הגדרה 1 (תנע קווי)

\vec{p}=m\vec{v}

משפט (שימור תנע קווי)

וקטור $\vec{P}_{total}$ נשמר בהעדר כוחות חיצוניים על המערכת. או סכום הכוחות החיצוניים מתאפס.

הגדרה 2 (מתקף)

\Delta \vec{p}=\int \vec{F}dt

הגדרה 3 (מיקום ומהירות מרכז המסה)

\vec{R}_{cm}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}

\vec{V}_{cm}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}

7 - תנע קווי ומרכז המסה 2025-12-10 14.36.28.excalidraw.svg

הגדרה 4 (מערכת מרכז המסה)

מערכת יחוס שנעה ב- $\vec{V}_{cm}$ יחסית למעבדה.
במערכת זו, סכום התנע הוא 0.

\vec{V}'_{cm}=0=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}'}{\sum_{i}m_{i}}\implies \sum_{i}\vec{p}_{i}=0

הערה

בסוף קובץ $\color{lightblue}\R{\text{תרגול 7}}$ יש שאלה לקריאה עצמית. כדאי מאוד לקרוא אותה כי היא נוגעת בדיוק להגדרה הנ"ל.

התנגשויות

אלסטית: משמרת אנרגיה.
לא-אלסטית: לא-משמרת אנרגיה.

תנע בכל מקרה נשמר.

משפט

התנגשויות/תהליכים שאורכים זמן קצר מאוד ⇐ תנע נשמר

תרגול

תרגיל

7 - תנע קווי ומרכז המסה 2025-12-10 14.43.09.excalidraw.svg
א. מצאו את מהירות העגלה(M) ואת מהירות המסה $m$ ב- $B$ .
ב. מצאו את אותן מהירויות בנקודה $C$ .
ג. כמה אנרגייה אבדה? $\Delta E=?$
ד. מה המרחק שעברה העגלה בכל התהליך ביחס למערכת המעבדה(השולחן)?

פתרון א':
ישנו שימור תנע בציר ה- $\hat{x}$ ולכן: $0=mv+MV$ .
ישנו שימור אנרגייה: $mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2$ .

V=-\frac{m}{M}v

mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}M\cdot \frac{m^2}{M^2}v^2=\frac{1}{2}mv^2\left( 1+\frac{m}{M} \right)=\frac{1}{2}mv^2 \frac{M+m}{M}

v^2=2gh \frac{M}{M+m}

נגדיר את כיוון ציר ה- $\hat{x}$ ימינה. המסה זזה שמאלה ולכן, נקח את מינוס השורש.

v=-\sqrt{ \frac{2ghM}{M+m} }\hat{x}

נציב ונקבל את $V$ :

V=\frac{m}{M}\sqrt{ \frac{2ghM}{M+m} }\hat{x}

פתרון ב':
הם נדבקים ב- $C$ והופכים להיות גוף אחד, לכן, ומכיוון שתנע נשמר בציר ה- $\hat{x}$ , אזי התנע יהיה $0$ .

(M+m)u=0

פתרון ג':
ישנה אנרגייה בהתחלה, וברגע שהוא מגיע ל- $C$ הוא מפסיק לרדת, לכן, אין לו אנרגייה ולכן:

\Delta E=mgh

פתרון ד':

הערה

במבחן אמיתי יופיע רק סעיף זה ואת כל הסעיפים האחרים נדרש להמציא בעצמנו כדי להגיע לפתרון הסעיף הנ"ל.

התנע נשמר ב- $\hat{x}$ ⇐ $\dot{X}_{cm}=0$ ⇐ $X_{cm}=const$ .
נמצא את מיקום מרכז המסה בתחילת התהליך ובסופו.

X_{cm}=\frac{MX_{A}+mx_{_A}}{M+m}=\frac{MX_{C}+mx_{_{C}}}{M+m}

נבחר את ראשית הצירים שלנו כך ש- $X_{A}=x_{_{A}}=0$ . ולכן:

0=MX_{C}+m(x_{_{C}}-L) \implies X_{C}=\frac{mL}{M+m}

תרגיל

7 - תנע קווי ומרכז המסה 2025-12-10 15.06.23.excalidraw.svg
ישנו מוט קשיח חסר מסה המחזיק בקצתו מסה $m$ . הוא מחובר לקיר באמצעות מסמר.

ב. מהי $v_{1}$ - המהירות ההתחלתית שניתן למסה כדי שהמוט עם המסה יבצעו חצי סיבוב ואז יפלו בחזרה מהצד השני?
ג. מחליפים את המוט בחוט חסר מסה, האם המהירות $v_{1}$ תספיק כדי לבצע סיבוב שלם?
ד. מהי העבודה שעושה כוח המתיחות?

פתרון ב':

\frac{1}{2}mv_{1}^2=\underbracket{2R}_{h}\cdot mg

v_{1}=\sqrt{ 4Rg }

זוהי המהירות המינימלית.

פתרון ג':
פה אנו צריכים לוודא שהוא עושה סיבוב שלם, שכן הגעה עד למעלה לא תספיק כי זה חוט ולא מוט קשיח.

\frac{mv_{up}^2}{R}=mg+T

במקרה המינימלי, $T$ (המתיחות) מתאפס.

\frac{v_{up}^2}{R}=g \implies v_{up}^2=Rg \implies v_{up}=\sqrt{ Rg }

\frac{1}{2}mv_{f}^2=2R\cdot mg+\frac{1}{2}mv_{up}^2

v_{f}^2=\sqrt{ 5Rg }

פתרון ד':
מכיוון שהמתיחות מאונכת לכיוון התנועה, העבודה שלה היא $0$ .

T \perp v \implies W_{T}=0

הגדרה 1 (תנע קווי)

\vec{p}=m\vec{v}

משפט (שימור תנע קווי)

וקטור $\vec{P}_{total}$ נשמר בהעדר כוחות חיצוניים על המערכת. או סכום הכוחות החיצוניים מתאפס.

הגדרה 2 (מתקף)

\Delta \vec{p}=\int \vec{F}dt

הגדרה 3 (מיקום ומהירות מרכז המסה)

\vec{R}_{cm}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}

\vec{V}_{cm}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}

7 - תנע קווי ומרכז המסה 2025-12-10 14.36.28.excalidraw.svg

הגדרה 4 (מערכת מרכז המסה)

מערכת יחוס שנעה ב- $\vec{V}_{cm}$ יחסית למעבדה.
במערכת זו, סכום התנע הוא 0.

\vec{V}'_{cm}=0=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}'}{\sum_{i}m_{i}}\implies \sum_{i}\vec{p}_{i}=0

הערה

בסוף קובץ $\color{lightblue}\R{\text{תרגול 7}}$ יש שאלה לקריאה עצמית. כדאי מאוד לקרוא אותה כי היא נוגעת בדיוק להגדרה הנ"ל.

התנגשויות

אלסטית: משמרת אנרגיה.
לא-אלסטית: לא-משמרת אנרגיה.

תנע בכל מקרה נשמר.

משפט

התנגשויות/תהליכים שאורכים זמן קצר מאוד ⇐ תנע נשמר

תרגול

תרגיל

פתרון א':
ישנו שימור תנע בציר ה- $\hat{x}$ ולכן: $0=mv+MV$ .
ישנו שימור אנרגייה: $mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2$ .

V=-\frac{m}{M}v

mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}M\cdot \frac{m^2}{M^2}v^2=\frac{1}{2}mv^2\left( 1+\frac{m}{M} \right)=\frac{1}{2}mv^2 \frac{M+m}{M}

v^2=2gh \frac{M}{M+m}

נגדיר את כיוון ציר ה- $\hat{x}$ ימינה. המסה זזה שמאלה ולכן, נקח את מינוס השורש.

v=-\sqrt{ \frac{2ghM}{M+m} }\hat{x}

נציב ונקבל את $V$ :

V=\frac{m}{M}\sqrt{ \frac{2ghM}{M+m} }\hat{x}

פתרון ב':
הם נדבקים ב- $C$ והופכים להיות גוף אחד, לכן, ומכיוון שתנע נשמר בציר ה- $\hat{x}$ , אזי התנע יהיה $0$ .

(M+m)u=0

פתרון ג':
ישנה אנרגייה בהתחלה, וברגע שהוא מגיע ל- $C$ הוא מפסיק לרדת, לכן, אין לו אנרגייה ולכן:

\Delta E=mgh

פתרון ד':

הערה

במבחן אמיתי יופיע רק סעיף זה ואת כל הסעיפים האחרים נדרש להמציא בעצמנו כדי להגיע לפתרון הסעיף הנ"ל.

התנע נשמר ב- $\hat{x}$ ⇐ $\dot{X}_{cm}=0$ ⇐ $X_{cm}=const$ .
נמצא את מיקום מרכז המסה בתחילת התהליך ובסופו.

X_{cm}=\frac{MX_{A}+mx_{_A}}{M+m}=\frac{MX_{C}+mx_{_{C}}}{M+m}

נבחר את ראשית הצירים שלנו כך ש- $X_{A}=x_{_{A}}=0$ . ולכן:

0=MX_{C}+m(x_{_{C}}-L) \implies X_{C}=\frac{mL}{M+m}

תרגיל

פתרון ב':

\frac{1}{2}mv_{1}^2=\underbracket{2R}_{h}\cdot mg

v_{1}=\sqrt{ 4Rg }

זוהי המהירות המינימלית.

פתרון ג':
פה אנו צריכים לוודא שהוא עושה סיבוב שלם, שכן הגעה עד למעלה לא תספיק כי זה חוט ולא מוט קשיח.

\frac{mv_{up}^2}{R}=mg+T

במקרה המינימלי, $T$ (המתיחות) מתאפס.

\frac{v_{up}^2}{R}=g \implies v_{up}^2=Rg \implies v_{up}=\sqrt{ Rg }

\frac{1}{2}mv_{f}^2=2R\cdot mg+\frac{1}{2}mv_{up}^2

v_{f}^2=\sqrt{ 5Rg }

פתרון ד':
מכיוון שהמתיחות מאונכת לכיוון התנועה, העבודה שלה היא $0$ .

T \perp v \implies W_{T}=0

7 - תנע קווי ומרכז המסה

פיזיקה 1מ

תנע קווי ומרכז המסה

7 - תנע קווי ומרכז המסה

פיזיקה 1מ

תנע קווי ומרכז המסה

התנגשויות

תרגול

התנגשויות

תרגול