תרגול 1 | 22.10
משוואה ריבועית
כרגע: a , b , c ∈ R a,b,c \in \mathbb{R} a , b , c ∈ R
f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c f ( x ) = a x 2 + b x + c משוואה ריבועית הינה: a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a ≠ 0 a \neq0 a = 0
x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{ b^2-4ac }}{2a} x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c שורש: x 1 ⇔ f ( x 1 ) = 0 x_{1} \Leftrightarrow f(x_{1})=0 x 1 ⇔ f ( x 1 ) = 0
פירוק
f ( x ) = a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}) f ( x ) = a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) גורם : איבר במכפלה.ליניארי : ממעלה ראשונה.
טרינום
f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 ⟹ x 1 + x 2 = − 3 & x 1 ⋅ x 2 = 2 f(x)=x^2-3x+2\implies\qquad x_{1}+x_{2}=-3\quad \text{\&}\quad x_{1}\cdot x_{2}=2 f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 ⟹ x 1 + x 2 = − 3 & x 1 ⋅ x 2 = 2 f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) f(x)=(x-1)(x-2) f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) דיסקרימיננטה Δ
Δ = b 2 − 4 a c \Delta=b^2-4ac Δ = b 2 − 4 a c ישנם כמה מצבים עליהם נסתכל:
אם Δ = 0 \Delta=0 Δ = 0 : רק שורש אחד למשוואה.(שורש 1 מריבוי 2, כלומר, פתרון אחד מופיע פעמיים).אם Δ < 0 \Delta<0 Δ < 0 : אין פתרון ממשי.אם Δ > 0 \Delta>0 Δ > 0 : ישנם 2 2 2
נוסחאות וייאטה
מדברות על קשרים בין השורשים יחסית למקדמים של המשוואה.
x 1 + x 2 = − b a x 1 ⋅ x 2 = c a x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\qquad \qquad x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a} x 1 + x 2 = − a b x 1 ⋅ x 2 = a c יש נוסחאות וויאטה לכל פולינום מכל מעלה.
מצאו את כל ערכי m ∈ R , m ≠ 2 m \in \mathbb{R}, m\neq 2 m ∈ R , m = 2
1 m − 2 x 2 + 3 x + 2 ( m − 3 ) = 0 \frac{1}{m-2}x^2+3x+2(m-3)=0 m − 2 1 x 2 + 3 x + 2 ( m − 3 ) = 0 אין פתרון ממשי
אין פתרון ממשי משמעו כי Δ < 0 \Delta<0 Δ < 0
b 2 − 4 a c < 0 b^2-4ac<0 b 2 − 4 a c < 0 9 − 4 ⋅ 1 m − 2 ⋅ 2 ( m − 3 ) < 0 9-4\cdot \frac{1}{m-2}\cdot2(m-3)<0 9 − 4 ⋅ m − 2 1 ⋅ 2 ( m − 3 ) < 0 m ≠ 2 ⟹ m − 2 ≠ 0 m\neq 2\implies m-2\neq 0 m = 2 ⟹ m − 2 = 0 9 m − 18 m − 2 − 4 2 m − 6 m − 2 < 0 \frac{9m-18}{m-2}-4 \frac{2m-6}{m-2}<0 m − 2 9 m − 18 − 4 m − 2 2 m − 6 < 0 9 m − 18 − 8 m + 24 m − 2 < 0 \frac{9m-18-8m+24}{m-2}<0 m − 2 9 m − 18 − 8 m + 24 < 0 m + 6 m − 2 < 0 \frac{m+6}{m-2}<0 m − 2 m + 6 < 0 − 6 < m < 2 -6<m<2 − 6 < m < 2
נתונה המשוואה: a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a > 1 0 < b < 1 c > 1 a>1\quad 0<b<1\quad c>1 a > 1 0 < b < 1 c > 1 a > 1 b > 1 c > 1 a>1\quad b>1\quad c>1 a > 1 b > 1 c > 1 a > 1 − 1 < b < 0 c < − 1 a>1\quad -1<b<0\quad c<-1 a > 1 − 1 < b < 0 c < − 1 a < − 1 − 1 < b < 0 c > 1 a<-1\quad -1<b<0\quad c>1 a < − 1 − 1 < b < 0 c > 1 a < − 1 0 < b < 1 c > 1 a<-1\quad 0<b<1\quad c>1 a < − 1 0 < b < 1 c > 1
b 2 − 4 a c < 0 b^2-4ac<0 b 2 − 4 a c < 0 הטענה 0 < b < 1 0<b<1 0 < b < 1 0 < b 2 < 1 0<b^2<1 0 < b 2 < 1 c > 1 , a > 1 c>1,a>1 c > 1 , a > 1 4 a c > b 2 4ac>b^2 4 a c > b 2 b 2 − 4 a c < 0 b^2-4ac<0 b 2 − 4 a c < 0 א .
אם a , c a,c a , c Δ > 0 \Delta>0 Δ > 0
נתונה המשוואה הבאה עם התנאים: m ∈ R , 0 < m < 1 m \in \mathbb{R},0<m<1 m ∈ R , 0 < m < 1
m x 2 + 2 ( m − 2 ) x + m 2 = 0 mx^2+2(m-2)x+m^2=0 m x 2 + 2 ( m − 2 ) x + m 2 = 0 בחרו את הטענה הנכונה:
Δ = 4 ( m − 2 ) 2 − 4 m ⋅ m 2 = 4 ( m 2 − 4 m + 4 ) − 4 m 3 = 4 ( m 2 ( 1 − m ) + 4 ( 1 − m ) ) = 4 ( 1 − m ) ( m 2 + 4 ) \Delta=4(m-2)^2-4m \cdot m^2=4(m^2-4m+4)-4m^3=4(m^2(1-m)+4(1-m))=4(1-m)(m^2+4) Δ = 4 ( m − 2 ) 2 − 4 m ⋅ m 2 = 4 ( m 2 − 4 m + 4 ) − 4 m 3 = 4 ( m 2 ( 1 − m ) + 4 ( 1 − m )) = 4 ( 1 − m ) ( m 2 + 4 ) במידה ו-m < 1 m<1 m < 1 0 < m < 1 0<m<1 0 < m < 1 Δ > 0 \Delta>0 Δ > 0 לפי וויאטה:
x 1 ⋅ x 2 = a c = m 2 m = m > 0 x_{1}\cdot x_{2}=\frac{a}{c}=\frac{m^2}{m}=m>0 x 1 ⋅ x 2 = c a = m m 2 = m > 0 לכן, 2 השורשים בעלי אותו הסימן.
x 1 + x 2 = − b a = − 2 ( m − 2 ) m x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=- \frac{2(m-2)}{m} x 1 + x 2 = − a b = − m 2 ( m − 2 ) מכיון ש-0 < m < 1 0<m<1 0 < m < 1 א .
נתונה משפחת הפונקציות:
y = ( m − 1 ) x 2 + m x + m + 1 y=(m-1)x^2+mx+m+1 y = ( m − 1 ) x 2 + m x + m + 1 מצאו את משוואת הישר השייך למשפחה זו והוכיחו כי כל פרבולה השייכת למשפחה נמצאת מעל או מתחת לישר(לא חותכת אותו ולא משיקה לו).
הישר:
m − 1 = 0 ⟹ m = 1 ⟹ y = x + 2 m-1=0\implies m=1\implies y=x+2 m − 1 = 0 ⟹ m = 1 ⟹ y = x + 2 זר לשאר:
m ≠ 1 , x + 2 = ( m − 1 ) x 2 + m x + m + 1 m\neq1, \qquad x+2=(m-1)x^2+mx+m+1 m = 1 , x + 2 = ( m − 1 ) x 2 + m x + m + 1 0 = ( m − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 0=(m-1)(x^2+x+1) 0 = ( m − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x 2 + x + 1 = 0 x^2+x+1=0 x 2 + x + 1 = 0 נוודא כי Δ < 0 \Delta<0 Δ < 0
Δ = 1 − 4 ∗ 4 ∗ 1 = 1 − 4 = − 3 < 0 \Delta=1-4*4*1=1-4=-3<0 Δ = 1 − 4 ∗ 4 ∗ 1 = 1 − 4 = − 3 < 0 ולכן, למשוואה אין פתרון ממשי ולכן אין נקודת חיתוך .
m x 4 + ( 2 m − 2 ) x 2 + 3 m − 1 = 0 mx^4+(2m-2)x^2+3m-1=0 m x 4 + ( 2 m − 2 ) x 2 + 3 m − 1 = 0 כאשר: m ∈ R , 1 3 < m < 1 2 m \in \mathbb{R}, \frac{\frac{1}{3}<m<1}{2} m ∈ R , 2 3 1 < m < 1
מה שצריך לעשות פה זה לכנות את t = x 2 t=x^2 t = x 2
m t 2 + ( 2 m − 2 ) t + 3 m − 1 = 0 mt^2+(2m-2)t+3m-1=0 m t 2 + ( 2 m − 2 ) t + 3 m − 1 = 0 אם Δ < 0 \Delta<0 Δ < 0 Δ > 0 \Delta >0 Δ > 0 t = x 2 t=x^2 t = x 2 x = ± t x=\pm \sqrt{ t } x = ± t x 1 > 0 , x 2 < 0 x_{1}>0,x_{2}<0 x 1 > 0 , x 2 < 0
פולינומים
פולינום הוא ביטי מהצורה:
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0} f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 כאשר x x x n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N
הגדרה 2 (מספר הגדרות שונות על פולינום)
מעלת הפולינום: החזקה הגבוהה ביותר המופיעה בפולינום. במילים אחרות: a n ≠ 0 a_{n}\neq0 a n = 0 n n n אם כל המקדמים 0 0 0 פולינום האפס ומעלתו מוגדרת − ∞ -\infty − ∞
המקדם המוביל הוא a n ≠ 0 a_{n}\neq 0 a n = 0 n n n המקדם החופשי הינו a 0 a_{0} a 0
פולינומים:
y = x 5 + 3 x 2 − π x y=x^5+\sqrt{ 3 }x^2-\pi x y = x 5 + 3 x 2 − π x y = i x 2 − 1 y=ix^2-1 y = i x 2 − 1 לא פולינום:
y = x + 3 y=\sqrt{ x }+3 y = x + 3 יהיו f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f ( x ) , g ( x )
deg ( f ( x ) + g ( x ) ) \deg(f(x)+g(x)) deg ( f ( x ) + g ( x )) deg ( f ( x ) g ( x ) ) \deg(f(x)g(x)) deg ( f ( x ) g ( x ))
נראה כי:
deg ( f ( x ) + g ( x ) ) ≤ max { deg f ( x ) , deg g ( x ) } \deg(f(x)+g(x))\leq \max\{ \deg f(x), \deg g(x) \} deg ( f ( x ) + g ( x )) ≤ max { deg f ( x ) , deg g ( x )} deg ( f ( x ) g ( x ) ) = deg f ( x ) + deg g ( x ) \deg(f(x)g(x)) = \deg f(x)+\deg g(x) deg ( f ( x ) g ( x )) = deg f ( x ) + deg g ( x )
בהינתן 2 פולינומים f ( x ) , h ( x ) f(x),h(x) f ( x ) , h ( x ) h ( x ) ≠ 0 h(x)\neq 0 h ( x ) = 0 deg h ( x ) < deg f ( x ) \deg h(x) < \deg f(x) deg h ( x ) < deg f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) r ( x ) r(x) r ( x )
f ( x ) h ( x ) = g ( x ) + r ( x ) h ( x ) \frac{f(x)}{h(x)}=g(x)+\frac{r(x)}{h(x)} h ( x ) f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) r ( x ) f ( x ) = h ( x ) ⋅ g ( x ) + r ( x ) f(x)=h(x)\cdot g(x)+r(x) f ( x ) = h ( x ) ⋅ g ( x ) + r ( x ) בנוסף:
deg r ( x ) < deg h ( x ) \deg r(x) < \deg h(x) deg r ( x ) < deg h ( x ) deg g ( x ) = deg f ( x ) − deg h ( x ) \deg g(x)=\deg f(x)-\deg h(x) deg g ( x ) = deg f ( x ) − deg h ( x )
יהיו h ( x ) , f ( x ) h(x),f(x) h ( x ) , f ( x ) h ( x ) h(x) h ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) r ( x ) = 0 r(x)=0 r ( x ) = 0
f ( x ) = h ( x ) ⋅ g ( x ) f(x)=h(x)\cdot g(x) f ( x ) = h ( x ) ⋅ g ( x )
אם h ( x ) = x − 2 h(x)=x-2 h ( x ) = x − 2 f ( x ) f(x) f ( x ) ( x − α ) (x-\alpha) ( x − α ) f ( α ) = r f(\alpha)=r f ( α ) = r
f ( x ) = g ( x ) ( x − α ) + r f(x)=g(x)(x-\alpha)+r f ( x ) = g ( x ) ( x − α ) + r אם נציב α \alpha α f ( α ) = r f(\alpha)=r f ( α ) = r
f ( x ) = 5 x 4 − 3 x 3 − 2 , h ( x ) = x − 1 f(x)=5x^4-3x^3-2,\quad h(x)=x-1 f ( x ) = 5 x 4 − 3 x 3 − 2 , h ( x ) = x − 1 נשים לב כי f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 או ( x − 1 ) (x-1) ( x − 1 ) f ( x ) f(x) f ( x )
מסקנה: α \alpha α f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = ( x − α ) g ( x ) f(x)=(x-\alpha)g(x) f ( x ) = ( x − α ) g ( x ) deg g ( x ) = deg f ( x ) − 1 \deg g(x)=\deg f(x)-1 deg g ( x ) = deg f ( x ) − 1 המשפט היסודי של האלגברה
משפט (המשפט היסודי של האלגברה)
לכל פולינום מעל C \mathbb{C} C מסקנה: לפולינום ממעלה n n n C \mathbb{C} C n n n
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0} f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = a n ( x − a 1 ) ( x − a 2 ) … ( x − a 1 ) =a_{n}(x-a_{1})(x-a_{2})\dots(x-a_{1}) = a n ( x − a 1 ) ( x − a 2 ) … ( x − a 1 ) הרצאה 1 | 26.10
עוצמה של קבוצה זה הגודל שלה.
A = { 1 , 2 , 3 } ⟹ # A = ∣ A ∣ = 3 A=\{1,2,3\}\implies \#A=|A|=3 A = { 1 , 2 , 3 } ⟹ # A = ∣ A ∣ = 3 מכפלה קרטזית של קבוצות
A ∗ B = { ( x , y ) ∣ x ∈ A , y ∈ B } A*B=\{(x,y)|x \in A,y \in B\} A ∗ B = {( x , y ) ∣ x ∈ A , y ∈ B }
A = { 1 , 2 , 3 } A=\{ 1,2,3 \} A = { 1 , 2 , 3 } B = { 4 , 5 } B=\{ 4,5 \} B = { 4 , 5 } A ∗ B = { ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) } A*B=\{ (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) \} A ∗ B = {( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 )} מרוכבים
ישנם כמה קבוצות של מספרים
N = { 1 , 2 , 3 , … } \mathbb{N}=\{ 1,2,3,\dots \} N = { 1 , 2 , 3 , … } Z = { … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … } \mathbb{Z}=\{ \dots,-2,-1,0,1,2,\dots \} Z = { … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … } Q = { m n ∣ m , n ∈ Z } \mathbb{Q}=\left\{ \frac{m}{n}|m,n \in \mathbb{Z} \right\} Q = { n m ∣ m , n ∈ Z } R = { − ∞ < x < ∞ } \mathbb{R}=\{ -\infty<x<\infty \} R = { − ∞ < x < ∞ }
נגדיר את i i i x 2 + 1 x^2+1 x 2 + 1
מספר מרוכב הוא מספר מהצורה a + b i a+bi a + bi a , b ∈ R a,b \in \mathbb{R} a , b ∈ R C \mathbb{C} C
C = { a + b i ∣ a , b ∈ R } \mathbb{C}=\{ a+bi | a,b \in \mathbb{R} \} C = { a + bi ∣ a , b ∈ R }
9 + 2 i , 5 , 0 , 4 i , 2 + 3 i 9+\sqrt{ 2 }i,\quad 5,\quad 0,\quad 4i,\quad 2+3i 9 + 2 i , 5 , 0 , 4 i , 2 + 3 i
יהא z = a + b i z=a+bi z = a + bi a , b ∈ R a,b \in \mathbb{R} a , b ∈ R a a a z z z R e ( z ) = a \mathrm{Re}(z)=a Re ( z ) = a b b b z z z I m ( z ) = b \mathrm{Im}(z)=b Im ( z ) = b
גם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם למעשה ממשיים.
R e ( z ) ∈ R I m ( z ) ∈ R \mathrm{Re}(z)\in \mathbb{R} \qquad \mathrm{Im}(z)\in \mathbb{R} Re ( z ) ∈ R Im ( z ) ∈ R
z = 5 + π i z=5+\pi i z = 5 + πi R e ( z ) = 5 I m ( z ) = π ≠ π i \mathrm{Re}(z)=5\qquad\qquad\qquad \mathrm{Im}(z)=\pi\neq \pi i Re ( z ) = 5 Im ( z ) = π = πi תיאור המספרים המרוכבים במישור
C = { a + b i ∣ a , b ∈ R } ≅ R ⋅ R = { ( a , b ) ∣ a , b ∈ R } \mathbb{C}=\{ a+bi|a,b \in \mathbb{R} \}\cong R \cdot R=\{ (a,b)|a,b \in \mathbb{R} \} C = { a + bi ∣ a , b ∈ R } ≅ R ⋅ R = {( a , b ) ∣ a , b ∈ R }
שוויון מספרים מרוכבים
נאמר a + b i = c + d i a+bi=c+di a + bi = c + d i a = c , b = d a=c,b=d a = c , b = d
במספרים מרוכבים אין סדר. כלומר, אין גדול או קטן יותר.
2 + 3 i ? ( < , > , ≥ , ≤ ) ? 1 + 9 i 2+3i\; ?(<,>,\geq,\leq)?\; 1+9i 2 + 3 i ? ( < , > , ≥ , ≤ )? 1 + 9 i
עבור מספר מרוכב z = a + b i z=a+bi z = a + bi ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣
∣ z ∣ = a 2 + b 2 |z|=\sqrt{ a^2+b^2 } ∣ z ∣ = a 2 + b 2 זהו כמובן מספר אי שלילי.
צמוד של מספר מרוכב
הצמוד של מספר מרוכב z = a + b i z=a+bi z = a + bi x x x
z ‾ = a − b i \overline{z}=a-bi z = a − bi
מצאו x , y x,y x , y
3 + 2 x + 4 x i = 3 y + 5 ( 2 y + x ) i 3+2x+4xi=3y+5(2y+x)i 3 + 2 x + 4 x i = 3 y + 5 ( 2 y + x ) i ע"פ יחידות ההצגה:
5 ( 2 y + x ) = 4 x 5(2y+x)=4x 5 ( 2 y + x ) = 4 x 10 y + 5 x = 4 x ⟹ 10 y = − x ⟹ x = − 10 y 10y+5x=4x\implies10y=-x\implies x=-10y 10 y + 5 x = 4 x ⟹ 10 y = − x ⟹ x = − 10 y 3 y = 3 + 2 x = 3 − 20 y 3y=3+2x=3-20y 3 y = 3 + 2 x = 3 − 20 y 23 = 3 ⟹ y = 3 23 ⟹ x = − 30 23 23=3\implies y=\frac{3}{23}\implies x=-\frac{30}{23} 23 = 3 ⟹ y = 23 3 ⟹ x = − 23 30 x , y = ( − 20 23 , 3 23 ) x,y=\left( -\frac{20}{23}, \frac{3}{23} \right) x , y = ( − 23 20 , 23 3 ) פעולות בינאריות על מספרים מרוכבים
f : C × C → C ⏟ תיראניב הלועפ \underbrace{f:\mathbb{C}\times \mathbb{C}\to \mathbb{C}}_{\text{תיראניב הלועפ}} תיראניב הלועפ f : C × C → C f : C → C ⏟ תיראנוא הלועפ \underbrace{f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}}_{\text{תיראנוא הלועפ}} תיראנוא הלועפ f : C → C
נתונים 2 מספרים מרוכבים.
x = a + b i , w = c + d i x=a+bi,\qquad w=c+di x = a + bi , w = c + d i כך ש-a , b , c , d ∈ R a,b,c,d \in \mathbb{R} a , b , c , d ∈ R
חיבור:
z + w = ( a + c ) + ( b + d ) i z+w=(a+c)+(b+d)i z + w = ( a + c ) + ( b + d ) i
הנגדי:
− z = − a − b i -z=-a-bi − z = − a − bi
חיסור: חיבור של הנגדיים.
z − w = z + ( − w ) = ( a − c ) + ( b − d ) i z-w=z+(-w)=(a-c)+(b-d)i z − w = z + ( − w ) = ( a − c ) + ( b − d ) i
כפל:
z w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i − b d = a c − b d + ( a d + b c ) i zw=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd=ac-bd+(ad+bc)i z w = ( a + bi ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i − b d = a c − b d + ( a d + b c ) i
חילוק: עבור 2 המספרים לעיל כאשר w ≠ 0 w\neq0 w = 0
z w = z w ∗ w ‾ w ‾ = z ⋅ w ‾ c 2 + d 2 \frac{z}{w}=\frac{z}{w}* \frac{\overline{w}}{\overline{w}}=\frac{z \cdot \overline{w}}{c^2+d^2} w z = w z ∗ w w = c 2 + d 2 z ⋅ w
w = a + b i ⟹ w ⋅ w ‾ = a 2 + b 2 w=a+bi \implies w \cdot \overline{w}=a^2+b^2 w = a + bi ⟹ w ⋅ w = a 2 + b 2
( 1 ) 2 + 4 i + 3 + 5 i = 5 + 9 i (1)\qquad 2+4i+3+5i=5+9i ( 1 ) 2 + 4 i + 3 + 5 i = 5 + 9 i ( 2 ) ( 2 + 4 i ) ( 3 + 5 i ) = 6 + 10 i + 12 i − 20 = − 14 + 22 i (2)\qquad (2+4i)(3+5i)=6+10i+12i-20=-14+22i ( 2 ) ( 2 + 4 i ) ( 3 + 5 i ) = 6 + 10 i + 12 i − 20 = − 14 + 22 i ( 3 ) 2 + 4 i 3 + 5 i = 6 + 12 i − 10 i − 20 9 + 25 = 26 34 + 2 34 i (3)\qquad \frac{2+4i}{3+5i}=\frac{6+12i-10i-20}{9+25}=\frac{26}{34}+\frac{2}{34}i ( 3 ) 3 + 5 i 2 + 4 i = 9 + 25 6 + 12 i − 10 i − 20 = 34 26 + 34 2 i תכונות של מספרים מרוכבים
z ± w ‾ = z ‾ ± w ‾ \overline{z\pm w}=\overline{z} \pm \overline{w} z ± w = z ± w z ⋅ w ‾ = z ‾ ⋅ w ‾ \overline{z \cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w} z ⋅ w = z ⋅ w ( z ‾ ) n = z n ‾ (\overline{z})^n=\overline{z^n} ( z ) n = z n ( z w ) ‾ = z ‾ w ‾ \overline{\left( \frac{z}{w} \right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}} ( w z ) = w z z ‾ ‾ = z \overline{\overline{z}}=z z = z z ⋅ z ‾ = ∣ z ∣ 2 z \cdot \overline{z}=|z|^2 z ⋅ z = ∣ z ∣ 2 ∣ z ‾ ∣ = ∣ z ∣ |\overline{z}|=|z| ∣ z ∣ = ∣ z ∣ ∣ z ⋅ w ∣ = ∣ z ∣ ⋅ ∣ w ∣ |z \cdot w|=|z| \cdot|w| ∣ z ⋅ w ∣ = ∣ z ∣ ⋅ ∣ w ∣ ∣ z n ∣ = ∣ z ∣ n |z^n|=|z|^n ∣ z n ∣ = ∣ z ∣ n ∣ z w ∣ = ∣ z ∣ ∣ w ∣ | \frac{z}{w}|=\frac{|z|}{|w|} ∣ w z ∣ = ∣ w ∣ ∣ z ∣ R e ( z ) ≤ ∣ z ∣ , I m ( z ) ≤ ∣ z ∣ \mathrm{Re}(z)\leq |z|,\quad\mathrm{Im}(z)\leq|z| Re ( z ) ≤ ∣ z ∣ , Im ( z ) ≤ ∣ z ∣ ∣ z + w ∣ ≤ ∣ z ∣ + ∣ w ∣ |z+w|\leq|z|+|w| ∣ z + w ∣ ≤ ∣ z ∣ + ∣ w ∣ z + z ‾ = 2 R e ( z ) z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z) z + z = 2 Re ( z ) z − z ‾ = 2 i I m ( z ) z-\overline{z}=2i\mathrm{Im}(z) z − z = 2 i Im ( z )
נוכיח את z + w = w + z z+w=w+z z + w = w + z
z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i = ( c + a ) + ( d + b ) i z+w=(a+bi) + (c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i z + w = ( a + bi ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i = ( c + a ) + ( d + b ) i על פי כלל החילופיות ב-R \mathbb{R} R
= ( c + d i ) + ( a + b i ) = w + z =(c+di)+(a+bi)=w+z = ( c + d i ) + ( a + bi ) = w + z נוכיח את z ⋅ w = w ⋅ z z \cdot w=w \cdot z z ⋅ w = w ⋅ z
z ⋅ w = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i z \cdot w=(ac-bd)+(ad+bc)i z ⋅ w = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i w z = ( c a − d b ) + ( c b + d a ) i wz=(ca-db)+(cb+da)i w z = ( c a − d b ) + ( c b + d a ) i באמצעות שימוש בחילופיות ב-R \mathbb{R} R
חשבו את
z = ∣ ( 4 + i ) 6 ( 2 + 3 i ) 5 ( 1 + i ) 2 ( − 4 + i ) 4 ( 3 − 2 i ) 6 ( 2 + 2 i ) 3 ∣ z= |\frac{(4+i)^6(2+3i)^5(1+i)^2}{(-4+i)^4(3-2i)^6(2+2i)^3}| z = ∣ ( − 4 + i ) 4 ( 3 − 2 i ) 6 ( 2 + 2 i ) 3 ( 4 + i ) 6 ( 2 + 3 i ) 5 ( 1 + i ) 2 ∣ z = ∣ 4 + i ∣ 6 ∣ 2 + 3 i ∣ 5 ∣ 1 + i ∣ 2 ∣ − 4 + i ∣ 4 ∣ 3 − 2 i ∣ 6 ∣ 2 + 2 i ∣ 3 = 17 6 13 5 2 2 17 4 13 6 8 3 = 17 2 13 = 2 ( 2 2 ) 3 z= \frac{|4+i|^6|2+3i|^5|1+i|^2}{|-4+i|^4|3-2i|^6|2+2i|^3}= \frac{\sqrt{ 17 }^6 \sqrt{ 13 }^5 \sqrt{ 2 }^2}{\sqrt{ 17 }^4 \sqrt{ 13 }^6 \sqrt{ 8 }^3}=\frac{\sqrt{ 17 }^2}{\sqrt{ 13 }}=\frac{2}{(2\sqrt{ 2 })^3} z = ∣ − 4 + i ∣ 4 ∣3 − 2 i ∣ 6 ∣2 + 2 i ∣ 3 ∣4 + i ∣ 6 ∣2 + 3 i ∣ 5 ∣1 + i ∣ 2 = 17 4 13 6 8 3 17 6 13 5 2 2 = 13 17 2 = ( 2 2 ) 3 2 תרגול 2 | 26.10
מרוכבים
נתחיל בכמה הגדרות בסיסיות:
i = − 1 C = { a + b i ∣ a , b ∈ R } i=\sqrt{ -1 }\qquad \qquad \mathbb{C}=\{ a+bi|a,b \in \mathbb{R} \} i = − 1 C = { a + bi ∣ a , b ∈ R } z = a + b i , a = R e ( z ) , b = I m ( z ) z=a+bi,\quad a=\mathrm{Re}(z),\; b=\mathrm{Im}(z) z = a + bi , a = Re ( z ) , b = Im ( z ) z ‾ = a − b i , ∣ z ∣ = a 2 + b 2 \overline{z}=a-bi,\; |z|=\sqrt{ a^2+b^2 } z = a − bi , ∣ z ∣ = a 2 + b 2
נתון פולינום ממעלה רביעית:
f ( x ) = x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 f(x)=x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0} f ( x ) = x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 נתונים 4 שורשי הפולינום:1 − i 3 1-i\sqrt{ 3 } 1 − i 3 1 + i 3 1+i\sqrt{ 3 } 1 + i 3 1 − i 2 1-i\sqrt{ 2 } 1 − i 2 1 + i 2 1+i\sqrt{ 2 } 1 + i 2 a 0 + a 3 a_{0}+a_{3} a 0 + a 3
לפי וויאטה:
( 1 − i 3 ) ( 1 + i 3 ) ⋅ ( 1 − i 2 ) ( 1 + i 2 ) = ( − 1 ) 4 a 0 a 4 = a 0 \underbracket{(1-i\sqrt{ 3 })(1+i\sqrt{ 3 })}\cdot\underbracket{(1-i\sqrt{ 2 })(1+i\sqrt{ 2 })}=(-1)^4 \frac{a_{0}}{a_{4}}=a_{0} ( 1 − i 3 ) ( 1 + i 3 ) ⋅ ( 1 − i 2 ) ( 1 + i 2 ) = ( − 1 ) 4 a 4 a 0 = a 0 ( 1 + 3 ) ( 1 + 2 ) = a 0 (1+3)(1+2)=a_{0} ( 1 + 3 ) ( 1 + 2 ) = a 0 a 0 = 12 a_{0}=12 a 0 = 12 ( 1 − i 3 ) + ( 1 + i 3 ) + ( 1 − i 2 ) + ( 1 + i 2 ) = − a 3 a 4 = − a 3 \underbracket{(1-i\sqrt{ 3 })+(1+i\sqrt{ 3 })}+\underbracket{(1-i\sqrt{ 2 })+(1+i\sqrt{ 2 })}=-\frac{a_{3}}{a_{4}}=-a_{3} ( 1 − i 3 ) + ( 1 + i 3 ) + ( 1 − i 2 ) + ( 1 + i 2 ) = − a 4 a 3 = − a 3
z + z ‾ = 2 R e ( z ) z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z) z + z = 2 Re ( z ) 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 = − a 3 2\cdot1+2\cdot1=-a_{3} 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 = − a 3 a 3 = − 4 a_{3}=-4 a 3 = − 4 דרך נוספת להגיע לפתרון:
f ( x ) = 1 ( x − 1 + i 3 ) ( x − 1 − i 3 ) ( x − 1 + i 2 ) ( x − 1 − i 2 ) f(x)=1(x-1+i\sqrt{ 3 })(x-1-i\sqrt{ 3 })(x-1+i\sqrt{ 2 })(x-1-i\sqrt{ 2 }) f ( x ) = 1 ( x − 1 + i 3 ) ( x − 1 − i 3 ) ( x − 1 + i 2 ) ( x − 1 − i 2 ) f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 1 + 3 ) ( x 2 − 2 x + 1 + 2 ) f(x)=(x^2-2x+1+3)(x^2-2x+1+2) f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 1 + 3 ) ( x 2 − 2 x + 1 + 2 ) f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 4 ) ( x 2 − 2 x + 3 ) f(x)=(x^2-2x+4)(x^2-2x+3) f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 4 ) ( x 2 − 2 x + 3 ) f ( x ) = x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 − 6 x + 4 x 2 − 8 x + 12 f(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x^3+4x^4-6x+4x^2-8x+12 f ( x ) = x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 − 6 x + 4 x 2 − 8 x + 12 f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 11 x 2 − 14 x + 12 f(x)=x^4-4x^3+11x^2-14x+12 f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 11 x 2 − 14 x + 12 ולכן:
a 0 = 12 a 1 = − 14 a 2 = 11 a 3 = − 4 a 4 = 1 a_{0}=12 \qquad a_{1}=-14 \qquad a_{2}= 11 \qquad a_{3}=-4 \qquad a_{4}=1 a 0 = 12 a 1 = − 14 a 2 = 11 a 3 = − 4 a 4 = 1
חשבו:
z = 1 i + 1 1 + i z=\frac{1}{i+\frac{1}{1+i}} z = i + 1 + i 1 1 נקרא ל-1 1 + i \frac{1}{1+i} 1 + i 1 w w w
w = 1 − i 2 ⟹ z = 1 2 i + 1 − i 2 = 1 i + 1 2 w=\frac{1-i}{2}\implies z=\frac{1}{\frac{2i+1-i}{2}}=\frac{1}{\frac{i+1}{2}} w = 2 1 − i ⟹ z = 2 2 i + 1 − i 1 = 2 i + 1 1 z = 2 i + 1 ⋅ 1 − i 1 − i = 2̸ ( 1 − i ) 2̸ = 1 − i z=\frac{2}{i+1}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{\not2(1-i)}{\not2}=1-i z = i + 1 2 ⋅ 1 − i 1 − i = 2 2 ( 1 − i ) = 1 − i צורה טריגונומטרית (קוטבית)
z = a + b i R = a 2 + b 2 tan θ ^ = b a z=a+bi \qquad R=\sqrt{ a^2+b^2 } \qquad \tan\hat{\theta}=\frac{b}{a} z = a + bi R = a 2 + b 2 tan θ ^ = a b a = r cos θ b = r sin θ a=r\cos\theta \qquad b=r\sin\theta a = r cos θ b = r sin θ z = r cos θ + i r sin θ ⟹ z = R c i s θ z=r\cos\theta+ir\sin\theta\implies z=R\ cis\theta z = r cos θ + i r sin θ ⟹ z = R c i s θ היה עוד 2 תרגילים אבל אין לי כח להעתיק אותם.
