חזור לתיקייה: וובוורקים

וובוורק 10

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי

וובוורק 10

01040032

חשבון אינפיניטסימלי 2מ'

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

וובוורק 10

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

תרגיל (1)

נתונה הפונקציה f(x,y)=x2ln⁡yf(x,y)=x^2\ln yf(x,y)=x2lny ונתונות שתי פונקציות נוספות:

x(u,v)=uv,    y(u,v)=5u−4vx(u,v)=uv, \;\; y(u,v)=5u-4vx(u,v)=uv,y(u,v)=5u−4v

נבנה פונקציה מורכבת על פי הכלל F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)).
תהי (u0,v0)=(1,1)(u_{0},v_{0})=(1,1)(u0​,v0​)=(1,1). חשבו את הנגזרות החלקיות של FFF בנק' הנ"ל לפי vvv לפי uuu.

לפי כלל השרשרת ה-II\mathrm{II}II נקבל:

∂F∂u=∂f∂x⋅∂x∂u+∂f∂y⋅∂y∂u\parder{F}{u}=\parder{f}{x}\cdot \parder{x}{u}+\parder{f}{y} \cdot \parder{y}{u}∂u∂F​=∂x∂f​⋅∂u∂x​+∂y∂f​⋅∂u∂y​ ∂F∂v=∂f∂x⋅∂x∂v+∂f∂y⋅∂y∂v\parder{F}{v}=\parder{f}{x}\cdot \parder{x}{v}+\parder{f}{y} \cdot \parder{y}{v}∂v∂F​=∂x∂f​⋅∂v∂x​+∂y∂f​⋅∂v∂y​

אזי:

∂f∂x(x,y)=2xln⁡y  ⟹  ∂f∂x(1,1)=2⋅0=0\parder{f}{x}(x,y)=2x\ln y \implies \parder{f}{x}(1,1)=2\cdot 0=0∂x∂f​(x,y)=2xlny⟹∂x∂f​(1,1)=2⋅0=0 ∂f∂y(x,y)=x2y  ⟹  ∂f∂y(1,1)=11=1\parder{f}{y}(x,y)=\frac{x^2}{y}\implies \parder{f}{y}(1,1)=\frac{1}{1}=1∂y∂f​(x,y)=yx2​⟹∂y∂f​(1,1)=11​=1 ∂x∂u(u,v)=v  ⟹  ∂x∂u(1,1)=1∂x∂v(u,v)=u  ⟹  ∂x∂v(1,1)=1\parder{x}{u}(u,v)=v\implies \parder{x}{u}(1,1)=1 \qquad \qquad \parder{x}{v}(u,v)=u\implies \parder{x}{v}(1,1)=1∂u∂x​(u,v)=v⟹∂u∂x​(1,1)=1∂v∂x​(u,v)=u⟹∂v∂x​(1,1)=1 ∂y∂u(u,v)=5∂y∂v(u,v)=−4\parder{y}{u}(u,v)=5 \qquad \qquad \parder{y}{v}(u,v)=-4∂u∂y​(u,v)=5∂v∂y​(u,v)=−4

לכן נקבל:

∂F∂u(1,1)=0+1⋅5=5\parder{F}{u}(1,1)=0+1\cdot 5=5∂u∂F​(1,1)=0+1⋅5=5 ∂F∂v(1,1)=0+1⋅−4=−4\parder{F}{v}(1,1)=0+1\cdot -4=-4∂v∂F​(1,1)=0+1⋅−4=−4
תרגיל (2)

נתונה הפונקציה f(x,y)=sin⁡(x2+y2)f(x,y)=\sin(x^2+y^2)f(x,y)=sin(x2+y2).
נציב y(x)=3π−x2y(x)=\sqrt{ 3\pi-x^2 }y(x)=3π−x2​ ונסמן F(x)=f(x,y(x))F(x)=f(x,y(x))F(x)=f(x,y(x)).
בנקודה x0=−1x_{0}=-1x0​=−1 יש לחשב את הנגזרות:

fx=∂f∂x(x0,y(x0))f_{x}=\parder{f}{x}(x_{0},y(x_{0}))fx​=∂x∂f​(x0​,y(x0​)) F′=dFdx(x0)F'=\frac{dF}{dx}(x_{0})F′=dxdF​(x0​)
∂f∂x(x,y)=cos⁡(x2+y2)⋅2x=2xcos⁡(x2+y2)\parder{f}{x}(x,y)=\cos(x^2+y^2)\cdot 2x=2x\cos(x^2+y^2)∂x∂f​(x,y)=cos(x2+y2)⋅2x=2xcos(x2+y2) ∂f∂x(x0,y(x0))=2x0cos⁡(x02+3π−x02)=2x0cos⁡(3π)=−2x0=2\parder{f}{x}(x_{0},y(x_{0}))=2x_{0}\cos(x_{0}^2+3\pi-x_{0}^2)=2x_{0}\cos(3\pi)=-2x_{0}=2∂x∂f​(x0​,y(x0​))=2x0​cos(x02​+3π−x02​)=2x0​cos(3π)=−2x0​=2 ∂f∂y(x,y)=2ycos⁡(x2+y2)  ⟹  ∂f∂y(x0,3π−x02)=2cos⁡(3π)3π−x02=−23π−x02\parder{f}{y}(x,y)=2y\cos(x^2+y^2) \implies \parder{f}{y}(x_{0},\sqrt{ 3\pi-x_{0}^2 })=2\cos(3\pi)\sqrt{ 3\pi-x_{0}^2 }=-2\sqrt{ 3\pi-x_{0}^2 }∂y∂f​(x,y)=2ycos(x2+y2)⟹∂y∂f​(x0​,3π−x02​​)=2cos(3π)3π−x02​​=−23π−x02​​ dydx=−2x23π−x2=−x3π−x2  ⟹  dydx(x0)=−x03π−x02=13π−1\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2\sqrt{ 3\pi-x^2 }}=-\frac{x}{\sqrt{ 3\pi-x^2 }}\implies \frac{dy}{dx}(x_{0})=-\frac{x_{0}}{\sqrt{ 3\pi-x_{0}^2 }}=\frac{1}{\sqrt{ 3\pi-1 }}dxdy​=23π−x2​−2x​=−3π−x2​x​⟹dxdy​(x0​)=−3π−x02​​x0​​=3π−1​1​ dFdx=2⋅dxdx−23π−1⋅13π−1=2−2=0\frac{dF}{dx}=2\cdot \frac{dx}{dx}-2\sqrt{ 3\pi-1 }\cdot \frac{1}{\sqrt{ 3\pi-1 }}=2-2=0dxdF​=2⋅dxdx​−23π−1​⋅3π−1​1​=2−2=0
תרגיל (3)

תהי g(t)g(t)g(t) פונקציה גזירה במשתנה יחיד.
נציב t(x,y)=x9y3t(x,y)=\frac{x^9}{y^3}t(x,y)=y3x9​ ונסמן f(x,y)=g(t(x,y))f(x,y)=g(t(x,y))f(x,y)=g(t(x,y)).
חשבו את ∂f∂x(x,y)\parder{f}{x}(x,y)∂x∂f​(x,y) ו-∂f∂y(x,y)\parder{f}{y}(x,y)∂y∂f​(x,y) בנקודה כללית שבה הפונקציה מוגדרת היטב.

לפי כלל השרשרת ה-II\mathrm{II}II נקבל כי:

∂f∂x=dgdt⋅∂t∂x∂f∂y=dgdt⋅∂t∂y\parder{f}{x}=\frac{dg}{dt} \cdot \parder{t}{x} \qquad \qquad \parder{f}{y}=\frac{dg}{dt}\cdot \parder{t}{y}∂x∂f​=dtdg​⋅∂x∂t​∂y∂f​=dtdg​⋅∂y∂t​

נחשב את הנ"ח:

dgdt=g′(t(x,y))\frac{dg}{dt}=g'(t(x,y))dtdg​=g′(t(x,y)) ∂t∂x(x,y)=9x8y3∂t∂y(x,y)=−3x9y2y6\parder{t}{x}(x,y)=\frac{9x^8}{y^3} \qquad \qquad \parder{t}{y}(x,y)=-\frac{3x^9y^2}{y^6}∂x∂t​(x,y)=y39x8​∂y∂t​(x,y)=−y63x9y2​

ולכן:

∂f∂x=9x8y3⋅g′(t(x,y))∂f∂y=−3x9y2y6g′(t(x,y))\parder{f}{x}=\frac{9x^8}{y^3}\cdot g'(t(x,y)) \qquad \qquad \parder{f}{y}=-\frac{3x^9y^2}{y^6}g'(t(x,y))∂x∂f​=y39x8​⋅g′(t(x,y))∂y∂f​=−y63x9y2​g′(t(x,y))
תרגיל (4)

תהינה f(u,v),u(x,y),v(x,y)f(u,v),u(x,y),v(x,y)f(u,v),u(x,y),v(x,y) בעלות נגזרות חלקיות רציפות בכל נקודה. נתון:

u(−9,5)=−3∇u(−9,5)=−1i^+7j^v(−9,5)=−3∇v(−9,5)=8i^−3j^f(−3,−3)=−5∇f(−3,−3)=6i^−9j^\begin{matrix} u(-9,5)=-3 & \nabla u(-9,5)=-1\hat{i}+7\hat{j} \\ v(-9,5)=-3 & \nabla v(-9,5)=8\hat{i}-3\hat{j} \\ f(-3,-3)=-5 & \nabla f(-3,-3)=6\hat{i}-9\hat{j} \end{matrix}u(−9,5)=−3v(−9,5)=−3f(−3,−3)=−5​∇u(−9,5)=−1i^+7j^​∇v(−9,5)=8i^−3j^​∇f(−3,−3)=6i^−9j^​​

נגדיר פונקציה חדשה g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)).
אזי, משוואת המישור המשיק למשטח z=g(x,y)z=g(x,y)z=g(x,y) בנקודה (−9,5)(-9,5)(−9,5) נתונה ע"י ??????.

אנו יודעים שמשוואת מישור משיק היא:

z=∂f∂x(x−x0)+∂f∂y(y−y0)+f(x0,y0)z=\parder{f}{x}(x-x_{0})+\parder{f}{y}(y-y_{0})+f(x_{0},y_{0})z=∂x∂f​(x−x0​)+∂y∂f​(y−y0​)+f(x0​,y0​)

לשם כך, נמצא את הנ"ח של ggg לפי כלל השרשרת:

∂g∂x=∂f∂u⋅∂u∂x+∂f∂v⋅∂v∂x=6⋅−1−9⋅8=−78\parder{g}{x}=\parder{f}{u}\cdot \parder{u}{x}+\parder{f}{v}\cdot \parder{v}{x}=6\cdot-1-9\cdot 8=-78∂x∂g​=∂u∂f​⋅∂x∂u​+∂v∂f​⋅∂x∂v​=6⋅−1−9⋅8=−78 ∂g∂y=∂f∂u⋅∂u∂y+∂f∂v⋅∂v∂y=6⋅7−9⋅−3=69\parder{g}{y}=\parder{f}{u}\cdot \parder{u}{y}+\parder{f}{v}\cdot \parder{v}{y}=6\cdot 7-9\cdot -3=69∂y∂g​=∂u∂f​⋅∂y∂u​+∂v∂f​⋅∂y∂v​=6⋅7−9⋅−3=69

ולכן מתקיים:

z=−78(x+9)+69(y−5)−5=−78x+69y−1052z=-78(x+9)+69(y-5)-5=-78x+69y-1052z=−78(x+9)+69(y−5)−5=−78x+69y−1052
תרגיל (5)

תהי f(x,y)f(x,y)f(x,y) בעלת נ"ח רציפות בכל נק' המקיימת:

∇f(9,−30)=3i^+2j^\nabla f(9,-30)=3\hat{i}+2\hat{j}∇f(9,−30)=3i^+2j^​

נגדיר פונקציה חדשה g(x,y)=f(x2−y,3xy)g(x,y)=f(x^2-y,3xy)g(x,y)=f(x2−y,3xy).
א. חשבו את ∇g(2,−5)\nabla g(2,-5)∇g(2,−5).
ב. חשבו את הנגזרת המכוונת של ggg בנק' (2,−5)(2,-5)(2,−5) בכיוון n⃗=−5i^+4j^\vec{n}=-5\hat{i}+4\hat{j}n=−5i^+4j^​.

פתרון א':

∂g∂x=∂f∂x⋅∂x∂x+∂f∂y⋅∂y∂x\parder{g}{x}=\parder{f}{x}\cdot \parder{x}{x}+\parder{f}{y}\cdot \parder{y}{x}∂x∂g​=∂x∂f​⋅∂x∂x​+∂y∂f​⋅∂x∂y​

כאשר:

∂x∂x=2x∂y∂x=3y∂f∂x(9,−30)=3∂f∂y(9,−30)=2\parder{x}{x}=2x \qquad \parder{y}{x}=3y \qquad \parder{f}{x}(9,-30)=3 \qquad \parder{f}{y}(9,-30)=2∂x∂x​=2x∂x∂y​=3y∂x∂f​(9,−30)=3∂y∂f​(9,−30)=2 ∂g∂x=12−30=−18\parder{g}{x}=12-30=-18∂x∂g​=12−30=−18

באותו האופן:

∂g∂y=∂f∂x⋅∂x∂y+∂f∂y⋅∂y∂y=3⋅(−1)+2⋅3x=9\parder{g}{y}=\parder{f}{x}\cdot \parder{x}{y}+\parder{f}{y}\cdot \parder{y}{y}=3\cdot (-1)+2\cdot 3x=9∂y∂g​=∂x∂f​⋅∂y∂x​+∂y∂f​⋅∂y∂y​=3⋅(−1)+2⋅3x=9

ולכן:

∇g(2,5)=−18i^+9j^\nabla g(2,5)=-18\hat{i}+9\hat{j}∇g(2,5)=−18i^+9j^​

פתרון ב':
fff בעלת נ"ח רציפות ולכן היא גזירה ⟸ ggg גזירה מהרכבה של גזירות ולכן:

∂g∂n(2,−5)=∇⃗g(2,−5)⋅(−54)25+16=−18⋅−5+9⋅441=12641\parder{g}{n}(2,-5)=\vec{\nabla}g(2,-5)\cdot \frac{\begin{pmatrix} -5 & 4 \end{pmatrix}}{\sqrt{ 25+16 }}=\frac{-18\cdot -5+9\cdot 4}{\sqrt{ 41 }}=\frac{126}{\sqrt{ 41 }}∂n∂g​(2,−5)=∇g(2,−5)⋅25+16​(−5​4​)​=41​−18⋅−5+9⋅4​=41​126​
תרגיל (6)

נתונה הפונקציה הבאה:

F(x)=∫x21−xsin⁡(xy)ydyF(x)=\int_{x^2}^{1-x} \frac{\sin(xy)}{y}dyF(x)=x2∫1−x​ysin(xy)​dy

יש לחשב את F′(x0)F'(x_{0})F′(x0​) בנקודה x0=12x_{0}=\frac{1}{2}x0​=21​.

הערה

  1. אם F′(x0)F'(x_{0})F′(x0​) לא מוגדר, יש לחשב את lim⁡x→x0F′(x)\lim_{ x \to x_{0} }F'(x)limx→x0​​F′(x).
  2. כדאי לזכור כי אם G(x)=∫u(x)v(x)g(x,y)dy\displaystyle G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}g(x,y)dyG(x)=u(x)∫v(x)​g(x,y)dy כאשר ggg רציפה, אז G(x0)=∫u(x0)v(x0)g(x0,y)dyG(x_{0})\displaystyle =\int_{u(x_{0})}^{v(x_{0})}g(x_{0},y)dyG(x0​)=u(x0​)∫v(x0​)​g(x0​,y)dy (מדוע זה נכון?) עובדה זו יכולה לפשט חישוב של אינטגרלים.

לפי הכללה ללייבניץ':

F′(x)=∫x21−x∂f∂x(x,y)dy−f(x,1−x)−2xf(x,x2)F'(x)=\int_{x^2}^{1-x} \parder{f}{x}(x,y)dy-f(x,1-x)-2xf(x,x^2)F′(x)=x2∫1−x​∂x∂f​(x,y)dy−f(x,1−x)−2xf(x,x2) ∂f∂x=yycos⁡(xy)=cos⁡(xy)\parder{f}{x}=\frac{y}{y}\cos(xy)=\cos(xy)∂x∂f​=yy​cos(xy)=cos(xy) ∫x21−xcos⁡(xy)dy=↓NLsin⁡(xy)x∣y=x2y=1−x=sin⁡(x−x2)−sin⁡(x3)x\int_{x^2}^{1-x} \cos(xy)dy \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ NL \end{matrix}}{=}\left. \frac{\sin(xy)}{x} \right\vert_{y=x^2}^{y=1-x}=\frac{\sin(x-x^2)-\sin(x^3)}{x}x2∫1−x​cos(xy)dy↓NL​=​xsin(xy)​​y=x2y=1−x​=xsin(x−x2)−sin(x3)​

לכן:

F′(x)=sin⁡(x−x2)−sin⁡(x3)x−sin⁡(x−x2)1−x−2sin⁡(x3)xF'(x)=\frac{\sin(x-x^2)-\sin(x^3)}{x}-\frac{\sin(x-x^2)}{1-x}-\frac{2\sin(x^3)}{x}F′(x)=xsin(x−x2)−sin(x3)​−1−xsin(x−x2)​−x2sin(x3)​

עבור x=12x=\frac{1}{2}x=21​ נקבל:

F′(12)=−6sin⁡18F'\left( \frac{1}{2} \right)=-6\sin \frac{1}{8}F′(21​)=−6sin81​
תרגיל (7)

יש לתת דוגמה לפונקציה g(x,y,t)g(x,y,t)g(x,y,t) שהיא פולינום מסדר 2 לכל היותר, כך שהנגזרת המכוונת של הפונקציה:

f(x,y)=∫35g(x,y,t)dtf(x,y)=\int_{3}^5 g(x,y,t)dtf(x,y)=3∫5​g(x,y,t)dt

בנקודה (−7,1)(-7,1)(−7,1) בכיוון 4i^+7j^4\hat{i}+7\hat{j}4i^+7j^​ שווה בדיוק ל-888.

נבחר פונקציה g(x,y,t)=axg(x,y,t)=axg(x,y,t)=ax כאשר a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R ונראה כי אנו מקבלים:

∂f∂u(x,y)=∂∂u∫35axdt=∂∂u⋅2ax\parder{f}{u}(x,y)=\parder{}{u}\int_{3}^5 axdt=\parder{}{u}\cdot 2ax∂u∂f​(x,y)=∂u∂​3∫5​axdt=∂u∂​⋅2ax

הפונקציה fff גזירה ולכן ∇f(−7,1)⋅u^=∂f∂u\nabla f(-7,1)\cdot \hat{u}=\parder{f}{u}∇f(−7,1)⋅u^=∂u∂f​ ולכן:

∇⃗f(−7,1)=(2a0)\vec{\nabla}f(-7,1)=\begin{pmatrix} 2a & 0 \end{pmatrix}∇f(−7,1)=(2a​0​) u^=4i^+7j^42+72=465i^+765j^\hat{u}=\frac{4\hat{i}+7\hat{j}}{\sqrt{ 4^2+7^2 }}=\frac{4}{\sqrt{ 65 }}\hat{i}+\frac{7}{\sqrt{ 65 }}\hat{j}u^=42+72​4i^+7j^​​=65​4​i^+65​7​j^​ 8a65=8  ⟹  a=65\frac{8a}{\sqrt{ 65 }}=8 \implies a=\sqrt{ 65 }65​8a​=8⟹a=65​