חזור לתיקייה: תרגול

1 - תרגול תורת הקבוצות(אני מניח)

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי
  • שייכות
  • הכלה
  • שוויון
  • פעולות על קבוצות
  • תרגילים וכיף

1 - תרגול תורת הקבוצות(אני מניח)

02340129

מבוא לתורת הקבוצות ואוטומטים למדמח

רשימות תרגול לקריאה בשבת

תרגול תורת הקבוצות(אני מניח)

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

הגדרה 1 (מילון סימנים)

שייך - ∈\in∈
מוכל או שווה - ⊆\subseteq⊆
או - ∨\lor∨
וגם - ∧\land∧
איחוד - ∪\cup∪
חיתוך - ∩\cap∩
לכל - ∀\forall∀
גרירה -   ⟹  \implies⟹

שיעורי בית (חשוב לדעת)

הדרישה בקורס היא רמת פורמליות גבוהה מאוד.
באתר הקורס יש קובץ בשם Proofs.pdf אשר בו מסבירים במדויק איך לכתוב הוכחה בקורס הזה וחשוב לקרוא אותו לפני שעושים את שיעורי הבית.

הערה

יש סיכומים באתר של כל ההרצאות והתרגולים, אבל הם לא מפורטים כמו ההרצאות והתרגולים האמתיים.

הגדרה 2 (קבוצה)

קבוצה היא אוסף של איברים אשר מקיימת 2 תכונות:

  1. אין חשיבות לסדר.
  2. אין חשיבות לחזרות.
דוגמה (לקבוצה)

{1,a,♡}\{ 1,a,\heartsuit \}{1,a,♡} {1,a}={a,1}\{ 1,a \}=\{ a,1 \}{1,a}={a,1} {1}={1,1}\{ 1 \}=\{ 1,1 \}{1}={1,1}
דוגמה (לקבוצות מוכרות)

הטבעיים(ואפס) - N\mathbb{N}N
הטבעיים האמיתיים - N+\mathbb{N}^+N+
השלמים - Z\mathbb{Z}Z
הרציונליים - Q\mathbb{Q}Q
הממשיים - R\mathbb{R}R
הקבוצה הריקה - ∅\emptyset∅

שייכות

x∈Ax \in Ax∈A

משמעו, xxx שייך לקבוצה AAA.

1∈N,5∈{5,6}1 \in \mathbb{N},\quad 5 \in \{ 5,6 \}1∈N,5∈{5,6}

הכלה

הגדרנו במדוייק באינפי.

הגדרה 3 (תכונות של הכלה)

  1. לכל קבוצה AAA מתקיים: A⊆AA \subseteq AA⊆A.
  2. לכל קבוצה AAA מתקיים: ∅⊆A\emptyset \subseteq A∅⊆A
  3. טרנזיטיביות ההכלה: אם A⊆BA \subseteq BA⊆B וגם B⊆CB \subseteq CB⊆C אזי A⊆CA \subseteq CA⊆C.

שוויון

ישנה הכלה דו כיוונית.

פעולות על קבוצות

יהיו A,B קבוצות.

הגדרה 4 (איחוד)

נסמן: ∪\cup∪

A∪B={x∣x∈A∨x∈B}A\cup B=\{ x|x \in A \lor x \in B \}A∪B={x∣x∈A∨x∈B}
הגדרה 5 (חיתוך)

נסמן: ∩\cap∩

A∩B={x∣x∈A∧x∈B}A \cap B=\{ x|x \in A \land x \in B \}A∩B={x∣x∈A∧x∈B}
הגדרה 6 (הפרש)

נסמן: ∖\setminus∖

A∖B={x∣x∈A∧x∉B}A \setminus B=\{ x|x \in A \land x \not\in B \}A∖B={x∣x∈A∧x∈B}
הגדרה 7 (משלים)

נסמן: A‾\overline{A}A

A‾=D∖A={x∣x∈D∧x∉A}\overline{A}=D \setminus A=\{ x|x \in D \land x \not\in A \}A=D∖A={x∣x∈D∧x∈A}

תרגילים וכיף

תרגיל

נגדיר את הקבוצות הבאות:

A=∅B={1,π}C={1,π,x}E={1,π,c}D={∅,1,π,x}A=\emptyset \quad B=\{ 1,\pi \}\quad C=\{ 1,\pi,x \} \quad E=\{ 1,\pi,c \} \quad D=\{ \emptyset,1,\pi,x \}A=∅B={1,π}C={1,π,x}E={1,π,c}D={∅,1,π,x}

קבעו עבור כל שתי קבוצות האם הן מוכלות אחת בשנייה.

  • כל קבוצה מוכלת בעצמה.
  • הקבוצה A מוכלת בכל הקבוצת האחרות כי היא הקבוצה הריקה
  • הקבוצה B לא מוכלת ב-A, כי יש איברים ב-B שאינם ב-A
  • הקבוצה B מוכלת בכל שאר הקבוצות כי האיברים 1,π1,\pi1,π הם איברי הקבוצה ושייכים גם ל-C,E,DC,E,DC,E,D.
  • הקבוצה C מוכלת בקבוצה D אך לא מוכלת ב-A,B,D
  • הקבוצה D לא מוכלת בקבוצות B,C,E
  • הקבוצה E לא מוכלת בקבוצות B,C,D
תרגיל

הוכיחו את הטענות הבאות:

  1. אם A⊆BA \subseteq BA⊆B אזי