חזור לתיקייה: תרגול

8 - מסה משתנה

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי
  • איבוד מסה
  • תוספת מסה
  • כוח אפקטיבי
  • תרגול

8 - מסה משתנה

01140071

פיזיקה 1מ

רשימות תרגול לקריאה בשבת

מסה משתנה

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

הגדרה 1 (תנע קווי)

P⃗=mv⃗\vec{P}=m\vec{v}P=mv

תזכורת לחוק שני של ניוטון:

∑iF⃗i=dP⃗totdt\sum_{i}\vec{F}_{i}=\frac{d\vec{P}_{tot}}{dt}i∑​Fi​=dtdPtot​​

כעת, נרצה לתאר מערכת שבה המסה משתנה.

איבוד מסה

אנו מתחילים עם תנע כולל כלשהו התלוי בזמן ttt.

P⃗tot(t)=M(t)V⃗(t)\vec{P}_{tot}(t)=M(t)\vec{V}(t)Ptot​(t)=M(t)V(t)

כאשר נאבד מסה נקבל כי:

P⃗tot(t+dt)=P⃗A(t+dt)+P⃗2m(t+dt)=(m−dm)V(t+dt)+dmu⃗=mV⃗−dmV⃗+dmV⃗+dmu⃗\vec{P}_{tot}(t+dt)=\vec{P}_{A}(t+dt)+\vec{P}_{2m}(t+dt)=(m-dm)V(t+dt)+dm\vec{u}=m\vec{V}-dm\vec{V}+dm\vec{V}+dm\vec{u}Ptot​(t+dt)=PA​(t+dt)+P2m​(t+dt)=(m−dm)V(t+dt)+dmu=mV−dmV+dmV+dmu dP⃗tot=P⃗tot(t+dt)−P⃗tot(t)d\vec{P}_{tot}=\vec{P}_{tot}(t+dt)-\vec{P}_{tot}(t)dPtot​=Ptot​(t+dt)−Ptot​(t) dP⃗tot=m⋅dV⃗+dm(u⃗−V⃗)d\vec{P}_{tot}=m\cdot d\vec{V}+dm(\vec{u}-\vec{V})dPtot​=m⋅dV+dm(u−V) F⃗ext=ma⃗+dmdt(u⃗−V⃗)\vec{F}_{ext}=m\vec{a}+\frac{dm}{dt}(\vec{u}-\vec{V})Fext​=ma+dtdm​(u−V)

תוספת מסה

F⃗ext=ma⃗+dmdt(v⃗−u⃗)\vec{F}_{ext}=m\vec{a}+\frac{dm}{dt}(\vec{v}-\vec{u})Fext​=ma+dtdm​(v−u)

כוח אפקטיבי

F⃗ext+F∗=Mdv⃗dt\vec{F}_{ext}+F^*=M \frac{d\vec{v}}{dt}Fext​+F∗=Mdtdv​ F∗=dmdtV⃗relF^*=\frac{dm}{dt}\vec{V}_{rel}F∗=dtdm​Vrel​

תרגול

תרגיל

​פיזיקה1מ-תרגול-8-חול.png
נתון לנו כי F⃗=Fx^\vec{F}=F\hat{x}F=Fx^, כי המסה של העגלה הריקה היא m0m_{0}m0​, כמות החול לרגע נתון הוא α\alphaα ומהירות העגלה ההתחלתית היא v0v_{0}v0​.

א. מצאו את V(t)V(t)V(t). (נתון F>αV(t)F>\alpha V(t)F>αV(t))
ב. כעת החול נשפך מהעגלה בקצב β\betaβ ו-α=0\alpha=0α=0.

פתרון א':
מסת העגלה כתלות בזמן היא mc(t)=m0+αtm_{c}(t)=m_{0}+\alpha tmc​(t)=m0​+αt.
כעת, נמצא את הביטוי של התנע:

P⃗c(t)=mc(t)V⃗(t)P⃗c(t+dt)=(mc(t)+αdt)V(t+dt)=(m0+αt)V⃗+(m0+αt)dV⃗+αdtV⃗\begin{align*} & \vec{P}_{c}(t)=m_{c}(t)\vec{V}(t) & \\ & \vec{P}_{c}(t+dt)=(m_{c}(t)+\alpha dt)V(t+dt)=(m_{0}+\alpha t)\vec{V}+(m_{0}+\alpha t)d\vec{V}+\alpha dt\vec{V} \end{align*}​Pc​(t)=mc​(t)V(t)Pc​(t+dt)=(mc​(t)+αdt)V(t+dt)=(m0​+αt)V+(m0​+αt)dV+αdtV​ F⃗=dP⃗totdt=(m0+αt)a⃗+αV⃗\vec{F}=\frac{d\vec{P}_{tot}}{dt}=(m_{0}+\alpha t)\vec{a}+\alpha \vec{V}F=dtdPtot​​=(m0​+αt)a+αV

כעת, קיבלנו מדר מסדר שני שניתן להציג כמדר מסדר ראשון.

∫0tdtm0+dt=∫v0V(t)dvF−αV\int_{0}^t\frac{dt}{m_{0}+dt}=\int_{v_{0}}^{V(t)} \frac{dv}{F-\alpha V}0∫t​m0​+dtdt​=v0​∫V(t)​F−αVdv​ ln⁡(m0+αtm0)=ln⁡(F−αv0F−αV(t))\ln\left( \frac{m_{0}+\alpha t}{m_{0}} \right)=\ln\left( \frac{F-\alpha v_{0}}{F-\alpha V(t)} \right)ln(m0​m0​+αt​)=ln(F−αV(t)F−αv0​​) V(t)=Ft+m0v0m0+αtV(t)=\frac{Ft+m_{0}v_{0}}{m_{0}+\alpha t}V(t)=m0​+αtFt+m0​v0​​

פתרון ב':
כאשר החול נופל מהעגלה, הוא מתחיל עם מהירות העגלה ולכן נצטרך להתחשב בו בתנע הכולל.

dPtot=(m0−βt)dV+dmV−βdtVdP_{tot}=(m_{0}-\beta t)dV+dmV-\beta dtVdPtot​=(m0​−βt)dV+dmV−βdtV F=(m0−βt)dVdt+dmdtVdmdt=β−βVF=(m_{0}-\beta t) \frac{dV}{dt}+\cancel{ \underbracket{\frac{dm}{dt}V}_{\frac{dm}{dt}=\beta} }\cancel{ -\beta V }F=(m0​−βt)dtdV​+dtdm​=βdtdm​V​−βV V(t)=v0+Fβln⁡m0m0−βtV(t)=v_{0}+\frac{F}{\beta}\ln\frac{m_{0}}{m_{0}-\beta t}V(t)=v0​+βF​lnm0​−βtm0​​
תרגיל

​פיזיקה1מ-תרגול-8-טרקטור.png

פתרון:

x(t)=12at2x(t)=\frac{1}{2}at^2x(t)=21​at2 m(t)=λx(t)m(t)=\lambda x(t)m(t)=λx(t)

כעת, נמצא את הכוח:

F(t)=dPdt=dmdtv+mdvdt=λat⋅V+λ2at2⋅aF(t)=\frac{dP}{dt}=\frac{dm}{dt}v+m\frac{dv}{dt}=\lambda at\cdot V+\frac{\lambda}{2}at^2\cdot aF(t)=dtdP​=dtdm​v+mdtdv​=λat⋅V+2λ​at2⋅a F(t)=λa2t2+λ2a2t2=32λa2t2F(t)=\lambda a^2t^2+\frac{\lambda}{2}a^2t^2=\frac{3}{2}\lambda a^2t^2F(t)=λa2t2+2λ​a2t2=23​λa2t2