5 - תכן לוגי — מערכות ספרתיות ומבנה המחשב

אנו רוצים לבנות מחשב. האם כל פונקציה צריך לממש במיוחד? כמובן שלא. כמו בקוד, גם בחומרה בעיות חוזרות על עצמן.

מחבר חלקי(Half Adder)

למחבר שתי כניסות $a,b$ ושתי יציאות $S,C_{out}$ ומתקיים:

S=a \oplus b \qquad \qquad C_{out}=ab

כך נוכל לראות טבלת אמת של $HA$ :

\begin{array}{|cc|cc|} \hline a & b & C_{out} & S \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}

מחבר מלא(Full Adder)

יש לו שלוש כניסות $a,b,C_{in}$ ושתי יציאות $S,C_{out}$ .
מתקיים:

S=XOR(a,b,C_{in})

נבנה טבלת אמת:

\begin{array}{|ccc|cc|} \hline a & b & C_{in} & C_{out} & S \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

נבנה מפות קרנו של היצורים הללו כדי למצוא את הלוגיקה מאחורי המחבר.

\begin{matrix} \begin{array}{c|c|c|c|c|} _{C_{in}}\diagdown^{ab} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & 1 & & 1 \\ \hline1 & 1 & & 1 \\ \hline \end{array} & \qquad \qquad & \begin{array}{c|c|c|c|c|} _{C_{in}}\diagdown^{ab} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & 1 \\ \hline1 & & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \\ \Downarrow & & \Downarrow \\ S=a \oplus b \oplus C_{in} & & C_{out}=ab+aC_{in}+C_{in}b \\ \R{\text{ראו פיתוח בתרגול הקודם}} \end{matrix}

ראינו בתרגול הקודם כי יש מימוש של $FA$ שנראה כך:
תרגול ספרתיות שבוע 6 - 1.png
אבל זה מימוש די מסובך. נוכל לקחת $HA$ -ים ולממש בעזרתם את ה- $FA$ כך:
5 - תכן לוגי 2026-06-01 08.44.22.excalidraw.svg

ה- $FA$ מהווה מערכת פעולות חצי שלמה ונראה זאת כך:

S(a,b,C_{in})=a \oplus b \oplus C_{in} \implies S(a,1,0)=\overline{a}

C_{out}(a,b,C_{ib})=ab+aC_{in}+C_{in}b\implies C_{out}(a,b,0)=ab

תרגיל

ממשו את הפונקציה $f(w,x,y)=\sum(1,2)$ בעזרת $FA$ וקבועים.

נוכל לתרגם ישירות את המינטרמים:

f(w,x,y)=\overline{w}\;\!\overline{x}y+\overline{w}x\overline{y}=\overline{w}(\overline{x}y+x\overline{y})=\overline{w}(x \oplus y)=S(w,1,0)S(x,y,0)=C_{out}(S(w,1,0),S(x,y,0),0)

תרגיל

ממשו מכפל 2 סיביות על 2 סיביות באמצעות שימוש בשערים לוגים וברכיבי $HA$ בלבד.

הדבר הזה, כמו כל בעיה לוגית, יכול להיפתר באמצעות מפת קרנו. אבל זה מסובך שכן אנו צריכים $4$ מפות קרנו שכן יש $4$ סיביות יציאה.
זה גם לא יעזור לנו כי אמרו לנו להשתמש ברכיבי $HA$ .
נסתכל על כפל ארוך:

\begin{matrix} \begin{matrix} \\ \\ + \\ \end{matrix}\begin{matrix} \cdot \\ \\ \\ \end{matrix}\begin{align*} a_{1}a_{0} \\ b_{1}b_{0} \\ \hline a_{1}b_{0} \quad a_{0}b_{0} \\ a_{1}b_{1} \quad a_{0}b_{1} \quad \quad \quad\! \end{align*} \\ \hline M_{3} \quad\;\; M_{2} \quad\; M_{1} \quad\;\; M_{0} \quad\;\;\; \end{matrix}

תרגול ספרתיות שבוע 6 - 3.png

תרגיל (ממבחן)

נתון הרכיב הבא:
5 - תכן לוגי 2026-06-01 09.02.03.excalidraw.svg
רכיב זה סופר את כמות האחדות והאפסים בכניסותיו ומוציא את הערך בעל הספירה הגבוהה יותר.
לדוגמה: $max(0,1,0)=0,max(1,1,1)=1,max(0,1,1)=1$
לרשותכם כמות בלתי מוגבלת של רכיבים כאלו ואת הקבועים $0,1$ .
מהי הכמות המינימלית של רכיבי $max$ הנחוצים על מנת לממש שער $OR$ ?
א. יש צורך ברכיב $max$ יחיד ובקבוע $1$ .
ב. יש צורך בשני רכיבי $max$ ובקבוע $0$
ג. יש צורך בשלושה רכיבי $max$ ובאחד מהקבועים.
ד. יש צורך בארבעה רכיבי $max$ ובשני הקבועים יחד.
ה. הפונקציה $max$ לא מהווה מערכת פעולות שלמה או חצי שלמה ולא ניתן לממש באמצעותה שער $OR$ .

max(a,a,a)=a \quad \quad max(a,1,0)=a \quad \quad max(a,b,1)=a +b

נשים לב כי אם נשים $max(a,b,1)$ אז אם אחד מהספרות היא $1$ נקבל $1$ . אם שתי הספרות הן $1$ נקבל 1 ואם $0$ הוא שנייהם אז נקבל $0$ בדיוק כפעולת שער $OR$ .
לכן, התשובה הנכונה היא א.

בורר - $Mux$

ישנן $n$ כניסות בקרה ו- $2^n$ כניסות מידע.
יש יציאה אחת.

מה שהבורר עושה זה שהוא מקבל סיגנל בכניסת בקרה, הוא יקח את הדאטא מהמקום המתאים ויוציא אותו החוצה.
שימוש טוב של $Mux$ הוא בניתובים של מסלולים. נניח איזושהי מערכת שעושה חיבור, חיסור וכפל - כמו $ALU$ .

מימוש פונקציות ע"י בוררים

נתונה הפונקציה $f(x,y,z,w)=\sum(0,1,5,7,13,14)$ . ממשו אותה בעזרת:
א. בורר $16\to1$ :
יש לנו מספיק כניסות כדי לתת פשוט את כל ערכי הפונקציה בכניסות. כעת, באמצעות טבלת אמת נראה כיצד אנו מכניסים את המשתנים.

\begin{array}{c|cccc|c} & \text{MSB} & & & \text{LSB} & \\ & x & y & z & w & f \\ \hline \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 8 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 10 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 11 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 12 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 13 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 14 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 15 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array}

כעת נוכל לראות לאן מכניסים מה:
תרגול ספרתיות שבוע 6 - 2.png

ב. בעזרת בורר $8\to 1$ :
נקח בטבלה שלנו את העמודה של $w$ ונהפוך אותו ל- $data$ ואז ננסה לבנות טבלה חדשה:

\begin{array}{c|ccc|c} & MSB & & LSB \\ & x & y & z & f \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & w \\ 3 & 0 & 1 & 1 & w \\ 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & 1 & 1 & 0 & w \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \overline{w} \\ \hline \end{array}

כעת, נרצה להכניס את $w$ למימוש.
האם $w$ היא הבחירה הכי טובה לזה? לאו דווקא. אנו צריכים שער $NOT$ נוסף הרי.
תרגול ספרתיות שבוע 6 - 4.png

ג. בעזרת 4 בוררים של $4\to 1$ :
נשתמש במבנה הכללי:
תרגול ספרתיות שבוע 6 - 5.png
ונבנה בעזרתו את היצור שלנו.

מפענח - $Decoder$

מקבל $n$ כניסות בקרה וכניסת הפעלה, $EN$ , אחת ומוציא $2^n-1$ כניסות.

תרגיל

נתונה הפונקציה הבאה $f(A,B,C,D,E)=\sum(1,3,5,9,11,13,27,31)$ ממשו אותה בעזרת מפענח $5\to 32$ .

תרגול ספרתיות שבוע 6 - 6.png

תרגיל

בעזרת מפענח $4\to 16$ ושערים לוגיים ממשו את הפונקציה $f(A,B,C,D,E)=\sum(1,3,5,9,11,13,27,31)$ .

f(A,B,C,D,E)=Af_{1}(B,C,D,E)+A'f_{2}(B,C,D,E)

\begin{matrix} \begin{array}{|ccccc|c|} \hline A & B & C & D & E & F \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \implies \begin{matrix} f_{2}(B,C,D,E)=\sum(1,3,5,9,11,13) \\ f_{1}(B,C,D,E)=\sum(11,15) \end{matrix} \end{matrix}

תרגול ספרתיות שבוע 6 - 7.png

נשים לב כי זה לא הכי יעיל. אנו צריכים שני מפענחים ושער $NOT$ .
אם נניח נפצל לפי $E$ נגלה כי $f_{2}=0$ ואז: $f=Ef_{1}$ .

תרגיל (ממבחן)

האם מפענח $2\to 4$ (ללא $enable$ ) מהווה מערכת פעולות שלמה?

כן, ללא שימוש בשערים נוספים.
כן, בתוספת שער $NOT$ .
כן, בתוספת שער $AND$ .
לא

\begin{array}{|cc|cccc|} \hline A & B & f_{0} & f_{1} & f_{2} & f_{3} \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}

נשים לב כי פה יש לנו:

f_{0}=\overline{a}\cdot \overline{b} \quad f_{1}=\overline{a}b \quad f_{2}=a\overline{b} \quad f_{3}=ab

יש לנו שער $AND$ . כעת חסר לנו $NOT$ . נזכר כי $aa=a$ ולכן $\overline{a}\cdot \overline{a}=\overline{a}$ ולכן אם נבחר את $f_{0}$ כשנכניס את $a$ בשני היצורים הללו נקבל ב- $f_{0}$ בדיוק את $\overline{a}$ .
לכן, התשובה הנכונה היא 1.

תרגיל (אביב 2017 מועד א' שאלה 3)

רוצים לממש את הפונקציה הבאה:

f(A,B,C,D,E)=\sum(10,11,19,26,27)

באמצעות $Decoder\; 4\to 16$ .
איזה מהסיביות יש להוציא מסיביות הבקרה ולהעביר לסיבית ה- $enable$ כך שנשתמש במספר מינימלי של מפענחים ובמספר מינימלי של שערים?

סיבית $D$ .
סיבית $C$ .
סיבית $A$ .
קיימות שתי תשובות נכונות מבין התשובות א-ג.
כל המימושים משתמשים באותו מספר של מפענחים.

נבנה טבלת אמת של הפונקציה:

\begin{array}{|ccccc|c|} \hline A & B & C & D & E & F \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

ניתן לראות פה כי עבור $D=0$ הפונקציה מוציאה $0$ תמיד. לכן, נוכל לשים אותה בכניסת ה- $EN$ ולא נדרש כלל שערים לוגיים.
לכן, התשובה הנכונה היא $1$ .

תרגיל (אביב 2017 מועד ב' שאלה 14)

נתונה הפונקציה הבאה:

f(w,x,y,z)=\sum(7,15,6)+\sum_{\varnothing}(5)

ברשותכם מפענחים $2\to 4$ ללא כניסת $EN$ ושערים לוגיים $\left\{ AND,OR \right\}$ בלבד.
מהו מספר המפענחים המינימלי הנדרש כדי לממש את $f$ ?
א. 0
ב. 1
ג. 2
ד. 3
ה. 4

נבנה טבלת אמת של הפונקציה:

\begin{array}{|cccc|c|} \hline w & x & y & z & f \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \varnothing \\ \hline \end{array}

נשים לב כי הפונקציה שווה ל- $0$ אם $x=0$ בהכרח. לכן נוכל למיין אותו כבר בהתחלה באמצעות שער $AND$ .
נשים לב בנוסף כי הפונקציה מוציאה $0$ או $\varnothing$ אם $y=0$ ולכן נוכל למיין גם אותו באמצעות שער $AND$ .
כעת נותרנו עם $w,z$ המקיימים:

\begin{array}{|cc|c|} \hline w & z & f \\ \hline 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}

f^*=\overline{w}z+wz+\overline{w}\;\!\overline{z}

אך אין לנו שערי $NOT$ ולכן נדרש להשתמש במפענח יחיד :)

הערה (פתרון בתרגול עם מפת קרנו)

\begin{array}{c|c|c|c|c|} _{yz}\diagdown^{wx} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 00 \\ \hline 01 & & \varnothing \\ \hline 11 & & 1 & 1 \\ \hline 10 & & 1 \\ \hline \end{array}

נשים לב כי ה- $\varnothing$ מיותר שכן הוא לא עוזר לנו לכסות את הפונקציה. נקבל:

f(w,x,y,z)=\overline{w}xy+xyz=xy(\overline{w}+z)

הבעיה היחידה שלנו היא ה- $NOT$ . אין לנו שער $NOT$ אך מפענח $2\to 4$ הוא מערכת פעולות שלמה ולכן הפתרון ל- $NOT$ בקיום נתוני הבעיה הוא שימוש במפענח יחיד.

תרגיל (מועד ב' חורף 2025 שאלה 5)

נתונה הפונקציה הבאה: $f(x,y,z,w)=\sum(3,7,11,15)$ וברצוננו לממש את הפונקציה הנתונה בעזרת מספר מינימלי של רכיבים.
ברשותכם מספר בלתי מוגבל של מפענחים $2\to 4$ עם כניסת $EN$ ומספר בלתי מוגבל של שערי $OR$ עם מספר כניסות לבחירתכם. מותר גם להשתמש בקבועים $0,1$ ללא הגבלה.

מהו מספר הרכיבים המינימלי הדרוש בכדי לממש את הפונקציה $f$ ?

מפענח בודד ושער $OR$ בודד.
מפענח בודד ללא צורך בשערי $OR$ .
שני מפענחים ללא צורך בשערי $OR$ .
שני מפענחים ושער $OR$ בודד.
שלושה מפענחים ושער $OR$ .

נבנה טבלת אמת:

\begin{array}{|cccc|c|} \hline x & y & z & w & f \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

נשים לב כי $z=w=1$ בכל מקום בו הפונקציה מקבלת $1$ ו- $x,y$ לא משנים שכן אנו רואים את כל הערכים שלהם בטבלה הזו.
אנו בתכלס צריכים שער $AND$ אחד. לכן, ניתן באמצעות מפענח בודד לממש שער $AND$ בודד ולכן התשובה הנכונה היא $2$ .

אנו רוצים לבנות מחשב. האם כל פונקציה צריך לממש במיוחד? כמובן שלא. כמו בקוד, גם בחומרה בעיות חוזרות על עצמן.

מחבר חלקי(Half Adder)

למחבר שתי כניסות $a,b$ ושתי יציאות $S,C_{out}$ ומתקיים:

S=a \oplus b \qquad \qquad C_{out}=ab

כך נוכל לראות טבלת אמת של $HA$ :

\begin{array}{|cc|cc|} \hline a & b & C_{out} & S \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}

מחבר מלא(Full Adder)

יש לו שלוש כניסות $a,b,C_{in}$ ושתי יציאות $S,C_{out}$ .
מתקיים:

S=XOR(a,b,C_{in})

נבנה טבלת אמת:

\begin{array}{|ccc|cc|} \hline a & b & C_{in} & C_{out} & S \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

נבנה מפות קרנו של היצורים הללו כדי למצוא את הלוגיקה מאחורי המחבר.

\begin{matrix} \begin{array}{c|c|c|c|c|} _{C_{in}}\diagdown^{ab} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & 1 & & 1 \\ \hline1 & 1 & & 1 \\ \hline \end{array} & \qquad \qquad & \begin{array}{c|c|c|c|c|} _{C_{in}}\diagdown^{ab} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & 1 \\ \hline1 & & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \\ \Downarrow & & \Downarrow \\ S=a \oplus b \oplus C_{in} & & C_{out}=ab+aC_{in}+C_{in}b \\ \R{\text{ראו פיתוח בתרגול הקודם}} \end{matrix}

ה- $FA$ מהווה מערכת פעולות חצי שלמה ונראה זאת כך:

S(a,b,C_{in})=a \oplus b \oplus C_{in} \implies S(a,1,0)=\overline{a}

C_{out}(a,b,C_{ib})=ab+aC_{in}+C_{in}b\implies C_{out}(a,b,0)=ab

תרגיל

ממשו את הפונקציה $f(w,x,y)=\sum(1,2)$ בעזרת $FA$ וקבועים.

נוכל לתרגם ישירות את המינטרמים:

f(w,x,y)=\overline{w}\;\!\overline{x}y+\overline{w}x\overline{y}=\overline{w}(\overline{x}y+x\overline{y})=\overline{w}(x \oplus y)=S(w,1,0)S(x,y,0)=C_{out}(S(w,1,0),S(x,y,0),0)

תרגיל

ממשו מכפל 2 סיביות על 2 סיביות באמצעות שימוש בשערים לוגים וברכיבי $HA$ בלבד.

\begin{matrix} \begin{matrix} \\ \\ + \\ \end{matrix}\begin{matrix} \cdot \\ \\ \\ \end{matrix}\begin{align*} a_{1}a_{0} \\ b_{1}b_{0} \\ \hline a_{1}b_{0} \quad a_{0}b_{0} \\ a_{1}b_{1} \quad a_{0}b_{1} \quad \quad \quad\! \end{align*} \\ \hline M_{3} \quad\;\; M_{2} \quad\; M_{1} \quad\;\; M_{0} \quad\;\;\; \end{matrix}

תרגול ספרתיות שבוע 6 - 3.png

תרגיל (ממבחן)

max(a,a,a)=a \quad \quad max(a,1,0)=a \quad \quad max(a,b,1)=a +b

בורר - $Mux$

ישנן $n$ כניסות בקרה ו- $2^n$ כניסות מידע.
יש יציאה אחת.

מימוש פונקציות ע"י בוררים

\begin{array}{c|cccc|c} & \text{MSB} & & & \text{LSB} & \\ & x & y & z & w & f \\ \hline \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 8 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 10 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 11 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 12 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 13 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 14 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 15 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array}

כעת נוכל לראות לאן מכניסים מה:
תרגול ספרתיות שבוע 6 - 2.png

ב. בעזרת בורר $8\to 1$ :
נקח בטבלה שלנו את העמודה של $w$ ונהפוך אותו ל- $data$ ואז ננסה לבנות טבלה חדשה:

\begin{array}{c|ccc|c} & MSB & & LSB \\ & x & y & z & f \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & w \\ 3 & 0 & 1 & 1 & w \\ 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & 1 & 1 & 0 & w \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \overline{w} \\ \hline \end{array}

ג. בעזרת 4 בוררים של $4\to 1$ :
נשתמש במבנה הכללי:
תרגול ספרתיות שבוע 6 - 5.png
ונבנה בעזרתו את היצור שלנו.

מפענח - $Decoder$

מקבל $n$ כניסות בקרה וכניסת הפעלה, $EN$ , אחת ומוציא $2^n-1$ כניסות.

תרגיל

נתונה הפונקציה הבאה $f(A,B,C,D,E)=\sum(1,3,5,9,11,13,27,31)$ ממשו אותה בעזרת מפענח $5\to 32$ .

תרגול ספרתיות שבוע 6 - 6.png

תרגיל

בעזרת מפענח $4\to 16$ ושערים לוגיים ממשו את הפונקציה $f(A,B,C,D,E)=\sum(1,3,5,9,11,13,27,31)$ .

f(A,B,C,D,E)=Af_{1}(B,C,D,E)+A'f_{2}(B,C,D,E)

\begin{matrix} \begin{array}{|ccccc|c|} \hline A & B & C & D & E & F \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \implies \begin{matrix} f_{2}(B,C,D,E)=\sum(1,3,5,9,11,13) \\ f_{1}(B,C,D,E)=\sum(11,15) \end{matrix} \end{matrix}

תרגול ספרתיות שבוע 6 - 7.png

נשים לב כי זה לא הכי יעיל. אנו צריכים שני מפענחים ושער $NOT$ .
אם נניח נפצל לפי $E$ נגלה כי $f_{2}=0$ ואז: $f=Ef_{1}$ .

תרגיל (ממבחן)

האם מפענח $2\to 4$ (ללא $enable$ ) מהווה מערכת פעולות שלמה?

כן, ללא שימוש בשערים נוספים.
כן, בתוספת שער $NOT$ .
כן, בתוספת שער $AND$ .
לא

\begin{array}{|cc|cccc|} \hline A & B & f_{0} & f_{1} & f_{2} & f_{3} \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}

נשים לב כי פה יש לנו:

f_{0}=\overline{a}\cdot \overline{b} \quad f_{1}=\overline{a}b \quad f_{2}=a\overline{b} \quad f_{3}=ab

תרגיל (אביב 2017 מועד א' שאלה 3)

רוצים לממש את הפונקציה הבאה:

f(A,B,C,D,E)=\sum(10,11,19,26,27)

סיבית $D$ .
סיבית $C$ .
סיבית $A$ .
קיימות שתי תשובות נכונות מבין התשובות א-ג.
כל המימושים משתמשים באותו מספר של מפענחים.

נבנה טבלת אמת של הפונקציה:

\begin{array}{|ccccc|c|} \hline A & B & C & D & E & F \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

תרגיל (אביב 2017 מועד ב' שאלה 14)

נתונה הפונקציה הבאה:

f(w,x,y,z)=\sum(7,15,6)+\sum_{\varnothing}(5)

נבנה טבלת אמת של הפונקציה:

\begin{array}{|cccc|c|} \hline w & x & y & z & f \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \varnothing \\ \hline \end{array}

\begin{array}{|cc|c|} \hline w & z & f \\ \hline 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}

f^*=\overline{w}z+wz+\overline{w}\;\!\overline{z}

אך אין לנו שערי $NOT$ ולכן נדרש להשתמש במפענח יחיד :)

הערה (פתרון בתרגול עם מפת קרנו)

\begin{array}{c|c|c|c|c|} _{yz}\diagdown^{wx} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 00 \\ \hline 01 & & \varnothing \\ \hline 11 & & 1 & 1 \\ \hline 10 & & 1 \\ \hline \end{array}

נשים לב כי ה- $\varnothing$ מיותר שכן הוא לא עוזר לנו לכסות את הפונקציה. נקבל:

f(w,x,y,z)=\overline{w}xy+xyz=xy(\overline{w}+z)

תרגיל (מועד ב' חורף 2025 שאלה 5)

מהו מספר הרכיבים המינימלי הדרוש בכדי לממש את הפונקציה $f$ ?

מפענח בודד ושער $OR$ בודד.
מפענח בודד ללא צורך בשערי $OR$ .
שני מפענחים ללא צורך בשערי $OR$ .
שני מפענחים ושער $OR$ בודד.
שלושה מפענחים ושער $OR$ .

נבנה טבלת אמת:

\begin{array}{|cccc|c|} \hline x & y & z & w & f \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

מערכות ספרתיות ומבנה המחשב

תכן לוגי

מערכות ספרתיות ומבנה המחשב

תכן לוגי

מחבר חלקי(Half Adder)

מחבר מלא(Full Adder)

בורר - MuxMuxMux

מימוש פונקציות ע"י בוררים

מפענח - DecoderDecoderDecoder

מחבר חלקי(Half Adder)

מחבר מלא(Full Adder)

בורר - MuxMuxMux

מימוש פונקציות ע"י בוררים

מפענח - DecoderDecoderDecoder

בורר - $Mux$

מפענח - $Decoder$

בורר - $Mux$

מפענח - $Decoder$