הרצאה 1 | 23.10

הערה (המלצה חמה)

מומלץ לקרוא את המיילים שמקבלים מהקורסים שרשומים אליהם.
אפילו שהטכניון מעט חופר

מספר הנקודות בצלע - $n$	פתרון בתוך הקופסא	פתרון מחוץ לקופסא
$3$	5	4
$4$	7	6
$5$	ניחוש: 9	ניחוש: 8
$6$	ניחוש: 11	ניחוש: 10
$n>3$	$2n-1$	$2n-2$

משפט

ניתן לפתור ריבוע $n\mathtt{x}n$ עם $2n-1$ קווים בתוך הקופסה.

הוכחה:
נסתכל פה רק על *רעיון ההוכחה:

להמשיך באופן ספירלי את הפתרון של $3\mathtt{x} 3$ .
באופן פורמלי:
אינדוקציה
‎ ∎

שיעורי בית (HW)

לצפות בסרטונים 22-40 לפני ההרצאה הבאה.
מתוך הקורס שלו פרק "סדרות ואינדוקציה" ביוטיוב

משפט

ניתן לפתור ריבוע $n\mathtt{x}n$ כאשר $n>5$ בתוך הקופסה עם $2n-2$ קווים.

השערה (להמשך חשיבה)

לא ניתן לפתור עם $2n-3$ קווים.

הערה (חידות נוספות)

למצוא פתרון עם 6 קווים $4x4$ בו דרך כל נקודה עובר קו 1.
פתרון $3x3$ עם קו אחד. רמז: לחשוב מחוץ למישור

סימונים ומושגים

\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}

זוהי קבוצת המספרים הטבעים אשר סימונה $\mathbb{N}$ כתחילת המילה האנגלית $natural$ .
נסתכל על כמה סימנים:

4\in \mathbb{N}

משמעו, 4 שייך לקבוצה $\mathbb{N}$ .

\frac{2}{3}\not\in \mathbb{N}

משמעו, $\frac{2}{3}$ לא שייך לקבוצה $\mathbb{N}$ .

הקבוצות שנדבר עליהן: $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ .

קיימות הקבוצות: $A,B$ .

A \cup B=\{x|x \in A\ or\ x \in B\}

זהו סימן האיחוד וההבא שנסתכל עליו הוא סימן החיתוך:

A \cap B =\{x|x\in A,x \in B\}

כעת, נסתכל על סימן הפחות:

A \setminus B=\{x|x \in A, x \not\in B\}

דוגמה

המספרים הזוגיים: $A=\{2n|n \in \mathbb{N}\}$
המספרים האי זוגיים: $B=\{2n+1|n \in \mathbb{N}\}$

A \cup B= \mathbb{N}\quad A \cap B= \emptyset \quad A,B \subset \mathbb{N} \quad \mathbb{N} \setminus B=A

דיאגרמת וון:
שבוע הכנה 2025-10-24 14.13.07.excalidraw.svg

טענה

A \cup B=A \cup C\implies B=C

הטענה אינה נכונה. דוגמה נגדית:

A=\{ 1,2 \}\qquad A \cup B=\{ 1,2 \}=A

B=\{ 1 \}\qquad A \cup C=\{ 1,2 \}=A

C=\{ 2 \}\qquad\qquad A=A

הגענו לסתירה: $B\neq C$

שיעורי בית (HW)

טענה: אם $A \cup B \subseteq A \cup C$ וגם $A \cup C \subseteq A \cup D$ אזי $B \subseteq C$ .
הוכיחו או הפריכו.

תרגיל (שיעורי הבית)

נפריך באמצעות דוגמה נגדית:

A=\{ 1,2,3 \}\qquad B=\{ 2,3 \} \qquad C=\{ 1,3 \} \qquad D=\{ 1,2 \}

A \cup B=A \subseteq A \cup C=A

A \cup C = A \subseteq A \cup D = A

B \not\subseteq D

טענה

A=B \Leftrightarrow A \subseteq B\ and\ B \subseteq A

הוכחה:
⇐:
לפי הנתון $A=B$ . אם $x \in A$ אז $x \in B$ ולכן $A \subseteq B$ .
ואם $x \in B$ אז $x \in A$ ולכן $B \subseteq A$ .

⇒:
נתון $A \subseteq B$ ולכן אם $x \in A$ אז $x \in B$ .
נתון גם $B \subseteq A$ ולכן אם $x \in B$ אז $x \in A$ .
לכן, $A=B$ .
‎ ∎

טענה

לכל $A,B,C$ מתקיים:

A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)

הוכחה:
הראה "הכלה דו כיוונית", כלומר נשתמש בטענה הקודמת.

יהי $x \in A \cup(B \cap C)$ . לכן $x \in A$ או $x \in B \cap C$ .
אם $x \in A$ אז $x \in A \cup B$ וגם $x \in A \cup C$ ולכן:

x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)

אחרת, אם $x \in B \cap C$ אז $x \in B$ וגם $x \in C$ ולכן $x \in A \cup B$ וגם $x \in A \cup C$ . ולכן:

x \in (A \cup B)\cap(A \cup C)

הצד השני: HW.

תרגיל (שיעורי הבית)

נקח $x \in(A \cup B)\cap(A \cup C)$ לכן:

x \in A \cup B \qquad x \in A \cup C

לכן, או ש- $x \in A$ או $x \in B,x \in C$ (או גם וגם)
אם $x \in A$ , אז $x \in A \cup(B \cap C)$ ולכן:

(A \cup B) \cap(A \cup C)\subseteq A \cup(B \cap C)

אחרת, אם $x \in B,x \in C$ , אז $x \in B \cap C$ , ולכן:

(A \cup B) \cap(A \cup C)\subseteq A \cup(B \cap C)

מכיוון ש $(A \cup B)\cap(A \cup C)\subseteq A \cup(B \cap C)$ וגם $A \cup(B \cap C)\subseteq(A \cup B)\cap(A \cup C)$ :

(A \cup B)\cap(A \cup C)=A \cup(B \cap C)

‎ ∎

שיעורי בית (HW)

הוכיחו או הפריכו:

אם $A \cup C=B \cup C$ וגם $A \cap C=B \cap C$ אז $A=B$ .
הטענה: $A \cup(B \cap C)=(A \cup B)\cap C$

תרגיל (שיעורי הבית 1)

נוכיח בעזרת "הכלה דו כיוונית":
כיוון א:

x \in A,C \implies x \in B \cap C,B \cup C \implies x \in B \implies A \subseteq B

כיוון ב:

x \in B,C \implies x \in A \cap C, A \cup C \implies x \in A\implies B \subseteq A

ולכן: $A=B$

תרגיל (שיעורי הבית 2)

נפריך באמצעות דוגמה נגדית.

A=\{ 1,2,3 \}\quad B=\{ 4,5,6 \}\quad C=\{ 1,2,6,5 \}

A \cup(B \cap C)=\{ 1,2,3,5,6 \}

C \cap (A \cup B)=\{ 1,2,5,6 \}

\{ 1,2,3,5,6 \}\neq \{ 1,2,5,6 \} \implies A \cup(B \cap C)\neq C \cap(A \cup B)

טענה

לא קיים מספר רציונלי חיובי(מנה של שני טבעיים) הכי קטן.

הוכחה: בשלילה.
נניח בשלילה כי קיים מספר רציונלי חיובי הכי קטן. נסמן אותו $\frac{m}{n}$ .
אבל אז $\frac{m}{2n}$ גם הוא רציונלי חיובי שיותר קטן מ- $\frac{m}{n}$ . סתירה.
‎ ∎

תרגול 1 | 26.10

סדרה חשבונית

a_{n+1}-a_{n}=d

a_{n}=a_{n}+(n-1)d

S_{1}=[2a_{1}+(n-1)d] \frac{n}{2}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}

סדרה הנדסית

\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q

a_{n}=a_{1}q^{n-1}

S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^n)}{1-q}

סכום סדרה הנדסית $\infty$ מתכנסת:

S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-q}\qquad |q|<1

חוקי לוגריטמים

\ln x, x>0

\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b

\ln ab=\ln a+\ln b

\ln a^b=b\ln a

תרגיל

נתונות הסדרות:

(1) a_{n}=2n+1\qquad (2) b_{n}=\ln a_{n}

קבעו אם הסדרות חשבוניות או הנדסיות.

הרצאה 1 | 23.10

הערה (המלצה חמה)

מומלץ לקרוא את המיילים שמקבלים מהקורסים שרשומים אליהם.
אפילו שהטכניון מעט חופר

מספר הנקודות בצלע - $n$	פתרון בתוך הקופסא	פתרון מחוץ לקופסא
$3$	5	4
$4$	7	6
$5$	ניחוש: 9	ניחוש: 8
$6$	ניחוש: 11	ניחוש: 10
$n>3$	$2n-1$	$2n-2$

משפט

ניתן לפתור ריבוע $n\mathtt{x}n$ עם $2n-1$ קווים בתוך הקופסה.

הוכחה:
נסתכל פה רק על *רעיון ההוכחה:

להמשיך באופן ספירלי את הפתרון של $3\mathtt{x} 3$ .
באופן פורמלי:
אינדוקציה
‎ ∎

שיעורי בית (HW)

לצפות בסרטונים 22-40 לפני ההרצאה הבאה.
מתוך הקורס שלו פרק "סדרות ואינדוקציה" ביוטיוב

משפט

ניתן לפתור ריבוע $n\mathtt{x}n$ כאשר $n>5$ בתוך הקופסה עם $2n-2$ קווים.

השערה (להמשך חשיבה)

לא ניתן לפתור עם $2n-3$ קווים.

הערה (חידות נוספות)

למצוא פתרון עם 6 קווים $4x4$ בו דרך כל נקודה עובר קו 1.
פתרון $3x3$ עם קו אחד. רמז: לחשוב מחוץ למישור

סימונים ומושגים

\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}

זוהי קבוצת המספרים הטבעים אשר סימונה $\mathbb{N}$ כתחילת המילה האנגלית $natural$ .
נסתכל על כמה סימנים:

4\in \mathbb{N}

משמעו, 4 שייך לקבוצה $\mathbb{N}$ .

\frac{2}{3}\not\in \mathbb{N}

משמעו, $\frac{2}{3}$ לא שייך לקבוצה $\mathbb{N}$ .

הקבוצות שנדבר עליהן: $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ .

קיימות הקבוצות: $A,B$ .

A \cup B=\{x|x \in A\ or\ x \in B\}

זהו סימן האיחוד וההבא שנסתכל עליו הוא סימן החיתוך:

A \cap B =\{x|x\in A,x \in B\}

כעת, נסתכל על סימן הפחות:

A \setminus B=\{x|x \in A, x \not\in B\}

דוגמה

המספרים הזוגיים: $A=\{2n|n \in \mathbb{N}\}$
המספרים האי זוגיים: $B=\{2n+1|n \in \mathbb{N}\}$

A \cup B= \mathbb{N}\quad A \cap B= \emptyset \quad A,B \subset \mathbb{N} \quad \mathbb{N} \setminus B=A

דיאגרמת וון:
שבוע הכנה 2025-10-24 14.13.07.excalidraw.svg

טענה

A \cup B=A \cup C\implies B=C

הטענה אינה נכונה. דוגמה נגדית:

A=\{ 1,2 \}\qquad A \cup B=\{ 1,2 \}=A

B=\{ 1 \}\qquad A \cup C=\{ 1,2 \}=A

C=\{ 2 \}\qquad\qquad A=A

הגענו לסתירה: $B\neq C$

שיעורי בית (HW)

טענה: אם $A \cup B \subseteq A \cup C$ וגם $A \cup C \subseteq A \cup D$ אזי $B \subseteq C$ .
הוכיחו או הפריכו.

תרגיל (שיעורי הבית)

נפריך באמצעות דוגמה נגדית:

A=\{ 1,2,3 \}\qquad B=\{ 2,3 \} \qquad C=\{ 1,3 \} \qquad D=\{ 1,2 \}

A \cup B=A \subseteq A \cup C=A

A \cup C = A \subseteq A \cup D = A

B \not\subseteq D

טענה

A=B \Leftrightarrow A \subseteq B\ and\ B \subseteq A

הוכחה:
⇐:
לפי הנתון $A=B$ . אם $x \in A$ אז $x \in B$ ולכן $A \subseteq B$ .
ואם $x \in B$ אז $x \in A$ ולכן $B \subseteq A$ .

⇒:
נתון $A \subseteq B$ ולכן אם $x \in A$ אז $x \in B$ .
נתון גם $B \subseteq A$ ולכן אם $x \in B$ אז $x \in A$ .
לכן, $A=B$ .
‎ ∎

טענה

לכל $A,B,C$ מתקיים:

A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)

הוכחה:
הראה "הכלה דו כיוונית", כלומר נשתמש בטענה הקודמת.

יהי $x \in A \cup(B \cap C)$ . לכן $x \in A$ או $x \in B \cap C$ .
אם $x \in A$ אז $x \in A \cup B$ וגם $x \in A \cup C$ ולכן:

x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)

אחרת, אם $x \in B \cap C$ אז $x \in B$ וגם $x \in C$ ולכן $x \in A \cup B$ וגם $x \in A \cup C$ . ולכן:

x \in (A \cup B)\cap(A \cup C)

הצד השני: HW.

תרגיל (שיעורי הבית)

נקח $x \in(A \cup B)\cap(A \cup C)$ לכן:

x \in A \cup B \qquad x \in A \cup C

לכן, או ש- $x \in A$ או $x \in B,x \in C$ (או גם וגם)
אם $x \in A$ , אז $x \in A \cup(B \cap C)$ ולכן:

(A \cup B) \cap(A \cup C)\subseteq A \cup(B \cap C)

אחרת, אם $x \in B,x \in C$ , אז $x \in B \cap C$ , ולכן:

(A \cup B) \cap(A \cup C)\subseteq A \cup(B \cap C)

מכיוון ש $(A \cup B)\cap(A \cup C)\subseteq A \cup(B \cap C)$ וגם $A \cup(B \cap C)\subseteq(A \cup B)\cap(A \cup C)$ :

(A \cup B)\cap(A \cup C)=A \cup(B \cap C)

‎ ∎

שיעורי בית (HW)

הוכיחו או הפריכו:

אם $A \cup C=B \cup C$ וגם $A \cap C=B \cap C$ אז $A=B$ .
הטענה: $A \cup(B \cap C)=(A \cup B)\cap C$

תרגיל (שיעורי הבית 1)

נוכיח בעזרת "הכלה דו כיוונית":
כיוון א:

x \in A,C \implies x \in B \cap C,B \cup C \implies x \in B \implies A \subseteq B

כיוון ב:

x \in B,C \implies x \in A \cap C, A \cup C \implies x \in A\implies B \subseteq A

ולכן: $A=B$

תרגיל (שיעורי הבית 2)

נפריך באמצעות דוגמה נגדית.

A=\{ 1,2,3 \}\quad B=\{ 4,5,6 \}\quad C=\{ 1,2,6,5 \}

A \cup(B \cap C)=\{ 1,2,3,5,6 \}

C \cap (A \cup B)=\{ 1,2,5,6 \}

\{ 1,2,3,5,6 \}\neq \{ 1,2,5,6 \} \implies A \cup(B \cap C)\neq C \cap(A \cup B)

טענה

לא קיים מספר רציונלי חיובי(מנה של שני טבעיים) הכי קטן.

תרגול 1 | 26.10

סדרה חשבונית

a_{n+1}-a_{n}=d

a_{n}=a_{n}+(n-1)d

S_{1}=[2a_{1}+(n-1)d] \frac{n}{2}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}

סדרה הנדסית

\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q

a_{n}=a_{1}q^{n-1}

S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^n)}{1-q}

סכום סדרה הנדסית $\infty$ מתכנסת:

S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-q}\qquad |q|<1

חוקי לוגריטמים

\ln x, x>0

\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b

\ln ab=\ln a+\ln b

\ln a^b=b\ln a

תרגיל

נתונות הסדרות:

(1) a_{n}=2n+1\qquad (2) b_{n}=\ln a_{n}

קבעו אם הסדרות חשבוניות או הנדסיות.

אינפי 1מ

אינפי 1מ

אינפי 1מ

אינפי 1מ

הרצאה 1 | 23.10

סימונים ומושגים

תרגול 1 | 26.10

סדרה חשבונית

סדרה הנדסית

חוקי לוגריטמים

הרצאה 1 | 23.10

סימונים ומושגים

תרגול 1 | 26.10

סדרה חשבונית

סדרה הנדסית

חוקי לוגריטמים