצעות טריגונוטמריה ונרמול:
וובוורק 9 2026-06-24 15.22.12.excalidraw.svg
לכן:

\hat{n}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \\ \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \end{pmatrix}

ולכן:

\parder{f}{n}=\begin{pmatrix} e & -3e \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \\ \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \end{pmatrix}=\frac{e}{\sqrt{ 2 }}-\frac{3e}{\sqrt{ 2 }}=-\frac{2e}{\sqrt{ 2 }}=-\sqrt{ 2 }e

וזוהי התשובה.

תרגיל (6)

חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה:

f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^4+y^3}{x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}

בנקודה $(0,0)$ בכיוון היוצר זווית של $30\degree$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ .

נשים לב כי הפונקציה אינה גזירה ב- $(0,0)$ .

\tan 30=\frac{1}{\sqrt{ 3 }} =\frac{y}{x}\implies x=\sqrt{ 3 }y \implies 4y^2=1 \implies y=\sqrt{ \frac{1}{4} }=\frac{1}{2}\implies x=\frac{\sqrt{ 3 }}{2}

\hat{n}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}

\parder{f}{n}=\lim_{ h \to 0 } \frac{f\left( \frac{\sqrt{ 3 }}{2}h, \frac{1}{2}h \right)}{h}=\lim_{ h \to 0 } \frac{\frac{\left( \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \right)^4 h^4+\frac{1}{8}h^3}{\frac{3}{4}h^2+\frac{1}{4}h^2}}{h}=\lim_{ h \to 0 } \frac{\frac{9}{16}h^3+\frac{1}{8}h^2}{h^2}=\lim_{ h \to 0 } \frac{9}{16}h+\lim_{ h \to 0 } \frac{1}{8}=\frac{1}{8}

וזוהי התשובה.

תרגיל (7)

יש לתת דוגמה לפונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות $f(x,y)$ המקיימת:

\parder{f}{n}(1,-5)=5\sqrt{ 25 }

כאשר $\vec{n}=-4\hat{i}+3\hat{j}$ .

f(x,y)=-20x+15y