כדי לבדוק התכנסות/התבדרות הטור ∑ 8 n 2 + 1 \displaystyle \sum \frac{8}{n^2+1} ∑ n 2 + 1 8
הטור 1 n 2 \frac{1}{n^2} n 2 1
הטור 8 n 2 \frac{8}{n^2} n 2 8
הטור 16 n 3 + 1 \frac{16}{n^3+1} n 3 + 1 16
הטור 800 n \frac{800}{n} n 800
נבצע את המבחן ההשוואה עם 8 n 2 \frac{8}{n^2} n 2 8 8 n 2 + 1 < 8 n 2 \frac{8}{n^2+1}< \frac{8}{n^2} n 2 + 1 8 < n 2 8 8 n 2 \frac{8}{n^2} n 2 8
כדי לבדוק את התכנסות/התבדרות הטור ∑ 1 n + 1 8 \displaystyle \sum \frac{1}{\sqrt[8]{ n+1 }} ∑ 8 n + 1 1 1 n \frac{1}{n} n 1 1 n \frac{1}{\sqrt{ n }} n 1 1 2 n 8 \frac{1}{\sqrt[8]{ 2n }} 8 2 n 1
את מבחן ההשוואה נוכל לבצע עם כל פונקציה קטנה מהפונקציה בטור.1 n \frac{1}{n} n 1
∑ a n = ∑ sin ( 8 n 2 ) \sum a_{n}=\sum \sin\left( \frac{8}{n^2} \right) ∑ a n = ∑ sin ( n 2 8 ) ניתן לבדוק התנסות ע"י השוואה עם הטור ∑ b n \sum b_{n} ∑ b n b n = 1 n 4 b_{n}=\frac{1}{n^4} b n = n 4 1 b n = 1 n b_{n}=\frac{1}{n} b n = n 1 b n = 1 n 2 b_{n}=\frac{1}{n^2} b n = n 2 1 b n = 1 n 3 b_{n}=\frac{1}{n^3} b n = n 3 1
נבחר b n = 1 n 2 b_{n}=\frac{1}{n^2} b n = n 2 1
lim n → ∞ a n b n = lim n → ∞ sin ( 8 n 2 ) 1 n 2 = 8 lim n → ∞ sin ( 8 n 2 ) 8 n 2 = 8 \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{\sin\left( \frac{8}{n^2} \right)}{\frac{1}{n^2}}=8\lim_{ n \to \infty } \frac{\sin\left( \frac{8}{n^2} \right)}{\frac{8}{n^2}}= 8 n → ∞ lim b n a n = n → ∞ lim n 2 1 sin ( n 2 8 ) = 8 n → ∞ lim n 2 8 sin ( n 2 8 ) = 8 מכאן נובע כי הטור מתכנס(שכן הטור ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ∑ n 2 1
∑ a n = ∑ n 7 n 2 − 1 \sum a_{n}=\sum \frac{n}{7n^2-1} ∑ a n = ∑ 7 n 2 − 1 n ניתן לבדוק התכנסות ע"י השוואה עם הטור ∑ b n \sum b_{n} ∑ b n b n = 1 n 4 b_{n}=\frac{1}{n^4} b n = n 4 1 b n = 1 n b_{n}=\frac{1}{n} b n = n 1 b n = 1 n 3 b_{n}=\frac{1}{n^3} b n = n 3 1 b n = 1 n 2 b_{n}=\frac{1}{n^2} b n = n 2 1
נבחר את הסדרה b n = 1 n b_{n}=\frac{1}{n} b n = n 1
lim n → ∞ a n b n = lim n → ∞ n 7 n 2 − 1 1 n = lim n → ∞ n 2 7 n 2 − 1 = lim n → ∞ ( 7 − 1 n 2 ) − 1 = 7 − 1 = 1 7 \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{\frac{n}{7n^2-1}}{\frac{1}{n}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{n^2}{7n^2-1}=\lim_{ n \to \infty } \left( 7-\frac{1}{n^2} \right)^{-1}=7^{-1}=\frac{1}{7} n → ∞ lim b n a n = n → ∞ lim n 1 7 n 2 − 1 n = n → ∞ lim 7 n 2 − 1 n 2 = n → ∞ lim ( 7 − n 2 1 ) − 1 = 7 − 1 = 7 1 לכן, הטור מתבדר שכן 1 n \frac{1}{n} n 1
א. נבדוק את התכנסות/התבדרות הטור ∑ a n = ∑ 2 n n ! \sum a_{n}=\sum \frac{2^n}{n!} ∑ a n = ∑ n ! 2 n ∑ a n = ∑ ( 7 n ) n n ! \sum a_{n}=\sum \frac{(7n)^n}{n!} ∑ a n = ∑ n ! ( 7 n ) n ∑ a n = ∑ 5 n 4 + 1 \sum a_{n}=\sum \frac{5}{n^4+1} ∑ a n = ∑ n 4 + 1 5
פתרון א':
lim n → ∞ 2 n + 1 ( n + 1 ) ! 2 n n ! = lim n → ∞ 2 n + 1 = 0 \lim_{ n \to \infty } \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{2}{n+1}= 0 n → ∞ lim n ! 2 n ( n + 1 )! 2 n + 1 = n → ∞ lim n + 1 2 = 0 לכן, הטור מתכנס
פתרון ב':
lim n → ∞ ( 7 n + 7 ) n + 1 ( n + 1 ) ! ( 7 n ) n n ! = lim n → ∞ 7 n + 1 ( n + 1 ) n ( 7 n ) n = lim n → ∞ 7 ( 1 + 1 n ) n = 7 e \lim_{ n \to \infty } \frac{\frac{(7n+7)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{(7n)^n}{n!}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{7^{n+1}(n+1)^{n}}{(7n)^n}=\lim_{ n \to \infty } 7\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=7e n → ∞ lim n ! ( 7 n ) n ( n + 1 )! ( 7 n + 7 ) n + 1 = n → ∞ lim ( 7 n ) n 7 n + 1 ( n + 1 ) n = n → ∞ lim 7 ( 1 + n 1 ) n = 7 e לכן, הטור מתבדר.
פתרון ג':
lim n → ∞ 5 ( n + 1 ) 4 + 1 5 n 4 + 1 = lim n → ∞ n 4 + 1 ( n + 1 ) 4 + 1 = lim n → ∞ 4 n 3 4 ( n + 1 ) 3 = lim n → ∞ 3 n 2 3 ( n + 1 ) 2 = lim n → ∞ 2 n 2 n + 2 = lim n → ∞ 2 2 = 1 \lim_{ n \to \infty } \frac{\frac{5}{(n+1)^4+1}}{\frac{5}{n^4+1}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{n^4+1}{(n+1)^4+1}=\lim_{ n \to \infty } \frac{4n^3}{4(n+1)^3}=\lim_{ n \to \infty } \frac{3n^2}{3(n+1)^2}=\lim_{ n \to \infty } \frac{2n}{2n+2}=\lim_{ n \to \infty } \frac{2}{2}=1 n → ∞ lim n 4 + 1 5 ( n + 1 ) 4 + 1 5 = n → ∞ lim ( n + 1 ) 4 + 1 n 4 + 1 = n → ∞ lim 4 ( n + 1 ) 3 4 n 3 = n → ∞ lim 3 ( n + 1 ) 2 3 n 2 = n → ∞ lim 2 n + 2 2 n = n → ∞ lim 2 2 = 1 לא ניתן לדעת לפי מבחן המנה בלבד.
א. נבדוק את התכנסות/התבדרות הטור ∑ a n = ∑ 1 2 n 7 + 1 \sum a_{n}=\sum \frac{1}{2n^7+1} ∑ a n = ∑ 2 n 7 + 1 1 ∑ a n = ∑ ( 4 n ) n \sum a_n=\sum \left( \frac{4}{n} \right)^n ∑ a n = ∑ ( n 4 ) n ∑ a n = ∑ n 3 + 4 n 3 n \sum a_{n}=\sum \frac{n^3+4n}{3^n} ∑ a n = ∑ 3 n n 3 + 4 n ∑ a n = ∑ ( 6 n + 1 5 n ) n \sum a_{n}=\sum \left( \frac{6n+1}{5n} \right)^n ∑ a n = ∑ ( 5 n 6 n + 1 ) n
פתרון א':
lim n → ∞ 1 2 n 7 + 1 n = lim n → ∞ 1 2 n 7 + 1 n = 1 1 = 1 \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{2n^7+1} }=\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{\sqrt[n]{ 2n^7+1 }}=\frac{1}{1}=1 n → ∞ lim n 2 n 7 + 1 1 = n → ∞ lim n 2 n 7 + 1 1 = 1 1 = 1 לכן, לא ניתן לדעת לפי מבחן השורש.
פתרון ב':
lim n → ∞ ( 4 n ) n n = lim n → ∞ 4 n = 0 \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ \left( \frac{4}{n} \right)^n }=\lim_{ n \to \infty } \frac{4}{n}=0 n → ∞ lim n ( n 4 ) n = n → ∞ lim n 4 = 0 לכן, לפי מבחן השורש, הטור מתכנס.
פתרון ג':
lim n → ∞ n 3 + 4 n 3 n n = lim n → ∞ n n 2 + 4 3 n n = lim n → ∞ n n n 2 + 4 n 3 = 1 3 lim n → ∞ n 2 + 4 n = 1 3 \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{n^3+4n}{3^n} }=\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ n \frac{n^2+4}{3^n} }=\lim_{ n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{ n }\sqrt[n]{ n^2+4 }}{3}=\frac{1}{3}\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ n^2+4 }=\frac{1}{3} n → ∞ lim n 3 n n 3 + 4 n = n → ∞ lim n n 3 n n 2 + 4 = n → ∞ lim 3 n n n n 2 + 4 = 3 1 n → ∞ lim n n 2 + 4 = 3 1 לכן, לפי מבחן השורש, הטור מתכנס.
פתרון ד':
lim n → ∞ ( 6 n + 1 5 n ) n n = lim n → ∞ 6 n + 1 5 n = lim n → ∞ 6 5 + 1 5 n = 6 5 + lim n → ∞ 1 5 n = 6 5 \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ \left( \frac{6n+1}{5n} \right)^n }=\lim_{ n \to \infty } \frac{6n+1}{5n}=\lim_{ n \to \infty } \frac{6}{5}+\frac{1}{5n}=\frac{6}{5}+\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{5n}=\frac{6}{5} n → ∞ lim n ( 5 n 6 n + 1 ) n = n → ∞ lim 5 n 6 n + 1 = n → ∞ lim 5 6 + 5 n 1 = 5 6 + n → ∞ lim 5 n 1 = 5 6 לכן, לפי מבחן השורש, הטור מתבדר.
א. נבדוק את התכנסות/התבדרות הטור ∑ 1 n \sum \frac{1}{n} ∑ n 1 ∑ 1 n 1.07 \sum \frac{1}{n^{1.07}} ∑ n 1.07 1
פתרון א': f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x} f ( x ) = x 1 x ≥ 1 x\geq 1 x ≥ 1 ∫ f ( x ) d x \int f(x)dx ∫ f ( x ) d x ∞ \infty ∞
פתרון ב': f ( x ) = 1 x 1.07 f(x)=\frac{1}{x^{1.07}} f ( x ) = x 1.07 1 x ≥ 1 x\geq 1 x ≥ 1 ∫ f ( x ) d x \int f(x)dx ∫ f ( x ) d x 1 1.07 − 1 \frac{1}{1.07-1} 1.07 − 1 1
לכל טור יש לקבוע אם הוא מתכנס או מתבדר:
1. ∑ n = 2 ∞ 1 ln n 2. ∑ n = 1 ∞ ( n ! ) n 2 n 2 3. ∑ n = 1 ∞ n 2 n 2 + 4 4. ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − ln ( 1 + 1 n ) ) 5. ∑ n = 1 ∞ ( 1 − cos ( π n ) ) \begin{align*}
1.\; & \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln n} \\
2.\; & \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^n}{2^{n^2}} \\
3.\; & \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[2]{ n }}{n^2+4} \\
4.\; & \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n}-\ln\left( 1+\frac{1}{n} \right) \right) \\
5.\; & \sum_{n=1}^\infty \left( 1-\cos\left( \frac{\pi}{\sqrt{ n }} \right) \right)
\end{align*} 1. 2. 3. 4. 5. n = 2 ∑ ∞ ln n 1 n = 1 ∑ ∞ 2 n 2 ( n ! ) n n = 1 ∑ ∞ n 2 + 4 2 n n = 1 ∑ ∞ ( n 1 − ln ( 1 + n 1 ) ) n = 1 ∑ ∞ ( 1 − cos ( n π ) ) פתרון א': f ( x ) = 1 ln x f(x)=\frac{1}{\ln x} f ( x ) = l n x 1 [ 1 , ∞ ) [1,\infty) [ 1 , ∞ )
∫ 1 ∞ 1 ln x d x = lim ε → 0 + ∫ 1 + ε 2 1 ln x d x + ∫ 2 ∞ 1 ln x d x \int_{1}^\infty \frac{1}{\ln x}dx=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{1+\epsilon}^{2} \frac{1}{\ln x}dx+ \int_{2}^\infty \frac{1}{\ln x}dx 1 ∫ ∞ ln x 1 d x = ε → 0 + lim 1 + ε ∫ 2 ln x 1 d x + 2 ∫ ∞ ln x 1 d x נשים לב כי ln x > x \ln x > x ln x > x 1 ln x < 1 x \frac{1}{\ln x}< \frac{1}{x} l n x 1 < x 1 ∫ 1 ∞ 1 x \displaystyle \int_{1}^\infty \frac{1}{x} 1 ∫ ∞ x 1 ∫ 2 ∞ 1 x \displaystyle \int_{2}^\infty \frac{1}{x} 2 ∫ ∞ x 1 ∫ 2 ∞ 1 ln x \displaystyle \int_{2}^\infty \frac{1}{\ln x} 2 ∫ ∞ ln x 1 ∫ 1 ∞ 1 ln x d x \displaystyle \int_{1}^\infty \frac{1}{\ln x}dx 1 ∫ ∞ ln x 1 d x ∑ 2 ∞ 1 ln n \displaystyle \sum_{2}^\infty \frac{1}{\ln n} 2 ∑ ∞ ln n 1
פתרון ב':
lim n → ∞ ( ( n + 1 ) ! ) n + 1 2 ( n + 1 ) 2 ( n ! ) n 2 n 2 = lim n → ∞ ( n + 1 ) n + 1 ( n ! ) n + 1 2 2 n + 1 ( n ! ) n = lim n → ∞ ( n + 1 ) n + 1 n ! 2 2 n + 1 = lim n → ∞ ( n + 1 2 ) n + 1 n ! 2 n = ∞ ? \lim_{ n \to \infty } \frac{\frac{((n+1)!)^{n+1}}{2^{(n+1)^2}}}{\frac{(n!)^n}{2^{n^2}}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{(n+1)^{n+1}(n!)^{n+1}}{2^{2n+1}(n!)^{n}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{(n+1)^{n+1}n!}{2^{2n+1}}=\lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+1} \frac{n!}{2^n}=\infty ? n → ∞ lim 2 n 2 ( n ! ) n 2 ( n + 1 ) 2 (( n + 1 )! ) n + 1 = n → ∞ lim 2 2 n + 1 ( n ! ) n ( n + 1 ) n + 1 ( n ! ) n + 1 = n → ∞ lim 2 2 n + 1 ( n + 1 ) n + 1 n ! = n → ∞ lim ( 2 n + 1 ) n + 1 2 n n ! = ∞ ? ולכן, לפי מבחן המנה, הטור מתבדר.
פתרון ג':
lim n → ∞ n n 2 + 4 n = lim n → ∞ 1 n 2 + 4 = 0 \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{\sqrt{ n }}{n^2+4} }=\lim_{ n \to \infty } \frac{\sqrt{ 1 }}{\sqrt{ n^2+4 }}=0 n → ∞ lim n n 2 + 4 n = n → ∞ lim n 2 + 4 1 = 0 מתקיים L < 1 L<1 L < 1
פתרון ד': g ( x ) = x 2 − x + ln ( 1 + x ) g(x)=x^2-x+\ln\left( 1+x \right) g ( x ) = x 2 − x + ln ( 1 + x )
g ′ ( x ) = 2 x − 1 + 1 1 + x = ( 2 x − 1 ) ( 1 + x ) + 1 1 + x = 2 x + 2 x 2 − 1 − x + 1 1 + x = 2 x 2 + x 1 + x g'(x)=2x-1+\frac{1}{1+x}=\frac{(2x-1)(1+x)+1}{1+x}=\frac{2x+2x^2-1-x+1}{1+x}=\frac{2x^2+x}{1+x} g ′ ( x ) = 2 x − 1 + 1 + x 1 = 1 + x ( 2 x − 1 ) ( 1 + x ) + 1 = 1 + x 2 x + 2 x 2 − 1 − x + 1 = 1 + x 2 x 2 + x מתקיים g ′ ( x ) ≥ 0 g'(x)\geq0 g ′ ( x ) ≥ 0 2 x 2 + x > 0 ∧ 1 + x > 0 2x^2+x >0 \land 1+x>0 2 x 2 + x > 0 ∧ 1 + x > 0 2 x 2 + x < 0 ∧ 1 + x < 0 2x^2+x< 0 \land 1+x <0 2 x 2 + x < 0 ∧ 1 + x < 0
2 x 2 + x < 0 ⟺ x ( 2 x + 1 ) < 0 ⟺ − 1 2 < x < 0 2x^2+x<0 \iff x(2x+1)<0 \iff -\frac{1}{2}<x<0 2 x 2 + x < 0 ⟺ x ( 2 x + 1 ) < 0 ⟺ − 2 1 < x < 0 1 + x < 0 ⟺ x < − 1 1+x<0 \iff x<-1 1 + x < 0 ⟺ x < − 1 לכן אין זמן בו 2 x 2 + x < 0 ∧ 1 + x < 0 2x^2+x< 0 \land 1+x <0 2 x 2 + x < 0 ∧ 1 + x < 0 2 x 2 + x ≥ 0 ∧ 1 + x ≥ 0 2x^2+x \geq 0 \land 1+x\geq 0 2 x 2 + x ≥ 0 ∧ 1 + x ≥ 0 x ≥ 0 ∧ − 1 < x ≤ − 1 2 x\geq0 \land -1<x\leq -\frac{1}{2} x ≥ 0 ∧ − 1 < x ≤ − 2 1 x ≥ 0 x\geq 0 x ≥ 0 x = 1 n , n ∈ N x=\frac{1}{n},\; n \in \mathbb{N} x = n 1 , n ∈ N x > 0 x>0 x > 0 g ( 0 ) = 0 − 0 + ln 1 = 0 g(0)=0-0+\ln1=0 g ( 0 ) = 0 − 0 + ln 1 = 0 x > 0 x>0 x > 0 g ( x ) ≥ 0 g(x)\geq0 g ( x ) ≥ 0 g g g
1 n 2 − 1 n + ln ( 1 + 1 n ) > 0 ⟹ 1 n 2 > 1 n − ln ( 1 + 1 n ) \frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}+\ln\left( 1+\frac{1}{n} \right)>0 \implies \frac{1}{n^2}> \frac{1}{n}-\ln\left( 1+\frac{1}{n} \right) n 2 1 − n 1 + ln ( 1 + n 1 ) > 0 ⟹ n 2 1 > n 1 − ln ( 1 + n 1 ) לפי מסקנה, ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ∑ n 2 1 ∑ 1 n − ln ( 1 + 1 n ) \sum \frac{1}{n}-\ln\left( 1+\frac{1}{n} \right) ∑ n 1 − ln ( 1 + n 1 )
פתרון ה': cos \cos cos ∞ \infty ∞
א. הטור ∑ ( − 1 ) n + 1 n t \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^t} ∑ n t ( − 1 ) n + 1 ⟺ \iff ⟺ t < 0 t<0 t < 0 t > 0 t>0 t > 0 t ≥ 0 t\geq 0 t ≥ 0 t ≤ 0 t\leq 0 t ≤ 0 t < 1 t< 1 t < 1 t ≥ 1 t\geq 1 t ≥ 1 t ≤ 1 t \leq 1 t ≤ 1 t > 1 t> 1 t > 1 0 ≤ t < 1 0\leq t< 1 0 ≤ t < 1 0 ≤ t ≤ 1 0\leq t \leq 1 0 ≤ t ≤ 1 0 < t < 1 0<t< 1 0 < t < 1 0 < t ≤ 1 0<t\leq 1 0 < t ≤ 1 ב. הטור ∑ ( − 1 ) n + 1 n t \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^t} ∑ n t ( − 1 ) n + 1 ⟺ \iff ⟺ t < 0 t<0 t < 0 t > 0 t>0 t > 0 t ≥ 0 t\geq 0 t ≥ 0 t ≤ 0 t\leq 0 t ≤ 0 t < 1 t< 1 t < 1 t ≥ 1 t\geq 1 t ≥ 1 t ≤ 1 t \leq 1 t ≤ 1 t > 1 t> 1 t > 1 0 ≤ t < 1 0\leq t< 1 0 ≤ t < 1 0 ≤ t ≤ 1 0\leq t \leq 1 0 ≤ t ≤ 1 0 < t < 1 0<t< 1 0 < t < 1 0 < t ≤ 1 0<t\leq 1 0 < t ≤ 1 ג. הטור ∑ ( − 1 ) n + 1 n t \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^t} ∑ n t ( − 1 ) n + 1 ⟺ \iff ⟺ t < 0 t<0 t < 0 t > 0 t>0 t > 0 t ≥ 0 t\geq 0 t ≥ 0 t ≤ 0 t\leq 0 t ≤ 0 t < 1 t< 1 t < 1 t ≥ 1 t\geq 1 t ≥ 1 t ≤ 1 t \leq 1 t ≤ 1 t > 1 t> 1 t > 1 0 ≤ t < 1 0\leq t< 1 0 ≤ t < 1 0 ≤ t ≤ 1 0\leq t \leq 1 0 ≤ t ≤ 1 0 < t < 1 0<t< 1 0 < t < 1 0 < t ≤ 1 0<t\leq 1 0 < t ≤ 1
נביט בטור ונראה שלכל t ≥ 0 t\geq 0 t ≥ 0 1 n \frac{1}{n} n 1 0 0 0 a n > 0 a_{n}>0 a n > 0 ∑ ( − 1 ) n + 1 a n \sum (-1)^{n+1}a_{n} ∑ ( − 1 ) n + 1 a n ∑ a n \sum a_{n} ∑ a n t > 1 t> 1 t > 1 0 < t ≤ 1 0<t\leq 1 0 < t ≤ 1 t > 1 t> 1 t > 1 t ≤ 0 t\leq 0 t ≤ 0
נבדוק את הטורים הבאים:
הטור ∑ ( − 1 ) n + 1 n \sum \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{ n }} ∑ n ( − 1 ) n + 1 1 n \frac{1}{\sqrt{ n }} n 1 0 0 0 ∑ ( − 1 ) n + 1 \sum (-1)^{n+1} ∑ ( − 1 ) n + 1 1 n 3 2 \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} n 2 3 1 ∑ ( − 1 ) n + 1 n \sum (-1)^{n+1}n ∑ ( − 1 ) n + 1 n ( − 1 ) n + 1 n \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{ n }} n ( − 1 ) n + 1 ∑ 1 \sum 1 ∑ 1 ( − 1 ) n + 1 n \frac{(-1)^{n+1}}{n} n ( − 1 ) n + 1 ∑ n \sum \sqrt{ n } ∑ n
הטור ∑ ( − 1 ) ⌊ n 2 ⌋ n \sum \frac{(-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{n} ∑ n ( − 1 ) ⌊ 2 n ⌋ 1 n \frac{1}{n} n 1 0 0 0 ∑ ( − 1 ) ⌊ n 2 ⌋ \sum (-1)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} ∑ ( − 1 ) ⌊ 2 n ⌋ ( − 1 ) ⌊ n 2 ⌋ n \frac{(-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{\sqrt{ n }} n ( − 1 ) ⌊ 2 n ⌋ ∑ 1 n \sum \frac{1}{\sqrt{ n }} ∑ n 1 ( − 1 ) ⌊ n 2 ⌋ n \frac{(-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{{ n }} n ( − 1 ) ⌊ 2 n ⌋ ∑ 1 \sum 1 ∑ 1 1 n 2 \frac{1}{n^2} n 2 1 ∑ n ( − 1 ) ⌊ n 2 ⌋ \sum n(-1)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} ∑ n ( − 1 ) ⌊ 2 n ⌋
טור 1: 1 n \frac{1}{\sqrt{ n }} n 1 0 0 0 ∑ ( − 1 ) n + 1 \sum (-1)^{n+1} ∑ ( − 1 ) n + 1 1 1 1 0 0 0
טור 2:
נבדוק את הטורים הבאים:
הטור ∑ ( 2 3 ) n n n + 1 \sum \left( \frac{2}{3} \right)^n \frac{n}{n+1} ∑ ( 3 2 ) n n + 1 n n ⋅ 2 n n + 1 \frac{n\cdot 2^n}{n+1} n + 1 n ⋅ 2 n ∑ ( 1 3 ) n \sum (\frac{1}{3})^n ∑ ( 3 1 ) n n n n ∑ ( 2 3 ) n 1 n + 1 \sum \left( \frac{2}{3} \right)^n \frac{1}{n+1} ∑ ( 3 2 ) n n + 1 1 n n + 1 \frac{n}{n+1} n + 1 n ∑ ( 2 3 ) n \sum \left( \frac{2}{3} \right)^n ∑ ( 3 2 ) n n ( n + 1 ) ⋅ 3 n \frac{n}{(n+1)\cdot 3^n} ( n + 1 ) ⋅ 3 n n ∑ 2 n \sum 2^n ∑ 2 n
הטור ∑ ( 3 2 ) n 1 3 n − 1 \sum \left( \frac{3}{2} \right)^n \frac{1}{3^n-1} ∑ ( 2 3 ) n 3 n − 1 1 3 n 2 n \frac{3^n}{2^n} 2 n 3 n ∑ 1 3 n − 1 \sum \frac{1}{3^n-1} ∑ 3 n − 1 1 1 2 n \frac{1}{2^n} 2 n 1 ∑ 3 n 3 n − 1 \sum \frac{3^n}{3^n-1} ∑ 3 n − 1 3 n 3 n 3 n − 1 \frac{3^n}{3^n-1} 3 n − 1 3 n ∑ 1 2 n \sum \frac{1}{2^n} ∑ 2 n 1 1 3 n − 1 \frac{1}{3^n-1} 3 n − 1 1 ∑ 3 n 2 n \sum \frac{3^n}{2^n} ∑ 2 n 3 n
טור 1: n n + 1 \frac{n}{n+1} n + 1 n
∑ ( 2 3 ) n = ∑ 1 1.5 n \sum \left( \frac{2}{3} \right)^n=\sum \frac{1}{1.5^n} ∑ ( 3 2 ) n = ∑ 1. 5 n 1 זה טור הנדסי אינסופי ולכן מתקיים: S = 2 3 1 − 2 3 = 2 S=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=2 S = 1 − 3 2 3 2 = 2
טור 2: