היום נדבר על הנושאים:

יצוג מספרים טבעיים
מעבר בין בסיסים
אריתמטיקה
ייצוג מספרים שליליים בשיטת המשלים ל-2
נקודה צפה - $float$
קודים בינארים לקידוד ספרות בבסיס 10
קודים ציקלים

הבסיס העשרוני

(237)_{10}=2\cdot 10^2+3\cdot 10+7

נסמן בסיס כמספר מימין לסוגריים.
מיקום הספרה $i$ קובע את החזקה שהיא תקבל. הבסיס $b$ הוא מה שמעלים בחזקה, כאשר $w$ הוא המשקל של הספרה.

משפט

לכל מספר $N$ בכל בסיס $b$ מתקיים:

N=\sum_{i} d_{i}\cdot w_{i}

כאשר $w_{i}$ הוא המשקל של הספרה ה- $i$ -ית: $w_{i}=b^i$ ו- $d_{i}$ הוא הספרה ה- $i$ -ית: $0\leq d_{i}\leq b$ .

מעבר מבסיס $b$ לבסיס $10$

בסיס בינאיר $b=2$ :
$(1010)_{2}=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot2^1+0\cdot 2^0=(10)_{10}$
$(10010011)_{2}=1\cdot 2^7+1\cdot 2^4+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=(147)_{10}$
אם זה שבר בבסיס בינארי:
$(1010.101)_{2}=1\cdot 2^3+1\cdot 2^1+1\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-3}=(10.625)_{10}$
בסיס הקסדצימלי $b=16$ :
$(A31)_{16}=10\cdot 16^2+3 \cdot 16^1+1\cdot 16^0=(2609)_{10}$
$(7EC4)_{16}=7\cdot 16^3+14\cdot 16^2+12\cdot 16^1+4\cdot 16^0=(32452)_{10}$

מעבר מבסיס $10$ לבסיס $b$ כלשהו

בכל שלב מחלקים בבסיס $b$ . השארית מהווה ספרה במספר החדש בעוד שהמנה מועברת לשלב הבא.

(d_{n-1}d_{n-2}\dots d_{1}d_{0})_{b}=d_{n-1}\cdot b^{n-1}+d_{n-2}b^{n-2}+\dots+d_{1}b^{1}+d_{0}b^0

=b(d_{n-1}b^{n-2}+d_{n-2}b^{n-3}+\dots+d_{1})+d_{0}

דוגמה

נמצא את הייצוג של $500$ בבסיס $16$ :

\frac{500}{16}= \frac{31\cdot 16 + 4}{16}

השארית שלנו היא 4 ולכן $d_{0}=4$ .

\frac{31}{16}=\frac{1\cdot 16 +15}{16}

לכן, $d_{1}=15$ .

\frac{1}{16}=\frac{0\cdot 16+1}{16}

ולכן, $d_{2}=1$ .
קיבלנו את המספר:

(500)_{10}=(1F4)_{16}

מעבר בין בסיסים

בכללי, אם עוברים בין סתם שני בסיסים, נדרש לעבור לבסיס $10$ ואז מ- $10$ לבסיס אליו אנו רוצים להגיע. אך אם הבסיסים הם חזקה אחד של השני, ישנה דרך קלה להעביר ביניהם.

דוגמה (מעבר מבסיס

2

לבסיס

16

ובחזרה)

נשים לב כי $16=2^4$ .

(1101011110001111)_{2}=(1101,0111,1000,1111)_{2}=(D78F)_{16}

הסיבה לכך שאנו יכולים לעשות את זה היא כי בעצם כל בלוק שכזה הוא ספרה אחת בבסיס האחר.

אריטמטיקה בבסיסים שונים

חיבור וחיסור בבסיס 2

\begin{matrix} + \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1&0&0&0&0 \end{matrix}

\begin{matrix} - \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

חיבור בבסיס 16

\begin{matrix} + \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 15 \\ 1B \\ \hline 30 \end{matrix}

\begin{matrix} - \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & D \\ \hline 1 & 8 \end{matrix}

שיטת המשלים ל-2

בשיטה זו, כל מספר מכיל סיבית סימן שמסמנת אם המספר הוא שלילי או חיובי. שאר הסיביות מייצגות את הערך הבינארי של המספר או את המשלים לערך הבינארי ועוד אחד.

הביט הכי קטן נקרא least significant bit( $LSG$ ) והביט הכי גדול נקרא most significant bit( $MSB$ ).
הביט הכי גדול יהיה הסימן שלנו כאשר $0$ אומר שהמספר חיובי בעוד ש- $1$ אומר שהמספר שלילי.

דוגמה

המספר $100$ באופן רגיל הוא $4$ . אך בשיטת המשלים ל- $2$ .
$1$ מסמל שהמספר שלילי כי הוא בביט הכי גדול(most significant) ואז אנחנו נוסיף אחד להיפוך של הביטים:

\begin{matrix} + \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} & 1 & 1 \\ & & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 \end{matrix}\begin{matrix} \\ \\ \implies -4 \end{matrix}

ולכן המספר $100$ בשיטת המשלים ל- $2$ הוא $-4$ .

טווח הייצוג של השיטה הינה: $-2^{N-1}\leq A\leq 2^{N-1}-1$ .

יתרונות השיטה הינם:

חיבור/חיסור פשוטים: אם יש $carry$ פשוט מתעלמים ממנו.
יצוג בודד לאפס.

דוגמה

\begin{matrix} + \\ \\ \end{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & (=7) \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & \;\;\;(=-9) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & \;\;\;(=-2) \end{matrix}

דוגמה

\begin{matrix} + \\ \\ \end{matrix} \begin{matrix} & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & \;\;\;(=-5) \\ & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & \;\;\;(=-6) \\ \hline \boxed{1} & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & \;\;\;(=-11) \end{matrix}

זורקים את ה- $1$ בקופסא הזה, הוא ה- $carry$ .

חיבור שני מספרים שליליים עלול להביא לתוצאה חיובית, כלומר לגלישה(הסימן ימצא רק ב- $carry$ אותו אנו זורקים)
איך נתקן את הבעיה? באמצעות $Sign\; extention$ : הוספת סיביות למספר ע"י שכפול הסיבית ה- $MSB$ עד למילוי כל הסיביות שנוספו.

דוגמה

הרחבה לייצוג של $-4$ מ- $3$ סיביות ל- $4$ סביות יהיה $1100 \leftarrow 100$ .
הרחבה לייצוג של $-4$ מ- $3$ סיביות ל- $8$ סיביות יהיה $11111100 \leftarrow 100$ .

הערך המקסימלי שמייצג מספר בינארי בין $32$ סיביות לא מכוון הוא $2^{32}-1$ (כארבעה מיליארד)
ומכוון? בין $-2^{32-1}$ עד $2^{32-1}-1$ .

נקודה צפה - $floating\; point$

השיטה מאפשרת ייצוג של מספר גדול מאוד או קטן מאוד במעט סיביות (בדוגמה: $32$ )
נתון מערכת: $(Bias)\; B=127$ . (בכל מערכת שונה)
1 - יצוג מספרים וקידוד ספרות 2026-04-13 09.20.25.excalidraw.svg
אם האקספוננט(מסומן ב- $E$ ) מקיים $1\leq E\leq254$ אז המספר יהיה Normalized ונוסחתו תהא:

\text{Value}=(-1)^S \cdot 2^{E-B}\cdot (1+F)

אך אם $E=0$ מתקיים:

\text{Value}=(-1)^S\cdot 2^{E-B+1}\cdot F

דוגמה

נניח המספר:

\begin{matrix} 0 & 1000, 0000 & 100,0000,0000,0000,0000,0000 \end{matrix}

מכיוון ש- $S=0$ המספר חיובי.

E=2^7=128, \quad F=2^{-1}+2^{-2}=0.75

\text{Value}=(-1)^0 \cdot 2^{128-127}\cdot 1.75=3.5

הערה

אם נרצה לייצג את המספר בהקסא, כיצד נכתוב אותו?
נחלק את המספר המקורי(כן, זה שבזיכרון) לרביעיות ונשתמש בשיטה למעבר בין בסיסים שהם חזקה אחד של השני.

0x40600000

אגב, הסימון $0x$ פשוט אומר שזה בסיס 16 - והוא אינו משפיע על הערך.

חשוב: אם $E=255$ אזי אחד מההבאים מתקיים:

אם $F=0$ אז מייצג $\infty$ .
אחרת, מייצג מספר לא קיים $NaN$ .

הדיוק של $float$ :
תרגול ספרתיות 1 תמונה 1.png
הטבלה מראה כי ככל שהאקספוננט גדל אנו יכולים לייצג הרבה יותר מספרים.

קודים בינאריים וציקלים

קודים בינאריים לקידוד ספרות בבסיס $10$

הגדרה 1

ייצוג בינארי המקיים כי לכל ספרה $0\dots9$ קיימת מילת קוד שונה נקרא קוד בינארי לקידוד ספרות בבסיס 10.

דוגמה

\begin{matrix} 0=1000 & 5=0111 \\ 1=1001 & 6=0001\\ 2=0110 & 7=1011 \\ 3=1111 & 8=0011 \\ 4=0000 & 9=1101 \end{matrix}

קודים משוקללים

בקוד זה יש חוקיות:

כל ספרה מיוצגת ע"י $4$ סיביות( $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ )
לכל סיבית יש משקל מוגדר $(w_{i})$
ערך הספרה הוא:
$N=\sum_{i=1}^4 w_{i}x_i=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+w_{3}x_{3}+w_{4}x_{4}$

דוגמה (קוד BCD)

טבלת קוד מסויים ספרתיות תרגול 1.png
נבדיל ביו ייצוג המספר 16 בבסיס בינארי: $10000$ לבין יצוג המספר 16 בקוד $BCD$ :

0001,0110

כאשר $0001$ מייצג 1 ו- $0110$ מייצג 6.

קודים ציקלים

מילת קוד של ספרה כלשהי שונה ממילת הקוד של הספרה שלפניה ואחריה בסיבית אחת בלבד.

דוגמה (קוד

Gray

)

קוד באורך 2:

\begin{array}{|c|c|} \hline 0 & 00 \\ 1 & 01 \\ 2 & 11 \\ 3 & 10 \\ \hline \end{array}

קוד באורך 3:

\begin{array}{|c|c|} \hline 0 & 000 \\ 1 & 001 \\ 2 & 011 \\ 3 & 010 \\ 4 & 110 \\ 5 & 111 \\ 6 & 101 \\ 7 & 100 \\ \hline \end{array}

בואו נרחיב את קוד Gray: משקפים את השורות הקיימות כמראה אופקית ומוסיפים עמודה:
הרחבת קוד גרי.png

המרה מקוד בינארי לקוד $Gray$

\begin{cases} g_{n}=b_{n} \\ g_{i}=b_{i}\oplus b_{i+1}=(b_{i}+b_{i+1})(mod\; 2)_{ \quad i=(n-1),(n-2),\dots,1,0} \end{cases}

הקדמה ל- $\oplus$ שבקורס הזה ישמש אותנו כ- $XOR$

\begin{array}{c|c} X & Y & X \oplus Y \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}

ההמרה בעצם מתבצעת כך:
סיפרתיות תרגול 1 מעבר מבינרי לגרי.png

ההמרה מ- $Gray$ לבינארי תעשה אותו הדבר רק הפוך:

\begin{cases} b_{n}=g_{n} \\ b_{i}=b_{i+1}\oplus g_{i}=(b_{i+1}+g_{i})(mod\; 2)_{\quad i=(n-1),\dots,1,0} \end{cases}

כשאר ההמרה בעצם מתבצעת כך:
ספרתיות תרגול 1 מעבר מגרי לבינארי.png

תרגול

תרגיל (אביב 23 מועד א')

נתונים שלושת המספרים הבאים המיוצגים בבסיסים שונים:

(xyz)_{b}=(10)_{b^2}=(18)_{b^2-b+4}

בנוסף נסמן את הספרות הגדולות מ- $9$ באופן הבא:

A=(10)_{10}, B=(11)_{10},C=(12)_{10}

מבין התשובות הבאות, מהם הערכים האפשריים ל- $x,y,z$ כך שהמשוואה תהיה תקינה?
א. $z=0,y=B,z=C$
ב. $x=C,y=0,z=0$
ג. $x=1,y=0,z=0$
ד. $x=0,y=9,z=3$
ה. תשובות א' ו-ג' נכונות.

לפי שיטת מעבר בין בסיסים שהם חזקה, נחלק את המספר לחלקים של 2: $yz$ ו- $0x$ ואז $(yz)_{b}=0$ ו- $(x)_{b}=(1)_{b^2}$ .
נראה לי שפה ישר אפשר להגיע ל-ג' בגלל ש- $x=1$ כי $1$ נמצא בשני הבסיסים ככל הנראה :)

איך שהמתרגל עשה את זה:

\begin{matrix} (xyz)_{b}=xb^2+yb+z \\ (10)_{b^2}=1b^2+0=b^2 \\ (18)_{b^2-b+4}=b^2-b+12 \\ \Downarrow \\ b=12 \\ \Downarrow \\ x=1, y=0, z=0 \end{matrix}

ולכן התשובה היא ג'.

תרגיל (חורף 2023 מועד ב')

סטודנט מעוניין לבצע חיבור בין שני מספרים המיוצגים כ-Floating Point.
הייצוג בו הסטודנט משתמש בעל $B=0$ ו-8 סיביות באופן הבא:

ה- $MSB$ היא סיבית הסימן
3 הסיביות הבאות מייצגות את האקספוננט
4 הסיביות ה- $LSB$ הן המנטיסה.

המספרים הנתונים הם:

A=11001001 \qquad B=11001100

הסטודנט מעוניין לייצג את החלק השלם של תוצאת החיבור בשיטת משלים ל-2 ע"י שימוש במספר סיביות קטן ככל האפשר.
מה התוצאה שיקבל הסטודנט? $1\leq E\leq254$ .
א. 0110101
ב. 1111101
ג. 1001011
ד. 1000000
ה. 11111101

נהפוך את שני המספרים לבסיס עשרוני באמצעות ה- $floating\; point$ .

\begin{matrix} A: \begin{matrix} S=1 \implies \R{\text{שלילי}} \\ E=4 \\ F= \frac{1}{2}+\frac{1}{16} \end{matrix} \implies -25 \\ B: \begin{matrix} S=1 \implies \R{\text{שלילי}} \\ E=4 \\ F=\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \end{matrix} \implies -28 \end{matrix} +\implies -53

נפרק את $53$ :

-53=-(32+16+4+1)\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{בשיטת המשלים ל-2}} \end{matrix}}{=}(1001011)_{2}

ולכן התשובה היא ג' עוד פעם.

היום נדבר על הנושאים:

יצוג מספרים טבעיים
מעבר בין בסיסים
אריתמטיקה
ייצוג מספרים שליליים בשיטת המשלים ל-2
נקודה צפה - $float$
קודים בינארים לקידוד ספרות בבסיס 10
קודים ציקלים

הבסיס העשרוני

(237)_{10}=2\cdot 10^2+3\cdot 10+7

משפט

לכל מספר $N$ בכל בסיס $b$ מתקיים:

N=\sum_{i} d_{i}\cdot w_{i}

כאשר $w_{i}$ הוא המשקל של הספרה ה- $i$ -ית: $w_{i}=b^i$ ו- $d_{i}$ הוא הספרה ה- $i$ -ית: $0\leq d_{i}\leq b$ .

מעבר מבסיס $b$ לבסיס $10$

בסיס בינאיר $b=2$ :
$(1010)_{2}=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot2^1+0\cdot 2^0=(10)_{10}$
$(10010011)_{2}=1\cdot 2^7+1\cdot 2^4+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=(147)_{10}$
אם זה שבר בבסיס בינארי:
$(1010.101)_{2}=1\cdot 2^3+1\cdot 2^1+1\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-3}=(10.625)_{10}$
בסיס הקסדצימלי $b=16$ :
$(A31)_{16}=10\cdot 16^2+3 \cdot 16^1+1\cdot 16^0=(2609)_{10}$
$(7EC4)_{16}=7\cdot 16^3+14\cdot 16^2+12\cdot 16^1+4\cdot 16^0=(32452)_{10}$

מעבר מבסיס $10$ לבסיס $b$ כלשהו

בכל שלב מחלקים בבסיס $b$ . השארית מהווה ספרה במספר החדש בעוד שהמנה מועברת לשלב הבא.

(d_{n-1}d_{n-2}\dots d_{1}d_{0})_{b}=d_{n-1}\cdot b^{n-1}+d_{n-2}b^{n-2}+\dots+d_{1}b^{1}+d_{0}b^0

=b(d_{n-1}b^{n-2}+d_{n-2}b^{n-3}+\dots+d_{1})+d_{0}

דוגמה

נמצא את הייצוג של $500$ בבסיס $16$ :

\frac{500}{16}= \frac{31\cdot 16 + 4}{16}

השארית שלנו היא 4 ולכן $d_{0}=4$ .

\frac{31}{16}=\frac{1\cdot 16 +15}{16}

לכן, $d_{1}=15$ .

\frac{1}{16}=\frac{0\cdot 16+1}{16}

ולכן, $d_{2}=1$ .
קיבלנו את המספר:

(500)_{10}=(1F4)_{16}

מעבר בין בסיסים

דוגמה (מעבר מבסיס

2

לבסיס

16

ובחזרה)

נשים לב כי $16=2^4$ .

(1101011110001111)_{2}=(1101,0111,1000,1111)_{2}=(D78F)_{16}

הסיבה לכך שאנו יכולים לעשות את זה היא כי בעצם כל בלוק שכזה הוא ספרה אחת בבסיס האחר.

אריטמטיקה בבסיסים שונים

חיבור וחיסור בבסיס 2

\begin{matrix} + \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1&0&0&0&0 \end{matrix}

\begin{matrix} - \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

חיבור בבסיס 16

\begin{matrix} + \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 15 \\ 1B \\ \hline 30 \end{matrix}

\begin{matrix} - \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & D \\ \hline 1 & 8 \end{matrix}

שיטת המשלים ל-2

דוגמה

\begin{matrix} + \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} & 1 & 1 \\ & & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 \end{matrix}\begin{matrix} \\ \\ \implies -4 \end{matrix}

ולכן המספר $100$ בשיטת המשלים ל- $2$ הוא $-4$ .

טווח הייצוג של השיטה הינה: $-2^{N-1}\leq A\leq 2^{N-1}-1$ .

יתרונות השיטה הינם:

חיבור/חיסור פשוטים: אם יש $carry$ פשוט מתעלמים ממנו.
יצוג בודד לאפס.

דוגמה

\begin{matrix} + \\ \\ \end{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & (=7) \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & \;\;\;(=-9) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & \;\;\;(=-2) \end{matrix}

דוגמה

\begin{matrix} + \\ \\ \end{matrix} \begin{matrix} & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & \;\;\;(=-5) \\ & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & \;\;\;(=-6) \\ \hline \boxed{1} & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & \;\;\;(=-11) \end{matrix}

זורקים את ה- $1$ בקופסא הזה, הוא ה- $carry$ .

דוגמה

נקודה צפה - $floating\; point$

\text{Value}=(-1)^S \cdot 2^{E-B}\cdot (1+F)

אך אם $E=0$ מתקיים:

\text{Value}=(-1)^S\cdot 2^{E-B+1}\cdot F

דוגמה

נניח המספר:

\begin{matrix} 0 & 1000, 0000 & 100,0000,0000,0000,0000,0000 \end{matrix}

מכיוון ש- $S=0$ המספר חיובי.

E=2^7=128, \quad F=2^{-1}+2^{-2}=0.75

\text{Value}=(-1)^0 \cdot 2^{128-127}\cdot 1.75=3.5

הערה

0x40600000

אגב, הסימון $0x$ פשוט אומר שזה בסיס 16 - והוא אינו משפיע על הערך.

חשוב: אם $E=255$ אזי אחד מההבאים מתקיים:

אם $F=0$ אז מייצג $\infty$ .
אחרת, מייצג מספר לא קיים $NaN$ .

הדיוק של $float$ :
תרגול ספרתיות 1 תמונה 1.png
הטבלה מראה כי ככל שהאקספוננט גדל אנו יכולים לייצג הרבה יותר מספרים.

קודים בינאריים וציקלים

קודים בינאריים לקידוד ספרות בבסיס $10$

הגדרה 1

ייצוג בינארי המקיים כי לכל ספרה $0\dots9$ קיימת מילת קוד שונה נקרא קוד בינארי לקידוד ספרות בבסיס 10.

דוגמה

\begin{matrix} 0=1000 & 5=0111 \\ 1=1001 & 6=0001\\ 2=0110 & 7=1011 \\ 3=1111 & 8=0011 \\ 4=0000 & 9=1101 \end{matrix}

קודים משוקללים

בקוד זה יש חוקיות:

כל ספרה מיוצגת ע"י $4$ סיביות( $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ )
לכל סיבית יש משקל מוגדר $(w_{i})$
ערך הספרה הוא:
$N=\sum_{i=1}^4 w_{i}x_i=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+w_{3}x_{3}+w_{4}x_{4}$

דוגמה (קוד BCD)

טבלת קוד מסויים ספרתיות תרגול 1.png
נבדיל ביו ייצוג המספר 16 בבסיס בינארי: $10000$ לבין יצוג המספר 16 בקוד $BCD$ :

0001,0110

כאשר $0001$ מייצג 1 ו- $0110$ מייצג 6.

קודים ציקלים

מילת קוד של ספרה כלשהי שונה ממילת הקוד של הספרה שלפניה ואחריה בסיבית אחת בלבד.

דוגמה (קוד

Gray

)

קוד באורך 2:

\begin{array}{|c|c|} \hline 0 & 00 \\ 1 & 01 \\ 2 & 11 \\ 3 & 10 \\ \hline \end{array}

קוד באורך 3:

\begin{array}{|c|c|} \hline 0 & 000 \\ 1 & 001 \\ 2 & 011 \\ 3 & 010 \\ 4 & 110 \\ 5 & 111 \\ 6 & 101 \\ 7 & 100 \\ \hline \end{array}

בואו נרחיב את קוד Gray: משקפים את השורות הקיימות כמראה אופקית ומוסיפים עמודה:
הרחבת קוד גרי.png

המרה מקוד בינארי לקוד $Gray$

\begin{cases} g_{n}=b_{n} \\ g_{i}=b_{i}\oplus b_{i+1}=(b_{i}+b_{i+1})(mod\; 2)_{ \quad i=(n-1),(n-2),\dots,1,0} \end{cases}

הקדמה ל- $\oplus$ שבקורס הזה ישמש אותנו כ- $XOR$

\begin{array}{c|c} X & Y & X \oplus Y \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}

ההמרה בעצם מתבצעת כך:
סיפרתיות תרגול 1 מעבר מבינרי לגרי.png

ההמרה מ- $Gray$ לבינארי תעשה אותו הדבר רק הפוך:

\begin{cases} b_{n}=g_{n} \\ b_{i}=b_{i+1}\oplus g_{i}=(b_{i+1}+g_{i})(mod\; 2)_{\quad i=(n-1),\dots,1,0} \end{cases}

כשאר ההמרה בעצם מתבצעת כך:
ספרתיות תרגול 1 מעבר מגרי לבינארי.png

תרגול

תרגיל (אביב 23 מועד א')

נתונים שלושת המספרים הבאים המיוצגים בבסיסים שונים:

(xyz)_{b}=(10)_{b^2}=(18)_{b^2-b+4}

בנוסף נסמן את הספרות הגדולות מ- $9$ באופן הבא:

A=(10)_{10}, B=(11)_{10},C=(12)_{10}

איך שהמתרגל עשה את זה:

\begin{matrix} (xyz)_{b}=xb^2+yb+z \\ (10)_{b^2}=1b^2+0=b^2 \\ (18)_{b^2-b+4}=b^2-b+12 \\ \Downarrow \\ b=12 \\ \Downarrow \\ x=1, y=0, z=0 \end{matrix}

ולכן התשובה היא ג'.

תרגיל (חורף 2023 מועד ב')

ה- $MSB$ היא סיבית הסימן
3 הסיביות הבאות מייצגות את האקספוננט
4 הסיביות ה- $LSB$ הן המנטיסה.

המספרים הנתונים הם:

A=11001001 \qquad B=11001100

נהפוך את שני המספרים לבסיס עשרוני באמצעות ה- $floating\; point$ .

\begin{matrix} A: \begin{matrix} S=1 \implies \R{\text{שלילי}} \\ E=4 \\ F= \frac{1}{2}+\frac{1}{16} \end{matrix} \implies -25 \\ B: \begin{matrix} S=1 \implies \R{\text{שלילי}} \\ E=4 \\ F=\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \end{matrix} \implies -28 \end{matrix} +\implies -53

נפרק את $53$ :

-53=-(32+16+4+1)\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{בשיטת המשלים ל-2}} \end{matrix}}{=}(1001011)_{2}

ולכן התשובה היא ג' עוד פעם.

1 - יצוג מספרים וקידוד ספרות

מערכות ספרתיות ומבנה המחשב

יצוג מספרים וקידוד ספרות

1 - יצוג מספרים וקידוד ספרות

מערכות ספרתיות ומבנה המחשב

יצוג מספרים וקידוד ספרות

הבסיס העשרוני

מעבר מבסיס $b$ לבסיס $10$

מעבר מבסיס $10$ לבסיס $b$ כלשהו

מעבר בין בסיסים

אריטמטיקה בבסיסים שונים

חיבור וחיסור בבסיס 2

חיבור בבסיס 16

שיטת המשלים ל-2

נקודה צפה - $floating\; point$

קודים בינאריים וציקלים

קודים בינאריים לקידוד ספרות בבסיס $10$

קודים משוקללים

קודים ציקלים

המרה מקוד בינארי לקוד $Gray$

תרגול

הבסיס העשרוני

מעבר מבסיס $b$ לבסיס $10$

מעבר מבסיס $10$ לבסיס $b$ כלשהו

מעבר בין בסיסים

אריטמטיקה בבסיסים שונים

חיבור וחיסור בבסיס 2

חיבור בבסיס 16

שיטת המשלים ל-2

נקודה צפה - $floating\; point$

קודים בינאריים וציקלים

קודים בינאריים לקידוד ספרות בבסיס $10$

קודים משוקללים

קודים ציקלים

המרה מקוד בינארי לקוד $Gray$

תרגול

מערכות ספרתיות ומבנה המחשב

יצוג מספרים וקידוד ספרות

מערכות ספרתיות ומבנה המחשב

יצוג מספרים וקידוד ספרות

הבסיס העשרוני

מעבר מבסיס bbb לבסיס 101010

מעבר מבסיס 101010 לבסיס bbb כלשהו

מעבר בין בסיסים

אריטמטיקה בבסיסים שונים

חיבור וחיסור בבסיס 2

חיבור בבסיס 16

שיטת המשלים ל-2

נקודה צפה - floating pointfloating\; pointfloatingpoint

קודים בינאריים וציקלים

קודים בינאריים לקידוד ספרות בבסיס 101010

קודים משוקללים

קודים ציקלים

המרה מקוד בינארי לקוד GrayGrayGray

תרגול

הבסיס העשרוני

מעבר מבסיס bbb לבסיס 101010

מעבר מבסיס 101010 לבסיס bbb כלשהו

מעבר בין בסיסים

אריטמטיקה בבסיסים שונים

חיבור וחיסור בבסיס 2

חיבור בבסיס 16

שיטת המשלים ל-2

נקודה צפה - floating pointfloating\; pointfloatingpoint

קודים בינאריים וציקלים

קודים בינאריים לקידוד ספרות בבסיס 101010

קודים משוקללים

קודים ציקלים

המרה מקוד בינארי לקוד GrayGrayGray

תרגול

מעבר מבסיס $b$ לבסיס $10$

מעבר מבסיס $10$ לבסיס $b$ כלשהו

נקודה צפה - $floating\; point$

קודים בינאריים לקידוד ספרות בבסיס $10$

המרה מקוד בינארי לקוד $Gray$

מעבר מבסיס $b$ לבסיס $10$

מעבר מבסיס $10$ לבסיס $b$ כלשהו

נקודה צפה - $floating\; point$

קודים בינאריים לקידוד ספרות בבסיס $10$

המרה מקוד בינארי לקוד $Gray$