וובוורק 8 — חשבון אינפיניטסימלי 2מ'

תרגיל (2)

נתונה הפונקציה $f(x,y)=\frac{x^2-y-1}{x^2+y+1}$ האם בין קווי הגובה של $f$ קיימים:

מעגל
אליפסה (שאינה מעגל)
היפרבולה
פרבולה
קו ישר או זוג קווים ישרים
נקודה בודדת
קבוצה ריקה

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא $x^2+y+1 \neq 0$ .
יהי $c \in \mathbb{R}$ . אזי:

f(x,y)=\frac{x^2-y-1}{x^2+y+1}=c \implies x^2-y-1=cx^2+cy+c

(1-c)x^2-(1+c)y-(1+c)=0

מכיוון ש- $y$ אינו בריבוע לא נוכל לקבל מעגל, אליפסה או היפרבולה.
נקבל קו ישר רק כאשר $x^2=0$ . במצב זה $c=1$ או $x=0$ . אם $x=0$ נקבל $(1+c)y=-(1+c)$ ואז $y=-1$ .
אם $c=1$ נקבל $-2y=2$ ולכן $y=-1$ . לכן, קו ישר קיים
זוהי צורה של פרבולה ולכן יש פרבולה.
אין קו גובה שהוא נק' בודדת או קבוצה ריקה

תרגיל (8)

יש לחשב את הגבולות הבאים:

\begin{align*} 1.\; & \lim_{ \begin{matrix} x\to0 \\ y\to 0 \end{matrix} } \frac{x^4y^{13}}{x^8+y^{18}} \\ 2.\; & \lim_{ \begin{matrix} x\to 1 \\ y\to 8 \end{matrix}} \frac{\tan(y-8)\sin^2(y-8x)}{(x-1)^2+(y-8)^2} \\ 3.\; & \lim_{ \begin{matrix} x\to 1 \\ y\to8 \end{matrix} } \frac{18(y-8)^4(x-1)^2+5(8x-y)^2(y-8)^4}{28(x-1)^6+6(y-8)^6} \\ 4.\; & \lim_{ \begin{matrix} x\to0 \\ y\to 0 \\ z\to 0 \end{matrix} } \frac{\sin(x^2+y^2+z^2)+\tan(x+y+z)}{|x|+|y|+|z|} \\ 5.\; & \lim_{ \begin{matrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{matrix} } \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \\ 6.\; & \lim_{ \begin{matrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{matrix} } \frac{x^6y^6}{x^6+y^{14}} \end{align*}

פתרון (1):

0\underset{(x,y)\to(0,0)}{\longleftarrow}-x^4|y^{13}|\leq -\frac{x^4|y^{13}|}{x^8+y^{18}}=-\left| \frac{x^4y^{13}}{x^8+y^{18}} \right| \leq \frac{x^4y^{13}}{x^8+y^{18}} \leq x^4y^{13} \underset{(x,y)\to(0,0)}{\longrightarrow} 0

לכן, לפי סנדוויץ', הגבול הוא $0$ .

פתרון (2):

\lim_{ (x,y) \to (1,8) } \frac{\tan(y-8)\sin^2(y-8x)}{(x-1)^2+(y-8)^2} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ u=x-1 \\ v=y-8 \end{matrix}}{=}\lim_{ (u,v) \to (0,0) } \frac{\tan v\sin^2(v-8u)}{u^2+v^2}

נשים לב כי:

g(v,u)=\frac{\sin^2(v-8u)}{u^2+v^2}

g(r\cos\theta,r\sin\theta)=\frac{\sin^2(r\cos\theta-8r\sin\theta)}{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}\leq \frac{r^2(\cos\theta-8\sin\theta)^2}{r^2}=(\cos\theta-8\sin\theta)^2\leq (1-8(-1))^2

g(r\cos\theta,r\sin\theta)\leq 9^2

לכן, הפונקציה $g$ חסומה. ולכן, לפי חסומה כפול אפסה:

\lim_{ (x,y) \to (1,8) } \dots=0

פתרון (3):
נראה כי הגבול לא קיים באמצעות שני עקומים(במקרה הזה ישרים) והם:

פתרון (4):
נראה כי הגבול לא קיים באמצעות מציאת מסלול עבורו הגבול לא קיים. מסלול זה יהיה ציר ה- $x$ ולכן:

\lim_{ x \to 0^+ } \frac{\sin(x^2)+\tan x}{x}=\lim_{ x \to 0^+ } x \frac{\sin(x^2)}{x^2}+ \frac{\tan x}{x} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חסומה כפול אפסה + לופיטל}} \end{matrix}}{=}\lim_{ x \to 0^+ } \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1}=1

\lim_{ x \to 0^- } \frac{\sin(x^2)+\tan x}{-x}=\lim_{ x \to 0^+ } -x \frac{\sin(x^2)}{x^2}+ \frac{\tan x}{-x} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{חסומה כפול אפסה + לופיטל}} \end{matrix}}{=}\lim_{ x \to 0^+ } \frac{\frac{1}{1+x^2}}{-1}=-1

הגבול עבור המסלול הזה לא קיים ולכן, לפי משפט, הגבול עצמו לא קיים.

פתרון (5):

0\leq \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\leq \frac{x^2y^2}{x^2}=y^2 \underset{(x,y)\to(0,0)}{\longmapsto}0

לכן, לפי סנדוויץ' מתקיים:

\lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0

פתרון (6):
באותו האופן גם עבור גבול זה.