תרגיל 1

הטענה אינה נכונה!
נסתכל על הפונקציה: $f(x)=\begin{cases}4 & x \in \mathbb{Q} \\ 2 & x \not\in \mathbb{Q}\end{cases}$. לפי צפיפות הרציונליים בכל קטע יש רציונליים ואי-רציונליים ולכן, לכל חלוקה מתקיים:

ולכן לכל שתי חלוקות $P_{1},P_{2}$ מתקיים $L(P_{1},f)\neq U(P_{2},f)$ ובפרט $\underset{P}{\inf}\left\{ U(P,f) \right\}\neq \underset{P}{\sup}\left\{ L(P,f) \right\}$ ולכן, לפי הגדרה $f$ לא אינטגרבילית.

הטענה נכונה!
הוכחה:
נתון כי $2\leq f(x)\leq 4$ ולכן, לכל חלוקה $P$ מתקיים $U(P,f)=\sum_{i=1}^n M_{i}\Delta x_{i}\leq 4\sum_{i=1}^n \Delta x_{i}=2$.
לפי משפט, לכל שתי חלוקות $P_{1},P_{0}$ מתקיים: $L(P_{0},f)\leq U(P_{1},f)$. מכיוון שזה מתקיים לכל שתי חלוקות, אזי $\underset{P}{\sup}\left\{ L(P,f) \right\}\leq U(P_{1},f)$ שכן $U(P_{1},f)$ גדול מכל סכום דרבו תחתון ולכן הוא בהגדרה חסם מלמעלה של קבוצת הסכומי הדרבו התחתונים. באותו האופן נקבל כי $L(P_{0},f)\le \underset{P}{\inf}\left\{ U(P,f) \right\}$ ולכן: $\underset{P}{\sup}\left\{ L(P,f) \right\}\leq \underset{P}{\inf}\left\{ U(P,f) \right\}$.
נתון כי $\underset{P}{\sup}\left\{ L(P,f) \right\}=2$ ולכן:

לכן, $\underset{P}{\sup}\left\{ L(P,f) \right\}=2=\underset{P}{\inf}\left\{ U(P,f) \right\}$ ולכן, לפי הגדרה $f$ אינטגרבילית ב-$\left[ 0, \frac{1}{2} \right]$.
∎

הטענה אינה נכונה!
נביט בפונקציה הקבועה $f(x)=2$ אשר הינה אינטגרבילית לפי הוכחה מההרצאה(על פונקציה קבועה).
תהי $P$ חלוקה בעלת $n$ קטעים.

זה מתקיים לכל חלוקה ולכן $\underset{P}{\sup}\left\{ L(P,f) \right\}=1\neq 2$.

הטענה אינה נכונה בדיוק מאותה סיבה שראינו בסעיף הקודם - נקח את אותה פונקציה ואת אותה חלוקה ואז:

ומכיוון שזה מתקיים לכל חלוקה: $\underset{P}{\inf}\left\{ U(P,f) \right\}=1\neq 2$.

תרגיל 2

תהי $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ חסומה. נאמר כי $f$ אינטגרבילית ב-$[a,b]$ אם מתקיים: $\underset{P}{\sup}\left\{ L(P,f) \right\}=\underset{P}{\inf}\left\{ U(P,f) \right\}$.

1. לכל $\epsilon>0$ קיימת חלוקה $P$ כך ש-$U(P,f)-L(P,f)<\epsilon$.
2. לכל $\epsilon>0$ קיימת $\delta>0$ כך שלכל חלוקה $P$ המקיימת $\lambda(P)<\delta$ מתקיים $U(P,f)-L(P,f)<\epsilon$.

טענת עזר: יהי קטע סגור $I$ ותהי $f$ פונקציה אי שלילית המוגדרת בקטע $I$ ונסמן $M,m$ האינפימום והסופרמום בהתאמה של $f$ בקטע $I$. אזי, $M^2,m^2$ הינם האינפימום והסופרמום בהתאמה של $f^2$ בקטע $I$.
הוכחה של טענת העזר:
נסמן: $A=\left\{ f(x)|x \in I \right\}$ ו-$B=\left\{ f^2(x)| x \in I \right\}$. יהי $\alpha \in I$. נתון כי $M=\sup A$ ולכן, לפי הגדרה: $M-\alpha\geq 0 \impliedby M\geq \alpha$.
נתון כי $f$ אי שלילית ולכן $M\geq0,\alpha\geq0$. מתוך כך: $M+\alpha\geq 0$ ולכן:

מכיוון שזה מתקיים לכל $\alpha \in I$ אזי, לפי הגדרה, $M^2$ הוא חסם עליון של $f^2$ בקטע $I$.
יהי $\epsilon>0$. לפי הגדרת הסופרמום, לכל $\epsilon_{1}>0$ קיים $x \in I$ כך ש-$M-\epsilon_{1}<x$ ולכן: $M-x<\epsilon_{1}$. זה מתקיים בפרט עבור $\epsilon_{1}=\frac{\epsilon}{2M}>0$. נבחר את ה-$x$ המתאים ואז:

ולכן: $M^2-\epsilon<x^2$. לכן, $M^2=\sup B$.
באותו האופן נראה כי $m^2=\inf B$.
∎

הוכחה:
יהי $\epsilon>0$.
נתון $f$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ ולכן, לפי סעיף ב'(משפט), לכל $\epsilon_{1}>0$ קיימת $\delta_{1}>0$ כך שלכל חלוקה $P$ המקיימת $\lambda(P)<\delta_{1}$ מתקיים $U(P,f)-L(P,f)<\epsilon$.
יהיו $M_{i},m_{i}$ האינפימום והסופרמום בכל קטע בחלוקה $P$. ההגדרה ממקודם מתקיימת בפרט עבור $\delta_{1}=1$ ועבור $\epsilon_{1}=\frac{\epsilon}{\left| \sum_{i=1}^n(M_{i}+m_{i}) \right|}>0$.
נגדיר: $\delta\leq \delta_{1}$ ואז לכל $P$ המקיימת $\lambda(P)<\delta$ מתקיים:

ולכן, לפי משפט(סעיף ב'), $f^2$ אינטגרבילית ב-$[a,b]$.
∎

תרגיל 3

הוכחה:
יהי $\epsilon>0$. נתון כי $f$ אינטגרבילית בקטע $[x,1]$ לכל $0<x<1$. לכן, לפי משפט, לכל $\epsilon_{1}>0$ קיימת חלוקה $P_{x}$ של הקטע $[x,1]$ כך ש-$U(P,f)-L(P,f)<\epsilon_{1}$.
נתון כי $f$ חסומה ולכן, קיים $K>1$ כך שלכל $y \in[0,1]$ מתקיים $|f(y)|\leq K$. אזי, לכל $y_{1},y_{2} \in[0,1]$ מתקיים:

ההגדרה מתקיימת בפרט עבור $\epsilon_{1}=\frac{\epsilon}{2}>0$ ו-$x=\min\left\{ \frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{4K} \right\}$ ואז:
נבנה חלוקה חדשה $P$ בעלת $n$ קטעים של הקטע $[0,1]$ כאשר $P$ זהה ל-$P_{x}$ בקטע $[x,1]$ והקטע $[0,x]$ הוא חלק אחד מהחלוקה ואינו מחולק לחלקים.

לכן, לפי משפט, $f$ אינטגרבילית בקטע $[0,1]$.
∎