הגדרה 1 (תנע ביחסות)

\vec{P}=\gamma_{m}m\vec{v}

הגדרה 2 (אנרגיה ביחסות)

E=\gamma mc^2

הגדרה 3 (אנרגיית מנוחה)

E_{0}=mc^2

הגדרה 4 (אנרגייה קינטית)

E_{k}=(\gamma-1)mc^2

הגדרה 5 (אנרגיית מרכז המסה)

E_{mc}^2=E^2-c^2P^2

משפט (אינווריאנט תנע-אנרגייה)

E_{tot}^2-c^2P_{tot}^2=E_{tot}'^2-c^2P'^2_{tot}

הערה

האינווריאנט לא תלוי בזמנים. נוכל לבחור רגע אחד בזמן במערכת אחת ורגע אחר בזמן במערכת שנייה.

משפט

עבור גוף יחיד: $E^2=c^2P^2+m^2c^4$ .

משפט (טרנספורמציית תנע-אנרגייה)

יהיו $S$ ו- $S'$ שתי מערכות המקיימות את תנאי טרנספורמציית לורנץ'. אזי:

P_{x}'=\gamma\left( P_{x}-\frac{v}{c^2}E \right) \qquad P_{y}'=P_{y} \qquad P_{z}'=P_{z} \qquad E'=\gamma(E-vP_{x})

משפט (טרנספומציית תנע-אנרגייה ההפוכה)

יהיו $S$ ו- $S'$ שתי מערכות המקיימות את תנאי טרנספורמציית לורנץ'. אזי:

P_{x}=\gamma\left( P_{x}'+\frac{v}{c^2}E' \right) \qquad P_{y}=P_{y}' \qquad P_{z}=P_{z}' \qquad E=\gamma(E'+vP_{x}')

מהו פוטון?

פוטון הוא חלקיק אור, או פקטה של גל אלקטרומגנטי. אין לו מסה ולכן מהירותו $c$ .
התנע שלו הוא $E=cP=hf$ . כאשר $f$ הוא תדר הפוטון(ניתן לסמן גם באות היוונית $\nu$ ) ו- $h$ הוא קבוע פלאנק - $h \approx 6.6\cdot 10^{-34}$ . ואז:

P=\frac{hf}{c}

תרגול

תרגיל

יש לנו חלקיק $A$ ובאיזשהו שלב הוא מתפצל להיות פוטון(מצוייר בתור חץ מסולסל) וחלקיק אחר $B$ אשר יוצא ממנו בזווית $\theta$ מהציר בו הוא נע.
נתונים לנו $m_{A},E_{ph},E_{A}$ .

א. מהו $P_{A}$ ?
ב. מהו $|\vec{P}_{B}|$ ?
ג. מהי $\theta$ ?
ד. מצאו את מהירות מערכת $S'$ בה כיוון הפוטון הפוך לכיוון חלקיק $B$ .

פתרון א':
זהו חלקיק יחיד ולכן נוכל להציב לפי הנוסחה:

P=\sqrt{ \frac{E^2-m^2c^4}{c^2} }\hat{x}

פתרון ב':
נמצא זאת באמצעות שימור תנע:

\vec{P}_{B}=\vec{P}_{A}-\vec{P}_{ph}=\sqrt{ \frac{E^2-m^2c^4}{c^2} }\hat{x}-\frac{E_{ph}}{c}\hat{y}

|\vec{P}_{B}|=\sqrt{ \frac{E^2-m^2c^4}{c^2}+\frac{E_{ph}^2}{c^2} }=\frac{1}{c}\sqrt{ E^2+E_{ph}^2-m^2c^4 }

פתרון ג':
לא נרצה כעת לבצע שימור תנע זוויתי ולכן נשתמש ב- $\arctan$ .

\theta=\arctan\left( -\frac{P_{B,y}}{P_{B,x}} \right)

המינוס הוא בגלל שאנו רוצים זווית חיובית.

פתרון ד':
תמיד כשרוצים שאלות כאלו, באיזה מצב יהיו שני גופים שהולכים לכיוונים הפוכים? כאשר $\vec{P}=0$ , שכן אז הכיוון חייב להיות מנוגד אם יש שני גופים. (זה לכל שאלה מסוג זה, לא רק ביחסות)
נדרוש את הדרישה הבאה: $\vec{P}_{ph}'+\vec{P}_{B}'=0$ ואז $P'_{A}=0$ . זה מתרחש במערכת מרכז המסה של $A$ .

\gamma_{A}=\frac{E_{A}}{m_{_{A}}c^2}\implies \beta_{A}=\sqrt{ 1-\left(\frac{m_{_{A}}c^2}{E_{A}} \right)^2 }

תרגיל

יש לנו שני חלקיקים בעלי מסה זהה $m$ נעים במאיץ החלקיקים $CERN$ כאשר לכל אחד מהם האנרגיה הבאה בהתאם:

E_{1}=4mc^2 \qquad E_{2}=2mc^2

הם מתנגשים בהתנגשות פלסטית.

א. מהם $E_{k_{1}},E_{k_{2}}$ ?
ב. מצאו ביטוי למהירות מרכז המסה של מערכת שני החלקיקים.
ג. מהי $V_{cm}$ ?
ד. מצאו את $M_{tot}$ .
ה. מה הייתה $M_{tot}$ אם לשני החלקיקים נתנו $E=3mc^2$ ?

פתרון א':

E_{k_{1}}=4mc^2-mc^2=3mc

E_{k_{2}}=mc^2

פתרון ב':
נצפה, שכאשר נלך לגבול היחסותי נקבל $V_{cm}=\frac{P_{tot}}{M_{tot}}=\frac{P_{1}+P_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ . זה נותן לו אילוץ על התשובה שלנו, וזה דרך טובה לבדוק את עצמנו.

P'_{1}+P'_{2}=0

על פי לורנץ':

0=\gamma(c(P_{1}+P_{2})-\beta_{cm}(E_{1}+E_{2}))

אנו יודעים כי $\gamma\geq 1$ ולכן $P_{1}+P_{2}=\beta(E_{1}+E_{2})$ .

\beta_{cm}=\frac{c(P_{1}+P_{2})}{E_{1}+E_{2}}

נקח את הגבול הלא יחסותי ואז נקבל:

V_{cm}=\frac{c^2}{c^2} \cdot \frac{P_{1}+P_{2}}{m_{1}+m_{2}}

קיבלנו את מה שרצינו, יאי :)

פתרון ג':
מכיוון שיש שימור תנע, לא יהיה שינוי במהירות במרכז המסה ולכן, נוכל להציב בביטוי שמצאנו בסעיף הקודם. מה שחסר לנו זה את $P_{1}$ ואת $P_{2}$ . כעת, נחשב אותם:

P_{1}=\sqrt{ 15 }mc(-\hat{x})

P_{2}=\sqrt{ 3 }mc(\hat{x})

ביצענו את החישוב באמצעות הנוסחה: $E^2=c^2P^2+m^2c^4$ .
כעת:

\beta_{cm}=\frac{(P_{1}+P_{2})c}{E_{1}+E_{2}}

(נזכור כי $\beta_{cm}=\frac{v}{c}$ ).

פתרון ד':
לשם הפתרון נשתמש באינווריאנט. מצד אחד נקח: $M^2c^4$ ומהצד השני נקח $(E_{1}+E_{2})^2-c^2(P_{1}+P_{2})^2$ ואז נקבל:

M_{tot}=5.6m

פתרון ה':
נקבל במצב זה, מכיוון שמסתם שווה והאנרגיה שלהם שווה, נקבל כי התנע הוא 0 ולכן:

M_{tot}^2c^4=(6mc^2)^2 \implies M_{tot}=6m

הגדרה 1 (תנע ביחסות)

\vec{P}=\gamma_{m}m\vec{v}

הגדרה 2 (אנרגיה ביחסות)

E=\gamma mc^2

הגדרה 3 (אנרגיית מנוחה)

E_{0}=mc^2

הגדרה 4 (אנרגייה קינטית)

E_{k}=(\gamma-1)mc^2

הגדרה 5 (אנרגיית מרכז המסה)

E_{mc}^2=E^2-c^2P^2

משפט (אינווריאנט תנע-אנרגייה)

E_{tot}^2-c^2P_{tot}^2=E_{tot}'^2-c^2P'^2_{tot}

הערה

האינווריאנט לא תלוי בזמנים. נוכל לבחור רגע אחד בזמן במערכת אחת ורגע אחר בזמן במערכת שנייה.

משפט

עבור גוף יחיד: $E^2=c^2P^2+m^2c^4$ .

משפט (טרנספורמציית תנע-אנרגייה)

יהיו $S$ ו- $S'$ שתי מערכות המקיימות את תנאי טרנספורמציית לורנץ'. אזי:

P_{x}'=\gamma\left( P_{x}-\frac{v}{c^2}E \right) \qquad P_{y}'=P_{y} \qquad P_{z}'=P_{z} \qquad E'=\gamma(E-vP_{x})

משפט (טרנספומציית תנע-אנרגייה ההפוכה)

יהיו $S$ ו- $S'$ שתי מערכות המקיימות את תנאי טרנספורמציית לורנץ'. אזי:

P_{x}=\gamma\left( P_{x}'+\frac{v}{c^2}E' \right) \qquad P_{y}=P_{y}' \qquad P_{z}=P_{z}' \qquad E=\gamma(E'+vP_{x}')

מהו פוטון?

P=\frac{hf}{c}

תרגול

תרגיל

א. מהו $P_{A}$ ?
ב. מהו $|\vec{P}_{B}|$ ?
ג. מהי $\theta$ ?
ד. מצאו את מהירות מערכת $S'$ בה כיוון הפוטון הפוך לכיוון חלקיק $B$ .

פתרון א':
זהו חלקיק יחיד ולכן נוכל להציב לפי הנוסחה:

P=\sqrt{ \frac{E^2-m^2c^4}{c^2} }\hat{x}

פתרון ב':
נמצא זאת באמצעות שימור תנע:

\vec{P}_{B}=\vec{P}_{A}-\vec{P}_{ph}=\sqrt{ \frac{E^2-m^2c^4}{c^2} }\hat{x}-\frac{E_{ph}}{c}\hat{y}

|\vec{P}_{B}|=\sqrt{ \frac{E^2-m^2c^4}{c^2}+\frac{E_{ph}^2}{c^2} }=\frac{1}{c}\sqrt{ E^2+E_{ph}^2-m^2c^4 }

פתרון ג':
לא נרצה כעת לבצע שימור תנע זוויתי ולכן נשתמש ב- $\arctan$ .

\theta=\arctan\left( -\frac{P_{B,y}}{P_{B,x}} \right)

המינוס הוא בגלל שאנו רוצים זווית חיובית.

\gamma_{A}=\frac{E_{A}}{m_{_{A}}c^2}\implies \beta_{A}=\sqrt{ 1-\left(\frac{m_{_{A}}c^2}{E_{A}} \right)^2 }

תרגיל

יש לנו שני חלקיקים בעלי מסה זהה $m$ נעים במאיץ החלקיקים $CERN$ כאשר לכל אחד מהם האנרגיה הבאה בהתאם:

E_{1}=4mc^2 \qquad E_{2}=2mc^2

הם מתנגשים בהתנגשות פלסטית.

פתרון א':

E_{k_{1}}=4mc^2-mc^2=3mc

E_{k_{2}}=mc^2

P'_{1}+P'_{2}=0

על פי לורנץ':

0=\gamma(c(P_{1}+P_{2})-\beta_{cm}(E_{1}+E_{2}))

אנו יודעים כי $\gamma\geq 1$ ולכן $P_{1}+P_{2}=\beta(E_{1}+E_{2})$ .

\beta_{cm}=\frac{c(P_{1}+P_{2})}{E_{1}+E_{2}}

נקח את הגבול הלא יחסותי ואז נקבל:

V_{cm}=\frac{c^2}{c^2} \cdot \frac{P_{1}+P_{2}}{m_{1}+m_{2}}

קיבלנו את מה שרצינו, יאי :)

P_{1}=\sqrt{ 15 }mc(-\hat{x})

P_{2}=\sqrt{ 3 }mc(\hat{x})

ביצענו את החישוב באמצעות הנוסחה: $E^2=c^2P^2+m^2c^4$ .
כעת:

\beta_{cm}=\frac{(P_{1}+P_{2})c}{E_{1}+E_{2}}

(נזכור כי $\beta_{cm}=\frac{v}{c}$ ).

פתרון ד':
לשם הפתרון נשתמש באינווריאנט. מצד אחד נקח: $M^2c^4$ ומהצד השני נקח $(E_{1}+E_{2})^2-c^2(P_{1}+P_{2})^2$ ואז נקבל:

M_{tot}=5.6m

פתרון ה':
נקבל במצב זה, מכיוון שמסתם שווה והאנרגיה שלהם שווה, נקבל כי התנע הוא 0 ולכן:

M_{tot}^2c^4=(6mc^2)^2 \implies M_{tot}=6m

13 -טרנספורמצייות תנע ואנרגייה

פיזיקה 1מ

טרנספורמצייות תנע ואנרגייה

13 -טרנספורמצייות תנע ואנרגייה

פיזיקה 1מ

טרנספורמצייות תנע ואנרגייה

מהו פוטון?

תרגול

מהו פוטון?

תרגול