חזור לתיקייה: וובוורקים

וובוורק 2

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • תרגיל 1
  • תרגיל 2
  • תרגיל 3
  • תרגיל 4
  • תרגיל 5
  • תרגיל 6

וובוורק 2

01040032

חשבון אינפיניטסימלי 2מ'

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

וובוורק 2

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

תרגיל 1

תרגיל (1 [א])

תהא f(x)=15+6sin⁡2xf(x)=\frac{1}{5+6\sin^2x}f(x)=5+6sin2x1​. נחשב חסם תחתון ועליון של האינטגרל:

∫619f(x)dx\int_{6}^{19} f(x)dx6∫19​f(x)dx

בעזרת חסמים של הפונקציה f(x)f(x)f(x).
מצאו את תחום האינטגרציה ואמרו באיזה אורך הוא.

תחום האינטגרציה הינו [6,19][6,19][6,19] שזה קטע באורך 131313 יחידות.

תרגיל (1 [ב])

בתחום האינטגרציה מתקיים:

□≤f(x)≤□\square \leq f(x)\leq \square□≤f(x)≤□

נרצה למצוא את sup⁡{f(x)∣x∈[6,19]}\sup\left\{ f(x)|x \in[6,19] \right\}sup{f(x)∣x∈[6,19]} ואת inf⁡{f(x)∣x∈[6,19]}\inf\left\{ f(x)|x \in[6,19] \right\}inf{f(x)∣x∈[6,19]}. נמצא זאת באמצעות המשפטים: WWW - מכיוון שהפונקציה היא אלמנטרית ולכן רציפה לנוכח כך היא מקבלת מינימום ומקסימום בקטע ומבחן הנגזרת ה-IIIIII בנוסף להסתכלות על ערכי הקצה:

f(6)=15+6sin⁡26=0.18286f(19)=15+6sin⁡219=0.19475f(6)=\frac{1}{5+6\sin^26}=0.18286 \qquad \qquad f(19)=\frac{1}{5+6\sin^219}=0.19475f(6)=5+6sin261​=0.18286f(19)=5+6sin2191​=0.19475

כעת נגזור ונשווה לאפס ואז נגזור פעם נוספת(הפונקציה אלמנטרית ולכן גזירה ומיד נראה כי גם הנגזרת אלמנטרית ולכן גם היא גזירה) ואז נשתמש במבחן הנגזרת ה-IIIIII עבור הנקודות החשודות כקיצון שמצאנו.

f′(x)=−6⋅2sin⁡xcos⁡x(5+6sin⁡2x)2=−6sin⁡2x(5+6sin⁡2x)2f'(x)= \frac{-6\cdot2\sin x\cos x}{(5+6\sin^2x)^2}=-6 \frac{\sin2x}{(5+6\sin^2x)^2}f′(x)=(5+6sin2x)2−6⋅2sinxcosx​=−6(5+6sin2x)2sin2x​

מכיוון שהערך המינימלי של 6sin⁡2x6\sin^2x6sin2x הוא 000 שכן (−1)2=1(-1)^2=1(−1)2=1 ולכן, 6sin⁡2x+5>06\sin^2x+5>06sin2x+5>0 לכל x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R ובפרט לכל x∈[6,19]x \in[6,19]x∈[6,19] לכן:

f′(x)=0  ⟺  sin⁡2x=0  ⟺  2x=πk  ⟺  x=π2kf'(x)=0 \iff \sin2x=0 \iff 2x=\pi k \iff x = \frac{\pi}{2}k f′(x)=0⟺sin2x=0⟺2x=πk⟺x=2π​k

בקטע שאנו מדברים עליו זה מתרחש בנקודות: x=2π,52π,3π,72π,4π,92π,5πx=2\pi, \frac{5}{2}\pi,3\pi, \frac{7}{2}\pi,4\pi, \frac{9}{2}\pi,5\pix=2π,25​π,3π,27​π,4π,29​π,5π - הפונקציה מחזורית עם מחזורים של 2π2\pi2π ולכן, נסתכל רק על 444 הנקודות הראשונות כדי להבחין במהו הערך המקסימלי ומהו הערך המינימלי:

f(2π)=0.2f(52π)=111=0.090909f(3π)=0.2f(72π)=111=0.090909\begin{matrix} f(2\pi)=0.2 & f\left( \frac{5}{2}\pi \right)=\frac{1}{11}=0.090909 & f(3\pi)=0.2 & f\left( \frac{7}{2}\pi \right)=\frac{1}{11}=0.090909 \end{matrix}f(2π)=0.2​f(25​π)=111​=0.090909​f(3π)=0.2​f(27​π)=111​=0.090909​

לכן מתקיים כי:

111≤f(x)≤0.2\frac{1}{11}\leq f(x)\leq 0.2111​≤f(x)≤0.2
תרגיל (1 [ג])

לכן מקבלים את החסמים:

□≤∫619f(x)dx≤□\square\leq \int_{6}^{19} f(x)dx\leq \square□≤6∫19​f(x)dx≤□

כאשר מחשבים אינטגרל של הקבוע המתאים מכל צד.

13⋅111=1311=1.18181813 \cdot \frac{1}{11}=\frac{13}{11}=1.18181813⋅111​=1113​=1.181818 13⋅0.2=2.613 \cdot 0.2=2.613⋅0.2=2.6

ולכן:

1311≤∫619f(x)dx≤2.6\frac{13}{11}\leq \int_{6}^{19}f(x)dx\leq 2.61113​≤6∫19​f(x)dx≤2.6

תרגיל 2

תרגיל (2 [א])

תהא f(x)=xln⁡xf(x)=\frac{x}{\ln x}f(x)=lnxx​. נחשב חסם תחתון ועליון של האינטגרל:

∫ee3f(x)dx\int_{e}^{e^3}f(x)dxe∫e3​f(x)dx

בעזרת חסמים של הפונקציה f(x)f(x)f(x).
מצאו את תחום האינטגרציה ואמרו את אורכו.

תחום האינטגרציה הינו [e,e3][e,e^3][e,e3] ואורכו e3−e=17.3672e^3-e=17.3672e3−e=17.3672

תרגיל (2 [ב])

בתחום האינטגרציה מתקיים:

□≤f(x)≤□\square \leq f(x)\leq \square□≤f(x)≤□

כל ההסברים זהים לאלו שבשאלה 1ב' - לכו לשם אם תרצו הסבר לדרך.

f(e)=eln⁡e=ef(e3)=e3ln⁡e3=13e3f(e)= \frac{e}{\ln e}=e \qquad \qquad f(e^3)=\frac{e^3}{\ln e^3}=\frac{1}{3}e^3f(e)=lnee​=ef(e3)=lne3e3​=31​e3 f′(x)=ln⁡x−1ln⁡2x=0f'(x)= \frac{\ln x-1}{\ln^2x}=0f′(x)=ln2xlnx−1​=0 f′(x)=0  ⟺  ln⁡x−1=0  ⟺  ln⁡x=1  ⟺  x=ef'(x)=0 \iff \ln x-1=0 \iff \ln x=1 \iff x=ef′(x)=0⟺lnx−1=0⟺lnx=1⟺x=e

לכן:

e≤f(x)≤13e3e\leq f(x)\leq \frac{1}{3}e^3e≤f(x)≤31​e3
תרגיל (2 [ג])

לכן מקבלים את החסמים:

□≤∫ee3f(x)dx≤□\square\leq \int_{e}^{e^3} f(x)dx\leq \square□≤e∫e3​f(x)dx≤□

כאשר מחשבים אינטגרל של הקבוע המתאים מכל צד.

(e3−e)⋅e=e4−e2=47.209(e^3-e)\cdot e= e^4-e^2=47.209(e3−e)⋅e=e4−e2=47.209 (e3−e)⋅13e3=13(e6−e4)=116.27688(e^3-e)\cdot \frac{1}{3}e^3=\frac{1}{3}(e^6-e^4)=116.27688(e3−e)⋅31​e3=31​(e6−e4)=116.27688

ולכן:

e4−e2≤∫ee3f(x)dx≤13e3(e3−e)e^4-e^2\leq \int_{e}^{e^3}f(x)dx\leq \frac{1}{3}e^3(e^3-e)e4−e2≤e∫e3​f(x)dx≤31​e3(e3−e)

תרגיל 3

תרגיל (3)

בשאלה זו עליכם לבדוק את הנכונות של מספר טענות על אינטגרלים.

  1. אם ∣f∣|f|∣f∣ אינטגרבילית רימן ב-[a,b][a,b][a,b] אז fff אינטגרבילית רימן ב-[a,b][a,b][a,b].
  2. אם fff מונוטונית ב-[a,b][a,b][a,b] אז היא אינטגרבילית רימן שם.
  3. הפונקציה f(x)={1xx>00x≤0f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{ x }} & x>0\\0 & x\leq 0\end{cases}f(x)={x​1​0​x>0x≤0​ אינטגרבילית רימן ב-[0,1][0,1][0,1].
  4. אם f2f^2f2 אינטגרבילית רימן ב-[a,b][a,b][a,b] אז fff אינטגרבילית רימן שם.
  5. אם fff חסומה ב-[a,b][a,b][a,b] אז היא אינטגרבילית רימן שם.

טענה (1) אינה נכונה.
נקח את הפונקציה f(x)={1x∈Q−1x∉Qf(x)=\begin{cases}1 & x \in \mathbb{Q}\\ -1 & x \not\in \mathbb{Q}\end{cases}f(x)={1−1​x∈Qx∈Q​.
הפונקציה ∣f(x)∣=1|f(x)|=1∣f(x)∣=1 והיא אינטגרבילית בכל קטע [a,b][a,b][a,b] שכן היא פונקציה קבועה בכל R\mathbb{R}R.
נראה כעת כי f(x)f(x)f(x) אינה אינטגרבילית:
בכל קטע ישנם רציונליים ואי-רציולניים ולכן, בכל קטע [a,b][a,b][a,b] ולכן חלוקה PPP מתקיים:

L(P,f)=∑miΔxi=−1∑Δxi=−1(a−b)=(b−a)L(P,f)=\sum m_{i}\Delta x_{i}=-1 \sum \Delta x_{i}= -1(a-b) =(b-a)L(P,f)=∑mi​Δxi​=−1∑Δxi​=−1(a−b)=(b−a) U(P,f)=∑MiΔxi=1∑Δxi=(a−b)U(P,f)=\sum M_{i}\Delta x_{i}=1 \sum \Delta x_{i}=(a-b)U(P,f)=∑Mi​Δxi​=1∑Δxi​=(a−b)

מכיוון ש-a<ba<ba<b אזי מתקיים:

b−a≠a−bb-a \neq a-bb−a=a−b

ולכן, L(P,f)≠U(P,f)L(P,f)\neq U(P,f)L(P,f)=U(P,f) ולכן, לפי הגדרה, fff אינה אינטגרבילית.

טענה (2) נכונה.
הוכחה:
נתון כי fff מונוטונית ב-[a,b][a,b][a,b]. נניח בה"כ מונוטונית עולה.
אזי, לכל x∈(a,b)x \in(a,b)x∈(a,b) מתקיים: f(a)≤f(x)≤f(b)f(a)\leq f(x)\leq f(b)f(a)≤f(x)≤f(b) ולכן, f(a),f(b)f(a),f(b)f(a),f(b) חוסמים את הפונקציה מלמעלה ומלמטה בהתאמה. לכן, fff חסומה בקטע [a,b][a,b][a,b].
לפי משפט, אם fff חסומה ומונוטנית ב-[a,b][a,b][a,b] אזי היא אינטגרבילית ולכן fff אינטגרבילית.
∎

טענה (3) אינה נכונה.
כדי שפונקציה תהיה אינטגרבילית היא צריכה להיות חסומה.
⇐: אם הולכים על פי ההגדרה הפורמלית, אזי fff חייבת להיות חסומה בקטע כדי שהיא תהיה אינטגרבילית.
⇐: אם הולכים לפי ההגדרה השקולה עם סכומי רימן, אז לפי משפט(הערה), אם fff אינטגרבילית אז fff חסומה.

טענה (4) אינה נכונה.
נסתכל על אותה הפונקציה מטענה (1) בדיוק באותה הצורה: f2=1f^2=1f2=1 לכל xxx ולכן היא אינטגרבילית.

טענה (5) אינה נכונה.
שוב פעם עם אותה דוגמה, fff חסומה שכן לכל xxx מתקיים: −1≤f≤1-1\leq f\leq1−1≤f≤1 אך fff אינה אינטגרבילית.

הערה

fff חסומה זה תנאי סף לאינטגרביליות בקטע, אך הוא לבדו לא מבטיח אינטגרביליות.

תרגיל 4

תרגיל

בשאלה זו עליכם לבדוק את הנכונות של מספר טענות על אינטגרלים.

  1. הפונקציה f(x)={n−1nx=1n,n∈N1elsef(x)=\begin{cases} \frac{n-1}{n} & x=\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}\\ 1 & else\end{cases}f(x)={nn−1​1​x=n1​,n∈Nelse​ היא אינטגרבילית רימן בקטע [0,1][0,1][0,1].
  2. אם f(x)f(x)f(x) אינטגרבילית רימן בקטע [a,b][a,b][a,b] ו-f(x)≥0f(x)\geq 0f(x)≥0 לכל x∈[a,b]x \in[a,b]x∈[a,b] ו-f(x)f(x)f(x) לא שווה זהותית לאפס, אזי ∫abf(x)dx>0\int_{a}^b f(x)dx>0a∫b​f(x)dx>0.
  3. אם fff אינטגרבילית ב-[0,1][0,1][0,1] אז fff רציפה ב-[0,1][0,1][0,1].
  4. אם f,gf,gf,g מוגדרות בקטע [a,b][a,b][a,b] ואינן אינטגרביליות רימן בקטע [a,b][a,b][a,b] אזי, גם הפונקציה f+gf+gf+g אינה אינטגרבילית רימן בקטע [a,b][a,b][a,b].

טענה (1) נכון.
אני לא באמת בטוח. (לפי ג'מיני, הרעיון הוא מכיוון רוב הנקודות מצטברות רק סביב x=0x=0x=0 נוכל לכלוא אותן בתוך תת קטע קטן כרצונינו ובקטע הנותר ישאר רק מספר סופי של נקודות אי-רציפות. פונקציה חסומה עם מספר סופי של נקודות אי רציפות היא תמיד אינטגרבילית)

טענה (2) לא נכונה.
נקח פונקציה בעלת נקודה בודדת ששונה מאפס.

f(x)={0x≠121x=12f(x)=\begin{cases} 0 & x\neq \frac{1}{2} \\ 1 & x=\frac{1}{2} \end{cases}f(x)={01​x=21​x=21​​

לפי תכונות האינטגרל המסויים, אם ישנה פונקציה השונה במספר סופי של נקודות מפונקציה אחרת בקטע מסויים, אזי האינטגרל שלהן זהה, לכן, האינטגרל זהה לפונקציה g(x)=0g(x)=0g(x)=0.

טענה (3) אינה נכונה.
אין לי כח למצוא דוגמה נגדית, אבל יש משפט שאומר שאם fff רציפה פרט למספר סופי של נקודות אי רציפות, אזי היא אינטגרבילית. לכן, נוכל לקחת פונקציה עם נקודת אי רציפות אחת בקטע [0,1][0,1][0,1] כך שתהיה אינטגרבילית.

טענה (4) אינה נכונה.
נגדיר את שתי הפונקציות:

f(x)={1x∈Q−1x∉Qg(x)={−1x∈Q1x∉Q\begin{matrix} f(x)=\begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ -1 & x \not\in \mathbb{Q} \end{cases} &&& g(x)=\begin{cases} -1 & x \in \mathbb{Q} \\ 1 & x\not\in \mathbb{Q} \end{cases} \end{matrix}f(x)={1−1​x∈Qx∈Q​​​​g(x)={−11​x∈Qx∈Q​​

שתיהן לא אינטגרביליות רימן לפי הוכחה מהשאלה הקודמת. אך מתקיים: f+g=0f+g=0f+g=0 לכל xxx.
הפונקציה f+gf+gf+g קבועה ולכן, לפי הוכחה מההרצאה, היא אינטגרבילית רימן.

תרגיל 5

תרגיל (5 [א])

יהא האינטגרל:

∫0π21+cos⁡2x\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ 1+\cos^2x }0∫2π​​1+cos2x​

ותהא חלוקה של [0,π2]\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right][0,2π​] אשר הינה הקטעים [0,π4],[π4,π2]\left[ 0, \frac{\pi}{4} \right],\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right][0,4π​],[4π​,2π​].
מהו סכום רימן הגדול ביותר עבור הנ"ל?

בקטע [0,π2]\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right][0,2π​] הפונקציה f(x)=1+cos⁡2xf(x)=\sqrt{ 1+\cos^2x }f(x)=1+cos2x​ מונוטונית יורדת ולכן, בכל קטע נבחר את הקצה השמאלי של הקטע על מנת לקבל את סכום רימן הגדול ביותר:

R(P,f)=π4⋅f(0)+π4⋅f(π4)=π4(2+1+24)=π4(2+64)=π4(2+62)R(P,f)=\frac{\pi}{4}\cdot f(0)+\frac{\pi}{4}\cdot f\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{\pi}{4}\left( \sqrt{ 2 }+\sqrt{ 1+\frac{2}{4} } \right)=\frac{\pi}{4}\left( \sqrt{ 2 }+\sqrt{ \frac{6}{4} } \right)=\frac{\pi}{4}\left( \sqrt{ 2 }+\frac{\sqrt{ 6 }}{2} \right)R(P,f)=4π​⋅f(0)+4π​⋅f(4π​)=4π​(2​+1+42​​)=4π​(2​+46​​)=4π​(2​+26​​)
תרגיל (5 [ב])

מהו סכום רימן הקטן ביותר עבור החלוקה הנ"ל?

נעשה את אותו הדבר רק עם הקצה הימני של הקטע:

R(P,f)=π4⋅f(π4)+π4⋅f(π2)=π4(62+1)=π4⋅2+62R(P,f)=\frac{\pi}{4}\cdot f\left( \frac{\pi}{4} \right)+\frac{\pi}{4}\cdot f\left( \frac{\pi}{2} \right)=\frac{\pi}{4}\left( \frac{\sqrt{ 6 }}{2}+1 \right)=\frac{\pi}{4}\cdot \frac{2+\sqrt{ 6 }}{2}R(P,f)=4π​⋅f(4π​)+4π​⋅f(2π​)=4π​(26​​+1)=4π​⋅22+6​​
תרגיל (5 [ג+ד])

אם נוכל לבחור כל חלוקה שנרצה, מה יהיה סכום רימן הגדול ביותר האפשרי והקטן ביותר האפשרי?

כדי לקבל את סכום רימן הקטן ביותר האפשרי נקח קטע אחד ונבחר את הנקודה הימנית ביותר בו. באופן דומה, עבור הסכום הגדול ביותר נבחר קטע אחד ואת הנקודה השמאלית ביותר בו:

max⁡R(P,f)=π2⋅2=π2\max R(P,f)=\frac{\pi}{2}\cdot \sqrt{ 2 }=\frac{\pi}{\sqrt{ 2 }}maxR(P,f)=2π​⋅2​=2​π​ min⁡R(P,f)=π2⋅1=π2\min R(P,f)=\frac{\pi}{2}\cdot 1=\frac{\pi}{2}minR(P,f)=2π​⋅1=2π​

תרגיל 6

תרגיל (6)

כידוע, פונקציה שהיא רציפה בקטע סגור וחסום, אינטגרבילית בו.
לפיכך, סכומי רימן של הפונקציה מתכנסים לאינטגרל שלה, ללא תלות בשיטת החלוקה.
בפרט, עבור חלוקה לקטעים שווים נובע כי:

lim⁡n→∞(∑k=1nf(kn)⋅1n)=∫01f(x)dx\lim_{ n \to \infty } \left( \sum_{k=1}^n f\left( \frac{k}{n} \right)\cdot \frac{1}{n} \right)=\int_{0}^1 f(x)dxn→∞lim​(k=1∑n​f(nk​)⋅n1​)=0∫1​f(x)dx

השתמשו בשיטה הנ"ל כדי לחשב את גבול הסדרה:

lim⁡n→∞(n2−12+n2−22+⋯+n2−n2n2)=∫01□dx=□\lim_{ n \to \infty } \left( \frac{\sqrt{ n^2-1^2 }+\sqrt{ n^2-2^2 }+\dots+\sqrt{ n^2-n^2 }}{n^2} \right)=\int_{0}^1 \square dx=\squaren→∞lim​(n2n2−12​+n2−22​+⋯+n2−n2​​)=0∫1​□dx=□
lim⁡n→∞∑k=1nn2−k2n2=lim⁡n→∞∑k=1nn2−k2n2⋅1n=lim⁡n→∞∑k=1n1n⋅1−(kn)2\lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{ n^2-k^2 }}{n^2}=\lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^n \sqrt{ \frac{n^2-k^2}{n^2} }\cdot \frac{1}{n}=\lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot \sqrt{ 1-\left( \frac{k}{n} \right)^2 }n→∞lim​k=1∑n​n2n2−k2​​=n→∞lim​k=1∑n​n2n2−k2​​⋅n1​=n→∞lim​k=1∑n​n1​⋅1−(nk​)2​

נקבע: f(x)=1−x2f(x)=\sqrt{ 1-x^2 }f(x)=1−x2​ ואז:

lim⁡n→∞∑k=1nn2−k2n2=lim⁡n→∞∑k=1nf(kn)⋅1n=∫011−x2dx\lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{ n^2-k^2 }}{n^2}=\lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^n f\left( \frac{k}{n} \right) \cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^1 \sqrt{ 1-x^2 }dx n→∞lim​k=1∑n​n2n2−k2​​=n→∞lim​k=1∑n​f(nk​)⋅n1​=0∫1​1−x2​dx

האינטגרל הזה די מסובך, וניסיתי לעשות אותו ולא הצלחתי. לכן, נשים לב כי הפונקציה מייצגת את החלק העליון של מעגל היחידה ובכך, השטח יהיה π4\frac{\pi}{4}4π​.