9 - תנע זוויתי — פיזיקה 1מ | תיקיית הסיכומים

הגדרה 1 (תנע זוויתי -

J

)

J=\vec{r}\times \vec{P}=m\vec{r}\times \vec{v}

הגדרה 2 (מומנט כוח -

\tau

)

\vec{\tau}=\vec{r}\times \vec{F}

משפט (שימור תנע זוויתי)

אם $\sum \vec{\tau}_{\R{חיצוניים}}=0$ ⇐ התנע הזוויתי נשמר

הגדרה 3 (מומנט אנרגייה)

I=\sum_{i}m_{i}|\vec{r}_{i}| \qquad \vec{r}=I\cdot\vec{\omega}

משפט (חוק

II

הזוויתי)

\sum_{i}\vec{\tau}_{i}=\frac{d\vec{I}_{tot}}{dt}=I\vec{\alpha}

תרגיל

על שולחן אופקי חסר חיכוך מונחים שני גופים נקודתיים בעלי מסה זהה $m$ המחוברים על ידי מוט קשיח וחסר מסה באורך $2R$ . מערכת שני הגופים והמוט מסתובבת במהירות זוויתית קבועה $\vec{\omega}$ עם כיוון השעון (ראו איור). גוף נוסף בעל מסה זהה $m$ , נע על השולחן במהירות שגודלה $v$ ובכיוון שיוצר זווית $\alpha$ יחסית לציר (ראו איור). הגוף השלישי מתנגש במסה התחתונה במערכת שני הגופים כאשר המוט כולו מקביל לציר $\hat{y}$ ונדבק אליו.
פיזיקה1-תרגול9-תנעזוויתי-תמונה1.png
א. מהי מהירות מרכז המסה לפני ואחרי?
ב. מצאו את התנע הזוויתי לאחר ההתנגשות יחסית למרכז המוט.
ג. $\vec{\omega}'=?$
ד. האם ניתן לעצור את התנועה?

פתרון א':
התנע נשמר ולכן מתקיים כי $\vec{V}_{cm}=const$ .

\vec{V}_{cm}=\frac{m\omega R\hat{x}-m\omega R\hat{x}+m\vec{v}}{3m}=\frac{v}{3}(\cos\alpha \hat{x}+\sin\alpha \hat{y})

פתרון ב':
התנע נשמע ולכן $\vec{J}=const$ .

\vec{J}^i_{(0)}=I_{2}\vec{\omega}+m(-Rg)\times v(\cos\alpha \hat{x}+\sin\alpha \hat{y})

I_{2}=2mR^2

\vec{J}^i_{(0)}=-2mR^2\omega \hat{z}+mvR\cos\alpha \hat{z}

פתרון ג':

\vec{R}_{cm}=\frac{mR\hat{y}-dmR\hat{y}}{3m}=-\frac{R}{3}\hat{y}

\vec{J}^i_{cm}=I_{3}^{(cm)}\cdot\vec{\omega}'

I_{3}^{(cm)}=m\left( \frac{4}{3}R \right)^2+2m\left( \frac{2}{3}R \right)^2=\dots=\frac{8}{3}mR^2

\vec{J}_{(cm)}^i=\frac{8}{3}mR^2\omega'\hat{z}

\vec{J}_{(cm)}^i=\vec{J}_{(0)}^i+\vec{R}\times \vec{P}

\vec{J}_{(cm)}^i=\vec{J}_{(0)}^i+\left( \frac{R}{3}\hat{y} \right)\times \vec{P}

\vec{J}_{(cm)}^i=\vec{J}_{(0)}^i+\left( \frac{R}{3}\hat{y} \right)\times mv(\cos\alpha \hat{x}+\sin \alpha \hat{y})

=-2mR^2\omega \hat{z}+mvR\cos\alpha \hat{z}-\frac{mvR\cos\alpha}{3}\hat{z}

\frac{8}{3}mR^2\omega'\hat{z}=-2mR^2\omega \hat{z}+\frac{2}{3}mvR\cos\alpha \hat{z}

\vec{\omega}'=\left( \frac{v}{4R}\cos\alpha-\frac{3}{4}\omega \right)\hat{z}

פתרון ד':
התשובה באופן כללי היא לא.
השאלה היא בעצם: האם ניתן לתת מהירות זוויתית מסויימת או מהירויות אחרות על מנת שרק מההתנגשות התנועה תעצר.
לעומת התנועה, את הסיבוב כן ניתן לעצור.

תרגיל

מוט חסר מסה בעל אורך $L$ נמצא במנוחה על שולחן אופקי חלק. במרכזו יש מסמר המאפשר למוט להסתובב ללא חיכוך. בשני קצותיו של המוט מחוברות מסות נקדותיות בעלות מסה זהה $m$ . ברגע $t=0$ , מסה שלישית בעלת מסה זהה $R$ פוגעת במסה העליונה במוט ונדבקת אליה. המסה השלישית לפני ההתנגשות נעה במהירות שגודלה $v_{0}$ וכיוונה יוצר זווית $\theta=60\degree$ יחסית למוט (ראו איור).
פיזיקה1-תרגול9-תנעזוויתי-תמונה2.png
א. אילו גדלים פיזיקליים נשמרים במערכת שלושת הגופים לפני ואחרי ההתנגשות?
ב. מהי המהירות הזוויתית $\vec{\omega}$ בה יסתובב המוט סביב הציר של המסמר אחרי ההתנגשות?
ג. חשבו את השינוי באנרגיה ובתנע הקווי כתוצאה מההתנגשות.

m \frac{L}{2}\hat{y}\times v(-\sin\theta \hat{x}+\cos\theta \hat{y})=I_{3}\vec{\omega}

הגדרה 1 (תנע זוויתי -

J

)

J=\vec{r}\times \vec{P}=m\vec{r}\times \vec{v}

הגדרה 2 (מומנט כוח -

\tau

)

\vec{\tau}=\vec{r}\times \vec{F}

משפט (שימור תנע זוויתי)

אם $\sum \vec{\tau}_{\R{חיצוניים}}=0$ ⇐ התנע הזוויתי נשמר

הגדרה 3 (מומנט אנרגייה)

I=\sum_{i}m_{i}|\vec{r}_{i}| \qquad \vec{r}=I\cdot\vec{\omega}

משפט (חוק

II

הזוויתי)

\sum_{i}\vec{\tau}_{i}=\frac{d\vec{I}_{tot}}{dt}=I\vec{\alpha}

תרגיל

פתרון א':
התנע נשמר ולכן מתקיים כי $\vec{V}_{cm}=const$ .

\vec{V}_{cm}=\frac{m\omega R\hat{x}-m\omega R\hat{x}+m\vec{v}}{3m}=\frac{v}{3}(\cos\alpha \hat{x}+\sin\alpha \hat{y})

פתרון ב':
התנע נשמע ולכן $\vec{J}=const$ .

\vec{J}^i_{(0)}=I_{2}\vec{\omega}+m(-Rg)\times v(\cos\alpha \hat{x}+\sin\alpha \hat{y})

I_{2}=2mR^2

\vec{J}^i_{(0)}=-2mR^2\omega \hat{z}+mvR\cos\alpha \hat{z}

פתרון ג':

\vec{R}_{cm}=\frac{mR\hat{y}-dmR\hat{y}}{3m}=-\frac{R}{3}\hat{y}

\vec{J}^i_{cm}=I_{3}^{(cm)}\cdot\vec{\omega}'

I_{3}^{(cm)}=m\left( \frac{4}{3}R \right)^2+2m\left( \frac{2}{3}R \right)^2=\dots=\frac{8}{3}mR^2

\vec{J}_{(cm)}^i=\frac{8}{3}mR^2\omega'\hat{z}

\vec{J}_{(cm)}^i=\vec{J}_{(0)}^i+\vec{R}\times \vec{P}

\vec{J}_{(cm)}^i=\vec{J}_{(0)}^i+\left( \frac{R}{3}\hat{y} \right)\times \vec{P}

\vec{J}_{(cm)}^i=\vec{J}_{(0)}^i+\left( \frac{R}{3}\hat{y} \right)\times mv(\cos\alpha \hat{x}+\sin \alpha \hat{y})

=-2mR^2\omega \hat{z}+mvR\cos\alpha \hat{z}-\frac{mvR\cos\alpha}{3}\hat{z}

\frac{8}{3}mR^2\omega'\hat{z}=-2mR^2\omega \hat{z}+\frac{2}{3}mvR\cos\alpha \hat{z}

\vec{\omega}'=\left( \frac{v}{4R}\cos\alpha-\frac{3}{4}\omega \right)\hat{z}

תרגיל

m \frac{L}{2}\hat{y}\times v(-\sin\theta \hat{x}+\cos\theta \hat{y})=I_{3}\vec{\omega}