חזור לתיקייה: תרגול

6 - עבודה ואנרגייה

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • הקדמה
  • עבודה
  • כוח משמר
  • אנרגייה
  • שימור אנרגייה
  • תרגול

6 - עבודה ואנרגייה

01140071

פיזיקה 1מ

רשימות תרגול לקריאה בשבת

עבודה ואנרגייה

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

הקדמה

עבודה

הגדרה 1 (עבודה)

נסמנה WWW:

WA→B=∫ABF⃗⋅dr⃗=∫tAtBF⃗⋅dr⃗dtהמהירותdt=∫tAtBmdv⃗dt⋅v⃗dt=12m(VB2−VA2)W_{A\to B}=\int_{A}^B \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{t_{A}}^{t_{B}}\vec{F}\cdot \underset{\R{המהירות}}{\frac{d\vec{r}}{dt}}dt=\int_{t_{A}}^{t_{B}}m \frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}dt=\frac{1}{2}m(V^2_{B}-V^2_{A})WA→B​=A∫B​F⋅dr=tA​∫tB​​F⋅המהירותdtdr​​dt=tA​∫tB​​mdtdv​⋅vdt=21​m(VB2​−VA2​)
הערה

אם הכוח ניצב לכיוון התנועה, אזי אין עבודה.

קיבלנו כי העבודה הינה הפרש האנרגייה הקינטית בין ההתחלה לסוף.

כוח משמר

הגדרה 2 (כוח משמר)

כוח שעבודתו אינה תלויה במסלול, אלא רק בנקודת ההתחלה והסיום.

כוח משמר נגזר מאנרגייה פוטנציאלית:

F⃗=−∇⃗U(r⃗)=−dUdxx^−dUdyy^−dUdzz^\vec{F}=-\vec{\nabla}U(\vec{r})=-\frac{dU}{dx}\hat{x}-\frac{dU}{dy}\hat{y}-\frac{dU}{dz}\hat{z}F=−∇U(r)=−dxdU​x^−dydU​y^​−dzdU​z^

כוח יהיה משמר אם הוא מקיים את המשוואה הנ"ל.

משפט (הגדרה שקולה)

∇⃗×F⃗=0\vec{\nabla}\times \vec{F}=0∇×F=0

אם הכוח הוא משמש, הוא יקיים את המשוואה הזו.

אנרגייה

Ek=12mv2E_{k}=\frac{1}{2}mv^2Ek​=21​mv2
משפט (עבודה-אנרגייה)

עבודת שקול הכוחות שפועל על גוף מסויים, שווה לשינוי באנרגייה הקינטית.

שימור אנרגייה

במערכת מתקיים שימור אנרגייה ⇔ עבודת שקול הכוחות הינו 0.

תרגול

תרגיל (האחד הלא מעניין)

במישור xyxyxy פועל כוח F⃗(x,y)=(y2−x2)x^−2xyy^\vec{F}(x,y)=(y^2-x^2)\hat{x}-2xy\hat{y}F(x,y)=(y2−x2)x^−2xyy^​.
​6 - עבודה ואנרגייה 2025-12-03 14.52.03.excalidraw.svg

א. חשב את העבודה בשני המסלולים השונים.

פתרון (א):
נתחיל במסלול הראשון.

r⃗=xx^+yy^  ⟹  dr⃗=dxx^+dyy^\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}\implies d\vec{r}=dx\hat{x}+dy\hat{y}r=xx^+yy^​⟹dr=dxx^+dyy^​

נחשב כעת את העבודה:

W=∫04F(x=0,y)dyy^+∫02F(x,y=4)dxx^W=\int_{0}^4 F(x=0,y)dy\hat{y}+\int_{0}^2 F(x,y=4)dx\hat{x}W=0∫4​F(x=0,y)dyy^​+0∫2​F(x,y=4)dxx^ =∫02(16−x2)dx=[16x−x33]02=32−83=\int_{0}^2(16-x^2)dx=\left[ 16x-\frac{x^3}{3} \right]_{0}^2=32-\frac{8}{3}=0∫2​(16−x2)dx=[16x−3x3​]02​=32−38​

כעת, נעבור למסלול השני:

dr⃗=dxx^+dyy^d\vec{r}=dx\hat{x}+dy\hat{y}dr=dxx^+dyy^​ y=x2  ⟹  dy=2xdxy=x^2 \implies dy=2xdxy=x2⟹dy=2xdx dr⃗=dxx^+2xdxy^=(x^+2xy^)dxd\vec{r}=dx\hat{x}+2xdx\hat{y}=(\hat{x}+2x\hat{y})dxdr=dxx^+2xdxy^​=(x^+2xy^​)dx

כעת, זהו אינטגרל שאנו יכולים לבצע.

W2=∫02((y2−x2)−4x2y)dx=∫02(x4−x2−4x4)dx=[−3x55−x33]02=−32815W_{2}=\int_{0}^2 ((y^2-x^2)-4x^2y)dx=\int_{0}^2 (x^4-x^2-4x^4)dx=\left[ -\frac{3x^5}{5}-\frac{x^3}{3} \right]_{0}^2=-\frac{328}{15}W2​=0∫2​((y2−x2)−4x2y)dx=0∫2​(x4−x2−4x4)dx=[−53x5​−3x3​]02​=−15328​
תרגיל (השאלה המעניינת יותר)

גוף קטן במסה m=0.02m=0.02m=0.02 נע בפונציאל U(x)=Bx4−Ax2U(x)=Bx^4-Ax^2U(x)=Bx4−Ax2 (זהו כוח משמר שכן הוא כוח פוטנציאלי)
א. מה הם היחידות של A,BA,BA,B? (לא מעניין לתרגול הזה)
ב. נתון U(x)=x4−2x2U(x)=x^4-2x^2U(x)=x4−2x2. מצאו את נקודות שווי המשקל בבעיה.

dUdx=4x(x+1)(x−1)\frac{dU}{dx}=4x(x+1)(x-1)dxdU​=4x(x+1)(x−1)

יש לנו 3 נקודות בהן הנגזרת מתאפסת: 0,−1,10,-1,10,−1,1.

d2Udx2=12x2−4  ⟹  {+  x=1−  x=0+  x=−1\frac{d^2U}{dx^2}=12x^2-4\implies \begin{cases} +\; x=1 \\ -\; x=0 \\ +\; x=-1 \end{cases}dx2d2U​=12x2−4⟹⎩⎨⎧​+x=1−x=0+x=−1​

​6 - עבודה ואנרגייה 2025-12-03 15.19.23.excalidraw.svg

ET=−18[J]E_{T}=-\frac{1}{8}[J]ET​=−81​[J]