חזור לתיקייה: וובוורקים

וובוורק 1

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי

וובוורק 1

01040032

חשבון אינפיניטסימלי 2מ'

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

וובוורק 1

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

תרגיל (1)

חשבו את האינטגרל

∫xsin⁡xdx\int x\sin xdx∫xsinxdx

באמצעות אינטגרציה בחלקים.

נבחר את u,vu,vu,v כך:

u=xv′=sin⁡x⇓⇓u′=1v=−cos⁡x\begin{matrix} u=x & v'=\sin x \\ \Downarrow & \Downarrow \\ u'=1 & v=-\cos x \end{matrix}u=x⇓u′=1​v′=sinx⇓v=−cosx​

ואז נבצע את האינטגרל לפי המשפט:

∫xsin⁡xdx=−xcos⁡x+∫cos⁡xdx=−xcos⁡x+sin⁡x+c\int x\sin xdx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+c∫xsinxdx=−xcosx+∫cosxdx=−xcosx+sinx+c
תרגיל (2)

חשבו את האינטגרל:

∫xln⁡xdx\int x\ln xdx∫xlnxdx

באמצעות אינטגרציה בחלקים.

נבחר את u,vu,vu,v כך:

u=ln⁡xv′=x⇓⇓u′=1xv=12x2\begin{matrix} u=\ln x & v'=x \\ \Downarrow & \Downarrow \\ u'= \frac{1}{x} & v=\frac{1}{2}x^2 \end{matrix}u=lnx⇓u′=x1​​v′=x⇓v=21​x2​

ואז נבצע את האינטגרל לפי המשפט:

∫xln⁡xdx=x2ln⁡x2−∫12x2⋅1xdx=x2ln⁡x2−12∫xdx=x2ln⁡x2−14x2+c\int x\ln xdx=\frac{x^2\ln x}{2}-\int \frac{1}{2}x^2\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{1}{4}x^2+c∫xlnxdx=2x2lnx​−∫21​x2⋅x1​dx=2x2lnx​−21​∫xdx=2x2lnx​−41​x2+c
תרגיל (3)

חשבו את האינטגרל הבא:

∫x41+x2dx\int \frac{x^4}{1+x^2}dx∫1+x2x4​dx
∫x41+x2dx=∫x4−1+11+x2dx=↓ליניאריות∫(x2−1)(x2+1)x2+1dx+∫1x2+1dx=arctan⁡x+13x3−x+c\int \frac{x^4}{1+x^2}dx=\int \frac{x^4-1+1}{1+x^2}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{ליניאריות}} \end{matrix}}{=}\int \frac{(x^2-1)\cancel{ (x^2+1) }}{\cancel{ x^2+1 }}dx+\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+\frac{1}{3}x^3-x+c∫1+x2x4​dx=∫1+x2x4−1+1​dx↓ליניאריות​=​∫x2+1(x2−1)(x2+1)​dx+∫x2+11​dx=arctanx+31​x3−x+c
תרגיל (4 [א])

התבוננו באינטגרל ∫dx5x2+11x+2\int \frac{dx}{5x^2+11x+2}∫5x2+11x+2dx​ של פונקציה רציונלית שבה מעלת הפולינום במונה קטנה ממעלת הפולינום במכנה.
המונה בפולינום זה הוא:

  1. פריק, עם שורשים שונים זה מזה.
  2. פריק, עם שורשים זהים.
  3. אי פריק, והמונה הוא פולינום ממעלה שקטנה ב-1 ממעלות המכנה.
  4. אי פריק, והמונה הוא פולניום ממעלה שקטנה ביותר מ-1 ממעלות המכנה.

נתחיל בלבדוק האם 5x2+11x+25x^2+11x+25x2+11x+2 הוא פריק. נתחיל מנוסחת השורשים:
x1,2=−11±112−8⋅510=−11±8110=−11±910={−0.2−2x_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{ 11^2-8\cdot 5 }}{10}=\frac{-11\pm \sqrt{ 81 }}{10}=\frac{-11\pm 9}{10}=\begin{cases} -0.2 \\ -2 \end{cases}x1,2​=10−11±112−8⋅5​​=10−11±81​​=10−11±9​={−0.2−2​
ואז נקבל כי:

∫dx5x2+11x+2=∫dx5(x+0.2)(x+2)=∫dx(5x+1)(x+2)\int \frac{dx}{5x^2+11x+2}=\int \frac{dx}{5(x+0.2)(x+2)}=\int \frac{dx}{(5x+1)(x+2)}∫5x2+11x+2dx​=∫5(x+0.2)(x+2)dx​=∫(5x+1)(x+2)dx​

נפרק את השבר:

A(5x+1)+B(x+2)=A(x+2)+B(5x+1)(5x+1)(x+2)=1(5x+1)(x+2)\frac{A}{(5x+1)}+\frac{B}{(x+2)}=\frac{A(x+2)+B(5x+1)}{(5x+1)(x+2)}= \frac{1}{(5x+1)(x+2)}(5x+1)A​+(x+2)B​=(5x+1)(x+2)A(x+2)+B(5x+1)​=(5x+1)(x+2)1​ Ax+2A+5Bx+B=1  ⟹  {A+5B=0  ⟹  A=−5B2A+B=1  ⟹  −10B+B=1  ⟹  −9B=1  ⟹  B=−19A=−5B=59Ax+2A+5Bx+B=1 \implies \begin{cases} A+5B=0 \implies A=-5B \\ 2A+B=1 \implies -10B+B=1\implies -9B=1 \implies B=-\frac{1}{9} \\ A=-5B=\frac{5}{9} \end{cases}Ax+2A+5Bx+B=1⟹⎩⎨⎧​A+5B=0⟹A=−5B2A+B=1⟹−10B+B=1⟹−9B=1⟹B=−91​A=−5B=95​​

ולכן:

∫dx5x2+11x+2=∫(59(5x+1)−19(x+2))dx\int \frac{dx}{5x^2+11x+2}=\int\left( \frac{5}{9(5x+1)}-\frac{1}{9(x+2)} \right)dx∫5x2+11x+2dx​=∫(9(5x+1)5​−9(x+2)1​)dx

ולכן הפולינום הוא פריק עם שורשים שונים זה מזה.

תרגיל (4 [ב])

חשבו את האינטגרל הנ"ל.

∫dx5x2+11x+2=↓לפי הסעיף הקודם+ ליניאריות∫59(5x+1)dx−∫19(x+2)dx=↓לפי ליניאריות\int \frac{dx}{5x^2+11x+2}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לפי הסעיף הקודם}} \\ \R{\text{+ ליניאריות}} \end{matrix}}{=} \int \frac{5}{9(5x+1)}dx-\int \frac{1}{9(x+2)}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לפי ליניאריות}} \end{matrix}}{=}∫5x2+11x+2dx​↓לפי הסעיף הקודם+ ליניאריות​=​∫9(5x+1)5​dx−∫9(x+2)1​dx↓לפי ליניאריות​=​ 19∫55x+1dx−19∫1x+2dx=↓לפי משפט19ln⁡∣5x+1∣−19ln⁡∣x+2∣+c\frac{1}{9}\int \frac{5}{5x+1}dx-\frac{1}{9}\int \frac{1}{x+2}dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לפי משפט}} \end{matrix}}{=} \frac{1}{9}\ln |5x+1|-\frac{1}{9}\ln |x+2|+c91​∫5x+15​dx−91​∫x+21​dx↓לפי משפט​=​91​ln∣5x+1∣−91​ln∣x+2∣+c

וזוהי התשובה.

הערה

חשוב לשים לב שמה שיש מעל השבר זה f′(x)f'(x)f′(x) ומתחת לשבר זה f(x)f(x)f(x) כדי שנוכל להשתמש במשפט.

תרגיל (5)

חשבו את האינטגרל הבא באמצעות הצבה.

∫cos⁡3xsin⁡xdx\int \cos^3x\sin xdx∫cos3xsinxdx
∫cos⁡3xsin⁡xdx=−∫cos⁡3x(−sin⁡x)dx=↓שיטת ההצבה(t=cos⁡xdt=−sin⁡xdx)−∫t3dt=−t44+c=−cos⁡4x4+c\int \cos^3x\sin xdx=-\int \cos^3x(-\sin x)dx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{שיטת ההצבה}} \\ \begin{pmatrix} t=\cos x \\ dt=-\sin xdx \end{pmatrix} \end{matrix}}{=}-\int t^3dt=-\frac{t^4}{4}+c=-\frac{\cos^4x}{4}+c∫cos3xsinxdx=−∫cos3x(−sinx)dx↓שיטת ההצבה(t=cosxdt=−sinxdx​)​=​−∫t3dt=−4t4​+c=−4cos4x​+c
תרגיל (6)

חשבו את האינטגרל הבא:

∫dx1+ex\int \frac{dx}{1+e^x}∫1+exdx​
∫dx1+ex=∫1+ex−ex1+exdx=↓לפי ליניאריות∫1dx−∫exex+1dx=↓לפי משפטx−ln⁡(ex+1)+c\int \frac{dx}{1+e^x}=\int \frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}dx\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לפי ליניאריות}} \end{matrix}}{=}\int 1dx-\int \frac{e^x}{e^x+1}dx\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לפי משפט}} \end{matrix}}{=}x-\ln(e^x+1)+c∫1+exdx​=∫1+ex1+ex−ex​dx↓לפי ליניאריות​=​∫1dx−∫ex+1ex​dx↓לפי משפט​=​x−ln(ex+1)+c

נבדוק את התשובה באמצעות גזירה:

(x−ln⁡(ex+1)+c)′=1−exex+1=1+ex−ex1+ex=11+ex(x-\ln(e^x+1)+c)'=1-\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}=\frac{1}{1+e^x}(x−ln(ex+1)+c)′=1−ex+1ex​=1+ex1+ex−ex​=1+ex1​
תרגיל (7)

חשבו את האינטגרל הבא:

∫dx9x+1\int \frac{dx}{\sqrt{ 9x+1 }}∫9x+1​dx​
∫dx9x+1=↓שיטת ההצבה(t=9x+1  ⟹  t2=9x+12tdt=9dx)19∫2ttdt=19∫2dt=29t+c=299x+1+c\int \frac{dx}{\sqrt{ 9x+1 }} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{שיטת ההצבה}} \\ \begin{pmatrix} t=\sqrt{ 9x+1 } \implies t^2 =9x+1 \\ 2tdt=9dx \end{pmatrix} \end{matrix}}{=} \frac{1}{9} \int \frac{2t}{t}dt=\frac{1}{9}\int 2dt=\frac{2}{9}t +c =\frac{2}{9}\sqrt{ 9x+1 }+c∫9x+1​dx​↓שיטת ההצבה(t=9x+1​⟹t2=9x+12tdt=9dx​)​=​91​∫t2t​dt=91​∫2dt=92​t+c=92​9x+1​+c

נבדוק כי התשובה נכונה ע"י גזירה:

(299x+1+c)′=2⋅99⋅29x+1=19x+1\left( \frac{2}{9}\sqrt{ 9x+1 }+c \right)'=\frac{2\cdot 9}{9\cdot 2 \sqrt{ 9x+1 }}=\frac{1}{\sqrt{ 9x+1 }}(92​9x+1​+c)′=9⋅29x+1​2⋅9​=9x+1​1​

כנדרש.

תרגיל (8)

חשבו את האינטגרל הבא:

∫sin⁡3xdx\int \sin^3xdx∫sin3xdx
∫sin⁡3xdx=∫sin⁡xsin⁡2xdx=∫(1−cos⁡2x)sin⁡xdx=↓שיטת ההצבה(t=cos⁡xdt=−sin⁡xdx)−∫(1−t2)dt=∫(t2−1)dt=\int \sin^3xdx=\int \sin x\sin^2xdx=\int (1-\cos^2x)\sin xdx \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{שיטת ההצבה}} \\ \begin{pmatrix} t=\cos x \\ dt=-\sin xdx \end{pmatrix} \end{matrix}}{=} -\int (1-t^2)dt=\int (t^2-1)dt=∫sin3xdx=∫sinxsin2xdx=∫(1−cos2x)sinxdx↓שיטת ההצבה(t=cosxdt=−sinxdx​)​=​−∫(1−t2)dt=∫(t2−1)dt= t33−t+c=cos⁡3x3−cos⁡x+c\frac{t^3}{3}-t+c=\frac{\cos^3x}{3}-\cos x+c3t3​−t+c=3cos3x​−cosx+c

נבדוק כי התשובה נכונה באמצעות גזירה:

(cos⁡3x3−cos⁡x+c)′=33cos⁡2x⋅(−sin⁡x)+sin⁡x=sin⁡x(1−cos⁡2x)=sin⁡3x\left( \frac{\cos^3x}{3}-\cos x+c \right)'= \frac{3}{3}\cos^2x \cdot (-\sin x)+\sin x=\sin x(1-\cos^2x)=\sin^3x(3cos3x​−cosx+c)′=33​cos2x⋅(−sinx)+sinx=sinx(1−cos2x)=sin3x
תרגיל (9)

הביטו בהצבה הזאת:

t=tan⁡x2t=\tan \frac{x}{2}t=tan2x​ sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2,dx=2dt1+t2\sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad dx= \frac{2dt}{1+t^2}sinx=1+t22t​,cosx=1+t21−t2​,dx=1+t22dt​

השתמשו בהצבה שהוצגה על מנת לחשב את האינטגרל:

∫dx1−cos⁡x\int \frac{dx}{1-\cos x}∫1−cosxdx​
∫dx1−cos⁡x=↓שיטת ההצבה(t=tan⁡x2)∫21+t21−1−t21+t2dt=∫21+t22t21+t2dt=∫t−2dt=−1t+c=−1tan⁡x2+c\int \frac{dx}{1-\cos x} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{שיטת ההצבה}} \\ \begin{pmatrix} t=\tan \frac{x}{2} \end{pmatrix} \end{matrix}}{=} \int\frac{\frac{2}{1+t^2}}{1-\frac{1-t^2}{1+t^2}}dt=\int \frac{\frac{\cancel{ 2 }}{\cancel{ 1+t^2 }}}{\frac{\cancel{ 2 }t^2}{\cancel{ 1+t^2 }}}dt=\int t^{-2}dt=-\frac{1}{t}+c=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+c∫1−cosxdx​↓שיטת ההצבה(t=tan2x​​)​=​∫1−1+t21−t2​1+t22​​dt=∫1+t22t2​1+t22​​dt=∫t−2dt=−t1​+c=−tan2x​1​+c
תרגיל (10)

חשבו את האינטגרל:

∫dx4−7sin⁡x+4cos⁡x\int \frac{dx}{4-7\sin x+4\cos x}∫4−7sinx+4cosxdx​
∫dx4−7sin⁡x+4cos⁡x=↓שיטת ההצבה(t=tan⁡x2)∫21+t24−14t1+t2+41−t21+t2dt=∫21+t222+2t2−7t+2−2t21+t2dt=∫14−7tdt=\int \frac{dx}{4-7\sin x+4\cos x}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{שיטת ההצבה}} \\ \begin{pmatrix} t=\tan \frac{x}{2} \end{pmatrix} \end{matrix}}{=}\int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{4-\frac{14t}{1+t^2}+4 \frac{1-t^2}{1+t^2}}dt=\int \frac{\frac{\cancel{ 2 }}{\cancel{ 1+t^2 }}}{\cancel{ 2 }\frac{2+\cancel{ 2t^2 }-7t+2\cancel{ -2t^2 }}{\cancel{ 1+t^2 }}}dt=\int \frac{1}{4-7t}dt=∫4−7sinx+4cosxdx​↓שיטת ההצבה(t=tan2x​​)​=​∫4−1+t214t​+41+t21−t2​1+t22​​dt=∫21+t22+2t2−7t+2−2t2​1+t22​​dt=∫4−7t1​dt= −17∫−74−7t=↓לפי משפט−17ln⁡∣4−7t∣+c=−17ln⁡∣4−7tan⁡x2∣+c-\frac{1}{7}\int \frac{-7}{4-7t}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לפי משפט}} \end{matrix}}{=}-\frac{1}{7}\ln |4-7t|+c=-\frac{1}{7}\ln \left|4-7\tan \frac{x}{2}\right|+c−71​∫4−7t−7​↓לפי משפט​=​−71​ln∣4−7t∣+c=−71​ln​4−7tan2x​​+c