לכל אינטגרל יש לבדוק האם הוא מתכנס לגבול סופי או לא.
1. ∫ 2 ∞ d x x ln x 2. ∫ 0 π 2 sin x tan x d x 3. ∫ 0 1 ( ln ( 1 + 1 x ) − 1 1 + x ) d x 4. ∫ 0 ∞ sin x d x \begin{align*}
1. & \int_{2}^\infty \frac{dx}{x\ln x} \\
2. & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ \sin x\tan x }\,dx \\
3. & \int_{0}^1 \left( \ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)-\frac{1}{1+x} \right)dx \\
4. & \int_{0}^{\infty} \sin xdx
\end{align*} 1. 2. 3. 4. 2 ∫ ∞ x ln x d x 0 ∫ 2 π sin x tan x d x 0 ∫ 1 ( ln ( 1 + x 1 ) − 1 + x 1 ) d x 0 ∫ ∞ sin x d x אינטגרל (1):
∫ 2 ∞ d x x ln x = ↓ הגדרה lim M → ∞ ∫ 2 M d x x ln x = ↓ שיטת ההצבה ( t = ln x d t = 1 x d x ) lim M → ∞ ∫ 2 M d t t = lim M → ∞ ln t ∣ 2 M = lim M → ∞ ( ln ( ln x ) ) ∣ 2 M = lim M → ∞ ( ln ( ln ( M ) ) − ln ( ln ( 2 ) ) ) = ↓ חשבון גבולות lim M → ∞ ln ln M − ln ( ln ( 2 ) ) = ∞ \begin{align*}
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x} &\!\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{הגדרה}}
\end{matrix}}{=}\! \lim_{ M \to \infty } \int_{2}^M \frac{dx}{x\ln x} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{שיטת ההצבה}} \\
\begin{pmatrix}
t=\ln x \\
dt=\frac{1}{x}dx
\end{pmatrix}
\end{matrix}}{=}\lim_{ M \to \infty } \int_{2}^M \frac{dt}{t}=\left.\lim_{ M \to \infty } \ln t \right\vert_{2}^M=\left.\lim_{ M \to \infty } (\ln (\ln x))\right\vert_{2}^M \\
&=\lim_{ M \to \infty } (\ln(\ln(M))-\ln(\ln(2))) \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חשבון גבולות}}
\end{matrix}}{=}\lim_{ M \to \infty } \ln \ln M-\ln(\ln(2))=\infty
\end{align*} 2 ∫ ∞ x ln x d x ↓ הגדרה = M → ∞ lim 2 ∫ M x ln x d x ↓ שיטת ההצבה ( t = ln x d t = x 1 d x ) = M → ∞ lim 2 ∫ M t d t = M → ∞ lim ln t 2 M = M → ∞ lim ( ln ( ln x )) 2 M = M → ∞ lim ( ln ( ln ( M )) − ln ( ln ( 2 ))) ↓ חשבון גבולות = M → ∞ lim ln ln M − ln ( ln ( 2 )) = ∞ הגבול לא סופי ולכן ∫ 2 ∞ d x x ln x \displaystyle \int_{2}^\infty \frac{dx}{x\ln x} 2 ∫ ∞ x ln x d x
אינטגרל (2): sin x tan x d x \sqrt{ \sin x\tan x }dx sin x tan x d x [ 0 , π 2 ] \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] [ 0 , 2 π ]
lim x → π 2 sin x tan x = lim x → π 2 sin x tan x = ∞ = ∞ \lim_{ x \to \frac{\pi}{2} } \sqrt{ \sin x \tan x }= \sqrt{ \lim_{ x \to \frac{\pi}{2} } \sin x\tan x }=\sqrt{ \infty }=\infty x → 2 π lim sin x tan x = x → 2 π lim sin x tan x = ∞ = ∞ הפונקציה אינה חסומה ולכן, זהו אינטגרל מוכלל:
∫ 0 π 2 sin x tan x d x = lim ε → 0 + ∫ 0 π 2 − ε sin x tan x d x = lim ε → 0 + ∫ 0 π 2 − ε sin 2 x cos x d x \begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ \sin x\tan x }dx&= \lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}-\epsilon} \sqrt{ \sin x \tan x }dx=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}-\epsilon}\sqrt{ \frac{\sin^2x}{\cos x} }dx
\end{align*} 0 ∫ 2 π sin x tan x d x = ε → 0 + lim 0 ∫ 2 π − ε sin x tan x d x = ε → 0 + lim 0 ∫ 2 π − ε cos x sin 2 x d x בתחום [ 0 , π 2 ] \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] [ 0 , 2 π ] sin x ≥ 0 \sin x\geq0 sin x ≥ 0
= lim ε → 0 + ∫ 0 π 2 − ε sin x cos x d x = ↓ שיטת ההצבה ( t = cos x d t = − sin x d x ) lim ε → 0 + − ∫ 1 sin ε 1 t d t = lim ε → 0 + − 2 ∫ 1 sin ε 1 2 t d t = ↓ אינטגרל ידוע + חשבון גבולות − 2 lim ε → 0 + t ∣ 1 sin ε = − 2 lim ε → 0 + ( sin ε − 1 ) = ↓ אלמנטרית ולכן רציפה sin x אלמנטרית ולכן רציפה t ⇓ אלמנטרית ולכן רציפה sin ε + חשבון גבולות − 2 ( sin 0 − 1 ) = − 2 ( − 1 ) = 2 \begin{align*}
&=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}-\epsilon} \frac{\sin x}{\sqrt{ \cos x }}dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{שיטת ההצבה}} \\
\begin{pmatrix}
t=\cos x \\
dt=-\sin xdx
\end{pmatrix}
\end{matrix}}{=}\lim_{ \epsilon \to 0^+ } -\int_{1}^{\sin\epsilon} \frac{1}{\sqrt{ t }}dt=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } -2\int_{1}^{\sin\epsilon} \frac{1}{2\sqrt{ t }}dt \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{אינטגרל ידוע}} \\
+ \\
\R{\text{חשבון גבולות}}
\end{matrix}}{=} \left. -2\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \sqrt{ t }\right\vert_{1}^{\sin\epsilon} \\
&=-2\lim_{ \epsilon \to 0^+ } (\sqrt{ \sin\epsilon }-\sqrt{ 1 }) \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{ אלמנטרית ולכן רציפה}}\sin x \\
\R{\text{ אלמנטרית ולכן רציפה}}\sqrt{ t } \\
\Downarrow \\
\R{\text{ אלמנטרית ולכן רציפה}}\sqrt{ \sin \epsilon } \\
+ \\
\R{\text{חשבון גבולות}}
\end{matrix}}{=}-2(\sqrt{ \sin0 }-\sqrt{ 1 })=-2(-1)=2
\end{align*} = ε → 0 + lim 0 ∫ 2 π − ε cos x sin x d x ↓ שיטת ההצבה ( t = cos x d t = − sin x d x ) = ε → 0 + lim − 1 ∫ s i n ε t 1 d t = ε → 0 + lim − 2 1 ∫ s i n ε 2 t 1 d t ↓ אינטגרל ידוע + חשבון גבולות = − 2 ε → 0 + lim t 1 s i n ε = − 2 ε → 0 + lim ( sin ε − 1 ) ↓ אלמנטרית ולכן רציפה sin x אלמנטרית ולכן רציפה t ⇓ אלמנטרית ולכן רציפה sin ε + חשבון גבולות = − 2 ( sin 0 − 1 ) = − 2 ( − 1 ) = 2 האינטגרל מתכנס לפי הגדרה.
אינטגרל (3): ( ln ( 1 + 1 x ) − 1 1 + x ) \left( \ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)-\frac{1}{1+x} \right) ( ln ( 1 + x 1 ) − 1 + x 1 ) [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ln t → − ∞ \ln t\to -\infty ln t → − ∞ t → 0 + t\to0^+ t → 0 + 1 + 1 x 1+\frac{1}{x} 1 + x 1 ∞ \infty ∞ ln ( 1 + 1 x ) → ∞ \ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)\to \infty ln ( 1 + x 1 ) → ∞ x → 0 x\to 0 x → 0 x → 0 + x\to0^+ x → 0 + − 1 1 + x → − ∞ -\frac{1}{1+x}\to-\infty − 1 + x 1 → − ∞ 0 0 0
∫ 0 1 ( ln ( 1 + 1 x ) − 1 1 + x ) d x = lim ε → 0 + ∫ ε 1 ( ln ( 1 + 1 x ) − 1 1 + x ) d x = ↓ אינטגרציה בחלקים ( u = ln ( 1 + 1 x ) ⟹ u ′ = − 1 x ( x + 1 ) v ′ = 1 ⟹ v = x ) ליניאריות האינטגרל המסויים + lim ε → 0 + ( x ln ( 1 + 1 x ) ∣ ε 1 + ∫ ε 1 1 x + 1 d x − ∫ ε 1 1 1 + x d x ) = lim ε → 0 + ( x ln ( 1 + 1 x ) ∣ ε 1 ) = lim ε → 0 + ( ln 2 − ε ln ( 1 + 1 ε ) ) = ↓ חשבון גבולות ln 2 − 0 = ln 2 \begin{align*}
\int_{0}^1& \left( \ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)-\frac{1}{1+x} \right)dx=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{\epsilon}^1 \left( \ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)-\frac{1}{1+x} \right)dx \\
&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{אינטגרציה בחלקים}} \\
\begin{pmatrix}
u=\ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)\implies u'=-\frac{1}{x(x+1)} \\
v'=1\implies v=x
\end{pmatrix} \\
\R{\text{ ליניאריות האינטגרל המסויים}}+
\end{matrix}}{=}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \left( \left.x\ln\left( 1+\frac{1}{x} \right) \right\vert_{\epsilon}^1 +\int_{\epsilon}^1 \frac{1}{x+1}dx-\int_{\epsilon}^1 \frac{1}{1+x}dx \right) \\
&=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \left( \left.x\ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)\right\vert_{\epsilon}^1 \right)=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \left( \ln2-\epsilon\ln\left( 1+\frac{1}{\epsilon} \right) \right) \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חשבון גבולות}}
\end{matrix}}{=}\ln2-0=\ln2
\end{align*} 0 ∫ 1 ( ln ( 1 + x 1 ) − 1 + x 1 ) d x = ε → 0 + lim ε ∫ 1 ( ln ( 1 + x 1 ) − 1 + x 1 ) d x ↓ אינטגרציה בחלקים ( u = ln ( 1 + x 1 ) ⟹ u ′ = − x ( x + 1 ) 1 v ′ = 1 ⟹ v = x ) ליניאריות האינטגרל המסויים + = ε → 0 + lim x ln ( 1 + x 1 ) ε 1 + ε ∫ 1 x + 1 1 d x − ε ∫ 1 1 + x 1 d x = ε → 0 + lim ( x ln ( 1 + x 1 ) ε 1 ) = ε → 0 + lim ( ln 2 − ε ln ( 1 + ε 1 ) ) ↓ חשבון גבולות = ln 2 − 0 = ln 2
הפיתוח פה אינו נכון אבל האינטגרל בהחלט קיים ומתכנס.ln ( 1 + 1 e ) 1 ε \frac{\ln\left( 1+\frac{1}{e} \right)}{\frac{1}{\epsilon}} ε 1 l n ( 1 + e 1 ) ∞ \infty ∞ ∞ \infty ∞
האינטגרל מתכנס לגבול סופי ולכן ∫ 0 1 ( ln ( 1 + 1 x ) − 1 1 + x ) d x \displaystyle \int_{0}^1 \left( \ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)-\frac{1}{1+x} \right)dx 0 ∫ 1 ( ln ( 1 + x 1 ) − 1 + x 1 ) d x
אינטגרל (4):
∫ 0 ∞ sin x d x = lim M → ∞ ∫ 0 M sin x d x = lim M → ∞ − cos x ∣ 0 M = ↓ חשבון גבולות − lim M → ∞ ( cos M − 1 ) = ↓ חשבון גבולות − lim M → ∞ cos M + 1 \begin{align*}
\int_{0}^\infty \sin xdx &=\lim_{ M \to \infty } \int_{0}^M \sin xdx=\left.\lim_{ M \to \infty } -\cos x \right\vert_{0}^M \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חשבון גבולות}}
\end{matrix}}{=}-\lim_{ M \to \infty } (\cos M-1) \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חשבון גבולות}}
\end{matrix}}{=}-\lim_{ M \to \infty } \cos M+1
\end{align*} 0 ∫ ∞ sin x d x = M → ∞ lim 0 ∫ M sin x d x = M → ∞ lim − cos x 0 M ↓ חשבון גבולות = − M → ∞ lim ( cos M − 1 ) ↓ חשבון גבולות = − M → ∞ lim cos M + 1 הפונקציה cos M \cos M cos M M → ∞ M\to \infty M → ∞ ∫ 0 ∞ sin x d x \displaystyle \int_{0}^\infty \sin x\,dx 0 ∫ ∞ sin x d x
לכל אינטגרל יש לבדוק האם הוא מתכנס לגבול סופי או לא.
1. ∫ 2 ∞ d x ln x 2. ∫ − ∞ 0 e x sin x d x 3. ∫ 1 ∞ ( 1 x − 1 x + 3 ) d x 4. ∫ 1 ∞ d x x x 2 − 1 \begin{align*}
1. & \int_{2}^\infty \frac{dx}{\ln x} \\
2. & \int_{-\infty}^0 e^x\sin x\,dx \\
3. & \int_{1}^\infty\left( \frac{1}{\sqrt{ x }}-\frac{1}{\sqrt{ x+3 }} \right)dx \\
4. & \int_{1}^\infty \frac{dx}{x\sqrt{ x^2-1 }}
\end{align*} 1. 2. 3. 4. 2 ∫ ∞ ln x d x − ∞ ∫ 0 e x sin x d x 1 ∫ ∞ ( x 1 − x + 3 1 ) d x 1 ∫ ∞ x x 2 − 1 d x אינטגרל (1): ln x < x \ln x<x ln x < x x > 0 x>0 x > 0 x ∈ [ 2 , ∞ ) x \in [2,\infty) x ∈ [ 2 , ∞ ) 1 ln x > 1 x \frac{1}{\ln x}> \frac{1}{x} l n x 1 > x 1 x > 2 x>2 x > 2 1 ln x , 1 x > 0 \frac{1}{\ln x}, \frac{1}{x}> 0 l n x 1 , x 1 > 0 ∫ 1 ∞ 1 x α d x \displaystyle \int_{1}^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx 1 ∫ ∞ x α 1 d x α > 1 ⟺ \alpha>1 \iff α > 1 ⟺ ∫ 1 ∞ 1 x d x \displaystyle \int_{1}^\infty \frac{1}{x}dx 1 ∫ ∞ x 1 d x ∫ 2 ∞ 1 x d x \displaystyle \int_{2}^\infty \frac{1}{x}dx 2 ∫ ∞ x 1 d x x → ∞ x\to \infty x → ∞ [ 2 , ∞ ) [2,\infty) [ 2 , ∞ ) ∫ 2 ∞ d x ln x \displaystyle \int_{2}^\infty \frac{dx}{\ln x} 2 ∫ ∞ ln x d x
אינטגרל (2): g ( x ) = sin x g(x)=\sin x g ( x ) = sin x f ( x ) = e x f(x)=e^x f ( x ) = e x f f f lim x → − ∞ f ( x ) = 0 \lim_{ x \to -\infty }f(x)=0 lim x → − ∞ f ( x ) = 0 g g g R \mathbb{R} R N L NL N L
G ( x ) = ∫ x 0 g ( t ) d t = − cos t ∣ x 0 = − cos 0 + cos x = cos x − 1 G(x)=\int_{x}^0 g(t)dt=\left. \begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix} -\cos t \right\vert_{x}^0 =-\cos 0+\cos x =\cos x -1 G ( x ) = x ∫ 0 g ( t ) d t = − cos t x 0 = − cos 0 + cos x = cos x − 1 הפונקציה G ( x ) G(x) G ( x ) − 2 -2 − 2 1 1 1 ∫ − ∞ 0 e x sin x d x \displaystyle \int_{-\infty}^0 e^x\sin xdx − ∞ ∫ 0 e x sin x d x
אינטגרל (3):
∫ 1 ∞ ( 1 x − 1 x + 3 ) d x = ↓ ליניאריות ∫ 1 ∞ 1 x d x − ∫ 1 ∞ 1 x + 3 d x = lim M → ∞ ( ∫ 1 M 1 x d x − ∫ 1 ∞ 1 x + 3 d x ) = lim M → ∞ ( 2 ∫ 1 M 1 2 x d x − 2 ∫ 1 ∞ 1 2 x + 3 d x ) = ↓ N L lim M → ∞ ( 2 x ∣ 1 M − 2 x + 3 ∣ 1 M ) = lim M → ∞ ( 2 M − 2 − 2 M + 3 + 4 ) = lim M → ∞ 2 ( M − M + 3 + 1 ) = ↓ חשבון גבולות 2 lim M → ∞ ( M − M + 3 ) + 1 = 2 lim M → ∞ ( M − M + 3 ) ( M + M + 3 ) M + M + 3 = lim M → ∞ M − M − 3 M + M + 3 = − 3 lim M → ∞ 1 M + M + 3 = ↓ M ⟶ M → ∞ ∞ M + 3 ⟶ M → ∞ ∞ − 3 ⋅ 0 = 0 \begin{align*}
\int_{1}^\infty \left( \frac{1}{\sqrt{ x }}-\frac{1}{\sqrt{ x+3 }} \right)dx& \!\!\!\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{ליניאריות}}
\end{matrix}}{=}\!\!\int_{1}^\infty \frac{1}{\sqrt{ x }}dx-\int_{1}^\infty \frac{1}{\sqrt{ x+3 }}dx=\lim_{ M \to \infty } \left( \int_{1}^M \frac{1}{\sqrt{ x }}dx-\int_{1}^\infty \frac{1}{\sqrt{ x+3 }}dx \right) \\
& =\lim_{ M \to \infty } \left( 2\int_{1}^M \frac{1}{2\sqrt{ x }}dx-2\int_{1}^\infty \frac{1}{2\sqrt{ x+3 }}dx \right)\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
NL
\end{matrix}}{=}\lim_{ M \to \infty } \left(2\left.\begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix}\sqrt{ x }\right\vert_{1}^M-2\left.\begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix}\sqrt{ x+3 }\right\vert_{1}^M\right) \\
&=\lim_{ M \to \infty } (2\sqrt{ M }-2-2\sqrt{ M+3 }+4)=\lim_{ M \to \infty } 2(\sqrt{ M }-\sqrt{ M+3 }+1) \\
&\!\!\!\!\!\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חשבון גבולות}}
\end{matrix}}{=}\!\!\!\!\!\!\!\!2\!\!\!\lim_{ M \to \infty } (\sqrt{ M }-\sqrt{ M+3 })+1=2\lim_{ M \to \infty } \frac{(\sqrt{ M }-\sqrt{ M+3 })(\sqrt{ M }+\sqrt{ M+3 })}{\sqrt{ M }+\sqrt{ M+3 }} \\
&=\lim_{ M \to \infty } \frac{M-M-3}{\sqrt{ M }+\sqrt{ M+3 }}=-3\lim_{ M \to \infty } \frac{1}{\sqrt{ M }+\sqrt{ M+3 }} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\sqrt{ M }\underset{M\to \infty}{\longrightarrow} \infty \\
\sqrt{ M+3 }\underset{M\to \infty}{\longrightarrow} \infty
\end{matrix}}{=} -3\cdot 0=0
\end{align*} 1 ∫ ∞ ( x 1 − x + 3 1 ) d x ↓ ליניאריות = 1 ∫ ∞ x 1 d x − 1 ∫ ∞ x + 3 1 d x = M → ∞ lim 1 ∫ M x 1 d x − 1 ∫ ∞ x + 3 1 d x = M → ∞ lim 2 1 ∫ M 2 x 1 d x − 2 1 ∫ ∞ 2 x + 3 1 d x ↓ N L = M → ∞ lim ( 2 x 1 M − 2 x + 3 1 M ) = M → ∞ lim ( 2 M − 2 − 2 M + 3 + 4 ) = M → ∞ lim 2 ( M − M + 3 + 1 ) ↓ חשבון גבולות = 2 M → ∞ lim ( M − M + 3 ) + 1 = 2 M → ∞ lim M + M + 3 ( M − M + 3 ) ( M + M + 3 ) = M → ∞ lim M + M + 3 M − M − 3 = − 3 M → ∞ lim M + M + 3 1 ↓ M M → ∞ ⟶ ∞ M + 3 M → ∞ ⟶ ∞ = − 3 ⋅ 0 = 0 לכן, האינטגרל המוכלל מתכנס!
אינטגרל (4):
∫ 1 ∞ d x x x 2 − 1 = lim M → ∞ ∫ 1 M d x x x 2 − 1 = ↓ שיטת ההצבה ( t = x 2 − 1 d t = x x 2 − 1 d x = x t d x d x = t x d t ′ ) lim M → ∞ ∫ 1 M 1 t x t x d t = ↓ t 2 = x 2 − 1 x 2 = t 2 + 1 lim M → ∞ ∫ 1 M 1 t 2 + 1 d t = lim M → ∞ arctan t ∣ 1 M = lim M → ∞ ( arctan M − arctan 1 ) = π 2 − c \begin{align*}
\int_{1}^\infty \frac{dx}{x\sqrt{ x^2-1 }}&= \lim_{ M \to \infty } \int_{1}^M \frac{dx}{x\sqrt{ x^2-1 }} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{שיטת ההצבה}} \\
\begin{pmatrix}
t=\sqrt{ x^2-1 } \\
dt=\frac{x}{\sqrt{ x^2-1 }}dx=\frac{x}{t}dx \\
dx=\frac{t}{x}dt'
\end{pmatrix}
\end{matrix}}{=} \lim_{ M \to \infty } \int_{1}^M \frac{1}{tx} \frac{t}{x}dt \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
t^2=x^2-1 \\
x^2=t^2+1
\end{matrix}}{=}\lim_{ M \to \infty } \int_{1}^M \frac{1}{t^2+1}dt \\
&=\left.\lim_{ M \to \infty } \arctan t\right\vert_{1}^M=\lim_{ M \to \infty } (\arctan M-\arctan 1)=\frac{\pi}{2}-c
\end{align*} 1 ∫ ∞ x x 2 − 1 d x = M → ∞ lim 1 ∫ M x x 2 − 1 d x ↓ שיטת ההצבה t = x 2 − 1 d t = x 2 − 1 x d x = t x d x d x = x t d t ′ = M → ∞ lim 1 ∫ M t x 1 x t d t ↓ t 2 = x 2 − 1 x 2 = t 2 + 1 = M → ∞ lim 1 ∫ M t 2 + 1 1 d t = M → ∞ lim arctan t 1 M = M → ∞ lim ( arctan M − arctan 1 ) = 2 π − c זהו מספר ולכן האינטגרל המוכלל מתכנס!
לכל אינטגרל יש לבדוק האם הוא מתכנס לגבול סופי או לא.
1. ∫ 1 ∞ d x x 2 2. ∫ 0 1 d x 1 − ⌊ x ⌋ 3. ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x 3 2 d x 4. ∫ 0 π 2 d x cos x \begin{align*}
1. & \int_{1}^\infty \frac{dx}{x^2} \\
2. & \int_{0}^1 \frac{dx}{1-\lfloor x \rfloor} \\
3. & \int_{0}^1 \frac{\ln(1+x)}{x^{\frac{3}{2}}}dx \\
4. & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\cos x}
\end{align*} 1. 2. 3. 4. 1 ∫ ∞ x 2 d x 0 ∫ 1 1 − ⌊ x ⌋ d x 0 ∫ 1 x 2 3 ln ( 1 + x ) d x 0 ∫ 2 π cos x d x אינטגרל (1):
∫ 1 ∞ d x x 2 = lim M → ∞ ∫ 1 M d x x 2 = lim M → ∞ ∫ 1 M x − 2 d x = lim M → ∞ − 1 x ∣ 1 M = lim M → ∞ ( 1 − 1 M ) = 1 \int_{1}^\infty \frac{dx}{x^2}=\lim_{ M \to \infty } \int_{1}^M \frac{dx}{x^2}=\lim_{ M \to \infty } \int_{1}^M x^{-2}dx=\lim_{ M \to \infty } \left.-\frac{1}{x}\right\vert_{1}^M=\lim_{ M \to \infty } \left( 1-\frac{1}{M} \right)=1 1 ∫ ∞ x 2 d x = M → ∞ lim 1 ∫ M x 2 d x = M → ∞ lim 1 ∫ M x − 2 d x = M → ∞ lim − x 1 1 M = M → ∞ lim ( 1 − M 1 ) = 1 לכן, האינטגרל מתכנס!
אינטגרל (2): [ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) ⌊ x ⌋ \lfloor x\rfloor ⌊ x ⌋ x ∈ [ 0 , 1 ) x \in [0,1) x ∈ [ 0 , 1 )
1 1 − ⌊ x ⌋ = 1 1 = 1 \frac{1}{1-\lfloor x\rfloor}=\frac{1}{1}=1 1 − ⌊ x ⌋ 1 = 1 1 = 1 בנקודה x = 1 x=1 x = 1 ⌊ x ⌋ = 1 \lfloor x\rfloor=1 ⌊ x ⌋ = 1 1 0 \frac{1}{0} 0 1
∫ 0 1 d x 1 − ⌊ x ⌋ = lim ε → 0 + ∫ 0 1 − ε d x 1 − ⌊ x ⌋ = lim ε → 0 + ∫ 0 1 − ε d x = ↓ N L lim ε → 0 + ( 1 − ε ) = 1 \int_{0}^1 \frac{dx}{1-\lfloor x\rfloor}=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{0}^{1-\epsilon} \frac{dx}{1-\lfloor x \rfloor}= \lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{0}^{1-\epsilon}dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
NL
\end{matrix}}{=}\lim_{ \epsilon \to 0^+ } (1-\epsilon)=1 0 ∫ 1 1 − ⌊ x ⌋ d x = ε → 0 + lim 0 ∫ 1 − ε 1 − ⌊ x ⌋ d x = ε → 0 + lim 0 ∫ 1 − ε d x ↓ N L = ε → 0 + lim ( 1 − ε ) = 1 לכן, האינטגרל מתכנס!
אינטגרל (3): 1 x 3 2 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} x 2 3 1
lim x → 0 ln ( 1 + x ) x 3 2 1 x 3 2 = lim x → 0 ln ( 1 + x ) = ln ( 1 ) = 0 \lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{\ln(1+x)}{x^{\frac{3}{2}}}}{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}=\lim_{ x \to 0 } \ln(1+x)= \ln(1)=0 x → 0 lim x 2 3 1 x 2 3 l n ( 1 + x ) = x → 0 lim ln ( 1 + x ) = ln ( 1 ) = 0 מכיוון ש-3 2 > 1 \frac{3}{2}>1 2 3 > 1 1 x 3 2 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} x 2 3 1 ln ( 1 + x ) x 3 2 \frac{\ln(1+x)}{x^{\frac{3}{2}}} x 2 3 l n ( 1 + x ) g ( x ) = x x 3 2 g(x)=\frac{x}{x^{\frac{3}{2}}} g ( x ) = x 2 3 x
lim x → 0 + ln ( 1 + x ) x 3 2 x x 3 2 = lim x → 0 + ln ( 1 + x ) x = ↓ לופיטל lim x → 0 + 1 1 + x 1 = lim x → 0 + 1 1 + x = 1 \lim_{ x \to 0^+ } \frac{\frac{\ln(1+x)}{x^{\frac{3}{2}}}}{\frac{x}{x^{\frac{3}{2}}}}=\lim_{ x \to 0^+ } \frac{\ln(1+x)}{x} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לופיטל}}
\end{matrix}}{=} \lim_{ x \to 0^+ } \frac{\frac{1}{1+x}}{1}=\lim_{ x \to 0^+ } \frac{1}{1+x}=1 x → 0 + lim x 2 3 x x 2 3 l n ( 1 + x ) = x → 0 + lim x ln ( 1 + x ) ↓ לופיטל = x → 0 + lim 1 1 + x 1 = x → 0 + lim 1 + x 1 = 1 נבדוק כעת האם g ( x ) g(x) g ( x )
g ( x ) = x x 3 2 = x x x = 1 x 1 2 g(x)=\frac{x}{x^{\frac{3}{2}}}=\frac{x}{x\sqrt{ x }}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} g ( x ) = x 2 3 x = x x x = x 2 1 1 לפי משפט, g ( x ) g(x) g ( x ) [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
אינטגרל (4):
חשבו את האינטגרלים הבאים:
1. ∫ 1 ∞ 61 x 66 d x 2. ∫ 0 ∞ 55 x e − x d x 3. ∫ 0 ∞ 20 x 2 e − x d x \begin{align*}
1. & \int_{1}^\infty \frac{61}{x^{66}}dx \\
2. & \int_{0}^\infty 55xe^{-x}dx \\
3. & \int_{0}^\infty 20x^2e^{-x}dx
\end{align*} 1. 2. 3. 1 ∫ ∞ x 66 61 d x 0 ∫ ∞ 55 x e − x d x 0 ∫ ∞ 20 x 2 e − x d x אינטגרל (1):
∫ 1 ∞ 61 x 66 d x = lim M → ∞ 61 ∫ 1 M 1 x 66 d x = 61 lim M → ∞ x − 65 − 65 ∣ 1 M = − 61 65 lim M → ∞ 1 x 65 ∣ 1 M = − 61 65 lim M → ∞ ( 1 M 65 − 1 ) = 61 65 \begin{align*}
\int_{1}^\infty \frac{61}{x^{66}}dx&=\lim_{ M \to \infty }61\int_{1}^M \frac{1}{x^{66}}dx=61\lim_{ M \to \infty } \left. \frac{x^{-65}}{-65} \right\vert_{1}^M=\left.-\frac{61}{65}\lim_{ M \to \infty } \frac{1}{x^{65}} \right\vert_{1}^M=-\frac{61}{65}\lim_{ M \to \infty } \left( \frac{1}{M^{65}}-1 \right)=\frac{61}{65}
\end{align*} 1 ∫ ∞ x 66 61 d x = M → ∞ lim 61 1 ∫ M x 66 1 d x = 61 M → ∞ lim − 65 x − 65 1 M = − 65 61 M → ∞ lim x 65 1 1 M = − 65 61 M → ∞ lim ( M 65 1 − 1 ) = 65 61 אינטגרל (2):
∫ 0 ∞ 55 x e − x d x = lim M → ∞ 55 ∫ 0 M x e − x d x = ↓ אינטגרציה בחלקים ( u = x ⟹ u ′ = 1 v ′ = e − x ⟹ v = − e − x ) 55 lim M → ∞ ( − x e − x ∣ 0 M + ∫ 0 M e − x d x ) = 55 lim M → ∞ ( − e − x ∣ 0 M − x e − x ∣ 0 M ) = 55 lim M → ∞ ( − e − M + e 0 − M e − M + 0 e 0 ) = − 55 lim M → ∞ ( e − M ( 1 + M ) − 1 ) = − 55 lim M → ∞ 1 + M e M + 55 = ↓ לופיטל 55 − 55 lim M → ∞ 1 e M = 55 − 55 ⋅ 0 = 55 \begin{align*}
\int_{0}^\infty 55xe^{-x}dx&=\lim_{ M \to \infty } 55\int_{0}^M xe^{-x}dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{אינטגרציה בחלקים}} \\
\begin{pmatrix}
u=x\implies u'=1 \\
v'=e^{-x}\implies v=-e^{-x}
\end{pmatrix}
\end{matrix}}{=} 55\lim_{ M \to \infty } \left( \left. \begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix} -xe^{-x} \right\vert_{0}^M+\int_{0}^M e^{-x}dx \right) \\
&=55\lim_{ M \to \infty } \left(\left. \begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix}-e^{-x}\right\vert_{0}^M-\left.\begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix}xe^{-x} \right\vert_{0}^M\right)=55\lim_{ M \to \infty } (-e^{-M}+e^0-Me^{-M}+0e^0) \\
&=-55\lim_{ M \to \infty } (e^{-M}(1+M)-1)=-55\lim_{ M \to \infty } \frac{1+M}{e^M}+55\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לופיטל}}
\end{matrix}}{=} 55-55\lim_{ M \to \infty } \frac{1}{e^M} \\
&=55-55\cdot 0=55
\end{align*} 0 ∫ ∞ 55 x e − x d x = M → ∞ lim 55 0 ∫ M x e − x d x ↓ אינטגרציה בחלקים ( u = x ⟹ u ′ = 1 v ′ = e − x ⟹ v = − e − x ) = 55 M → ∞ lim − x e − x 0 M + 0 ∫ M e − x d x = 55 M → ∞ lim ( − e − x 0 M − x e − x 0 M ) = 55 M → ∞ lim ( − e − M + e 0 − M e − M + 0 e 0 ) = − 55 M → ∞ lim ( e − M ( 1 + M ) − 1 ) = − 55 M → ∞ lim e M 1 + M + 55 ↓ לופיטל = 55 − 55 M → ∞ lim e M 1 = 55 − 55 ⋅ 0 = 55 אינטגרל (3):
∫ 0 ∞ 20 x 2 e − x d x = 20 lim M → ∞ ∫ 0 M x 2 e − x d x = ↓ אינטגרציה בחלקים ( u = x 2 ⟹ u ′ = 2 x v ′ = e − x ⟹ v = − e − x ) 20 lim M → ∞ ( − x 2 e − x ∣ 0 M + 2 ∫ 0 M x e − x d x ) = 20 lim M → ∞ ( − M 2 e M + 2 ∫ 0 M x e − x d x ) = ↓ מסעיף קודם 20 lim M → ∞ ( − M 2 e M − 2 ( e − M ( 1 + M ) − 1 ) ) = 20 lim M → ∞ ( − M 2 e M − 2 1 + M e M + 2 ) = 40 − 20 lim M → ∞ ( M 2 − 2 − 2 M e M ) = ↓ לופיטל = 40 − 20 lim M → ∞ 2 M − 2 e M = ↓ לופיטל 40 − 20 lim M → ∞ 2 e M = 40 − 40 lim M → ∞ 1 e M = 40 − 40 ⋅ 0 = 40 \begin{align*}
\int_{0}^\infty 20x^2e^{-x}dx &=20\lim_{ M \to \infty } \int_{0}^M x^2e^{-x}dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{אינטגרציה בחלקים}} \\
\begin{pmatrix}
u=x^2\implies u'=2x \\
v'=e^{-x}\implies v=-e^{-x}
\end{pmatrix}
\end{matrix}}{=} 20\lim_{ M \to \infty } \left( \left.\begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix}-x^2e^{-x}\right\vert_{0}^M+2\int_{0}^M xe^{-x}dx \right) \\
&=20\lim_{ M \to \infty } \left( -\frac{M^2}{e^M}+2\int_{0}^M xe^{-x}dx \right) \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{מסעיף קודם}}
\end{matrix}}{=}20\lim_{ M \to \infty } \left( -\frac{M^2}{e^M}-2(e^{-M}(1+M)-1) \right) \\
&=20\lim_{ M \to \infty } \left( -\frac{M^2}{e^M}-2 \frac{1+M}{e^M}+2 \right)=40-20\lim_{ M \to \infty } \left( \frac{M^2-2-2M}{e^M} \right) \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לופיטל}}
\end{matrix}}{=} \\
&=40-20\lim_{ M \to \infty } \frac{2M-2}{e^M} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לופיטל}}
\end{matrix}}{=}40-20\lim_{ M \to \infty } \frac{2}{e^M}=40-40\lim_{ M \to \infty } \frac{1}{e^M}=40-40\cdot 0=40
\end{align*} 0 ∫ ∞ 20 x 2 e − x d x = 20 M → ∞ lim 0 ∫ M x 2 e − x d x ↓ אינטגרציה בחלקים ( u = x 2 ⟹ u ′ = 2 x v ′ = e − x ⟹ v = − e − x ) = 20 M → ∞ lim − x 2 e − x 0 M + 2 0 ∫ M x e − x d x = 20 M → ∞ lim − e M M 2 + 2 0 ∫ M x e − x d x ↓ מסעיף קודם = 20 M → ∞ lim ( − e M M 2 − 2 ( e − M ( 1 + M ) − 1 ) ) = 20 M → ∞ lim ( − e M M 2 − 2 e M 1 + M + 2 ) = 40 − 20 M → ∞ lim ( e M M 2 − 2 − 2 M ) ↓ לופיטל = = 40 − 20 M → ∞ lim e M 2 M − 2 ↓ לופיטל = 40 − 20 M → ∞ lim e M 2 = 40 − 40 M → ∞ lim e M 1 = 40 − 40 ⋅ 0 = 40
חשבו את האינטגרלים הבאים:
1. ∫ 0 8 ln 2 x d x 2. ∫ 1 2 1 d x 1 − x 2 \begin{align*}
1. & \int_{0}^8 \ln^2x\,dx \\
2. & \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{dx}{\sqrt{ 1-x^2 }}
\end{align*} 1. 2. 0 ∫ 8 ln 2 x d x 2 1 ∫ 1 1 − x 2 d x אינטגרל (1):
∫ ln x d x = ↓ אינטגרציה בחלקים ( u = ln x ⟹ u ′ = 1 x v ′ = 1 ⟹ v = x ) x ln x − ∫ x x d x = x ln x − x + c = x ( ln x − 1 ) + c \int \ln x\,dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{אינטגרציה בחלקים}} \\
\begin{pmatrix}
u=\ln x\implies u'=\frac{1}{x} \\
v'=1\implies v=x
\end{pmatrix}
\end{matrix}}{=}x\ln x-\int \frac{x}{x}dx=x\ln x-x+c=x(\ln x-1)+c ∫ ln x d x ↓ אינטגרציה בחלקים ( u = ln x ⟹ u ′ = x 1 v ′ = 1 ⟹ v = x ) = x ln x − ∫ x x d x = x ln x − x + c = x ( ln x − 1 ) + c ∫ 0 8 ln 2 x d x = lim ε → 0 + ∫ ε 8 ln 2 x d x = ↓ אינטגרציה בחלקים ( u = ln x ⟹ u ′ = 1 x v ′ = ln x ⟹ v = x ( ln x − 1 ) ) lim ε → 0 + ( x ln x ( ln x − 1 ) ∣ ε 8 − ∫ ε 8 ( ln x − 1 ) d x ) = lim ε → 0 + ( 8 ln 8 ( ln 8 − 1 ) − ε ln ε ( ln ε − 1 ) − [ x ( ln x − 1 ) − x ] ∣ ε 8 ) = lim ε → 0 + ( 8 ln 8 ( ln 8 − 1 ) − ε ln ε ( ln ε − 1 ) − ( 8 ( ln 8 − 1 ) − 8 − ε ( ln ε − 1 ) + ε ) ) = lim ε → 0 + ( 8 ( ln 8 − 1 ) 2 + ε ( ln ε − 1 ) ( 1 − ln ε ) + 8 − ε ) = 8 − 0 + 8 ( ln 8 − 1 ) 2 − lim ε → 0 + ε ( ln ε − 1 ) 2 = 17.2155234 − lim ε → 0 + ( ln ε − 1 ) 2 1 ε = ↓ לופיטל 17.2155234 − lim ε → 0 + 2 ( ln ε − 1 ) ε − 1 ε 2 = 17.2155234 + lim ε → 0 + 2 ε ( ln ε − 1 ) = 17.2155234 + 2 lim ε → 0 + ln ε − 1 1 ε = ↓ לופיטל 17.2155234 − 2 lim ε → 0 + 1 ε 1 ε 2 = 17.2155234 − 2 lim ε → 0 + ε = 17.3215524 \begin{align*}
\int_{0}^8 \ln^2x\,dx&=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{\epsilon}^8 \ln^2x\,dx \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{אינטגרציה בחלקים}} \\
\begin{pmatrix}
u=\ln x\implies u'=\frac{1}{x} \\
v'=\ln x\implies v=x(\ln x-1)
\end{pmatrix}
\end{matrix}}{=} \lim_{ \epsilon \to 0^+ } \left(\left.\begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix}x\ln x\left( \ln x-1\right)\right\vert_{\epsilon}^8-\int_{\epsilon}^8 (\ln x-1)dx \right) \\
&=\lim_{ \epsilon\to 0^+ } \left(8\ln8(\ln 8-1)-\epsilon \ln\epsilon(\ln\epsilon-1)-\left.\begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix} [x(\ln x-1)-x] \right\vert_{\epsilon}^8\right) \\
&=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } (8\ln8(\ln8-1)-\epsilon \ln\epsilon(\ln\epsilon-1)-(8(\ln 8-1)-8-\epsilon(\ln\epsilon-1)+\epsilon)) \\
&=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } (8(\ln8-1)^2+\epsilon(\ln\epsilon-1)(1-\ln\epsilon)+8-\epsilon)=8-0+8(\ln 8-1)^2-\lim_{ \epsilon \to 0^+ }\epsilon(\ln\epsilon-1)^2 \\
&=17.2155234-\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \frac{(\ln \epsilon-1)^2}{\frac{1}{\epsilon}} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לופיטל}}
\end{matrix}}{=}17.2155234-\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \frac{\frac{2(\ln\epsilon-1)}{\epsilon}}{-\frac{1}{\epsilon^2}}=17.2155234+\lim_{ \epsilon \to 0^+ } 2\epsilon(\ln\epsilon-1) \\
&=17.2155234+2\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \frac{\ln\epsilon-1}{\frac{1}{\epsilon}} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לופיטל}}
\end{matrix}}{=}17.2155234-2\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \frac{\frac{1}{\epsilon}}{\frac{1}{\epsilon^2}}=17.2155234-2\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \epsilon=17.3215524
\end{align*} 0 ∫ 8 ln 2 x d x = ε → 0 + lim ε ∫ 8 ln 2 x d x ↓ אינטגרציה בחלקים ( u = ln x ⟹ u ′ = x 1 v ′ = ln x ⟹ v = x ( ln x − 1 ) ) = ε → 0 + lim x ln x ( ln x − 1 ) ε 8 − ε ∫ 8 ( ln x − 1 ) d x = ε → 0 + lim ( 8 ln 8 ( ln 8 − 1 ) − ε ln ε ( ln ε − 1 ) − [ x ( ln x − 1 ) − x ] ε 8 ) = ε → 0 + lim ( 8 ln 8 ( ln 8 − 1 ) − ε ln ε ( ln ε − 1 ) − ( 8 ( ln 8 − 1 ) − 8 − ε ( ln ε − 1 ) + ε )) = ε → 0 + lim ( 8 ( ln 8 − 1 ) 2 + ε ( ln ε − 1 ) ( 1 − ln ε ) + 8 − ε ) = 8 − 0 + 8 ( ln 8 − 1 ) 2 − ε → 0 + lim ε ( ln ε − 1 ) 2 = 17.2155234 − ε → 0 + lim ε 1 ( ln ε − 1 ) 2 ↓ לופיטל = 17.2155234 − ε → 0 + lim − ε 2 1 ε 2 ( l n ε − 1 ) = 17.2155234 + ε → 0 + lim 2 ε ( ln ε − 1 ) = 17.2155234 + 2 ε → 0 + lim ε 1 ln ε − 1 ↓ לופיטל = 17.2155234 − 2 ε → 0 + lim ε 2 1 ε 1 = 17.2155234 − 2 ε → 0 + lim ε = 17.3215524 אינטגרל (2):
∫ 1 2 1 d x 1 − x 2 = lim ε → 0 + ∫ 1 2 1 − ε d x 1 − x 2 = ↓ N L lim ε → 0 + ( arcsin ( 1 − ε ) − arcsin 1 2 ) = − 1 6 π + lim ε → 0 + arcsin ( 1 − ε ) = 1 3 π \begin{align*}
\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{dx}{\sqrt{ 1-x^2 }} =\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{\frac{1}{2}}^{1-\epsilon} \frac{dx}{\sqrt{ 1-x^2 }} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
NL
\end{matrix}}{=} \lim_{ \epsilon \to 0^+ } \left(\arcsin( 1-\epsilon)-\arcsin \frac{1}{2} \right)=-\frac{1}{6}\pi+\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \arcsin(1-\epsilon)=\frac{1}{3}\pi
\end{align*} 2 1 ∫ 1 1 − x 2 d x = ε → 0 + lim 2 1 ∫ 1 − ε 1 − x 2 d x ↓ N L = ε → 0 + lim ( arcsin ( 1 − ε ) − arcsin 2 1 ) = − 6 1 π + ε → 0 + lim arcsin ( 1 − ε ) = 3 1 π
האינטגרל ∫ 0 ∞ ln ( 1 + x 2 ) d x x α \displaystyle \int_{0}^\infty \frac{\ln(1+x^2)dx}{x^\alpha} 0 ∫ ∞ x α ln ( 1 + x 2 ) d x α > 2 \alpha>2 α > 2 α < 2 \alpha<2 α < 2 α > 1 \alpha>1 α > 1 α < 1 \alpha<1 α < 1 1 < α < 3 1<\alpha<3 1 < α < 3 1 < α < 2 1<\alpha<2 1 < α < 2 − 3 < α < 1 -3<\alpha<1 − 3 < α < 1 α > 3 ∨ α < 1 \alpha>3 \lor \alpha<1 α > 3 ∨ α < 1
באינטגרל הזה יש שתי מקומות בהן הוא מוכלל. כאשר x → 0 x\to 0 x → 0 ∞ \infty ∞ x → ∞ x\to \infty x → ∞
∫ 0 ∞ ln ( 1 + x 2 ) x α d x = ∫ 0 1 ln ( 1 + x 2 ) x α d x + ∫ 1 ∞ ln ( 1 + x 2 ) x α d x \begin{align*}
\int_{0}^\infty \frac{\ln(1+x^2)}{x^\alpha}dx &=\int_{0}^1 \frac{\ln(1+x^2)}{x^\alpha}dx+\int_{1}^\infty \frac{\ln(1+x^2)}{x^\alpha}dx
\end{align*} 0 ∫ ∞ x α ln ( 1 + x 2 ) d x = 0 ∫ 1 x α ln ( 1 + x 2 ) d x + 1 ∫ ∞ x α ln ( 1 + x 2 ) d x נשתמש במבחן ההשוואה הגבולי עם הפונקציה: g ( x ) = x 2 x α g(x)=\frac{x^2}{x^\alpha} g ( x ) = x α x 2
lim x → 0 + ln ( 1 + x 2 ) x α x 2 x α = lim x → 0 + ln ( 1 + x 2 ) x 2 = ↓ לופיטל lim x → 0 + 2 x 1 + x 2 2 x = lim x → 0 + 1 1 + x 2 = 1 \lim_{ x \to 0^+ } \frac{\frac{\ln(1+x^2)}{x^\alpha}}{\frac{x^2}{x^\alpha}}=\lim_{ x \to 0^+ } \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לופיטל}}
\end{matrix}}{=}\lim_{ x \to 0^+ } \frac{\frac{2x}{1+x^2}}{2x}=\lim_{ x \to 0^+ } \frac{1}{1+x^2}= 1 x → 0 + lim x α x 2 x α l n ( 1 + x 2 ) = x → 0 + lim x 2 ln ( 1 + x 2 ) ↓ לופיטל = x → 0 + lim 2 x 1 + x 2 2 x = x → 0 + lim 1 + x 2 1 = 1 אזי, לפי מבחן ההשוואה הגבולי האינטגרל \displaystyle \int_{0}^1 \frac{\ln(1+x^2)}{x^\alpha}\end{gather}dx מתכנס ⟺ \iff ⟺ \begin{gather}\int_{0}^1 \frac{x^2}{x^\alpha} מתכנס.∫ 0 1 1 x α − 2 d x \displaystyle \int_{0}^1 \frac{1}{x^{\alpha-2}}dx 0 ∫ 1 x α − 2 1 d x α − 2 < 1 ⟺ \alpha-2<1 \iff α − 2 < 1 ⟺ α < 3 ⟺ \alpha<3 \iff α < 3 ⟺ α ≤ 1 \alpha \leq 1 α ≤ 1 x ≥ 2 x\geq 2 x ≥ 2
ln ( 1 + x 2 ) x α > 1 x α \frac{\ln(1+x^2)}{x^\alpha}> \frac{1}{x^\alpha} x α ln ( 1 + x 2 ) > x α 1 לפי משפט ∫ 1 ∞ 1 x α \displaystyle \int_{1}^\infty \frac{1}{x^\alpha} 1 ∫ ∞ x α 1 α > 1 \alpha> 1 α > 1 α ≤ 1 \alpha\leq 1 α ≤ 1 ∫ 1 ∞ ln ( 1 + x 2 ) x α d x \displaystyle \int_{1}^\infty \frac{\ln(1+x^2)}{x^\alpha}dx 1 ∫ ∞ x α ln ( 1 + x 2 ) d x α > 1 \alpha>1 α > 1 1 < p < α 1<p<\alpha 1 < p < α h ( x ) = 1 x p h(x)=\frac{1}{x^p} h ( x ) = x p 1
lim x → ∞ ln ( 1 + x 2 ) x α 1 x p = lim x → ∞ ln ( 1 + x 2 ) x α − p = ↓ לופיטל lim x → ∞ 2 x 1 + x 2 ( α − p ) x α − p − 1 = lim x → ∞ 2 x ( α − p ) ( 1 + x 2 ) x α − p − 1 \lim_{ x \to \infty } \frac{\frac{\ln(1+x^2)}{x^\alpha}}{\frac{1}{x^p}}=\lim_{ x \to \infty } \frac{\ln(1+x^2)}{x^{\alpha-p}} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לופיטל}}
\end{matrix}}{=}\lim_{ x \to \infty } \frac{\frac{2x}{1+x^2}}{(\alpha-p)x^{\alpha-p-1}}=\lim_{ x \to \infty } \frac{2x}{(\alpha-p)(1+x^2)x^{\alpha-p-1}} x → ∞ lim x p 1 x α l n ( 1 + x 2 ) = x → ∞ lim x α − p ln ( 1 + x 2 ) ↓ לופיטל = x → ∞ lim ( α − p ) x α − p − 1 1 + x 2 2 x = x → ∞ lim ( α − p ) ( 1 + x 2 ) x α − p − 1 2 x
אין המשך לסעיף הזה כי כבר ממש לא היה לי כח.1 < α < 3 1<\alpha<3 1 < α < 3
האינטגרל ∫ 1 ∞ d x x p − x \displaystyle \int_{1}^\infty \frac{dx}{x^p-x} 1 ∫ ∞ x p − x d x p < 0 p<0 p < 0 p > 0 p>0 p > 0 p < 1 p<1 p < 1 p > 1 p>1 p > 1 − 1 < p < 0 -1<p<0 − 1 < p < 0 0 < p < 1 0<p<1 0 < p < 1 1 < p < 2 1<p<2 1 < p < 2 p p p
כאאשר x → 1 x\to 1 x → 1 ∞ \infty ∞
∫ 1 ∞ d x x p − x = ∫ 1 2 d x x p − x + ∫ 2 ∞ d x x p − x \int_{1}^\infty \frac{dx}{x^p-x}=\int_{1}^2 \frac{dx}{x^p-x}+\int_{2}^\infty \frac{dx}{x^p-x} 1 ∫ ∞ x p − x d x = 1 ∫ 2 x p − x d x + 2 ∫ ∞ x p − x d x נגדיר g ( x ) = 1 x − 1 g(x)=\frac{1}{x-1} g ( x ) = x − 1 1
lim x → 1 f ( x ) g ( x ) = lim x → 1 1 x p − x 1 x − 1 = lim x → 1 x − 1 x p − x = ↓ לופיטל lim x → 1 1 p x p − 1 − 1 = 1 p − 1 \lim_{ x \to 1 } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{ x \to 1 } \frac{\frac{1}{x^{p}-x}}{\frac{1}{x-1}}=\lim_{ x \to 1 } \frac{x-1}{x^p-x} \underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לופיטל}}
\end{matrix}}{=}\lim_{ x \to 1 } \frac{1}{px^{p-1}-1}= \frac{1}{p-1} x → 1 lim g ( x ) f ( x ) = x → 1 lim x − 1 1 x p − x 1 = x → 1 lim x p − x x − 1 ↓ לופיטל = x → 1 lim p x p − 1 − 1 1 = p − 1 1 זה מספר סופי עבור p ≠ 1 p\neq 1 p = 1
∫ 1 2 1 x − 1 d x = lim ε → 0 + ∫ 1 + ε 2 1 x − 1 = lim ε → 0 + ln ( x − 1 ) ∣ 1 + ε 2 = lim ε → 0 + ( 0 − ln ε ) = − lim ε → 0 + ln ε = ∞ \int_{1}^2 \frac{1}{x-1}dx= \lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{1+\epsilon}^2 \frac{1}{x-1}=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \left.\begin{matrix}
\\ \\
\end{matrix}\ln(x-1)\right\vert_{1+\epsilon}^2=\lim_{ \epsilon \to 0^+ } (0-\ln\epsilon)=-\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \ln \epsilon=\infty 1 ∫ 2 x − 1 1 d x = ε → 0 + lim 1 + ε ∫ 2 x − 1 1 = ε → 0 + lim ln ( x − 1 ) 1 + ε 2 = ε → 0 + lim ( 0 − ln ε ) = − ε → 0 + lim ln ε = ∞ לפי מסקנות ממשפט ההשוואה הגבולי, f f f p ≠ 1 p \neq 1 p = 1 p = 1 p=1 p = 1 1 0 \frac{1}{0} 0 1 לא קיים p p p .
האינטגרל ∫ 0 ∞ x α sin ( 1 x 2 ) d x \displaystyle \int_{0}^\infty x^\alpha \sin\left( \frac{1}{x^2} \right)dx 0 ∫ ∞ x α sin ( x 2 1 ) d x α < 2 \alpha<2 α < 2 α > 2 \alpha>2 α > 2 α < 1 \alpha<1 α < 1 α > 1 \alpha>1 α > 1 − 3 < α < 1 -3<\alpha<1 − 3 < α < 1 1 < α < 2 1<\alpha<2 1 < α < 2 1 < α < 3 1<\alpha<3 1 < α < 3 α > 3 ∨ α < 1 \alpha>3 \lor \alpha<1 α > 3 ∨ α < 1
∫ 0 ∞ x α sin ( 1 x 2 ) d x = ∫ 0 1 x α sin ( 1 x 2 ) d x + ∫ 1 ∞ x α sin ( 1 x 2 ) d x \int_{0}^\infty x^\alpha \sin\left( \frac{1}{x^2} \right)dx=\int_{0}^1 x^\alpha \sin\left( \frac{1}{x^2} \right)dx+\int_{1}^\infty x^\alpha \sin\left( \frac{1}{x^2} \right)dx 0 ∫ ∞ x α sin ( x 2 1 ) d x = 0 ∫ 1 x α sin ( x 2 1 ) d x + 1 ∫ ∞ x α sin ( x 2 1 ) d x המצב הבעייתי כאשר x → 0 x\to 0 x → 0
לא היה לי כח כבר אז ניחשתי שהתשובה היא α < 1 \alpha<1 α < 1