שאלון 5 — מערכות ספרתיות ומבנה המחשב

תרגיל (1)

הזכרו בפעולת חיבור מודולו 2. איזה שער לוגי מבצע פעולת חיבור מודולו 2?
א. $NOR$
ב. $NAND$
ג. $XOR$
ד. $AND$
ה. $OR$

הפעולה חיבור מודולו 2 מקיימת:

0+0\equiv 0 (mod\; 2) \qquad 0+1\equiv 1 (mod\; 2) \qquad 1+1\equiv 0(mod\; 2)

נבנה טבלת אמת:

\begin{array}{|cc|c|} \hline x & y & (x+y)(mod\; 2) \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}

זה בדיוק השער הלוגי $XOR$ . כלומר:

(x+y)(mod\; 2)=x \oplus y

ולכן זוהי התשובה :)

תרגיל (2)

אנחנו מעוניינים לבצע פעולת כפל בין שני מספרים בני 3 סיביות.
מספר $a=a_{2}a_{1}a_{0}$ כאשר $a_{2}$ הוא ה- $MSB$ .
באותו האופן, $b=b_{2}b_{1}b_{0}$ כאשר $b_{2}$ הוא ה- $MSB$ .
בחרו את התשובה הנכונה המכילה את הפרטים החסרים במקום סימוני ה- $X_{i}$ :

a\cdot b=a_{0}(4b_{2}+2b_{1}+X_{0}b_{0})+X_{1}(8b_{2}+4b_{1}+2b_{0}+X_{2})+a_{2}(16b_{2}+8b_{1}+4X_{3})

שימו לב, כל הפעולות נעשות בבסיס $10$ .

א. $X_{0}=0,X_{1}=a_{1},X_{2}=1,X_{3}=b_{0}$
ב. $X_{0}=4,X_{1}=a_{2},X_{2}=0,X_{3}=b_{1}$
ג. $X_{0}=1,X_{1}=a_{2},X_{3}=0,X_{3}=b_{1}$
ד. $X_{0}=1,X_{1}=a_{1},X_{2}=0,X_{3}=b_{0}$

נניח כי $a_{2},a_{1},a_{0},b_{2},b_{1},b_{0}\in \left\{ 0,1 \right\}$ . אנו נדרשים לבצע כך:

a_{(10)}=4a_{2}+2a_{1}+a_{0} \qquad \qquad b_{(10)}=4b_{2}+2b_{1}+b_{0}

הכפל ביניהם יראה כך:

\tiny ab=(4a_{2}+2a_{1}+a_{0})(4b_{2}+2b_{1}+b_{0})=16a_{2}b_{2}+8a_{2}b_{1}+4a_{2}b_{0}+8a_{1}b_{2}+4a_{1}b_{1}+2a_{1}b_{0}+4a_{0}b_{2}+2a_{0}b_{1}+a_{0}b_{0}

נשווה זאת למה שיש לנו בנתון:

ab=4a_{0}b_{2}+2a_{0}b_{1}+X_{0}a_{0}b_{0}+8X_{1}b_{2}+4X_{1}b_{1}+2X_{1}b_{0}+X_{1}X_{2}+16b_{2}a_{2}+8a_{2}b_{1}+4X_{3}a_{2}

נסתכל על רכיבים הבודדים:

\begin{cases} 16a_{2}b_{2}=16b_{2}a_{2} \;\checkmark \\ 8a_{2}b_{1}=8a_{2}b_{1}\;\checkmark \\ 4a_{2}b_{0}=4a_{2}X_{3} \implies X_{3}=b_{0} \\ 8a_{1}b_{2}=8X_{1}b_{2} \implies X_{1}=a_{1} \\ 4a_{1}b_{1}=4X_{1}b_{1} \implies X_{1}=a_{1} \\ 2a_{1}b_{0}=2X_{1}b_{0}\implies X_{1}=a_{1} \\ 4a_{0}b_{2}=4a_{0}b_{2}\;\checkmark \\ 2a_{0}b_{1}=2a_{0}b_{1}\;\checkmark \\ a_{0}b_{0}=X_{0}a_{0}b_{0} \implies X_{0}=1 \end{cases}

ולכן מתקיים:

X_{0}=1,X_{1}=a_{1},X_{2}=0,X_{3}=b_{0}

שזוהי תשובה ד'.

תרגיל (1)

הזכרו בפעולת חיבור מודולו 2. איזה שער לוגי מבצע פעולת חיבור מודולו 2?
א. $NOR$
ב. $NAND$
ג. $XOR$
ד. $AND$
ה. $OR$

הפעולה חיבור מודולו 2 מקיימת:

0+0\equiv 0 (mod\; 2) \qquad 0+1\equiv 1 (mod\; 2) \qquad 1+1\equiv 0(mod\; 2)

נבנה טבלת אמת:

\begin{array}{|cc|c|} \hline x & y & (x+y)(mod\; 2) \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}

זה בדיוק השער הלוגי $XOR$ . כלומר:

(x+y)(mod\; 2)=x \oplus y

ולכן זוהי התשובה :)

תרגיל (2)

a\cdot b=a_{0}(4b_{2}+2b_{1}+X_{0}b_{0})+X_{1}(8b_{2}+4b_{1}+2b_{0}+X_{2})+a_{2}(16b_{2}+8b_{1}+4X_{3})

שימו לב, כל הפעולות נעשות בבסיס $10$ .

א. $X_{0}=0,X_{1}=a_{1},X_{2}=1,X_{3}=b_{0}$
ב. $X_{0}=4,X_{1}=a_{2},X_{2}=0,X_{3}=b_{1}$
ג. $X_{0}=1,X_{1}=a_{2},X_{3}=0,X_{3}=b_{1}$
ד. $X_{0}=1,X_{1}=a_{1},X_{2}=0,X_{3}=b_{0}$

נניח כי $a_{2},a_{1},a_{0},b_{2},b_{1},b_{0}\in \left\{ 0,1 \right\}$ . אנו נדרשים לבצע כך:

a_{(10)}=4a_{2}+2a_{1}+a_{0} \qquad \qquad b_{(10)}=4b_{2}+2b_{1}+b_{0}

הכפל ביניהם יראה כך:

\tiny ab=(4a_{2}+2a_{1}+a_{0})(4b_{2}+2b_{1}+b_{0})=16a_{2}b_{2}+8a_{2}b_{1}+4a_{2}b_{0}+8a_{1}b_{2}+4a_{1}b_{1}+2a_{1}b_{0}+4a_{0}b_{2}+2a_{0}b_{1}+a_{0}b_{0}

נשווה זאת למה שיש לנו בנתון:

ab=4a_{0}b_{2}+2a_{0}b_{1}+X_{0}a_{0}b_{0}+8X_{1}b_{2}+4X_{1}b_{1}+2X_{1}b_{0}+X_{1}X_{2}+16b_{2}a_{2}+8a_{2}b_{1}+4X_{3}a_{2}

נסתכל על רכיבים הבודדים:

\begin{cases} 16a_{2}b_{2}=16b_{2}a_{2} \;\checkmark \\ 8a_{2}b_{1}=8a_{2}b_{1}\;\checkmark \\ 4a_{2}b_{0}=4a_{2}X_{3} \implies X_{3}=b_{0} \\ 8a_{1}b_{2}=8X_{1}b_{2} \implies X_{1}=a_{1} \\ 4a_{1}b_{1}=4X_{1}b_{1} \implies X_{1}=a_{1} \\ 2a_{1}b_{0}=2X_{1}b_{0}\implies X_{1}=a_{1} \\ 4a_{0}b_{2}=4a_{0}b_{2}\;\checkmark \\ 2a_{0}b_{1}=2a_{0}b_{1}\;\checkmark \\ a_{0}b_{0}=X_{0}a_{0}b_{0} \implies X_{0}=1 \end{cases}

ולכן מתקיים:

X_{0}=1,X_{1}=a_{1},X_{2}=0,X_{3}=b_{0}

שזוהי תשובה ד'.