חשבו את סכום הטור הבא ומצאו את תחום ההתכנסות שלו.
∑ n = 1 ∞ n x n − 1 \sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} n = 1 ∑ ∞ n x n − 1 רמז: גזרו את הטור ∑ x n \sum x^n ∑ x n
נגדיר F ( x ) = ∑ x n = 1 1 − x F(x)=\sum x^n=\frac{1}{1-x} F ( x ) = ∑ x n = 1 − x 1
f ( x ) = 1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} f ( x ) = ( 1 − x ) 2 1 = n = 1 ∑ ∞ n x n − 1 לכן, זוהי הפונקציה.( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) ± 1 \pm1 ± 1
lim M → ∞ ∑ n = 1 M n ( 1 ) = lim M → ∞ ∑ n = 1 M n = ∞ \lim_{ M \to \infty } \sum_{n=1}^M n (1)=\lim_{ M \to \infty } \sum_{n=1}^M n=\infty M → ∞ lim n = 1 ∑ M n ( 1 ) = M → ∞ lim n = 1 ∑ M n = ∞ lim M → ∞ ∑ n = 1 M n ( − 1 ) n − 1 = לא קיים \lim_{ M \to \infty } \sum_{n=1}^M n(-1)^{n-1}=\R{\text{לא קיים}} M → ∞ lim n = 1 ∑ M n ( − 1 ) n − 1 = לא קיים לכן, תחום ההתכנסות: ( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 )
חשבו את סכום הטור הבא ומצאו את תחום ההתכנסות שלו.
f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n x n f(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^n f ( x ) = n = 1 ∑ ∞ n x n מהסעיף הקודם ראינו:
1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} ( 1 − x ) 2 1 = n = 1 ∑ ∞ n x n − 1 נכפיל ב-x x x c ∑ … c\sum\dots c ∑ … c f ( x ) cf(x) c f ( x ) ∑ \sum ∑
x ( 1 − x ) 2 = x ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 = ∑ n = 1 ∞ n x n \frac{x}{(1-x)^2}=x\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty nx^n ( 1 − x ) 2 x = x n = 1 ∑ ∞ n x n − 1 = n = 1 ∑ ∞ n x n לכן נקבל כי תחום ההתכנסות זהה ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣ x ∣ < 1
חשבו את סכום הטור הבא ומצאו את תחום ההתכנסות שלו.
∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) x n \sum_{n=0}^\infty (n+2)x^n n = 0 ∑ ∞ ( n + 2 ) x n נשתמש באותה הטקטיקה ממקודם.
1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} ( 1 − x ) 2 1 = n = 1 ∑ ∞ n x n − 1 x ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n \frac{x}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^n ( 1 − x ) 2 x = n = 1 ∑ ∞ n x n x ( 1 − x ) 2 + 2 1 − x = ∑ n = 1 ∞ n x n + 2 x n \frac{x}{(1-x)^2}+\frac{2}{1-x}=\sum_{n=1}^\infty nx^n+2x^n ( 1 − x ) 2 x + 1 − x 2 = n = 1 ∑ ∞ n x n + 2 x n f ( x ) = 2 − x ( 1 − x ) 2 f(x)=\frac{2-x}{(1-x)^2} f ( x ) = ( 1 − x ) 2 2 − x תחום ההתכנסות זהה כי התחום של שניהם הוא ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣ x ∣ < 1
חשבו את סכום הטור הבא ומצאו את תחום ההתכנסות שלו.
∑ n = 0 ∞ n 2 x n \sum_{n=0}^\infty n^2x^n n = 0 ∑ ∞ n 2 x n ∑ n 2 x n − 1 = ( ∑ n x n ) ′ = ( x ( 1 − x ) 2 ) ′ = ( 1 − x ) 2 + 2 x ( 1 − x ) ( 1 − x ) 4 = 1 − x + 2 x ( 1 − x ) 3 = x + 1 ( 1 − x ) 3 \sum n^2x^{n-1} =\left( \sum nx^{n} \right)'=\left( \frac{x}{(1-x)^2} \right)'=\frac{(1-x)^2+2x(1-x)}{(1-x)^4}=\frac{1-x+2x}{(1-x)^3}=\frac{x+1}{(1-x)^3} ∑ n 2 x n − 1 = ( ∑ n x n ) ′ = ( ( 1 − x ) 2 x ) ′ = ( 1 − x ) 4 ( 1 − x ) 2 + 2 x ( 1 − x ) = ( 1 − x ) 3 1 − x + 2 x = ( 1 − x ) 3 x + 1 ∑ n 2 x n = x ∑ n 2 x n − 1 = x ( x + 1 ) ( 1 − x ) 3 \sum n^2x^n=x\sum n^2x^{n-1}=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3} ∑ n 2 x n = x ∑ n 2 x n − 1 = ( 1 − x ) 3 x ( x + 1 ) תחום ההתכנסות הוא המינימום מבין תחומי ההתכנסות שלהם ולכן הוא ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣ x ∣ < 1
טור טילור של הפונקציה e − x 2 e^{-x^2} e − x 2 ‾ \underline{} x cos x x\cos x x cos x ‾ \underline{} ln ( 1 1 + x 2 ) \ln\left( \frac{1}{1+x^2} \right) ln ( 1 + x 2 1 ) ‾ \underline{} arctan x x \frac{\arctan x}{x} x a r c t a n x ‾ \underline{}
רשימת הטורים: ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x 2 n n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{n} n = 1 ∑ ∞ n ( − 1 ) n x 2 n ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n ) ! \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n)!} n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! x 2 n + 1 ∑ n = 0 ∞ x 2 n n ! \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{n!} n = 0 ∑ ∞ n ! x 2 n ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n 2 n + 1 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{2n+1} n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n ) ! \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n)!} n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n x 2 n + 1 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n n ! \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{n!} n = 0 ∑ ∞ n ! ( − 1 ) n x 2 n ∑ n = 1 ∞ x 2 n n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n} n = 1 ∑ ∞ n x 2 n
נזכר כי מתקיים: e t = ∑ t n n ! e^t=\sum \frac{t^{n}}{n!} e t = ∑ n ! t n t = − x 2 t=-x^2 t = − x 2 ∑ ( − 1 ) n x 2 n n ! \displaystyle \sum \frac{(-1)^nx^{2n}}{n!} ∑ n ! ( − 1 ) n x 2 n ז .sin x \sin x sin x ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n x 2 n + 1
cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n + 1 ) x 2 n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \cos x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(2n+1)x^{2n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} cos x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) x 2 n = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n x 2 n כעת נכפיל ב-x x x
x cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n + 1 x\cos x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n+1} x cos x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n x 2 n + 1 זוהי בדיוק אופציה ו .
ln ( 1 1 + x 2 ) = ln ( ( 1 + x 2 ) − 1 ) = − ln ( 1 + x 2 ) \ln\left( \frac{1}{1+x^2} \right)=\ln((1+x^2)^{-1})=-\ln(1+x^2) ln ( 1 + x 2 1 ) = ln (( 1 + x 2 ) − 1 ) = − ln ( 1 + x 2 ) נביט בטור מההרצאה ln ( 1 + k ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n k n \ln(1+k)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}k^n ln ( 1 + k ) = ∑ n = 1 ∞ n ( − 1 ) n + 1 k n k = x 2 k=x^2 k = x 2
ln ( 1 + x 2 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x 2 n \ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{2n} ln ( 1 + x 2 ) = n = 1 ∑ ∞ n ( − 1 ) n + 1 x 2 n − ln ( 1 + x 2 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n x 2 n -\ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}x^{2n} − ln ( 1 + x 2 ) = n = 1 ∑ ∞ n ( − 1 ) n x 2 n זוהי בדיוק אופציה א .
arctan x = arctan t ∣ 0 x = ∫ 0 x 1 1 + t 2 d t = ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n t 2 n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ∫ 0 x t 2 n d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n t 2 n + 1 2 n + 1 ∣ 0 x \arctan x=\left. \begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix}\arctan t \right\vert_{0}^x=\int_{0}^x \frac{1}{1+t^2}dt=\int_{0}^x \sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^{2n}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_{0}^x t^{2n}dt=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left.\frac{t^{2n+1}}{2n+1} \right\vert_{0}^x arctan x = arctan t 0 x = 0 ∫ x 1 + t 2 1 d t = 0 ∫ x n = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) n t 2 n = n = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) n 0 ∫ x t 2 n d t = n = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 t 2 n + 1 0 x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 נחלק ב-x x x
arctan x x = 1 x ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n 2 n + 1 \frac{\arctan x}{x}=\frac{1}{x}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{2n+1} x arctan x = x 1 n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n שזוהי בדיוק אופציה ד .
השתמשו בטורים מהשאלות הקודמות ובטורי טיילור של הפונקציות e x , sin x , cos x , ln ( 1 + x ) , arctan x e^x,\sin x,\cos x,\ln(1+x),\arctan x e x , sin x , cos x , ln ( 1 + x ) , arctan x
1. ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2. ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ⋅ 3 n \begin{align*}
1.\;\; & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \\
2.\;\; & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n\cdot 3^n}
\end{align*} 1. 2. n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n n = 1 ∑ ∞ n ⋅ 3 n ( − 1 ) n נשים את כל הטורים הללו על השולחן:
e x = ∑ x n n ! sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n ln ( 1 + k ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n k n arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 \begin{matrix}
e^x=\sum \frac{x^{n}}{n!} & \sin x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} & \cos x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \\
\ln(1+k)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}k^n & \arctan x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
\end{matrix} e x = ∑ n ! x n ln ( 1 + k ) = ∑ n = 1 ∞ n ( − 1 ) n + 1 k n sin x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n x 2 n + 1 arctan x = ∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 cos x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n x 2 n כעת נוכל להתחיל לעבוד.
cos 1 = ∑ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 1 2 n = ∑ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! \cos 1 = \sum \frac{(-1)^n}{(2n)!}1^{2n}=\sum \frac{(-1)^n}{(2n)!} cos 1 = ∑ ( 2 n )! ( − 1 ) n 1 2 n = ∑ ( 2 n )! ( − 1 ) n ln ( 1 + 1 3 ) = ∑ ( − 1 ) n + 1 n ⋅ 1 3 n = ∑ ( − 1 ) n + 1 n ⋅ 3 n \ln\left( 1+\frac{1}{3} \right)=\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot \frac{1}{3^n}=\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot 3^n} ln ( 1 + 3 1 ) = ∑ n ( − 1 ) n + 1 ⋅ 3 n 1 = ∑ n ⋅ 3 n ( − 1 ) n + 1 − ln ( 1 + 1 3 ) = ∑ ( − 1 ) n n ⋅ 3 n -\ln\left( 1+\frac{1}{3} \right)=\sum \frac{(-1)^n}{n\cdot 3^n} − ln ( 1 + 3 1 ) = ∑ n ⋅ 3 n ( − 1 ) n
מצאו את רדיוס ההתכנסות ותחום ההתכנסות של הטור:
∑ n = 1 ∞ 2 n − 1 x 2 n − 1 ( 4 n − 3 ) 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}x^{2n-1}}{(4n-3)^2} n = 1 ∑ ∞ ( 4 n − 3 ) 2 2 n − 1 x 2 n − 1 נשתמש במבחן המנה לטורי פונקציות.
lim n → ∞ 2 n x 2 n + 1 ( 4 n + 1 ) 2 ⋅ ( 4 n − 3 ) 2 2 n − 1 x 2 n − 1 = lim n → ∞ 2 x 2 ( 4 n + 1 − 4 ) 2 ( 4 n + 1 ) 2 = 2 x 2 lim n → ∞ ( 1 − 4 4 n + 1 ) 2 = 2 x 2 \lim_{ n \to \infty } \frac{2^nx^{2n+1}}{(4n+1)^2}\cdot \frac{(4n-3)^2}{2^{n-1}x^{2n-1}}=\lim_{ n \to \infty } 2x^2 \frac{(4n+1-4)^2}{(4n+1)^2}=2x^2\lim_{ n \to \infty } \left( 1-\frac{4}{4n+1} \right)^2=2x^2 n → ∞ lim ( 4 n + 1 ) 2 2 n x 2 n + 1 ⋅ 2 n − 1 x 2 n − 1 ( 4 n − 3 ) 2 = n → ∞ lim 2 x 2 ( 4 n + 1 ) 2 ( 4 n + 1 − 4 ) 2 = 2 x 2 n → ∞ lim ( 1 − 4 n + 1 4 ) 2 = 2 x 2 לפי מבחן המנה על מנת שהטור יתכנס נדרש שיתקיים 2 x 2 < 1 2x^2< 1 2 x 2 < 1 x 2 < 1 2 x^2< \frac{1}{2} x 2 < 2 1 ∣ x ∣ < 1 2 |x|< \frac{1}{\sqrt{ 2 }} ∣ x ∣ < 2 1 R = 1 2 R=\frac{1}{\sqrt{ 2 }} R = 2 1
∑ n = 1 ∞ 1 2 ( 4 n − 3 ) 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{\frac{1}{\sqrt{ 2 }}}{(4n-3)^2} n = 1 ∑ ∞ ( 4 n − 3 ) 2 2 1 נוכל לבצע את מהלא"ש עם 1 n 2 \frac{1}{n^2} n 2 1 − 1 2 -\frac{1}{\sqrt{ 2 }} − 2 1 [ − 1 2 , 1 2 ] \left[ -\frac{1}{\sqrt{ 2 }}, \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \right] [ − 2 1 , 2 1 ]
מצאו את רדיוס ההתכנסות ותחום ההתכנסות של הטור:
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n x 2 n n 2 + 4 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n3^nx^{2n}}{\sqrt{ n^2+4 }} n = 0 ∑ ∞ n 2 + 4 ( − 1 ) n 3 n x 2 n פה נשתמש גם כן במבחן המנה לטורים
∣ ( − 1 ) n + 1 3 n + 1 x 2 n + 2 ( n + 1 ) 2 + 4 ⋅ n 2 + 4 ( − 1 ) n 3 n x 2 n ∣ = 3 x 2 n 2 + 4 ( n + 1 ) 2 + 4 = 3 x 2 n 2 + 4 n 2 + 2 n + 5 \left\vert\frac{(-1)^{n+1}3^{n+1}x^{2n+2}}{\sqrt{ (n+1)^2+4 }}\cdot \frac{\sqrt{ n^2+4 }}{(-1)^n3^nx^{2n}}\right\vert= 3x^2 \frac{\sqrt{ n^2+4 }}{(n+1)^2+4}=3x^2\sqrt{ \frac{n^2+4}{n^2+2n+5} } ( n + 1 ) 2 + 4 ( − 1 ) n + 1 3 n + 1 x 2 n + 2 ⋅ ( − 1 ) n 3 n x 2 n n 2 + 4 = 3 x 2 ( n + 1 ) 2 + 4 n 2 + 4 = 3 x 2 n 2 + 2 n + 5 n 2 + 4 = 3 x 2 1 + 2 n + 1 n 2 + 4 ⟶ n → ∞ 3 x 2 =\frac{3x^2}{\sqrt{ 1+\frac{2n+1}{n^2+4} }} \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 3x^2 = 1 + n 2 + 4 2 n + 1 3 x 2 n → ∞ ⟶ 3 x 2 ההתכנסות מתרחשת כאשר 3 x 2 < 1 3x^2<1 3 x 2 < 1 x 2 < 1 3 x^2< \frac{1}{3} x 2 < 3 1 ∣ x ∣ < 1 3 |x|< \frac{1}{\sqrt{ 3 }} ∣ x ∣ < 3 1
חשבו את תחום ההתכנסות של סדרת הפונקציות
f n ( x ) = n x n − 1 1 + x 2 n f_{n}(x)=\frac{nx^{n-1}}{1+x^{2n}} f n ( x ) = 1 + x 2 n n x n − 1 ובטאו אותו כאיחוד של שלושה קטעים.
הישר יתחלק לשלושה חלקים אשר בכל אחד מהם מתקיים כי f n f_{n} f n
( − ∞ , − 1 ) ∪ ( − 1 , 1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) (-\infty,-1) \cup (-1,1) \cup (1,\infty) ( − ∞ , − 1 ) ∪ ( − 1 , 1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) (סליחה - ממש לא היה לי כח להוכיח את זה פורמלית או סמי-פורמלית)